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《创新设计》-2014届高考.数学人教A版(理~)一轮预习复习计划【配套word版文档.】第九篇第4讲椭圆.doc

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创新设计 配套word版文档. 创新 设计 2014 高考 学人 一轮 预习 复习计划 配套 word 文档 第九 椭圆
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-_第4讲 椭 圆A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|= (  ). A. B. C. D.4解析 a2=4,b2=1,所以a=2,b=1,c=,不妨设F1为左焦点,P在x轴上方,则F1(-,0),设P(-,m)(m>0),则+m2=1,解得m=,所以|PF1|=,根据椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|=2×2-=.答案 A2.(2012·江西)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 (  ).A. B. C. D.-2解析 因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e==,故选B.答案 B3.(2013·嘉兴测试)已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈,则实数m的取值范围是 (  ).A. B.C.∪ D.∪解析 椭圆标准方程为x2+=1.当m>1时,e2=1-∈,解得m>;当0b>0)的中心为O,左焦点为F,A是椭圆上的一点.·=0且·=2,则该椭圆的离心率是(  ). A. B.C.3- D.3+解析 因为·=0,且·=·(-),所以·=2,所以||=||=c,所以||=c,且∠AOF=45°,设椭圆的右焦点是F′,在△AOF′中,由余弦定理可得AF′= c,由椭圆定义可得AF+AF′= c+ c=2a,即(1+)c=2a,故离心率e===.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013·青岛模拟)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为________.解析 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),∴m2-n2=4①,e==,∴m=4,代入①得,n2=12,∴椭圆方程为+=1.答案 +=16.(2013·佛山模拟)在等差数列{an}中,a2+a3=11,a2+a3+a4=21,则椭圆C:+=1的离心率为________.解析 由题意,得a4=10,设公差为d,则a3+a2=(10-d)+(10-2d)=20-3d=11,∴d=3,∴a5=a4+d=13,a6=a4+2d=16>a5,∴e==.答案 三、解答题(共25分)7.(12分)已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,·=0,若椭圆的离心率等于.(1)求直线AO的方程(O为坐标原点);(2)直线AO交椭圆于点B,若三角形ABF2的面积等于4,求椭圆的方程.解 (1)由·=0,知AF2⊥F1F2,∵椭圆的离心率等于,∴c=a,可得b2=a2.设椭圆方程为x2+2y2=a2.设A(x0,y0),由·=0,知x0=c,∴A(c,y0),代入椭圆方程可得y0=a,∴A,故直线AO的斜率k=,直线AO的方程为y=x.(2)连接AF1,BF1,AF2,BF2,由椭圆的对称性可知,S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2,∴·2c·a=4.又由c=a,解得a2=16,b2=16-8=8.故椭圆方程为+=1.8.(13分)设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距;(2)如果=2,求椭圆C的方程.解 (1)设椭圆C的焦距为2c,由已知可得F1到直线l的距离c=2,故c=2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2及l的倾斜角为60°,知y1<0,y2>0,直线l的方程为y=(x-2).由消去x,整理得(3a2+b2)y2+4b2y-3b4=0.解得y1=,y2=.因为=2,所以-y1=2y2,即=2·,解得a=3.而a2-b2=4,所以b2=5.故椭圆C的方程为+=1.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1. (2013·厦门质检)已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆2+y2=相切于点Q,且=2Q,则椭圆C的离心率等于(  ). A. B. C. D.解析 记椭圆的左焦点为F′,圆2+y2=的圆心为E,连接PF′,QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2Q,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.答案 A2.(2012·山东)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(  ).A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1解析 因为椭圆的离心率为,所以e==,c2=a2,c2=a2=a2-b2,所以b2=a2,即a2=4b2.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得+=1,即+==1,所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为,所以四边形的面积为4×b×b=b2=16,所以b2=5,所以椭圆方程为+=1.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2012·泰安一模)F1,F2为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点,A,B分别为双曲线的左、右顶点,以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且满足∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为________.解析 如图,以F1F2为直径的圆为x2+y2=c2,双曲线的渐近线为y=x.由得M(a,b),∴△MAB为直角三角形.∴在Rt△MAB中,tan 30°===.∴=.∴e= = =.答案 4.如图,∠OFB=,△ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为________.解析 设标准方程为+=1(a>b>0),由题可知,|OF|=c,|OB|=b,∴|BF|=a,∵∠OFB=,∴=,a=2b.S△ABF=·|AF|·|BO|=(a-c)·b=(2b-b)b=2-,∴b2=2,∴b=,∴a=2,∴椭圆的方程为+=1.答案 +=1三、解答题(共25分)5.(12分)(2012·南京二模) 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:点T在椭圆C上.(1)解 由题意知,b==.因为离心率e==,所以= =.所以a=2.所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明 由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=x+1,①直线QN的方程为y=x+2.②法一 联立①②解得x=,y=,即T.由+=1,可得x=8-4y.因为2+2=====1,所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.法二 设T(x,y),联立①②解得x0=,y0=.因为+=1,所以2+2=1.整理得+=(2y-3)2,所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1.所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.6.(13分)(2012·重庆) 如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.解 (1) 如图,设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=.结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为:+=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1·y2=-,又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=--+16=-,由PB2⊥QB2,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.
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