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平面向量高考的试题精编(含详细答案内容~).doc

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平面 向量 高考 试题 精编 详细 答案 内容
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#*平面向量高考试题精选(一) 一.选择题(共14小题)1.(2015•河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则(  )A.B.C.D. 2.(2015•福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于(  )A.13B.15C.19D.21 3.(2015•四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=(  )A.20B.15C.9D.6 4.(2015•安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是(  )A.||=1B.⊥C.•=1D.(4+)⊥ 5.(2015•陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是(  )A.||≤||||B.||≤|||﹣|||C.()2=||2D.()•()=2﹣2 6.(2015•重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为(  )A.B.C.D.π 7.(2015•重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为(  )A.B.C.D. 8.(2014•湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是(  )A.[4,6]B.[﹣1,+1]C.[2,2]D.[﹣1,+1] 9.(2014•桃城区校级模拟)设向量,满足,,<>=60°,则||的最大值等于(  )A.2B.C.D.1 10.(2014•天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=(  )A.B.C.D. 11.(2014•安徽)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为(  )A.B.C.D.0 12.(2014•四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=(  )A.﹣2B.﹣1C.1D.2 13.(2014•新课标I)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(  )A.B.C.D. 14.(2014•福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于(  )A.B.2C.3D.4  二.选择题(共8小题)15.(2013•浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于      . 16.(2013•北京)已知点A(1,﹣1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为      . 17.(2012•湖南)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则=      . 18.(2012•北京)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为      . 19.(2011•天津)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为      . 20.(2010•浙江)已知平面向量满足,且与的夹角为120°,则||的取值范围是      . 21.(2010•天津)如图,在△ABC中,AD⊥AB,,,则=      . 22.(2009•天津)若等边△ABC的边长为,平面内一点M满足=+,则=      .  三.选择题(共2小题)23.(2012•上海)定义向量=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”为=(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.(1)设g(x)=3sin(x+)+4sinx,求证:g(x)∈S;(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;(3)已知M(a,b)(b≠0)为圆C:(x﹣2)2+y2=1上一点,向量的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x0的取值范围. 24.(2007•四川)设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点P的作标;(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.  平面向量高考试题精选(一)参考答案与试题解析 一.选择题(共14小题)1.(2015•河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则(  )A.B.C.D.解:由已知得到如图由===;故选:A.2.(2015•福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于(  )A.13B.15C.19D.21解:由题意建立如图所示的坐标系,可得A(0,0),B(,0),C(0,t),∵,∴P(1,4),∴=(﹣1,﹣4),=(﹣1,t﹣4),∴=﹣(﹣1)﹣4(t﹣4)=17﹣(+4t),由基本不等式可得+4t≥2=4,∴17﹣(+4t)≤17﹣4=13,当且仅当=4t即t=时取等号,∴的最大值为13,故选:A. 3.(2015•四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=(  )A.20B.15C.9D.6解:∵四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,,∴根据图形可得:=+=,==,∴=,∵=•()=2﹣,2=22,=22,||=6,||=4,∴=22=12﹣3=9故选:C4.(2015•安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是(  )A.||=1B.⊥C.•=1D.(4+)⊥解:因为已知三角形ABC的等边三角形,,满足=2,=2+,又,所以,,所以=2,=1×2×cos120°=﹣1,4=4×1×2×cos120°=﹣4,=4,所以=0,即(4)=0,即=0,所以;故选D.5.(2015•陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是(  )A.||≤||||B.||≤|||﹣|||C.()2=||2D.()•()=2﹣2解:选项A正确,∵||=|||||cos<,>|,又|cos<,>|≤1,∴||≤||||恒成立;选项B错误,由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||;选项C正确,由向量数量积的运算可得()2=||2;选项D正确,由向量数量积的运算可得()•()=2﹣2.故选:B 6.(2015•重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为(  )A.B.C.D.π解:∵(﹣)⊥(3+2),∴(﹣)•(3+2)=0,即32﹣22﹣•=0,即•=32﹣22=2,∴cos<,>===,即<,>=,故选:A7.(2015•重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为(  )A.B.C.D.解:由已知非零向量满足||=4||,且⊥(),设两个非零向量的夹角为θ,所以•()=0,即2=0,所以cosθ=,θ∈[0,π],所以;故选C. 8.(2014•湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是(  )A.[4,6]B.[﹣1,+1]C.[2,2]D.[﹣1,+1]】解:∵动点D满足||=1,C(3,0),∴可设D(3+cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)).又A(﹣1,0),B(0,),∴++=.∴|++|===,(其中sinφ=,cosφ=)∵﹣1≤sin(θ+φ)≤1,∴=sin(θ+φ)≤=,∴|++|的取值范围是.故选:D.9.(2014•桃城区校级模拟)设向量,满足,,<>=60°,则||的最大值等于(  )A.2B.C.D.1解:∵,∴的夹角为120°,设,则;=如图所示则∠AOB=120°;∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A,O,B,C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时,模最大,最大为2故选A 10.(2014•天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=(  )A.B.C.D.解:由题意可得若•=(+)•(+)=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.•=﹣•(﹣)==(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②.由①②求得λ+μ=,故答案为:.11.(2014•安徽)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为(  )A.B.C.D.0解:由题意,设与的夹角为α,分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2,不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα,不满足;③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2,满足题意,此时cosα=∴与的夹角为.故选:B.12.(2014•四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=(  )A.﹣2B.﹣1C.1D.2解:∵向量=(1,2),=(4,2),∴=m+=(m+4,2m+2),又∵与的夹角等于与的夹角,∴=,∴=,∴=,解得m=2,故选:D13.(2014•新课标I)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(  )A.B.C.D.【解答】解:∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,∴+=(+)+(+)=+=(+)=,故选:A 14.(2014•福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于(  )A.B.2C.3D.4解:∵O为任意一点,不妨把A点看成O点,则=,∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点,∴=2=4故选:D.二.选择题(共8小题)15.(2013•浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于 2 .解:∵、 为单位向量,和的夹角等于30°,∴=1×1×cos30°=.∵非零向量=x+y,∴||===,∴====,故当=﹣时,取得最大值为2,故答案为 2.16.(2013•北京)已知点A(1,﹣1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为 3 .解:设P的坐标为(x,y),则=(2,1),=(1,2),=(x﹣1,y+1),∵,∴,解之得∵1≤λ≤2,0≤μ≤1,∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域,得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C(4,2),D(6,3),E(5,1),F(3,0)∵|CF|==,点E(5,1)到直线CF:2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3,即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为:317.(2012•湖南)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则= 18 .【解答】解:设AC与BD交于点O,则AC=2AO∵AP⊥BD,AP=3,在Rt△APO中,AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6,由向量的数量积的定义可知,=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为:18 18.(2012•北京)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为 1 .【解答】解:因为====1.故答案为:119.(2011•天津)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为 5 .解:如图,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0)设P(0,b)(0≤b≤a)则=(2,﹣b),=(1,a﹣b),∴=(5,3a﹣4b)∴=≥5.故答案为5. 20.(2010•浙江)已知平面向量满足,且与的夹角为120°,则||的取值范围是 (0,] .解:令用=、=,如下图所示:则由=,又∵与的夹角为120°,∴∠ABC=60°又由AC=由正弦定理得:||=≤∴||∈(0,]故||的取值范围是(0,]故答案:(0,] 21.(2010•天津)如图,在△ABC中,AD⊥AB,,,则=  .【解答】解:,∵,∴,∵,∴cos∠DAC=sin∠BAC,,在△ABC中,由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB,,=|BC|sinB==,故答案为.22.(2009•天津)若等边△ABC的边长为,平面内一点M满足=+,则= ﹣2 .解:以C点为原点,以AC所在直线为x轴建立直角坐标系,可得,∴,,∵=+=,∴M,∴,,=(,)•(,)=﹣2.故答案为:﹣2.三.选择题(共2小题)23.(2012•上海)定义向量=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”为=(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.(1)设g(x)=3sin(x+)+4sinx,求证:g(x)∈S;(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;(3)已知M(a,b)(b≠0)为圆C:(x﹣2)2+y2=1上一点,向量的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x0的取值范围.【解答】解:(1)g(x)=3sin(x+)+4sinx=4sinx+3cosx,其‘相伴向量’=(4,3),g(x)∈S.(2)h(x)=cos(x+α)+2cosx=(cosxcosα﹣sinxsinα)+2cosx=﹣sinαsinx+(cosα+2)cosx∴函数h(x)的‘相伴向量’=(﹣sinα,cosα+2).则||==.(3)的‘相伴函数’f(x)=asinx+bcosx=sin(x+φ),其中cosφ=,sinφ=.当x+φ=2kπ+,k∈Z时,f(x)取到最大值,故x0=2kπ+﹣φ,k∈Z.∴tanx0=tan(2kπ+﹣φ)=cotφ=,tan2x0===.为直线OM的斜率,由几何意义知:∈[﹣,0)∪(0,].令m=,则tan2x0=,m∈[﹣,0)∪(0,}.当﹣≤m<0时,函数tan2x0=单调递减,∴0<tan2x0≤;当0<m≤时,函数tan2x0=单调递减,∴﹣≤tan2x0<0.综上所述,tan2x0∈[﹣,0)∪(0,].24.(2007•四川)设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点P的作标;(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.】解:(Ⅰ)易知a=2,b=1,.∴,.设P(x,y)(x>0,y>0).则,又,联立,解得,.(Ⅱ)显然x=0不满足题设条件.可设l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2).联立∴,由△=(16k)2﹣4•(1+4k2)•12>016k2﹣3(1+4k2)>0,4k2﹣3>0,得.①又∠AOB为锐角,∴又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4===∴.②综①②可知,∴k的取值范围是.
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