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普通地巧算和速算方法.doc

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普通 速算 方法
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-_小学数学速算与巧算方法例解【转】  速算与巧算       在小学数学中,关于整数、小数、分数的四则运算,怎么样才能算得既快又准确呢?这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序,根据题目本身的特点,综合应用各种运算定律和性质,或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式,选用合理、灵活的计算方法。速算和巧算不仅能简便运算过程,化繁为简,化难为易,同时又会算得又快又准确。一、“凑整”先算  1.计算:(1)24+44+56      (2)53+36+47  解:(1)24+44+56=24+(44+56)      =24+100=124  这样想:因为44+56=100是个整百的数,所以先把它们的和算出来.    (2)53+36+47=53+47+36      =(53+47)+36=100+36=136  这样想:因为53+47=100是个整百的数,所以先把+47带着符号搬家,搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来.  2.计算:(1)96+15      (2)52+69  解:(1)96+15=96+(4+11)      =(96+4)+11=100+11=111  这样想:把15分拆成15=4+11,这是因为96+4=100,可凑整先算.    (2)52+69=(21+31)+69      =21+(31+69)=21+100=121  这样想:因为69+31=100,所以把52分拆成21与31之和,再把31+69=100凑整先算.  3.计算:(1)63+18+19      (2)28+28+28  解:(1)63+18+19    =60+2+1+18+19    =60+(2+18)+(1+19)    =60+20+20=100  这样想:将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.    (2)28+28+28    =(28+2)+(28+2)+(28+2)-6    =30+30+30-6=90-6=84  这样想:因为28+2=30可凑整,但最后要把多加的三个2减去.  二、改变运算顺序:在只有“+”、“-”号的混合算式中,运算顺序可改变  计算:(1)45-18+19     (2)45+18-19  解:(1)45-18+19=45+19-18    =45+(19-18)=45+1=46  这样想:把+19带着符号搬家,搬到-18的前面.然后先算19-18=1.    (2)45+18-19=45+(18-19)    =45-1=44  这样想:加18减19的结果就等于减1.三、计算等差连续数的和  相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数,又叫等差数列,如:  1,2,3,4,5,6,7,8,9  1,3,5,7,9  2,4,6,8,10  3,6,9,12,15  4,8,12,16,20等等都是等差连续数.  1. 等差连续数的个数是奇数时,它们的和等于中间数乘以个数,简记成:  (1)计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9  =5×9 中间数是5  =45 共9个数  (2)计算:1+3+5+7+9  =5×5 中间数是5  =25 共有5个数  (3)计算:2+4+6+8+10  =6×5 中间数是6  =30 共有5个数  (4)计算:3+6+9+12+15  =9×5 中间数是9  =45 共有5个数  (5)计算:4+8+12+16+20  =12×5 中间数是12  =60 共有5个数  2. 等差连续数的个数是偶数时,它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半,简记成:  (1)计算:  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10  =(1+10)×5=11×5=55  共10个数,个数的一半是5,首数是1,末数是10.  (2)计算:  3+5+7+9+11+13+15+17  =(3+17)×4=20×4=80  共8个数,个数的一半是4,首数是3,末数是17.  (3)计算:  2+4+6+8+10+12+14+16+18+20  =(2+20)×5=110  共10个数,个数的一半是5,首数是2,末数是20.四、基准数法  (1)计算:23+20+19+22+18+21  解:仔细观察,各个加数的大小都接近20,所以可以把每个加数先按20相加,然后再把少算的加上,把多算的减去.  23+20+19+22+18+21  =20×6+3+0-1+2-2+1  =120+3=123  6个加数都按20相加,其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”,所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”,所以再减去“1”,以此类推.  (2)计算:102+100+99+101+98  解:方法1:仔细观察,可知各个加数都接近100,所以选100为基准数,采用基准数法进行巧算.  102+100+99+101+98  =100×5+2+0-1+1-2=500  方法2:仔细观察,可将5个数重新排列如下:(实际上就是把有的加数带有符号搬家)  102+100+99+101+98  =98+99+100+101+102  =100×5=500  可发现这是一个等差连续数的求和问题,中间数是100,个数是5.    加法中的巧算  1.什么叫“补数”?  两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。  如:1+9=10,3+7=10,  2+8=10,4+6=10,  5+5=10。  又如:11+89=100,33+67=100,  22+78=100,44+56=100,  55+45=100,  在上面算式中,1叫9的“补数”;89叫11的“补数”,11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。  对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”来呢?一般来说,可以这样“凑”数:从最高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10。  如: 87655→12345, 46802→53198,  87362→12638,…  下面讲利用“补数”巧算加法,通常称为“凑整法”。  2.互补数先加。例1 巧算下面各题:  ①36+87+64②99+136+101  ③ 1361+972+639+28  解:①式=(36+64)+87  =100+87=187  ②式=(99+101)+136  =200+136=336  ③式=(1361+639)+(972+28)  =2000+1000=3000  3.拆出补数来先加。  例2 ①188+873 ②548+996 ③9898+203  解:①式=(188+12)+(873-12)(熟练之后,此步可略)  =200+861=1061  ②式=(548-4)+(996+4)  =544+1000=1544  ③式=(9898+102)+(203-102)  =10000+101=10101  4.竖式运算中互补数先加。  如:    二、减法中的巧算  1.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。  例 3① 300-73-27  ② 1000-90-80-20-10  解:①式= 300-(73+ 27)  =300-100=200  ②式=1000-(90+80+20+10)  =1000-200=800  2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。  例4① 4723-(723+189)  ② 2356-159-256  解:①式=4723-723-189  =4000-189=3811  ②式=2356-256-159  =2100-159  =1941  3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整,再运算(注意把多加的数再减去,把多减的数再加上)。  例 5 ①506-397  ②323-189  ③467+997  ④987-178-222-390  解:①式=500+6-400+3(把多减的 3再加上)  =109  ②式=323-200+11(把多减的11再加上)  =123+11=134  ③式=467+1000-3(把多加的3再减去)  =1464  ④式=987-(178+222)-390  =987-400-400+10=197  三、加减混合式的巧算  1.去括号和添括号的法则  在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都要改变,“+”变“-”,“-”变“+”,即:  a+(b+c+d)=a+b+c+d  a-(b+a+d)=a-b-c-d  a-(b-c)=a-b+c例6 ①100+(10+20+30)  ② 100-(10+20+3O)  ③ 100-(30-10)  解:①式=100+10+20+30  =160  ②式=100-10-20-30  =40  ③式=100-30+10  =80例7 计算下面各题:  ① 100+10+20+30  ② 100-10-20-30  ③ 100-30+10  解:①式=100+(10+20+30)  =100+60=160  ②式=100-(10+20+30)  =100-60=40  ③式=100-(30-10)  =100-20=80  2.带符号“搬家”例8 计算 325+46-125+54  解:原式=325-125+46+54  =(325-125)+(46+54)  =200+100=300  注意:每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46,-125,+54.而325前面虽然没有符号,应看作是+325。  3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉例9 计算9+2-9+3  解:原式=9-9+2+3=5  4.找“基准数”法  几个比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准数”。例10 计算 78+76+83+82+77+80+79+85  =6401.两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘.为此,要牢记下面这三个特殊的等式:  5×2=10  25×4=100  125×8=1000例1 计算①123×4×25  ② 125×2×8×25×5×4  解:①式=123×(4×25)  =123×100=12300  ②式=(125×8)×(25×4)×(5×2)  =1000×100×10=1000000  2.分解因数,凑整先乘。  例 2计算① 24×25  ② 56×125  ③ 125×5×32×5  解:①式=6×(4×25)  =6×100=600  ②式=7×8×125=7×(8×125)  =7×1000=7000  ③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4)  =1000×100=100000  3.应用乘法分配律。  例3 计算① 175×34+175×66  ②67×12+67×35+67×52+6  解:①式=175×(34+66)  =175×100=17500  ②式=67×(12+35+52+1)  = 67×100=6700  (原式中最后一项67可看成 67×1)  例4 计算① 123×101 ② 123×99  解:①式=123×(100+1)=123×100+123  =12300+123=12423  ②式=123×(100-1)  =12300-123=12177  4.几种特殊因数的巧算。例5 一个数×10,数后添0;  一个数×100,数后添00;  一个数×1000,数后添000;  以此类推。  如:15×10=150  15×100=1500  15×1000=15000例6 一个数×9,数后添0,再减此数;  一个数×99,数后添00,再减此数;  一个数×999,数后添000,再减此数; …  以此类推。  如:12×9=120-12=108  12×99=1200-12=1188  12×999=12000-12=11988例7 一个偶数乘以5,可以除以2添上0。  如:6×5=30  16×5=80  116×5=580。例8 一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”。  如 2222×11=24442     2456×11=27016    例9 一个偶数乘以15,“加半添0”.  24×15  =(24+12)×10  =360  因为  24×15  = 24×(10+5)  =24×(10+10÷2)  =24×10+24×10÷2(乘法分配律)  =24×10+24÷2×10(带符号搬家)  =(24+24÷2)×10(乘法分配律)例10 个位为5的两位数的自乘:十位数字×(十位数字加1)×100+25  如15×15=1×(1+1)×100+25=225  25×25=2×(2+1)×100+25=625  35×35=3×(3+1)×100+25=1225  45×45=4×(4+1)×100+25=2025  55×55=5×(5+1)×100+25=3025  65×65=6×(6+1)×100+25=4225  75×75=7×(7+1)×100+25=5625  85×85=8×(8+1)×100+25=7225  95×95=9×(9+1)×100+25=9025  还有一些其他特殊因数相乘的简便算法,有兴趣的同学可参看《算得快》一书。  二、除法及乘除混合运算中的巧算  1.在除法中,利用商不变的性质巧算  商不变的性质是:被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外),商不变.利用这个性质巧算,使除数变为整十、整百、整千的数,再除。例11 计算①110÷5②3300÷25  ③ 44000÷125  解:①110÷5=(110×2)÷(5×2)  =220÷10=22  ②3300÷25=(3300×4)÷(25×4)  =13200÷100=132  ③ 44000÷125=(44000×8)÷(125×8)  =352000÷1000=352  2.在乘除混合运算中,乘数和除数都可以带符号“搬家”。例12 864×27÷54  =864÷54×27  =16×27  =432  3.当n个数都除以同一个数后再加减时,可以将它们先加减之后再除以这个数。  例13① 13÷9+5÷9 ②21÷5-6÷5  ③2090÷24-482÷24  ④187÷12-63÷12-52÷12  解:①13÷9+5÷9=(13+5)÷9  =18÷9=2  ②21÷5-6÷5=(21-6)÷5  =15÷5=3  ③2090÷24-482÷24=(2090-482)÷24  =1608÷24=67  ④187÷12-63÷12-52÷12  =(187-63-52)÷12  =72÷12=6  4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法:如果“括号”前面是乘号,去掉“括号”后,原“括号”内的符号不变;如果“括号”前面是除号,去掉“括号”后,原“括号”内的乘号变成除号,原除号就要变成乘号,添括号的方法与去括号类似。  即a×(b÷c)=a×b÷c 从左往右看是去括号,  a÷(b×c)=a÷b÷c 从右往左看是添括号。  a÷(b÷c)=a÷b×c例14 ①1320×500÷250  ②4000÷125÷8  ③5600÷(28÷6)  ④372÷162×54  ⑤2997×729÷(81×81)  解:① 1320×500÷250=1320×(500÷250)  =1320×2=2640  ②4000÷125÷8=4000÷(125×8)  =4000÷1000=4  ③5600÷(28÷6)=5600÷28×6  =200×6=1200  ④372÷162×54=372÷(162÷54)  =372÷3=124  ⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81  =(2997÷81)×(729÷81)=37×9  =333例1 计算9+99+999+9999+99999  解:在涉及所有数字都是9的计算中,常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.   9+99+999+9999+99999  =(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)   +(100000-1)  =10+100+1000+10000+100000-5  =111110-5  =111105.例2 计算199999+19999+1999+199+19  解:此题各数字中,除最高位是1外,其余都是9,仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如 199+1=200)   199999+19999+1999+199+19  =(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)   +(19+1)-5  =200000+20000+2000+200+20-5  =222220-5  =22225.例3 计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)    解法2:先把两个括号内的数分别相加,再相减.第一个括号内的数相加的结果是:    从1到1989共有995个奇数,凑成497个1990,还剩下995,第二个括号内的数相加的结果是:    从2到1988共有994个偶数,凑成497个1990.  1990×497+995—1990×497=995.例4 计算 389+387+383+385+384+386+388  解法1:认真观察每个加数,发现它们都和整数390接近,所以选390为基准数.   389+387+383+385+384+386+388  =390×7—1—3—7—5—6—4—  =2730—28  =2702.  解法2:也可以选380为基准数,则有   389+387+383+385+384+386+388  =380×7+9+7+3+5+4+6+8  =2660+42  =2702.例5 计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6  解:认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和,故可选4940为基准数.   (4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6  =(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6  =(4940×6+6)÷6(这里没有把4940×6先算出来,而是运  =4940×6÷6+6÷6运用了除法中的巧算方法)  =4940+1  =4941.例6 计算54+99×99+45  解:此题表面上看没有巧妙的算法,但如果把45和54先结合可得99,就可以运用乘法分配律进行简算了.   54+99×99+45  =(54+45)+99×99  =99+99×99  =99×(1+99)  =99×100  =9900.例7 计算 9999×2222+3333×3334  解:此题如果直接乘,数字较大,容易出错.如果将9999变为3333×3,规律就出现了.   9999×2222+3333×3334  =3333×3×2222+3333×3334  =3333×6666+3333×3334  =3333×(6666+3334)  =3333×10000  =33330000.例8 1999+999×999  解法1:1999+999×999  =1000+999+999×999  =1000+999×(1+999)  =1000+999×1000  =1000×(999+1)  =1000×1000  =1000000.  解法2:1999+999×999  =1999+999×(1000-1)  =1999+999000-999  =(1999-999)+999000  =1000+999000  =1000000.
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