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七年级.数学(上册~)一元一次方程应用题专栏评论讲解(超全超详细~).doc

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年级 数学 上册 一元一次方程 应用题 专栏 评论 讲解 超全超 详细
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#*七年级上册应用题专题讲解列方程解应用题,是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或 方程组,所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面; 同时通过列方程解应用题,可以培养我们分析问题,解决问题的能力。因此我们要努力学 好这部分知识。一、列方程解应用题的一般步骤(解题思路)(1)审—审题: 认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量 关系).(2)设—设出未知数:根据提问,巧设未知数.(3)列—列出方程: 设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的 等量关系列出方程.(4)解—解方程: 解所列的方程,求出未知数的值.(5)答—检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际, 检验后写出答案. (注意带上单位)二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集:行程问题,工程问题,和差倍分问题(生产、做工等 各类问题),等积变形问题,调配问题,分配问题,配套问题,增长率问题,数字问题, 方案设计与成本分析,古典数学,浓度问题等。(一)和、差、倍、分问题——读题分析法这类问题主要应搞清各量之间的关系,注意关键词语。仔细读题,找出表示相等关系 的关键字,例如: “大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套,, ”, 利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系 填入代数式,得到方程.1.倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率 ,, ” 来体现。2.多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余,, ”来体现。增长量=原有量×增长率现在量=原有量+增长量例 1.某单位今年为灾区捐款2 万 5 千元,比去年的2 倍还多 1000 元,去年该单位为灾区 捐款多少元?解: 设去年该单位为灾区捐款x 元,则2x+1000=250002x=24000 x=12000答:去年该单位为灾区捐款12000 元.例 2.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩余汽 油的 40%,这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1 公斤,求油箱里原有汽油多少公斤?解: 设油箱里原有汽油x 公斤 ,则x-[25%x+40% ×(1-25%)x]+1=25%x+40% ×(1-25%)x即10%x=1 x=10答:油箱里原有汽油10 公斤 .(二)等积变形问题等积变形是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式, 依据形虽变,但体积不变.2①圆柱体的体积公式V= 底面积×高= S·h=r h②长方体的体积V=长×宽×高= abc例 3.现有直径为 0.8 米的圆柱形钢坯30 米,可足够锻造直径为0.4 米,长为 3 米的圆柱形机轴多少根?解:设可足够锻造直径为0.4 米,长为 3 米的圆柱形机轴x 根, 则3.14× ( 0. 422)×3x=3.14 × ( 0.822)×300.12x=4.8 x=40答:可足够锻造直径为0.4 米,长为 3 米的圆柱形机轴40 根。(三)数字问题1.要搞清楚数的表示方法:一个三位数,一般可设百位数字为a,十位数字是b,个位 数字为 c(其中 a、b、c 均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9),则这个三位数表示 为: 100a+10b+c.2.数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2 或 2n-2 表示;奇数用2n+1 或 2n—1 表示。例 4.有一个三位数,个位数字为百位数字的2 倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个 位与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的2 倍少 49,求原数。解:设原数百位数为x,则十位数为10(x+1) ,个位数为 2x ,于是100× 2x +10×(x+1)+x+49=2 ×[100x+10(x+1)+2x]即211x+59=224x+2013x=39 x=3故原数为: 100×2+10×4+2×3=246答:原数为 246.例 5.一个三位数,三个数位上的数字之和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十 位上的数的3 倍,求这个三位数.[分析 ]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系,若设十位上的数为x,则百位上的数为x+7,个位上的数是3x,等量关系为三个数位上的数字和为17。解: 设这个三位数十位上的数为x,则百位上的数为x+7,个位上的数是3x ,则x+x+7+3x=17解得x=2 x+7=9 , 3x=6答:这个三位数是926。(四)商品利润问题(市场经济问题或利润赢亏问题)(1)销售问题中常出现的量有:进价( 或成本 )、售价、标价(或定价) 、利润等。(2)利润问题常用等量关系:商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价商品利润率商品利润100 %商品售价- 商品进价100 %商品进价商品进价(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8 折出售,即按原 标价的 80%出售.即 商品售价 = 商品标价×折扣率 .例6:一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8 折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?[分析 ]探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为x 元 ,进价折扣率标价优惠价利润x 元8 折( 1+40% ) X 元 80%( 1+40% )X15 元 等量关系:(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15解: 设 这种服装每件的 进价为 x 元,则80%x ( 1+40% )— x=15 , 解得 x=125答: 这种服装每件的 进价是 125 元。例 6* :某商品的进价为800 元,出售时标价为1200 元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售, 但要保持利润率不低于5%,则至多打几折?解: 设至多打x 折,则根据题意有1200 x800800× 100%=5%解得x=0.7=70%答:至多打7 折出售.(五)行程问题——画图分析法利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有 关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.1.行程问题中的三个基本量及其关系:路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间2.行程问题基本类型(1)相遇问题:快行距+慢行距=原距(2)追及问题:快行距-慢行距=原距(3)航行问题: 顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 水流速度 =( 顺水速度 -逆水速度)÷2(4)环路问题甲乙同时同地背向而行:甲路程—乙路程=环路一周的距离 甲乙同时同地同向而行: 快者的路程—慢者的路程=环路一周的距离抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.即顺水 逆水问题常用等量关系:顺水路程 =逆水路程.常见的还有:相背而行;行船问题;环形跑道问题。例 7:甲、乙两站相距480 公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90 公里,一列快车从乙 站开出,每小时行140 公里。(1)慢车先开出 1 小时, 快车再开。 两车相向而行。 问快车开出多少小时后两车相遇?(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600 公里?(3)两车同时开出, 慢车在快车后面同向而行, 多少小时后快车与慢车相距600 公里?(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?(5)慢车开出 1 小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢 车? ( 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。)解析:( 1)分析 :相遇问题,画图表示为:等量关系是:慢车走的路程+快车走的路程=480 公里。甲乙解: 设快车开出x 小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480解这个方程, 230x=39016x1,23答:快车开出161小时两车相遇23600( 2)分析 :相背而行,画图表示为:等量关系是:两车所走的路程和+480 公里 =600 公里。甲乙解: 设 x 小时后两车相距600 公里,由题意得, (140+90)x+480=600解这个方程, 230x=120∴ x=1223答: 12 小时后两车相距600 公里。23( 3)分析: 等量关系为:快车所走路程-慢车所走路程+480 公里 =600 公里。解: 设 x 小时后两车相距600 公里, 由题意得, (140- 90)x+480=60050x=120∴ x=2.4答: 2.4 小时后两车相距600 公里。(4)分析: 追及问题,画图表示为:等量关系为:快车的路程= 慢车走的路程 +480 公里。甲乙解: 设 x 小时后快车追上慢车。由题意得, 140x=90x+480解这个方程, 50x=480∴ x=9.6答: 9.6 小时后快车追上慢车。( 5)分析: 追及问题,等量关系为:快车的路程= 慢车走的路程+480 公里。解: 设快车开出x 小时后追上慢车。由题意得,140x=90(x+1)+48050x=570∴ x=11.4答:快车开出11.4 小时后追上慢车。例 8: 一轮船在甲、乙两码头之间航行,顺水航行需要4 小时,逆水航行需要5 小时,水流的速度 为 2 千米 /时,求甲、乙两码头之间的距离。解: 设甲、乙两码头之间的距离为x 千米,则xx445x=80答: 甲、乙两码头之间的距离为80 千米 .(六)工程问题1.工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率×工作时间工作效率工作总量工作时间工作时间工作总量工作效率2.经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和=总工作量= 1.工程问题常用等量关系:先做的 + 后做的 =完成量 .例 9:将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6 小时,乙独做需4 小时,甲 先做 30 分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?解: 设甲、乙一起做还需x 小时才能完成工作.根据题意,得1 × 1+( 1 + 1) x=16264解这个方程,得x= 11511 =2 小时 12 分5答:甲、乙一起做还需2 小时 12 分才能完成工作.例 10:一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6 小时可注满水池; 单独开乙管8 小时可注满水池,单独开丙管9 小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时 开放 2 小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?[分析 ]等量关系为:甲注水量+ 乙注水量 -丙排水量 =1。 解: 设打开丙管后x 小时可注满水池,则由题意得, ( 161) ( x2)8x3041解这个方程得x291313答:打开丙管后42小时可注满水池。13例 11:一项工程甲单独做需要10 天,乙需要12 天,丙单独做需要15 天,甲、丙先做3 天后,甲因事离去,乙参与工作,问还需几天完成? 解: 设还需 x 天,则111015113x11215111或3x(3x )110121510解得x3答:还需10 天完成。3(七)储蓄问题1.顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和, 存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.2.储蓄问题中的量及其关系为:利息=本金×利率×期数本息和=本金 + 利息利息利率100 %本金利息税 =利息×税率(20% )例 12:某同学把 250 元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和252.7 元,求银行半年期的年利率是多少?(不计利息税)[分析 ]等量关系:本息和= 本金×( 1+利率)解: 设半年期的实际利率为X,依题意得方程250( 1+X ) =252.7,解得 X=0.0108所以年利率为0.0108× 2=0.0216答:银行的年利率是21.6%(八)配套问题:这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。例 13:某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母, 每人每小时平均能生产螺栓12 个或螺母 18 个, 应如何分配生产螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母) ? 解: 设生产螺栓的人有x 名,则生产螺母的有28-x 名工人,于是2×12x=18×( 28-x) 即42x=504x=1228-x=16答: 应分配 12 名工人生产螺栓, 16 名工人生产螺母。例 14:机械厂加工车间有85 名工人,平均每人每天加工大齿轮16 个或小齿轮 10 个,已知2 个大齿轮与3 个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天 加工的大小齿轮刚好配套?解: 设分配 x 名工人加工大齿轮,则加工小齿轮的有85-x 名工人,于是16x÷2=10×(85-x) ÷ 334x=850 x=2585-x=60答: 应分配 25 名工人加工大齿轮,60 名工人加工小齿轮。(九)劳力调配问题这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:(1)既有调入又有调出;(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。例 15.某厂一车间有64 人,二车间有56 人。现因工作需要,要求第一车间人数是第二车 间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间?解: 设需从第一车间调x 人到第二车间 ,则2×( 64-x)=56+x即3x=72则x=24答: 需从第一车间调24 人到第二车间 .例 16.学校分配学生住宿,如果每室住8 人,还少 12 个床位,如果每室住9 人,则空出两 个房间。求房间的个数和学生的人数。解: 设房间数为 x 个,则有学生8x+12 人,于是8x+12=9(x-2)解得x=30 则8x+12=252 答:房间数为30 个,学生 252 人。(十)比例分配问题比例分配问题的一般思路为:设其中一份为x ,利用已知的比,写出相应的代数式。 常用等量关系: 各部分之和 = 总量。例 17:甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4: 3;乙、丙之比为6:5, 又知甲与丙的和比乙的2 倍多 12 件,求每个人每天生产多少件?解: 设甲每天生产x 件,则乙每天生产3x 件,丙每天生产45x 件,于是853x+x-12=2×x84解得x=963则x=72 ,45x=608答:甲每天生产96 件,则乙每天生产72 件,丙每天生产60 件 .(十一)年龄问题例 19:兄弟二人今年分别为15 岁和 9 岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的2 倍? 解:设 x 年后,兄的年龄是弟的年龄的2 倍,则 x 年后兄的年龄是15+x,弟的年龄是9+x. 由题意,得2×( 9+x)=15+x18+2x=15+x2x-x=15-18∴x= -3答: 3 年前兄的年龄是弟的年龄的2 倍.(点拨: -3 年的意义,并不是没有意义,而是指以今年为起点前的3 年,是与3?年后具有相反意 义的量)例 20:三位同学甲乙丙,甲比乙大1 岁,乙比丙大2 岁,三人的年龄之和是41,求乙同学 的年龄。解:设 乙同学的年龄为x 岁,则甲的年龄为(x+1)岁,丙同学的年龄为(x-2 )岁,于是x+ (x+1)+(x-2 )= 41即3x=42 x=14答: 乙同学的年龄为14 岁,甲同学的年龄为15 岁,丙同学的年龄为12 岁.(十二)比赛积分问题例 21:某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50 道选择题组成,评分标准规定:每道题 的答案选对得3 分,不选得0 分,选错倒扣1 分。已知某人有5 道题未作,得了103 分, 则这个人选错了8道题。解: 设这个人选对了x 道题目,则选错了45-x 道题,于是3x- (45-x)=1034x=148 解得x=37 则45-x=8答: 这个人选错了8 道题 .例 22:某学校七年级 8 个班进行足球友谊赛,采用胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场 得 0 分的记分制。某班与其他 7 个队各赛 1 场后,以不败的战绩积 17 分,那么该班共胜了 几场比赛?解: 设该班共胜了x 场比赛,则3x+( 7-x)=17解得x=5答: 该班共胜了 5 场比赛 .(十三)方案选择问题例 23:某家电商场计划用9 万元从生产厂家购进50 台电视机.已知该厂家生产3?种不同型号的电视机,出厂价分别为A 种每台 1500 元, B 种每台 2100 元,C 种每台 2500 元.(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50 台,用去9 万元,请你研究一 下商场的进货方案.(2)若商场销售一台A 种电视机可获利150 元,销售一台B 种电视机可获利200 元, 销售一台 C 种电视机可获利250 元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销 售时获利最多,你选择哪种方案?解: 按购 A,B 两种, B,C 两种, A ,C 两种电视机这三种方案分别计算, 设购 A 种电视机 x 台,则 B 种电视机 y 台.(1)①当选购A ,B 两种电视机时, B 种电视机购( 50-x )台,可得方程1500x+2100(50-x )=90000即5x+7(50-x )=3002x=50 x=2550-x=25②当选购 A ,C 两种电视机时, C 种电视机购( 50-x)台, 可得方程1500x+2500(50-x)=900003x+5 (50-x)=1800 x=3550-x=15③当购 B,C 两种电视机时, C 种电视机为( 50-y)台. 可得方程2100y+2500( 50-y)=9000021y+25(50-y)=900,4y=350,不合题意由此可选择两种方案:一是购A,B 两种电视机25 台;二是购A 种电视机 35 台, C种电视机 15 台.(2)若选择( 1)中的方案①,可获利150×25+250×15=8750(元) 若选择( 1)中的方案②,可获利150×35+250×15=9000(元)9000>8750故为了获利最多,选择第二种方案.(十四)古典数学问题例 24:100 个和尚 100 个馍,大和尚每人吃两个,小和尚两人吃一个,问有多少大和尚? 多少小和尚?解: 设有大和尚 x 人,小和尚100-x 人,则2x+ 100x =1002解得x= 100 ≈333答: 约有大和尚 33 人,小和尚 67 人。例 25:有若干只鸡和兔子,他们共有88 个头, 244 只脚,鸡和兔各有多少只? 解: 设有鸡 x 只,兔 88-x 只,则2x+4(88-x)=244 x=54则88-x=34答: 有鸡 54 只,兔 34 只.(十五)增长率问题例 26:民航规定:乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20 千克行李,超过部分每千克 按飞机票价的1.5%购买行李票。一名旅客带了35 千克行李乘机,机票连同行李费共付了1323 元,求该旅客的机票票价。解: 设该旅客的机票票价为x 元,则x+15×1.5%x=13231.015x=1323 x=1303答: 该旅客的机票票价为1303 元.(十六)浓度问题常用等量关系式:溶 质 的 质 量 浓 度.溶 液 的 质 量例 27:有含盐 20%的盐水 5 千克,要配制成含盐8%的盐水,需加水7.5千克。某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175 千克,要把它配成浓度为25%的硫酸,需要加入浓 度为 50%的硫酸多少千克?解: (1)设需加水 x 千克,则520%8%5x解得x=7.5(2)设需要加入浓度为50%的硫酸 y 千克, 则17515 %17550 % yy25 %解得y=70故需要加入浓度为50%的硫酸 70 千克。例 28:有甲、乙两种铜和银的合金,甲种合金含银25%,乙种合金含银37.5%,现在要熔 制含银 30%的合金 100 千克,两种合金应各取多少?解: 设取甲种合金x 千克,则需取乙种合金100-x 千克,于是25 % x37 .5%( 100x)10030 %解得x=60则100-x=40答:应取甲种合金60 千克,则需取乙种合金40 千克 .
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