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全等三角形证明培优题.doc

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全等 三角形 证明 培优题
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-_模块一:基本辅助线1. 如图,已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD,求证:AD=BC.2. 如图,AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点,(1)求证:AF⊥CD.(2)在你连接BE后,还能得出什么新的结论?请写出三个(不要求证明)3. 如图,∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点,求证:AM⊥CD.4.如图,平面上有一边长为2的正方形ABCD,O为对角线的交点,正方形OEFG的顶点与O重合,OE、OG分别与正方形ABCD的边交于M、N两点.①如图(1),当OE⊥AB时,四边形OMBN的面积为___;②如图(2),当正方形OEFG绕点O旋转时,四边形OMBN的面积会发生变化吗?试证明你的结论.5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF,EF交BC于G.求证:EG=FG。6.如图,在△ABC中,AB=AC,E在线段AC上,D在AB的延长线,连DE交BC于F,过点E作EG⊥BC于G.(1)若∠A=50°,∠D=30°,求∠GEF的度数;(2)若BD=CE,求证:FG=BF+CG.模块二:母子型1已知:如图,点C为线段AB上一点,△ACM, △CBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM交CN于点F.(1)求证:AN=BM;(2)求证:△CEF为等边三角形2.如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90°,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90°,连结AE、BF。求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF。3.如图1,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE;(1)当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时,AG=CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(2)当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M.①求证:AG⊥CH;②当AD=4,DG=时,求CH的长.4.如图,已知△ABD、△AEC都是等边三角形,AF⊥CD于点F,AH⊥BE于点H,问:(1)BE与CD有何数量关系?为什么?(2)AF、AH有何数量关系?为什么?5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.(2009•丰台区一模)如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为______,线段CF、BD的数量关系为______;②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由;(2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF⊥BC(点C、F不重合),并说明理由.模块三 倍长中线(1) 倍长中线 (2)倍长类中线1. 已知:如图,△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,求证:AB=AC.2.已知,如图△ABC中,AC>AB,AM是BC边上的中线,求证:(AC-AB)<AM<(AB+AC).3. 如图所示,已知△ABC中,AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上,DE=CD,EF=AC,求证:EF//AB.4.如图,AD是△ABC的中线,E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF 求证:BE+CF>EF.4. 如图,已知在△ABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB到D,使BD=AB,连接CD.求证:CE=CD.5. 证明:直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。7.分别以△ABC的边AB,AC为边,向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,M为BC的中点,求证:AM⊥EG.8如图,△ABC中,AB=4,AC=7,M是BC的中点,AD平分∠BAC,过M作MF∥AD,交AC于F,求FC的长.9.在△ABC中,AM是BC边上的中线,(1)求证:AB+AC>2AM;(2)若AB=5,AC=9,求AM的取值范围。10. △ABC中,AC=8,BC边上的中线AD=6,则边AB的取值范围是 。11. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E为BC的中点,过点E作EF∥AD交AB于点G,交CA的延长线于点F.求证:BG=CF.12. 如图,已知在△ABC中,AD平分BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF=EF,求证:AC=BE.13. 如图所示,∠BAC=∠DAE=90°,M是BE的中点,AB=AC,AD=AE,求证:(1)CD=2AM,(2)AM⊥CD.14. 在△ABC中,分别以△ABC的边AB,AC为边,向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,点M为BC中点,(1)求证:AM丄EG;(2)求证:EG=2AM.模块四、截长补短1. 截长:截取较长线段,使其和较短线段长度相等。2. 补短:延长较短线段,使其和较长线段长度相等。适用范围:条件或题目中出现“a+b=c”或“a-b=c”目的:构造全等三角形1. 如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证:CD=BD+AB.2.如图,在正方形ABCD中,M、N分别是BC、CD上的点,∠MAN=45°.求证:MB+ND=MN.3、 如图所示,已知△ABC中,AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上,DE=CD,已知ABCD是正方形,E、F分别在CB、CD的延长线上,∠EAF=135°,求证:BE+DF=EF.4. 如图,五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°.连接AD.(1)同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法,请你在图中作出△ABC绕着点A按逆时针旋转“∠BAE的度数”后的像;(2)试判断AD是否平分∠CDE,并说明理由.5.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=180°,AB=AD,EF分别是线段BC、CD上的一点,且BE+FD=EF.求证:∠EAF=∠BAD.6. 已知:如图,在正方形ABCD中,M在CB延长线上,N在DC延长线上,∠MAN=45°,AH⊥MN,垂足为H,求证:(1)MN=DN-BM;(2)AH=AB.7.已知:如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.求证:BE+DF=AE.8. 如图,△ABC是正三角形,∠ADC=120°,求证:BD=AD+CD.模块五 角平分线的性质与判定1. 如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠BAC的平分线.2. 如图,已知△ABC的周长是22,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC的面积是______.3.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,那么∠C=(     )度.4.已知,如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.求证:BE+DF=AE.5.如图△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.探究:(1)线段BM、MN、NC之间的数量关系.(2)若点M、N分别是AB、CA延长线上的点,其它条件不变,再探线段BM、MN、NC之间的数量关系,在图中画出图形.并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明.6.如图:在△ABC中,∠C=90°, AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF; 说明:(1)CF=EB. (2)AB=AF+2EB.7.如图,已知:△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D.求证:AD是∠BAC的平分线.模块六、角平分线的四大基本模型1. 角平分线+平分线,等腰三角形必呈现2. 点垂线,垂两边,线等全等都出现3. 角平分线+垂线,中点全等必可见4. 角分线,分两边,对称全等要记全1. 如图,在△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB.DE//AB,FD//AC,如果BC=6,求△DEF的周长2.△ABC中.(1)如图1,若∠BAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。(2) 如图2,若∠BAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E,过E作EF⊥ AB,垂足为F,猜想2BF、AB、AC的关系并证明。3.如图,△ABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,你能说明DC⊥AC吗?4.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求证:(1)BD·BE=AB·BC;(2)CE=BD.5.如图,已知△ABC中,AD平分∠BAC.∠C=20°,AB+BD=AC,则∠B的度数是______.6.已知,等腰△ABC,∠A=100°,∠ABC的平分线交AC于D,BD=BE,(1)求∠DEC;(2)求证:AD=EC.7.如图,AD是△ABC的角平分线,H,G分别在AC,AB上,且HD=BD.(1)求证:∠B与∠AHD互补;(2)若∠B+2∠DGA=180°,请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系,并加以证明.8.(1)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,P是AD上的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.(2)如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,P是AD上的任意一点,且AB>AC,求证:AB-AC>PB-PC.9.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.(1)求证:BE=CF;(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:①ME⊥BC;②DE=DN. 10.(1)如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.判断DE=DB+EC是否成立?为什么?(2)如图,若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点,其他条件不变,请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系?证明你的猜想.11. 如图,在△ABC中,BE是∠ABC的角平分线,AD⊥BE,垂足为D,求证:∠2=∠1+∠C.12. 如图,CD为Rt△ABC斜边上的高,∠BAC的平分线分别交CD、BC于点E、F.且FG⊥AB,垂足为G,求证:CE=FG.模块七 垂直平分线1.如图,已知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点,若AB=12cm,BC=10cm,∠A=50°,求△BCE的周长和∠EBC的度数。2.电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求,发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)3如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.(3) 若∠ABC=50°,求∠F.4.已知:如图AB=CD,线段AC的垂直平分线于线段BD的垂直平分线相交于点E,求证:∠ABE=∠CDE.模块八 大角夹半角模型特征:组成大角的两条线段相等,大角与半角具有公共顶点。方法:旋转某个图形使大角的等线段重合在一起,利用全等三角形求解。1. 操作:如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.探究:线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明.①AN=NC(如图②);②DM∥AC(如图③).附加题:若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其它条件不变,再探线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,并说明理由. 2. 如图,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=∠DAB.(1)试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想(2) 过点A作AM⊥EF于点M,证明EF=BE+DF;(3) 试猜想AM与 AB之间的数量关系,并证明你的猜想。3. 如图①,在正方形ABCD中,E为CD上一动点,连接AE交对角线BD于点F,过点F作FG⊥AE交BC于点G.(1)求证:AF=FG;(2)如图②,连接G,当BG=3,DE=2时,求EG的长.4.如图所示,△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点做一个60°的∠MDN,点M、N分别在AB、AC上,求△AMN的周长5.已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且∠FCE=∠BCD。(1)求证:BF=EF-ED;(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.模块九 K字模型1.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。(1) 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明。2.在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB、AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE、BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,试证明:①BG=CE ②BG⊥CE ③AM是△AEG的中线 ④.3.平面内有一等腰直角三角形(∠ACB=90°)和一直线MN。过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F,当点E与点A重合时(如图1),易证:AF+BF=2CE,当三角板绕点A顺时针旋转转到图2、图3的位置时,上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,不需证明。
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