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人教版 初二 数学 精编 讲义 教师版
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未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来艺术学校八年级数学培优班假期讲义姓名:____ _______学校:_____________班级:_____________ 第十一章 全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法:若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,记作 “△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;4. 寻找对应元素的方法(1)根据对应顶点找如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。(2)根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图(1),DBOC≌DEOD,DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的;‚旋转 如图(2),DCOD≌DBOA,DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的;ƒ平移 如图(3),DDEF≌DACB,DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法:(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理(2) 推论:角角边定理6. 注意问题:(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等;(2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA;b :有两边和其中一角对应相等,即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用(1) 证明线段(或角)相等【例1】如图,已知AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC分析:由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE,而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中,因此先证明ΔACD≌ΔABE,再证明ΔDBF≌ΔECF,既可以得到BF=FC.证明:在ΔACD和ΔABE中, ∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)∴ ∠B=∠C(全等三角形对应角相等)又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB-AD=AC-AE 即 BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∴ ΔDBF≌ΔECF (AAS)∴ BF=FC (全等三角形对应边相等)(2)证明线段平行【例2】已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=BF,AF=CE.求证:AB∥CD分析:要证AB∥CD,需证∠C=∠A,而要证∠C=∠A,又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC,DE⊥AC,知∠DEC=∠BFA=90°,且已知DE=BF,AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备,故可先证两个三角形全等,再证∠C=∠A,进一步证明AB∥CD.证明:∵ DE⊥AC,BF⊥AC (已知)∴ ∠DEC=∠BFA=90° (垂直的定义)在ΔABF与ΔCDE中,∴ ΔABF≌ΔCDE(SAS)∴ ∠C=∠A (全等三角形对应角相等)∴ AB∥CD (内错角相等,两直线平行)(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等【例3】如图,在△ ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE. 求证:CD=2CE分析:(ⅰ)折半法:取CD中点F,连接BF,再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。证明:取CD中点F,连接BF ∴ BF=AC,且BF∥AC (三角形中位线定理)∴ ∠ACB=∠2 (两直线平行内错角相等)又∵ AB=AC∴ ∠ACB=∠3 (等边对等角)∴ ∠3=∠2在ΔCEB与ΔCFB中,∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)∴ CE=CF=CD (全等三角形对应边相等)即CD=2CE (ⅱ)加倍法证明:延长CE到F,使EF=CE,连BF.在ΔAEC与ΔBEF中,∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)∴ AC=BF, ∠4=∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)∵ ∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD (等角的补角相等)在ΔCFB与ΔCDB中,∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS)∴ CF=CD即CD=2CE说明:关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理,取AC中点F,连BF(如图)(B为AD中点是利用这个办法的重要前提),然后证CE=BF.(4)证明线段相互垂直【例4】已知:如图,A、D、B三点在同一条直线上,ΔADC、ΔBDO为等腰三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。分析:本题没有直接给出待证的结论,而是让同学们先根据已知条件推断出结论,然后再证明所得出的结论正确。通过观察,可以猜测:AO=BC,AO⊥BC.证明:延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD(全等三角形对应边、对应角相等)∵ ∠AOD=∠COE (对顶角相等)∴ ∠COE+∠OCE=90o∴ AO⊥BC5、中考点拨:【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF=DE,连结FC.求证:∠F=∠A.分析:证明两个角相等,常证明这两个角所在的两个三角形全等,在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中,但由已知可证得EF∥AC,因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED,只要证△EBD≌△FCD即可.证明:∵AB=AC,∴∠ACB=∠B,∵EB=ED,∴∠ACB=∠EDB.∴ED∥AC.∴∠BED=∠A.∵BE=EA.∴BD=CD.又DE=DF,∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF,∴∠BED=∠F.∴∠F=∠A.说明:证明角(或线段)相等可以从证明角(或线段)所在的三角形全等入手,在寻求全等条件时,要注意结合图形,挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。【例2】如图,已知△ ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连接CE、DE.求证:EC=ED 分析:把已知条件标注在图上,需构造和△AEC全等的三角形,因此过D点作DF∥AC交BE于F点,证明△AEC≌△FED即可。证明:过D点作DF∥AC交BE于F点∵ △ ABC为等边三角形∴ △BFD为等边三角形∴ BF=BD=FD∵ AE=BD∴ AE=BF=FD∴ AE-AF=BF-AF 即 EF=AB∴ EF=AC在△ ACE和△DFE中,∴ △AEC≌△FED(SAS)∴ EC=ED(全等三角形对应边相等)题型展示:【例1】如图,△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB=AC+CD.分析:在AB上截取AE=AC,构造全等三角形,△AED≌△ACD,得DE=DC,只需证DE=BE问题便可以解决.证明:在AB上截取AE=AC,连结DE.∵ AE=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴ △AED≌△ACD,∴ DE=DC,∠AED=∠C.∵ ∠AED=∠B+∠EDB,∠C=2∠B,∴ 2∠B=∠B+∠EDB.即 ∠B=∠EDB.∴ EB=ED,即ED=DC,∴ AB=AC+DC.剖析:证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种,一种是截长法(即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条,再证余下的部分等于另一条短线段);如作AE=AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性,构造全等三角形,另一种方法是补短法(即延长一条短线段等于长线段,再证明延长的部分与另一条短线段相等),其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题,实际上仍是构造全等三角形,这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容.【实战模拟】1. 下列判断正确的是( )(A)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等(B)有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等(C)有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等(D)有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知:如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.3. 如图,已知C为线段AB上的一点,DACM和DCBN都是等边三角形,AN和CM相交于F点,BM和CN交于E点。求证:DCEF是等边三角形。4.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线。求证:AD<(AB+AC) 5. 如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边上AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H点,交AE于G.求证:BD=CG.【试题答案】1. D2.证明:∵ AO平分∠ODB,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CE交于点O,∴ OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°, ∠BOD=∠COE。∴ △BOD≌△COE(ASA).∴OB=OC3. 分析 由ÐACM=ÐBCN=60°,知ÐECF=60°,欲证DCEF是等边三角形,只要证明DCEF是等腰三角形。先证DCAN≌DMCB,得Ð1=Ð2.再证DCFN≌DCEB,即可推得DCEF是等边三角形的结论。证明:在DCAN和DMCB,∵AC=MC,CN=CB,ÐCAN=ÐMCB=120°,∴DACN≌DMCB中, ∴ ÐFCB和DCEB中,∵ÐFCN=ÐECB=60°,Ð1=Ð2,CN=CB,∴DCFN≌DCEB,∴CF=CE,又∵ÐECF=60°, ∴DCEF是等边三角形.4. 分析: 关于线段不等的问题,一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论,由于AB、AC、AD不在同一个三角形,应设法将这三条线段转化在同一个三角形中,也就是将线段相等地转化,而转化的通常方法利用三角形全等来完成,注意AD是BC边上的中线,延长AD至E,使DE=AD,即可得到△ACD≌△EBD.证明:延长AD到E,使DE=AD,连结BE在DACD与DEBD中 ∴ DACD≌DEBD(SAS) ∴ AC=EB(全等三角形对应边相等)在DABE中,AB+EB>AE(三角形两边之和大于第三边)∴ AB+AC>2AD(等量代换) 说明:一般在有中点的条件时,考虑延长中线来构造全等三角形。5.分析:由于BD与CG分别在两个三角形中,欲证BD与CG相等,设法证△CGE≌△BDF。由于全等条件不充分,可先证△AEC≌△CFB证明:在Rt△AEC与Rt△CFB中,∵AC=CB,AE⊥CD于E,BF⊥C交CD的延长线于F∴∠AEC=∠CFB=90°又∠ACB=90°∴ ∠CAE=90°-∠ACE=∠BCF∴ Rt△AEC≌Rt△CFB∴CE=BF在Rt△BFD与Rt△CEG中,∠F=∠GEC=90°,CE=BF,由∠FBD=90°-∠FDB=90°-∠CDH=∠ECG,∴ Rt△BFD≌Rt△CEG∴ BD=CG第十二章 轴对称1.如果一个图形沿着某一条直线对折,对折的两部分能完全重合,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴。这时,我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称。2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够和另一个图形完全重合,那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点,也叫做对称点。注意:1、 一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条;2、 两个图形成轴对称和轴对称图形的概念,前提不一样,前者是两个图形,后者是一个图形。3、 成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。题型一:轴对称图形的判断【例1】如图,我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案,下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是(        )                ①       ②           ③            ④  A.①②③            B.②③④            C.③④①            D.④①②分析:图形沿一条直线折叠-----相互重合-----轴对称图形------判断举一反三:1、下列图形中,不是轴对称图形的是(        )  A.角            B.等边三角形            C.线段        D.不等边三角形2、下列图形中,不是轴对称图形的是(  ) A. 两条相交直线 B. 线段C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段3、下列英文字母属于轴对称图形的是( )A、N B、S C、L D、E4、下列说法中,正确的是(        )  A.两个全等三角形组成一个轴对称图形  B.直角三角形一定是轴对称图形  C.轴对称图形是由两个图形组成的  D.等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形题型二:找轴对称图形的对称轴【例2】等腰三角形的对称轴_______条.举一反三:1、下列说法中,正确的个数是(  )(1)轴对称图形只有一条对称轴,(2)轴对称图形的对称轴是一条线段,(3)两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形,(4)全等的两个图形一定成轴对称,(5)轴对称图形是指一个图形,而轴对称是指两个图形而言。(A)1个  (B)2个  (C)3个  (D)4个2、轴对称图形的对称轴的条数(  )(A)只有一条 (B)2条  (C)3条  (D)至少一条3、正五角星的对称轴的条数是(        )  A.1条         B.2条          C.5条         D.10条4、下列图形中有4条对称轴的是(        )  A.平行四边形            B.矩形         C.正方形            D.菱形常见图形及其对称轴:名称是否是轴对称图形对称轴有几条对称轴的位置线段是2条垂直平分线或线段所在的直线角是1条角平分线所在的直线长方形是2条对边中线所在的直线正方形是4条对边中线所在的直线和对角线所在的直线圆是无数条直径所在的直线平行四边形不是0条小结:轴对称轴对称图形区别①指两个图形而言;②指两个图形的一种形状与位置关系。①对一个图形而言;②指一个图形的特殊形状。联系①都有一条直线,都要沿这条直线折叠重合;②把两个成轴对称的图形看成一个整体,就是一个轴对称图形;反过来,把轴对称图形沿对称轴分成两部分,这两部分关于这条直线成轴对称。1、线段垂直平分线的概念:(1)垂直于一条线段,并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线;(2)线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。2、线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。注意:(1)“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是:证明两条线段相等;(2“到段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。”的作用是:判定一点在线段的垂直平分线上;(3)“如果到两点到一条线段的两个端点的距离相等,那么,这两点所在直线是该线段的垂直平分线。”的作用是:垂直平分线的判定。题型一:线段垂直平分线的性质【例3】 如图1,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长. 图-1点评:此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时,(如图2),对应的是△ACE的周长,它的周长也等于AC+BC.图形变化,但结论不变. 图-2举一反三:1、如图1,在△ABC中, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若∠BEC=70°,则∠A=?点评:此题变式求角的计算方法,应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论:∠AEC=2∠B.【例4】图-3如图3,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求△AEN的周长.(2) 求∠EAN的度数.(3) 判断△AEN的形状.举一反三:1.如图4,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求△AEN的周长.(2) 求∠EAN的度数.(3) 判断△AEN的形状. 图-42.如图,己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点,若AB=12cm,BC=10cm,∠A=49º,求△BCE的周长和∠EBC的度数.【例5】如图,D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,若∠ABC=50°求∠ADC举一反三:1.如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,求∠CBE2.如图,△ABC内有一点D,且D为直线AB、AC垂直平分线的交点,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是( )A.100° B.80° C.70° D.50°题型二:线段垂直平分线的判定【例6】如图所示,Rt△ABC中,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F。求证:BE垂直平分CD。(用定义法和判定定理法两种方法)【经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗?【例7】 如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,AD平分∠BAC,且DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G,求证:AD垂直平分EF。举一反三:如图所示,AB>AC,的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作于E,,求证:BF=CG。1、轴对称的性质:(1)关于某条直线对称的图形是全等形;(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;(4)如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么,这两个图形关于这条直线对称。2、轴对称作(画)图:(1)画图形的对称轴(2)如果一个图形关于某直线对称,那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。(3)画某点关于某直线的对称点的方法(4)画已知图形关于某直线的对称图形注意:(1)全等的图形不一定是轴对称的,轴对称的图形一定是全等的。(2)性质(4)的作用是判定两个图形是否关于某直线对称,它是作对对称图形的主要依据。【例8】如图,ΔABC和ΔA’B’C’关于直线对称,下列结论中: ①ΔABC≌ΔA’B’C’; ②∠BAC’≌∠B’AC; ③l垂直平分CC’; ④直线BC和B’C’的交点不一定在l上,正确的有(   ) A.4个         B.3个          C.2个         D.1个举一反三:1、如图,ΔABC与ΔA/B/C/关于直线l对称,则∠B的度数为( )FEDCBAA.50° B.30° C.100° D.90°2、如图六边形ABCDEF是轴对称图形,CF所在的直线是它的对称轴,若∠AFC+∠BCF=150°,则∠AFE+∠BCD的大小是(  ).A.150°  B.300°  C.210° D.330°.【例9】如图,点P在∠AOB内,点M、N分别是点P关于AO的对称点、BO的对称点,若△PEF的周长为15,求MN的长等腰三角形专题讲解【知识精读】(-)等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理:等腰三角形有两边相等; 定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。(二)等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。) 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定。【分类解析】【例1】如图,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。求证:M是BE的中点。 分析:欲证M是BE的中点,已知DM⊥BC,所以想到连结BD,证BD=ED。因为△ABC是等边三角形,∠DBE=∠ABC,而由CE=CD,又可证∠E=∠ACB,所以∠1=∠E,从而问题得证。 证明:因为三角形ABC是等边三角形,D是AC的中点 所以∠1=∠ABC 又因为CE=CD,所以∠CDE=∠E 所以∠ACB=2∠E 即∠1=∠E 所以BD=BE,又DM⊥BC,垂足为M 所以M是BE的中点 (等腰三角形三线合一定理)【例2】如图,已知:中,,D是BC上一点,且,求的度数。 分析:题中所要求的在中,但仅靠是无法求出来的。因此需要考虑和在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形,构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解:因为,所以 因为,所以; 因为,所以(等边对等角) 而 所以 所以 又因为 即 所以 即求得 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用,这一点在后边的解题中将进一步体现。 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。 3. 此题是利用方程思想解几何计算题,而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 【例3】已知:如图,中,于D。求证:。 分析:欲证角之间的倍半关系,结合题意,观察图形,是等腰三角形的顶角,于是想到构造它的一半,再证与的关系。 证明:过点A作于E, 所以(等腰三角形的三线合一性质) 因为 又,所以 所以(直角三角形两锐角互余) 所以(同角的余角相等) 即 说明: 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线; 2. 对线段之间的倍半关系,常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法,对角间的倍半关系也同理,或构造“半”,或构造“倍”。因此,本题还可以有其它的证法,如构造出的等角等。4、中考题型: 1.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形有( ) A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 分析:由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个,故选择C。 2.)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分别是垂足。求证:AE=AF。 证明:因为,所以 又因为 所以 又D是BC的中点,所以 所以 所以,所以 说明:证法二:连结AD,通过 证明即可5、题形展示:【例1】如图,中,,BD平分。求证:。 分析一:从要证明的结论出发,在BC上截取,只需证明,考虑到,想到在BC上截取,连结DE,易得,则有,只需证明,这就要从条件出发,通过角度计算可以得出。 证明一:在BC上截取,连结DE、DF 在和中, 又 而 即分析二:如图,可以考虑延长BD到E,使DE=AD,这样BD+AD=BD+DE=BE,只需证明BE=BC,由于,只需证明易证,,故作的角平分线,则有,进而证明,从而可证出。 证明二:延长BD到E,使DE=AD,连结CE,作DF平分交BC于F。 由证明一知: 则有 DF平分 ,在和中 ,而 在和中, 在中, 说明:“一题多证”在几何证明中经常遇到,它是培养思维能力提高解题水平的有效途径,读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会,进一步提高自身的解题能力。【实战模拟】 1. 选择题:等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为( ) A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不对 2. 如图,是等边三角形,,则的度数是________。3. 求证:等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上. 4. 中,,AB的中垂线交AB于D,交CA延长线于E,求证:。【试题答案】 1. B 2. 分析:结合三角形内角和定理,计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解:因为是等边三角形 所以 因为,所以 所以 在中,因为 所以,所以 所以 3. 分析:首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。已知:如图,在中,,D、E分别为AC、AB边中点,BD、CE交于O点。求证:点O在BC的垂直平分线上。 分析:欲证本题结论,实际上就是证明。而OB、OC在中,于是想到利用等腰三角形的判定角等,那么问题就转化为证含有的两个三角形全等。证明:因为在中,所以(等边对等角)又因为D、E分别为AC、AB的中点,所以(中线定义)在和 中,所以所以(全等三角形对应角相等)。所以(等角对等边)。即点O在BC的垂直平分线上。说明:(1)正确地理解题意,并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB=OC”是关键的一点。(2)实际上,本题也可改成开放题:“△ABC中,AB=AC,D、E分别为AC、AB上的中点,BD、CE交于O。连结AO后,试判断AO与BC的关系,并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。4. 分析:此题没有给出图形,那么依题意,应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系,观察图形,考虑取BC的中点。证明:过点A作BC边的垂线AF,垂足为F。31在中,所以 所以(等腰三角形三线合一性质)。所以(邻补角定义)。所以又因为ED垂直平分AB,所以(直角三角形两锐角互余)。(线段垂直平分线定义)。又因为(直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半)。所以在和中,所以所以即。说明:(1)根据题意,先准确地画出图形,是解几何题的一项基本功;(2)直角三角形中角的特殊关系,沟通了边之间的数量关系,为顺利证明打通了思路。第十三章 实数【知识要点】一、实数:有理数和无理数统称为实数。1、实数有以下两种分类方法: (1)按定义分类 (2)按大小分类2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样,例如的相反数为,倒数为,的绝对值为。3、实数与数轴上点的关系: 实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。4、实数的运算: (1)关于有理数的运算律和运算性质,在实数范围内仍适用。 (2)涉及无理数的计算,可根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行计算。二、二次根式:一般地,式子叫做二次根式,其中叫做被开方数。1、二次根式的性质: (1);(2); 2、最简二次根式: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式。即被开方数不含有分母。 (2)被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。3、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫同类二次根式。4、二次根式的运算:(1).二次根式的运算法则: ; ; ; ;(2).分母有理化(3).二次根式的混合运算三、非负性及应用:1、非负数包括正数和零2、常见的非负数有实数的绝对值,实数的偶次方,非负实数的算术平方根等,用符号表示如下: ①若a是实数,则; ②若a是实数,则(n为正整数),当n=1时,a2≥0; ③(n为正整数)在实数范围内有意义,则,此时;3、非负数有如下性质: ①有限个非负数之和是非负数;②有限个非负数之和是零,则每一个非负数是零。【典例解析】1、无理数的识别与估算方法例1 、(1)在实数3.14,,,,,0.10110111011110…,π,中,哪些是有理数,哪些是无理数?(2)估算的值( )A.在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间2、实数的大小比较方法例2、(1)比较大小:7__________(填“”“”或“” ) (2)已知,,则、的大小关系为_________(3)比较大小:当实数时,_______.(填“”或“” )3、实数有数轴的关系例3、如右图:数轴上点A表示的数为x,则x2-13的立方根是( )A.-13 B.--13 C.2 D.-24、实数的运算例4、(1);(2);(3); (4)。5、实数性质的使用例5、(1)化简: ; (2)实数a,b在数轴上所对应的点的位置如图所示,则2a___________0;a+b__________0;-|b-a|________0;|2a|-|a+b|=________。 例6、(1)已知,求的值。(2)已知的整数部分为,小数部分为,则=________【课堂检测】1、在中,属于有理数的是 _____属于无理数的是 ___2、(1) ; 。 (2) 。 (3)若= 。 (4)计算 。3、比较大小(1) (2) 。 4、下列语句中不正确的是( ) A.无理数是带根号的数,其根号下的数字开方开不尽; B.8的立方根是±2; C.绝对值等于的实数是 D.每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。 5、与相乘,结果为1的数是( ) A.B.C.D.6、下列计算正确的是( ) A B C.D.7、数轴上表示实数的点在表示的点的左边,则式子的值是( ) A.正数B.-1C.小于-1D.大于-18、化简,甲、乙两同学的解法如下:甲:; 乙:,对于他们的解法,正确的是( ) A.甲、乙的解法都正确B.甲正确、乙不正确C.甲、乙的解都错误 D.正确、甲不正确 9、计算或化简:(1); (2); (3);(4); (5)已知,求(6)已知的值。10、已知y=+18,求代数式的值。11、细心观察右图和认真分析下列各式,然后解答问题:, ;, ;, ;……(1)请用含的(为正整数)的等式表示上述变化的规律;(2)推算出 , ; , ;(3)求出的值。第十四章 一次函数变化的世界 一次函数函数 图像性质 一元一次方程一元一次不等式 二元方程组一 函数在某变化过程中,存在 个变量x、y,y随x的变化而发生变化,对于x在其取值范围内,每一个确定的值,y都有 的值与之对应,我们称y是x的函数。练习:函数y=中自变量的取值范围是__,y=中x的取值范围是 二 一次函数和正比例函数1.概念: 若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的 (x为自变量),特别地,当b=0时,称y是x的 .(1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的 来确定.(2)一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x的次数为1,一次项系数k必须是不为零的常数,b可为任意常数.练习:已知函数;(1)若是一次函数,应满足什么条件?(2)若是正比例函数,应满足什么条件?2、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.此直线与y轴的交点( ),与x轴的交点( ).画正比例函数y=kx的图象时,只要描出点(0, ),(1, )即可.3、一次函数性质(1)性质函数kb位置Y随x的变化草图(2)点P(x0,y0)与直线y=kx+b的图象的关系A.如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;B.如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点必在函数的图象上.(3)确定正比例函数及一次函数表达式的条件A.由于正比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值.B.由于一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.4.一次函数与方程(不等式)(1). 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系,解决此类问题关键是找到函数y=kx+b(k≠0,k,b为常数)与x轴的交点( ),直线y=kx+b在x轴的上方,也就是函数的值大于零,x的值是不等式 (k≠0)的解;在x轴的下方也就是函数的值小于零,x的值是不等式 (k≠0)的解;在x轴上也就是函数值等于零,x的值是方程 的解。(2) 一次函数与二元一次方程组的关系 两个函数的交点就是对应的二元一次方程组的解,此时两个函数的值 ;图像在上方的函数的值较 。热身训练1.下列各式y是x一次函数的为( )A y=1x+3 B y=x2+2x+5 C y=2x D y=2x+35 E y=a+3F 2.如图的四个图象中,不表示某一函数图象的是( )3.函数y=-x的图象是一条过原点及(2,___ )的直线,这条直线经过第_____象限,当x增大时,y随之________ 4. 函数y=2x-4,与x轴的交点是 ,当x____,y<0;.当x_______,y>0。5.函数y=-3x+5上取x1=1,x2=2,比较大小:y1_______y2;函数y=(m2+1)x+2 (m为常数)有x1=—1,x2=2,比较大小y1_______y2; 6.某一次函数图像过一、三、四象限,则:k___0,b___07.如右图,判断那些点属于该直线A.(1,3)B.(-1,1)C.(2,-2)D.(-12,-1)基本训练一、 填空题 1. 小华用500元去购买单价为3元的一种商品,剩余的钱y(元)与购买这种商品的件数x(件)之间的函数关系是______________, x的取值范围是__________ 2. 函数y=-2x+4的图象经过_________象限,它与两坐标轴围成的三角形面积为_________3. 一次函数y=kx+b的图象经过点(1,5),交y轴的点的纵坐标是3,则k=____,b=____ 4.若点(m,m+3)在函数y=- x+2的图象上,则m=____ 5、直线y=3-9x与x轴的交点坐标为__________,与y轴的交点坐标为________. 6、若直线y=kx+b平行直线y=3x+4,且过点(1,-2),则k= ;b= . 二、选择题1.一次函数y=x-1的图像不经过(   )A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限2.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图像过第二、四象限,则(    )A.y随x的增大而减小           B.y随x的增大而增大C.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小D.不论x如何变化,y不变3.结合正比例函数y=4x的图像回答:当x>1时,y的取值范围是(  )  A.y=1     B.1≤y<4     C.y=4    D.y>44.如右图,判断直线k,b值范围A. k>0,b<0 B. k<0,b<0 C. k>0,b>0 D. k<0,b>0三、 解答题1.已知y与x-2成正比例关系,且当x=3时,y=6,求函数的表达式2、已知一次函数的图象经过点A(-1,3)和点(2,-3),(1)求一次函数的解析式;(2)判断点C(-2,5)是否在该函数图象上。3.若函数y=4x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为8,求解析式4、已知一次函数y =(m + 4)x + m + 2(m为整数)的图象不经过第二象限,求m的范围 ; 5、一次函数y = kx + b的图象经过点A(0,2),B(-1,0)若将该图象沿着y轴向上平移2个单位,则新图象所对应的函数解析式是什么?6.已知2y-3与3x+1成正比例,且x=2时,y=5,(1)求y与x之间的函数关系式,并指出它是什么函数;(2)若点(a ,2)在这个函数的图象上,求a .7、 一个一次函数的图象,与直线y=2x+1的交点M的横坐标为2,与直线y=-x+2的交点N的纵坐标为1,求这个一次函数的解析式8、 某单位为减少用车开支准备和一个体车主或一家出租车公司签订租车合同.设汽车每月行驶xKm,个体车主的月费用是y1元,出租车公司的月费用是y2元,y1、y2分别与x之间的函数关系图像,如图,观察图像并回答下列问题;(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租用公司的车更省钱(2)每月行驶的路程在什么范围内时,租两家的车的费用相同?(3)如果这个单位估计每月行驶的路程在2300Km,那么这个单位租哪家的车比较合算?综合训练1、如图,已知直线l1经过点A(-1,0)与点B(2,3),另一条直线l2经过点B,且与x轴交于点P(m,0).(1)求直线l1的解析式;(2)若△APB的面积为3,求m的值. 图22、为了鼓励市民节约用水,自来水公司特制定了新的用水收费标准,每月用水量,x(吨)与应付水费(元)的函数关系如图2.(1)求出当月用水量不超过5吨时,y与x之间的函数关系式;(2)某居民某月用水量为8吨,求应付的水费是多少? 3、近两年某地外向型经济发展迅速,一些著名跨国公司纷纷落户该地新区,对各类人才需求不断增加,现一公司面向社会招聘人员,其信息如下:[信息一]招聘对象:机械制造类和规划设计类人员共150名.[信息二]工资待遇:机械类人员工资为600元/月,规划设计类人员为1000元/月.设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x人、y人.(1)用含x的代数式表示y;(2)若公司每月付给所招聘人员的工资为p元,要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍,求p的取值范围.4、我市某乡A、B两村盛产柑桔,A村有柑桔200吨,B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨;从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元,从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨,A,B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元.(1)请填写下表,并求出yA、yB与x之间的函数关系式;收地运地CD总计Ax吨200吨B300吨总计240吨260吨500吨(2)试讨论A,B两村中,哪个村的运费较少;(3)考虑到B村的经济承受能力,B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下,请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出这个最小值.第15章 整式的乘除与因式分解一、基础知识1.同底数幂的乘法:,(m,n都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变,指数相加。2.幂的乘方:,(m,n都是正整数),即幂的乘方,底数不变,指数相乘。3.积的乘方:,(n为正整数),即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。 4.整式的乘法: (1)单项式的乘法法则:一般地,单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式乘多项式法则:单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 可用下式表示:m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式) (3)多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.5.乘法公式: (1)平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”,即用字母表示为:(a+b)(a-b)=a2-b2;其结构特征是:公式的左边是两个一次二项式的乘积,并且这两个二项式中有一项是完全相同的,另一项则是互为相反数,右边是乘式中两项的平方差.(2)完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和(或差)的平方,等于第一数的平方加上(或减去)第一数与第二数乘积的2倍,加上第二数的平方”,即用字母表示为:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;其结构特征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项,首末两项是平方项,且符号相同,中间项是2ab,且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中,字母a、b都具有广泛意义,它们既可以分别取具体的数,也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y-2)2=(3x+y)2-2×(3x+y)×2+22=9x2+6xy-12x+y2-4y+4,或者(3x+y-2)2=(3x)2+2×3x (y-2)+ (y-2)2=9x2+6xy-12x+y2-4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a,2看成是b;后者是把3x看成是完全平方公式中的a,y-2看成是b.(3)添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都变号。 乘法公式的几种常见的恒等变形有:(1).a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.(2).ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=[(a+b)2-(a-b)2]=.(3).(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2.  (4).(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.利用上述的恒等变形,我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题,并且还会收到事半功倍的效果.6.整式的除法:,(,m,n都是正整数,并且),即同底数幂相除,底数不变,指数相减。(1),任何不等于0的数的0次幂都等于1.(2)单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。(3)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。7.因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这就叫做把这个多项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式,它与整式乘法互为逆运算。8.常用的因式分解方法:(1)提公因式法:把,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式是除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法。i 多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。ii 公因式的构成:①系数:各项系数的最大公约数; ②字母:各项都含有的相同字母; ③指数:相同字母的最低次幂。(2)公式法: (1)常用公式 平 方 差: 完全平方: (2)常见的两个二项式幂的变号规律: ①;②.(为正整数)(3)十字相乘法 ⅰ 二次项系数为1的二次三项式中,如果能把常数项分解成两个因式的积,并且等于一次项系数中,那么它就可以分解成 ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式中,如果能把二次项系数分解成两个因数的积,把常数项分解成两个因数的积,并且等于一次项系数,那么它就可以分解成:。(4)分组分解法 ⅰ 定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。例如: =, 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ⅱ 原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。 ⅲ 有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。二、经典例题第一部分 整式的乘除【例1】例题下列运算正确的是( )A. a5+a5=a10 B. a5 ·a5 = a10 C.a4·a5=a20 D.(a4)5=a9【思路点拨】选支A是整式的加法运算,合并得2a5;选支B正确;选支C为同底数幂运算应指数相加,而不是相乘,故为a4·a5=a9 ;选支D为幂的乘方运算,应底数不变,指数相乘,为(a4)5=a20.【解析】本题应选B.【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础,一定要学好,学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象,有层次的进行概括抽象,归纳原理.【例2】下列运算正确的是( )A.(-x)2x3 =x6    B. C.   D.【思路点拨】选支A错在把指数相乘,实际应相加(-x)2∙x3=x2·x3=x5;选支B错在符号不对,负的偶次幂为正,负的奇次幂为负,==;选支C中积的乘方运算出现漏乘项错误,==;选支D运算正确.【解析】本题应选D.【规律总结】幂的乘方与积的乘方,是学习整式乘法的基础.导出幂的乘方的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质.同学们要真正理解幂的乘方法的性质,这样才不致混淆性质而运算出错.【例3】下列运算在正确的是( )A. B. C. D. [答案] B[错因透视]对整式运算法则理解不深入才会出现错误,,,【例4】计算:(-2x2y)2·(-3xy)【思路点拨】灵活运用幂的运算性质、乘法交换律等进行运算.【解析】原式=4x4y2·(-3xy) (据积的乘方) =[4×(-3)](x4·x)(y2·y) (据乘法交换律、结合律) =-12x5y3(据有理数的乘法、同底数幂的乘法)【规律总结】因为单项式是数字与字母的积,所以,幂的运算性质,乘法交换律、结合律,可作为单项式乘法的依据.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用,如:2a2b·(- 3ab2)·5abc=[2×(-3)×5]·(a2·a·a)·(b·b2·b)·c=-30a4b4c【例5】(1)2xy(5xy2+3xy-1) (2)(a2-2bc)·(-2ab)2【思路点拨】(1)小题单项式为2xy,多项式里含三项为:5xy2、3xy、-1,乘积仍为三项;(2)小题应先算(-3ab)2,再用乘法交换律后的计算方法是相同的.【解析】(1)原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1) =10x2y3+6x2y2-2xy (2)原式=(a2-2bc)·4a2b2 =4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc) =4a4b2-8a2b3c【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时,易犯如下错误:①出现漏乘,而导致缺项;②出现符号错误;③运算顺序出错,造成计算有错.【例6】计算:(1)(3x-2y)(2a+3b) (2)(x-y)(x2+xy+y2)【思路点拨】第(1)题,先用x分别与2a、3b相乘,再用-2y分别与2a、3b相乘,然后把所得的积相加;第(2)题,可先用二项式(x-y)中的x分别与三项式中的各项相乘,再用-y分别与三项式中的各项相乘,然后把所得的积相加.【解析】(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b =6ax+9bx-4ay-6by (2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)· x2+(-y)·xy+(-y)·y2 =x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3 =x3-y3【规律总结】(1)利用多项式乘法法则时,既不要漏乘,又要注意确定各项的符号. (2)乘积中有同类项,要合并同类项.【例7】计算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)【思路点拨】仔细观察题目特点,凡两因式中相同项当作公式中的a,另一项(必须是互为相反数)当作公式中的b方可应用平方差公式,而有的,必须经过变形才能运用平方差公式.【解析】原式=(2y3)2-(3x2)2 =4y6-9x4【规律总结】公式中的字母可表示具体的数,也可表示单项式或多项式,只要符合平方差公式的结构特征,就可运用.【例8】化简: (1)(2a+3b)2 (2)(-x+2y)2 (3)(-m-2n)2【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算,第(1)题是两数和的平方,应选用“和”的完全平方公式,其中2a是公式中的a,3b是公式中的b;第(2)题(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2所以应选用“差”的完全平方公式简捷;第(3)题(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2应选用“和”的完全平方公式简捷.【解析】(1)(2a+3b)2=(2a)2+2.2a.3b+(3b)2 =4a2+12ab+9b2 (2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2 =4y2-4xy+x2 (3)(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2【规律总结】(1)这三题其实都可以用“和”的完全平方公式(或“差”的完全平方公式)计算,只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程,其中(-x+2y) 2转化为(2y-x)2或(x-2y)2是一个常用技巧.(2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,展开式可记成“首(a)平方、尾(b)平方,首(a)尾(b)乘积的2倍加减在中央”.【例9】计算:(1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3【思路点拨】先观察题目,确定运算顺序及可运用的公式,再进行计算.题目(2)中被除数与除数的底数相同,故可先进行同底数幂的除法,再运用积的乘方的公式将计算进行到最后.【解析】(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3(2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2【规律总结】像(2)这种题目,一定要计算到最后
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