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全等三角形辅助线方法简介.doc

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全等 三角形 辅助线 方法 简介
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-_全等三角形辅助线常见辅助线的作法有以下几种:1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”;(遇垂线及角平分线时延长垂线段,构造等腰三角形)5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线(线段)造全等1:(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.2:如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.3:如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.中考应用(09崇文二模)以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AM与DE的位置关系及数量关系.(1)如图① 当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 ,线段AM与DE的数量关系是 ;(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由.二、截长补短1.如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:CD⊥AC2:如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD3:如图,已知在内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP4:如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分,求证: 5:如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求∠B∶∠C的值. 中考应用:(08海淀一模)三.借助角平分线造全等1:如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD2:(06郑州市中考题)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. (1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长.中考应用:(06北京中考)如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。四、平移变换1.AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为,△EBC周长记为.求证>.2:如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE.五、旋转1:正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数. 2:D为等腰斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1) 当绕点D转动时,求证DE=DF。(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。3.如图,是边长为3的等边三角形,是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则的周长为 ;中考应用:(07佳木斯)已知四边形中,,,,:,,绕点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于.(1)当绕点旋转到时(如图1),易证.(2)当绕点旋转到时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.(图1)(图2)(图3)(09崇文一模)在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,,BD=DC. 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系.图1 图2 图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是 ; 此时 ; (II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明; (III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=,则Q= (用、L表示).六、构造全等例1: 已知:如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD于E,交AB于F,连接DF.求证:∠ADC=∠BDF.2.用有刻度的直尺能平分任意角吗?下面是一种方法:如图9所示,先在∠AOB的两边上取OP=OQ,再取PM=QN,连接PN、QM,得交点C,则射线OC平分∠AOB.你能说明道理吗? 图93.如图10,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明. 图104.已知△ABC,AB=AC,E、F分别为AB和AC延长线上的点,且BE=CF,EF交BC于G.求证:EG=GF. 图155. 已知:△ABC中,BD=CD,∠1=∠2.求证:AD平分∠BAC.说明:遇到有关角平分线的问题时,可引角的两边的垂线,先证明三角形全等,然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等,再利用角的平分线性质得出两角相等.(2)利用角的平分线构造全等三角形:①过角平分线上一点作两边的垂线段练习:如图22,AB∥CD,E为AD上一点,且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD.求证:AE=ED.②以角的平分线为对称轴构造对称图形例6: 如图23,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B.求证:AB=AC+CD.分析:由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴,因此在AB上截取AE=AC,连接DE,我们就能构造出一对全等三角形,从而将线段AB分成AE和BE两段,只需证明BE=CD就可以了.③延长角平分线的垂线段,使角平分线成为垂直平分线例7: 如图24,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于E.求证:∠ACE=∠B+∠ECD.分析:注意到AD平分∠BAC,CE⊥AD,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等三角形.(3)利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC中,AD平分∠BAC,过点D作DE∥AB,DE交AC于点E.易证△AED是等腰三角形.因此,我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形. 图25例11 如图26,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E.求证:CD=BE.练习:1.如图27,在△ABC中,∠B=90º,AD为∠BAC的平分线,DF⊥AC于F,DE=DC.求证:BE=CF. 2.已知:如图28,AD是△ABC的中线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BE=CF.求证:(1)AD是∠BAC的平分线;(2)AB=AC. 图283.在△ABC中,∠BAC=60º,∠C=40º,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q.求证:AB+BP=BQ+AQ. 图294.如图30,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=AC+CD.求证:∠C=2∠B. 图305.如图31,E为△ABC的∠A的平分线AD上一点,AB>AC.求证:AB-AC>EB-EC. 图316.如图32,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC. 求证:∠A+∠C=180º.7.如图33所示,已知AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC过点E作交AD于点D,交BC于点C.求证:AD+BC=AB. 8.已知,如图34,△ABC中,∠ABC=90º,AB=BC,AE是∠A的平分线,CD⊥AE于D.求证:CD=AE. 9.△ABC中,AB=AC,∠A=100º,BD是∠B的平分线.求证:AD+BD=BC. 10.如图36,∠B和∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为( )A.9 B.8 C.7 D.6 图3611.如图37,△ABC中,AD平分∠BAC,AD交BC于点D,且D是BC的中点.求证:AB=AC. 图3712.已知:如图38,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E是BC的中点,EF∥AD,交AB于M,交CA的延长线于F.求证:BM=CF. 1.(2010年河南中考模拟题3)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=450,将△ADC绕点A顺时针旋转900后,得到△AFB,连接EF,下列结论:(1)△AED≌△AEF;(2)△ABE∽△ACD;(3)BE+DC=DE;(4)BE2+DC2=DE2.其中正确的是(   )A.(2)(4) B.(1)(4) C.(2) (3) D.(1) (3)2.(2010年浙江杭州)在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为 .3.(2010年中考模拟2)如图,在等腰梯形ABCD中,∠C=60°,AD∥BC,且AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF,AF、BE交于点P .(1)求证:AF=BE;(2)请你猜测∠BPF的度数,并证明你的结论 .4.(2010年北京市中考模拟)已知:如图,在△ABC中,∠ACB=,于点D,点E 在AC上,CE=BC,过E点作AC的垂线,交CD的延长线于点F .求证:AB=FC5.(2010年赤峰市中考模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF∥DC,连接AC、CF,求证:CA是∠DCF的平分线.8题图6.(10年广州市中考六模)、如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:(1)求证:∠EAF = 45o ; (2)△ECF的周长是否有变化?请说明理由.7.(2010年天水模拟)如图,△ABC中,∠ABC=∠BAC=45°,点P在AB上,AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为D、E ,已知DC=2,求BE的长。ABCDEF8.(2010年广州中考数学模拟试题(四))如图,在矩形ABCD中,AE平分∠DAB交DC于点E,连接BE,过E作EF⊥BE交AD于E.(1)∠DEF和∠CBE相等吗?请说明理由;[来源:学。科。网](2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母),并说明理由.9.(2010年河南中考模拟题2)将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式,使点B、F、C、D在同一条直线上。(1)求证:AB⊥ED。(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明。10.(2010年河南中考模拟题6)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=900,D为AB边上一点。求证:(1)△ACE≌△BCD; (2)。11.(西城09年一模)已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
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