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11勾股定理知识学习资料.doc

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11 勾股定理 知识 学习 资料
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\\勾股定理一、勾股定理在直角三角形中,三边长为a、b、c,其中c为斜边,则a2+b2=c2.如:已知Rt△ABC中,三边长为a、b、c,其中a=3,b=4,则c=__________.答案:.二、直角三角形的性质(1)两锐角互余;(2)Rt△ABC中,c为斜边,则a2+b2=c2.(3)如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,三边长为a,,2a.(4)等腰直角三角形三边长分别为a,a,.例1、如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,若AB=5,,∠BCD=30°,求AC的长.解:设BD=x,∵CD⊥AB,∠BCD=30°.∴BC=2BD=2x.在Rt△BCD中,根据勾股定理得BD2+CD2=BC2.即.解得x=2.∴BD=2,∵AB=5,∴AD=3.在Rt△ACD中,由勾股定理有例2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD、BE是中线,,AD=5,求AB的长.解:设CE=x,CD=y,则AC=2x,BC=2y.在Rt△ACD和Rt△BCE中,由勾股定理得例3、如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,求MN.解:连接AM,∵AB=AC,M为BC的中点.∴AM⊥BC.BM=MC=BC=3.在Rt△AMB中,由勾股定理得.设CN=x,则AN=5-x在Rt△ANM中,MN2=AM2-AN2=42-(5-x)2.在Rt△CNM中,MN2=MC2-CN2=32-x2.∴32-x2=42-(5-x)2,解得..方法2:由面积法得:AM·MC=MN·AC.例4、如图,在△ABC中,∠A=90°,P是AC的中点,PD⊥BC于D,BC=9,DC=3,求AB的长.解:连结PB,BD=BC-DC=6.在Rt△BDP和Rt△PDC中PD2=BP2-BD2,PD2=PC2-DC2.∴BP2-BD2=PC2-DC2.∴BP2-PC2=BD2-DC2=36-9=27.在Rt△ABP中,AB2=BP2-AP2.∵AP=PC.∴AB2=BP2-PC2=27..例5、如图,已知∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=2,CD=1,求BC和AD的长.解:如图,延长AD、BC交于点E.∵∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=4.在Rt△ABE中,由勾股定理得.   同步测试一、选择题1、如图,矩形纸片ABCD中,AB=8cm,把矩形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,若,则AD的长为( )A.4cm           B.5cmC.6cm           D.7cm二、填空题2、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对应的边分别是a、b、c.  (1)若a=3cm,b=5cm,则c=__________.  (2)若a=8cm,c=17cm,则b=__________.  (3)若a︰b=3︰4,c=10cm,则a=__________,b=__________.3、分别以直角三角形的三边为边向形外作正方形,如图中所示的正方形A的面积是__________,B的面积是__________.4、在Rt△ABC中,斜边AB=2cm,则AB2+BC2+CA2=__________cm2.5、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则它的第三边长为__________.6、已知:直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm,那么斜边上的高为__________.7、矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=__________cm.8、如图,已知圆柱体底面圆的半径为,高为2,AB、CD分别是两底面的直径,AD、BC是母线.若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是__________(结果保留根式).三、解答题9、如图所示,铁路上有A、B两点(看做直线上两点)相距40千米,C、D为两村庄(看做两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=24千米,BC=16千米,现在要在铁路旁修建一个煤栈E,使得C、D两村到煤栈的距离相等,问煤栈应建在距A点多少千米处?10、如图所示,地面上有一个长方体,一只蜘蛛在这个长方体的顶点A处,一滴水珠在这个长方体的顶点C′处,已知长方体的长为6m,宽为5m,高为3m,蜘蛛要沿着长方体的表面从A处爬到C′处,沿着怎样的路线爬行的距离最短?你能求出这个最短距离吗?答案:1、C 2、(1);(2)15cm;(3)6cm,8cm 3、25;256 4、8 5、5cm或6、4.8cm 点拨:设斜边上的高为h, .7、 点拨:设DE=BE=x cm,则AE=(10-x)cm,∴(10-x)2+42=x2. 8、 9、AE2+242=(40-AE)2+162,解得AE=16(千米) 10、将长方体上面展开并与前面在同一平面上, 则蜘蛛沿对角线AC′爬行距离最短,最短距离是   课外拓展例、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,莲花村六组有四个村庄,A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图中的实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.(以下数据可供参考:)解:  不妨设正方形的边长为1(也可以设为a),则图(1)、(2)中的总线路长分别为  AD+AB+BC=3,AB+BC+CD=3.  图(3)中,总线路长为AC+BD==2.828.  图(4)中,延长EF交BC于点H,则FH⊥BC,BH=HC.  由∠FBH=30°,BH=及勾股定理,得  EA=ED=FB=FC=,FH=.  ∴EF=1-2FH=1-.  此时,总线路长为4EA+EF=.  显然,3>2.828>2.732,  ∴图(4)的连结线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.点评:  这里是逐一计算四条线路的长度,并加以比较,选出最短的方案.在方案(4)中注意作铺助线,构成直角三角形,再运用勾股定理.   中考解析例1、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是,斜边长为c和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.   (1)画出拼成的这个图形的示意图.   (2)证明勾股定理. 解析:  方法一、(1)如图①                         (2)证明:大正方形的面积表示为,  大正方形的面积也可表示为,  ,,    .即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.   方法二、(1)如图②   (2)证明:大正方形的面积表示为:,   又可以表示为:,  ,,   .即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 例2、有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长. 解析:  在中,  由勾股定理有:,扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况.     ①如图1,当时,可求  得的周长为32m.   ②如图2,当时,可求  由勾股定理得:,得的周长为  ③如图3,当为底时,设则  由勾股定理得:,得的周长为
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