• / 31
  • 下载费用:12 金币  

2017年度高考.数学-三角函数大题综合训练(修订版.).doc

关 键 词:
2017 年度 高考 数学 三角函数 综合 训练 修订版
资源描述:
\\2017三角函数大题综合训练 一.解答题(共30小题)1.(2016•白山一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=(1)求角C的大小,(2)若c=2,求使△ABC面积最大时a,b的值. 2.(2016•广州模拟)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别是a、b、c,已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A.(I)求角A的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值. 3.(2016•成都模拟)已知函数f(x)=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x.(Ⅰ)求函数f(x)取得最大值时x的集合;(Ⅱ)设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,f(C)=﹣,求sinA的值. 4.(2016•台州模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且c2=a2+b2﹣ab.(1)求角C的值;(2)若b=2,△ABC的面积,求a的值. 5.(2016•惠州模拟)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cosB=.(Ⅰ)求△ACD的面积;(Ⅱ)若BC=2,求AB的长. 6.(2015•山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,求sinA和c的值. 7.(2015•新课标I)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(Ⅰ)若a=b,求cosB;(Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积. 8.(2015•湖南)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.(Ⅰ)证明:sinB=cosA;(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C. 9.(2015•新课标II)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长. 10.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围. 11.(2015•四川)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根.(Ⅰ)求C的大小(Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值. 12.(2015•河西区二模)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac.(Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC=,求C. 13.(2015•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值. 14.(2015•陕西)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面积. 15.(2015•江苏)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值. 16.(2015•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣.(Ⅰ)求a和sinC的值;(Ⅱ)求cos(2A+)的值. 17.(2015•怀化一模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asinC﹣ccosA.(1)求角A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c. 18.(2015•甘肃一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB﹣ccosB.(Ⅰ)求cosB的值;(Ⅱ)若,且,求a和c的值. 19.(2015•衡水四模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在x=处取得最大值.(1)当时,求函数f(x)的值域;(2)若a=7且sinB+sinC=,求△ABC的面积. 20.(2015•潍坊模拟)已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx(x∈R).(Ⅰ)当x∈[0,]时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量=(1,sinA)与向量=(2,sinB)共线,求a,b的值. 21.(2015•济南二模)已知向量=(cos(2x﹣),cosx+sinx),=(1,cosx﹣sinx),函数f(x)=.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=,a=2,B=,求△ABC的面积S. 22.(2015•和平区校级三模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,B=+A.(1)求cosB的值;(2)求sin2A+sinC的值. 23.(2015•洛阳三模)在锐角△ABC中,=(1)求角A;(2)若a=,求bc的取值范围. 24.(2015•河北区一模)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2cosAcosC+1=2sinAsinC.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若,,求△ABC的面积. 25.(2015•云南一模)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且=(sinA+sinB+sinC,sinC),=(sinB,sinB+sinC﹣sinA),若(1)求A的大小;(2)设为△ABC的面积,求的最大值及此时B的值. 26.(2015•历下区校级四模)已知向量,,若.(Ⅰ) 求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ) 已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=3,(A为锐角),2sinC=sinB,求A、c、b的值. 27.(2015•高安市校级模拟)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知sin(A+)+2cos(B+C)=0,(1)求A的大小; (2)若a=6,求b+c的取值范围. 28.(2015•威海一模)△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,,sin(B﹣A)=cosC.(Ⅰ)求A,B,C;(Ⅱ)若S△ABC=3+,求a,c. 29.(2015•新津县校级模拟)已知向量,函数f(x)=.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B)=1,b=,sinA=3sinC,求△ABC的面积. 30.(2015•和平区二模)在△ABC中,角A,B,C为三个内角,已知cosA=,cosB=,BC=5.(Ⅰ)求AC的长;(Ⅱ)设D为AB的中点,求CD的长.  三角函数大题综合训练参考答案与试题解析 一.解答题(共30小题)1.(2016•白山一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=(1)求角C的大小,(2)若c=2,求使△ABC面积最大时a,b的值.【考点】正弦定理;余弦定理.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(1)已知等式左边利用正弦定理化简,右边利用诱导公式变形,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,根据sinA不为0求出cosC的值,即可确定出C的度数;(2)利用余弦定理列出关系式,将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值,进而确定出三角形ABC面积的最大值,以及此时a与b的值即可.【解答】解:(1)∵A+C=π﹣B,即cos(A+C)=﹣cosB,∴由正弦定理化简已知等式得:=,整理得:2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB,即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,∵sinA≠0,∴cosC=﹣,∵C为三角形内角,∴C=;(Ⅱ)∵c=2,cosC=﹣,∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC,即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,∴ab≤,(当且仅当a=b时成立),∵S=absinC=ab≤,∴当a=b时,△ABC面积最大为,此时a=b=,则当a=b=时,△ABC的面积最大为.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 2.(2016•广州模拟)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别是a、b、c,已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A.(I)求角A的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.【考点】正弦定理;余弦定理.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(I)利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A,得到cosA的值,即可求解A.(II)通过三角形的面积求出b、c的值,利用余弦定理以及正弦定理求解即可.【解答】解:(I)由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A,得2cos2A+3cosA﹣2=0,﹣﹣﹣﹣﹣(2分)即(2cosA﹣1)(cosA+2)=0.解得cosA=或cosA=﹣2(舍去).﹣﹣﹣﹣﹣(4分)因为0<A<π,所以A=.﹣﹣﹣﹣(6分)(II)由S=bcsinA=bc•=bc=5,得bc=20.又b=5,所以c=4.﹣﹣﹣﹣﹣(8分)由余弦定理,得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故a=.﹣﹣﹣(10分)又由正弦定理,得sinBsinC=sinA•sinA=•sin2A=×=.﹣﹣﹣﹣(12分)【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,两角和与差的三角函数,考查转化思想以及计算能力. 3.(2016•成都模拟)已知函数f(x)=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x.(Ⅰ)求函数f(x)取得最大值时x的集合;(Ⅱ)设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,f(C)=﹣,求sinA的值.【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用.菁优网版权所有【专题】转化思想;综合法;解三角形.【分析】(Ⅰ)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用余弦函数的值域求得函数f(x)取得最大值时x的集合.(Ⅱ)由条件求得cos(2C+)=﹣,C=,求出sinB的值,再根据sinA=sin(B+C)求得它的值.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+(cos2x﹣sin2x )=﹣sin2x+cos2x=+cos(2x+),故函数取得最大值为,此时,2x+=2kπ时,即x的集合为 {x|x=kπ﹣,k∈Z}.(Ⅱ)设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,f(C)=+cos(2C+)=﹣,∴cos(2C+)=﹣,又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,∴2C+=,∴C=.∵cosB=,∴sinB=,∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=+=.【点评】本题主要考查三角恒等变换,余弦函数的值域,同角三角函数的基本关系,属于中档题. 4.(2016•台州模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且c2=a2+b2﹣ab.(1)求角C的值;(2)若b=2,△ABC的面积,求a的值.【考点】余弦定理;三角形的面积公式.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(1)利用余弦定理,可求角C的值;(2)利用三角形的面积公式,可求a的值.【解答】解:(1)∵c2=a2+b2﹣ab,∴cosC==,∵0°<C<180°,∴C=60°;(2)∵b=2,△ABC的面积,∴=,解得a=3.【点评】本题考查余弦定理的运用,考查三角形面积的计算,正确运用公式是关键. 5.(2016•惠州模拟)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cosB=.(Ⅰ)求△ACD的面积;(Ⅱ)若BC=2,求AB的长.【考点】余弦定理的应用;正弦定理.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出D角的正弦函数值,然后求△ACD的面积;(Ⅱ)利用余弦定理求出AC,通过BC=2,利用正弦定理求解AB的长.【解答】(共13分)解:(Ⅰ)因为∠D=2∠B,,所以 .…(3分)因为∠D∈(0,π),所以 .…(5分)因为 AD=1,CD=3,所以△ACD的面积.…(7分)(Ⅱ)在△ACD中,AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12.所以 .…(9分)因为 ,,…(11分)所以 .所以 AB=4.…(13分)【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,基本知识的考查. 6.(2015•山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,求sinA和c的值.【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式,解方程可得;②利用正弦定理解之.【解答】解:①因为△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,所以sinB=,sinAcosB+cosAsinB=,所以sinA+cosA=,结合平方关系sin2A+cos2A=1,得27sin2A﹣6sinA﹣16=0,解得sinA=或者sinA=﹣(舍去);②由正弦定理,由①可知sin(A+B)=sinC=,sinA=,所以a=2c,又ac=2,所以c=1.【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形,用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识. 7.(2015•新课标I)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(Ⅰ)若a=b,求cosB;(Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.【考点】正弦定理;余弦定理.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(I)sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得:b2=2ac,再利用余弦定理即可得出.(II)利用(I)及勾股定理可得c,再利用三角形面积计算公式即可得出.【解答】解:(I)∵sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得:>0,代入可得(bk)2=2ak•ck,∴b2=2ac,∵a=b,∴a=2c,由余弦定理可得:cosB===.(II)由(I)可得:b2=2ac,∵B=90°,且a=,∴a2+c2=2ac,解得a=c=.∴S△ABC==1.【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 8.(2015•湖南)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.(Ⅰ)证明:sinB=cosA;(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C.【考点】正弦定理.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)由正弦定理及已知可得=,由sinA≠0,即可证明sinB=cosA.(Ⅱ)由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=,由(1)sinB=cosA,可得sin2B=,结合范围可求B,由sinB=cosA及A的范围可求A,由三角形内角和定理可求C.【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a=btanA.∴=tanA,∵由正弦定理:,又tanA=,∴=,∵sinA≠0,∴sinB=cosA.得证.(Ⅱ)∵sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=,由(1)sinB=cosA,∴sin2B=,∵0<B<π,∴sinB=,∵B为钝角,∴B=,又∵cosA=sinB=,∴A=,∴C=π﹣A﹣B=,综上,A=C=,B=.【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式的应用,属于基础题. 9.(2015•新课标II)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.【考点】正弦定理;三角形中的几何计算.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(1)如图,过A作AE⊥BC于E,由已知及面积公式可得BD=2DC,由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=,sin∠C=,从而得解.(2)由(1)可求BD=.过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,由AD平分∠BAC,可求AB=2AC,令AC=x,则AB=2x,利用余弦定理即可解得BD和AC的长.【解答】解:(1)如图,过A作AE⊥BC于E,∵==2∴BD=2DC,∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中,=,∴sin∠B=在△ADC中,=,∴sin∠C=;∴==.…6分(2)由(1)知,BD=2DC=2×=.过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,∵AD平分∠BAC,∴DM=DN,∴==2,∴AB=2AC,令AC=x,则AB=2x,∵∠BAD=∠DAC,∴cos∠BAD=cos∠DAC,∴由余弦定理可得:=,∴x=1,∴AC=1,∴BD的长为,AC的长为1.【点评】本题主要考查了三角形面积公式,正弦定理,余弦定理等知识的应用,属于基本知识的考查. 10.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.【考点】正弦定理.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;(Ⅱ)由题意可得A∈(0,),可得0<sinA<,化简可得sinA+sinC=﹣2(sinA﹣)2+,由二次函数区间的最值可得.【解答】解:(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得==,∴sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B为钝角,∴+A∈(,π),∴B=+A,∴B﹣A=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A++A)=﹣2A>0,∴A∈(0,),∴sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA﹣)2+,∵A∈(0,),∴0<sinA<,∴由二次函数可知<﹣2(sinA﹣)2+≤∴sinA+sinC的取值范围为(,]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用,涉及二次函数区间的最值,属基础题. 11.(2015•四川)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根.(Ⅰ)求C的大小(Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值.【考点】正弦定理的应用;两角和与差的正切函数.菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用;解三角形.【分析】(Ⅰ)由判别式△=3p2+4p﹣4≥0,可得p≤﹣2,或p≥,由韦达定理,有tanA+tanB=﹣p,tanAtanB=1﹣p,由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan(A+B)=,结合C的范围即可求C的值.(Ⅱ)由正弦定理可求sinB==,解得B,A,由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°,从而可求p=﹣(tanA+tanB)的值.【解答】解:(Ⅰ)由已知,方程x2+px﹣p+1=0的判别式:△=(p)2﹣4(﹣p+1)=3p2+4p﹣4≥0,所以p≤﹣2,或p≥.由韦达定理,有tanA+tanB=﹣p,tanAtanB=1﹣p.所以,1﹣tanAtanB=1﹣(1﹣p)=p≠0,从而tan(A+B)==﹣=﹣.所以tanC=﹣tan(A+B)=,所以C=60°.(Ⅱ)由正弦定理,可得sinB===,解得B=45°,或B=135°(舍去).于是,A=180°﹣B﹣C=75°.则tanA=tan75°=tan(45°+30°)===2+.所以p=﹣(tanA+tanB)=﹣(2+)=﹣1﹣.【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识,考查了运算求解能力,考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用,属于中档题. 12.(2015•河西区二模)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac.(Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC=,求C.【考点】余弦定理;两角和与差的正弦函数.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;(II)由(I)得到A+C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A﹣C),变形后将cos(A+C)及2sinAsinC的值代入求出cos(A﹣C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值,与A+C的值联立即可求出C的度数.【解答】解:(I)∵(a+b+c)(a﹣b+c)=(a+c)2﹣b2=ac,∴a2+c2﹣b2=﹣ac,∴cosB==﹣,又B为三角形的内角,则B=120°;(II)由(I)得:A+C=60°,∵sinAsinC=,cos(A+C)=,∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=+2×=,∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°,则C=15°或C=45°.【点评】此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 13.(2015•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.【考点】余弦定理.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(1)由余弦定理可得:,已知b2﹣a2=c2.可得,a=.利用余弦定理可得cosC.可得sinC=,即可得出tanC=.(2)由=×=3,可得c,即可得出b.【解答】解:(1)∵A=,∴由余弦定理可得:,∴b2﹣a2=bc﹣c2,又b2﹣a2=c2.∴bc﹣c2=c2.∴b=c.可得,∴a2=b2﹣=,即a=.∴cosC===.∵C∈(0,π),∴sinC==.∴tanC==2.(2)∵=×=3,解得c=2.∴=3.【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14.(2015•陕西)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面积.【考点】余弦定理的应用;平面向量共线(平行)的坐标表示.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)利用向量的平行,列出方程,通过正弦定理求解A;(Ⅱ)利用A,以及a=,b=2,通过余弦定理求出c,然后求解△ABC的面积.【解答】解:(Ⅰ)因为向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行,所以asinB﹣=0,由正弦定理可知:sinAsinB﹣sinBcosA=0,因为sinB≠0,所以tanA=,可得A=;(Ⅱ)a=,b=2,由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,可得7=4+c2﹣2c,解得c=3,△ABC的面积为:=.【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,三角形的面积的求法,考查计算能力. 15.(2015•江苏)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.【考点】余弦定理的应用;二倍角的正弦.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(1)直接利用余弦定理求解即可.(2)利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.【解答】解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7,所以BC=.(2)由正弦定理可得:,则sinC===,∵AB<BC,∴C为锐角,则cosC===.因此sin2C=2sinCcosC=2×=.【点评】本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键. 16.(2015•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣.(Ⅰ)求a和sinC的值;(Ⅱ)求cos(2A+)的值.【考点】余弦定理的应用;正弦定理的应用.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)通过三角形的面积以及已知条件求出b,c,利用正弦定理求解sinC的值;(Ⅱ)利用两角和的余弦函数化简cos(2A+),然后直接求解即可.【解答】解:(Ⅰ)在三角形ABC中,由cosA=﹣,可得sinA=,△ABC的面积为3,可得:,可得bc=24,又b﹣c=2,解得b=6,c=4,由a2=b2+c2﹣2bccosA,可得a=8,,解得sinC=;(Ⅱ)cos(2A+)=cos2Acos﹣sin2Asin==.【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,余弦定理的应用,考查计算能力. 17.(2015•怀化一模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asinC﹣ccosA.(1)求角A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.【考点】正弦定理;余弦定理的应用.菁优网版权所有【专题】计算题.【分析】(1)把已知的等式利用正弦定理化简,根据sinC不为0,得到一个关系式,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可;(2)由A的度数求出sinA和cosA的值,由三角形ABC的面积,利用面积公式及sinA的值,求出bc的值,记作①;由a与cosA的值,利用余弦定理列出关系式,利用完全平方公式变形后,把bc的值代入求出b+c的值,记作②,联立①②即可求出b与c的值.【解答】解:(1)由正弦定理==化简已知的等式得:sinC=sinAsinC﹣sinCcosA,∵C为三角形的内角,∴sinC≠0,∴sinA﹣cosA=1,整理得:2sin(A﹣)=1,即sin(A﹣)=,∴A﹣=或A﹣=,解得:A=或A=π(舍去),则A=;(2)∵a=2,sinA=,cosA=,△ABC的面积为,∴bcsinA=bc=,即bc=4①;∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得:4=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=(b+c)2﹣12,整理得:b+c=4②,联立①②解得:b=c=2.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18.(2015•甘肃一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB﹣ccosB.(Ⅰ)求cosB的值;(Ⅱ)若,且,求a和c的值.【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;余弦定理.菁优网版权所有【专题】计算题;转化思想.【分析】(1)首先利用正弦定理化边为角,可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB,然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可.(2)由向量数量积的定义可得accosB=2,结合已知及余弦定理可得a2+b2=12,再根据完全平方式易得a=c=.【解答】解:(I)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB,故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,因此.(6分)(II)解:由,可得accosB=2,,由b2=a2+c2﹣2accosB,可得a2+c2=12,所以(a﹣c)2=0,即a=c,所以.(13分)【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识,考查了基本运算能力. 19.(2015•衡水四模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在x=处取得最大值.(1)当时,求函数f(x)的值域;(2)若a=7且sinB+sinC=,求△ABC的面积.【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(2x﹣A),由于函数在处取得最大值.令,其中k∈z,解得A的值,(1)由于A为三角形内角,可得A的值,再由x的范围可得函数的值域;(2)由正弦定理求得b+c=13,再由余弦定理求得bc的值,由△ABC的面积等于,算出即可.【解答】解:∵函数f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin(2x﹣A)又∵函数f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在处取得最大值.∴,其中k∈z,即,其中k∈z,(1)∵A∈(0,π),∴A=∵,∴2x﹣A∴,即函数f(x)的值域为:(2)由正弦定理得到,则sinB+sinC=sinA,即,∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA即49=169﹣3bc,∴bc=40故△ABC的面积为:S=.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换,正、余弦定理的应用,正弦函数的值域,属于中档题. 20.(2015•潍坊模拟)已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx(x∈R).(Ⅰ)当x∈[0,]时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量=(1,sinA)与向量=(2,sinB)共线,求a,b的值.【考点】正弦定理;平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(I)利用三角函数的恒等变换化简f(x)的解析式为.令,k∈z,求得x的范围,结合,可得f(x)的递增区间.(Ⅱ)由f(C)=2,求得,结合C的范围求得C的值.根据向量=(1,sinA)与向量=(2,sinB)共线,可得 ,故有= ①,再由余弦定理得9=a2+b2﹣ab ②,由①②求得a、b的值.【解答】解:(I)∵==.令,解得,即,∵,∴f(x)的递增区间为.(Ⅱ)由,得.而C∈(0,π),∴,∴,可得.∵向量向量=(1,sinA)与向量=(2,sinB)共线,∴,由正弦定理得:= ①.由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2ab•cosC,即9=a2+b2﹣ab ②,由①、②解得.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换,正弦函数的增区间,正弦定理、余弦定理的应用,两个向量共线的性质,属于中档题. 21.(2015•济南二模)已知向量=(cos(2x﹣),cosx+sinx),=(1,cosx﹣sinx),函数f(x)=.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=,a=2,B=,求△ABC的面积S.【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用.菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质.【分析】(Ⅰ)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出f(x)解析式,利用两角和与差的余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的单调性即可确定出函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)由第一问确定出的f(x)解析式,根据f(A)=确定出A的度数,再由a,sinB的值,利用正弦定理求出b的值,同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出sinC的值,利用三角形面积公式即可求出S.【解答】解:(Ⅰ)∵向量=(cos(2x﹣),cosx+sinx),=(1,cosx﹣sinx),∴函数f(x)=•=cos(2x﹣)+cos2x﹣sin2x=cos(2x﹣)+cos2x=cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin(2x+),令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得﹣+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),则函数f(x)的单调递增区间为[﹣+kπ,+kπ](k∈Z);(Ⅱ)由f(A)=sin(2A+)=,得sin(2A+)=,∵A为△ABC的内角,由题意知0<A<,∴<2A+<,∴2A+=,解得:A=,又a=2,B=,∴由正弦定理=,得b==,∵A=,B=,∴sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=snAcosB+cosAsinB=×+×=,则△ABC的面积S=absinC=×2××=.【点评】此题考查了正弦定理,平面向量的数量积运算,正弦函数的单调性,以及三角形的面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 22.(2015•和平区校级三模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,B=+A.(1)求cosB的值;(2)求sin2A+sinC的值.【考点】正弦定理;余弦定理.菁优网版权所有【专题】计算题;三角函数的求值;解三角形.【分析】(1)运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式,即可得到cosB;(2)由二倍角的正弦和余弦公式,以及诱导公式,化简计算即可得到.【解答】解(1)∵,∴cosB=cos(+A)=﹣sinA,又a=3,b=4,所以由正弦定理得 ,所以=,所以﹣3sinB=4cosB,两边平方得9sin2B=16cos2B,又sin2B+cos2B=1,所以,而,所以.(2)∵,∴,∵,∴2A=2B﹣π,∴sin2A=sin(2B﹣π)=﹣sin2B=又A+B+C=π,∴,∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=.∴.【点评】本题考查正弦定理和运用,考查三角函数的化简和求值,注意运用二倍角公式和诱导公式,以及同角三角函数的基本关系式,属于中档题. 23.(2015•洛阳三模)在锐角△ABC中,=(1)求角A;(2)若a=,求bc的取值范围.【考点】正弦定理;余弦定理.菁优网版权所有【专题】计算题;三角函数的求值;解三角形.【分析】(1)由余弦定理可得:a2+c2﹣b2=2accosB,代入已知整理可得sin2A=1,从而可求A的值.(2)由(1)及正弦定理可得bc=,根据已知求得角的范围,即可求得bc的取值范围.【解答】解:(1)由余弦定理可得:a2+c2﹣b2=2accosB,,∴sin2A=1且,(2),又,∴b=2sinB,c=2sinC,bc=2sin(135°﹣C)•2sinC=,,∴.【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,属于中档题. 24.(2015•河北区一模)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2cosAcosC+1=2sinAsinC.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若,,求△ABC的面积.【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用;余弦定理.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)由2cosAcosC+1=2sinAsinC 化简求得,求得,可得B的值.(Ⅱ)由余弦定理,可得,把、 代入求得ac的值,再根据计算求得结果.【解答】解:(Ⅰ)由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得:∴2(cosAcosC﹣sinAsinC)=﹣1,∴,∴,又0<B<π,∴.(Ⅱ)由余弦定理得:,∴,又,,∴,故,∴.【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题. 25.(2015•云南一模)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且=(sinA+sinB+sinC,sinC),=(sinB,sinB+sinC﹣sinA),若(1)求A的大小;(2)设为△ABC的面积,求的最大值及此时B的值.【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有【专题】计算题;解三角形.【分析】(1)共线向量的坐标运算可得(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC﹣sinA)=sinBsinC,再利用正弦定理将角的正弦转化为所对边的边长,再利用余弦定理即可求得A的大小;(2)依题意,利用正弦定理====2,可求得S=bcsinA=sinBsinC,逆用两角差的余弦即可求得S+cosBcosC取最大值及此时B的值.【解答】解:(1)∵∥,∴(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC﹣sinA)=sinBsinC根据正弦定理得(a+b+c)(c+b﹣a)=bc,即a2=b2+c2+bc,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,得cosA=﹣,又A∈(0,π),∴A=;(2)∵a=,A=,∴由正弦定理得====2,∴b=2sinB,c=2sinC,∴S=bcsinA=×2sinB×2sinC×=sinBsinC,∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos(B﹣C),∴当B=C时,即B=C=时,S+cosBcosC取最大值.【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用,考查平面共线向量的坐标运算及两角差的余弦,考查转化思想与综合运算能力,属于中档题. 26.(2015•历下区校级四模)已知向量,,若.(Ⅰ) 求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ) 已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=3,(A为锐角),2sinC=sinB,求A、c、b的值.【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;余弦定理.菁优网版权所有【专题】计算题;解三角形.【分析】(Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数f(x)的解析式为sin(2x﹣),由此求得函数f(x)的最小正周期.(Ⅱ) 已知△ABC中,由 (A为锐角),求得sinA=,可得 A=.由正弦定理可得b=2c,根据 a=3,再由余弦定理求出c、b的值.【解答】解:(Ⅰ) =sinxcosx﹣cos2x+=﹣=sin(2x﹣),故函数f(x)的最小正周期为π.(Ⅱ) 已知△ABC中,(A为锐角),∴sinA=,∴A=.∵2sinC=sinB,∴由正弦定理可得b=2c,∵a=3,再由余弦定理可得 9=b2+c2﹣2bc•cos.解得 b=2,c=.【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式,两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题. 27.(2015•高安市校级模拟)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知sin(A+)+2cos(B+C)=0,(1)求A的大小; (2)若a=6,求b+c的取值范围.【考点】正弦定理;三角函数的化简求值;两角和与差的正弦函数.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(1)利用两角和公式和诱导公式对原等式整理可求得tanA的值,进而取得A.(2)根据正弦定理表示出b和c,求得b+c的表达式,化简整理,根据正弦函数的性质求得其最大值,结合两边之和大于第三边求得范围.【解答】解:(1)由条件结合诱导公式得,sinAcos+cosAsin=2cosA,整理得sinA=cosA,∵cosA≠0,∴tanA=,∵0<A<π,∴A=;(2)由正弦定理得:,∴,,∴==,∵,∴,即6<b+c≤12(当且仅当B=时,等号成立)【点评】本题主要考查了正弦定理的运用,两角和公式的运用.考查了学生综合运用知识的能力和一定的运算能力. 28.(2015•威海一模)△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,,sin(B﹣A)=cosC.(Ⅰ)求A,B,C;(Ⅱ)若S△ABC=3+,求a,c.【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式,结合已知条件,通过解三角方程即可求A,B,C;(Ⅱ)通过S△ABC=3+,以及正弦定理即可求a,c.【解答】解:(Ⅰ)∵,∴,∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,即 sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB,得 sin(C﹣A)=sin(B﹣C). ∴C﹣A=B﹣C,或C﹣A=π﹣(B﹣C)(不成立). 即 2C=A+B,得,∴,∵,则,或(舍去) ∴. (Ⅱ)∵又∵,即 ,∴.【点评】本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法,两角和与差的三角函数的应用,考查计算能力. 29.(2015•新津县校级模拟)已知向量,函数f(x)=.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B)=1,b=,sinA=3sinC,求△ABC的面积.【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出f(x)解析式,整理为一个角的正弦函数,由正弦函数的单调性求出函数f(x)的单调递增区间即可;(Ⅱ)由f(B)=1,求出B的度数,把sinA=3sinC利用正弦定理化简得到a=3c,利用余弦定理列出关系式,把b,cosB,a=3c的值代入求出a与c的值,再由sinB的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积.【解答】解:(Ⅰ)∵=(2cosx,1),=(cosx,2sinxcosx﹣1),∴f(x)=•=2cos2x+2sinxcosx﹣1=sin2x+cos2x=2sin(2x+),∵2x+∈[﹣+2kπ,+2kπ](k∈Z),∴x∈[﹣+kπ,+kπ](k∈Z),∴函数f(x)的单调递增区间为[﹣+kπ,+kπ](k∈Z);(Ⅱ)∵f(B)=2sin(2B+)=1,∴sin(2B+)=,即2B+=,即B=,∵sinA=3sinC,∴a=3c,∵b=,b2=a2+c2﹣2accosB,∴a=3,c=1,∵S=acsinB,∴△ABC的面积为.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键. 30.(2015•和平区二模)在△ABC中,角A,B,C为三个内角,已知cosA=,cosB=,BC=5.(Ⅰ)求AC的长;(Ⅱ)设D为AB的中点,求CD的长.【考点】正弦定理;余弦定理.菁优网版权所有【专题】三角函数的求值;解三角形.【分析】(Ⅰ)由同角三角函数关系式由cosA=,cosB=,可求sinA,sinB的值,从而由正弦定理得即可求AC的值.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理可求AB的值,可求,由余弦定理结合已知即可求得CD的值.【解答】(本题13分)文科解:(Ⅰ)∵在△ABC中,,,∴,.…(2 分)由正弦定理得,…(4 分)即.…(6 分)(Ⅱ)在△ABC中,AC=7,BC=5,,由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB,…(8 分)即,整理得AB2﹣2AB﹣24=0,解得AB=6.…(10分)∵在△BCD中,,BC=5,,∴由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cosB,…(11分)即.∴.…(13分)【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函数关系式的综合应用,属于基本知识的考
展开阅读全文
  语墨文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:2017年度高考.数学-三角函数大题综合训练(修订版.).doc
链接地址:http://www.wenku38.com/p-140749.html

                                            站长QQ:1002732220      手机号:18710392703    


                                                          copyright@ 2008-2020 语墨网站版权所有

                                                             经营许可证编号:蜀ICP备18034126号

网站客服微信
收起
展开