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奥数知识之表面积与体积.doc

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知识 表面积 体积
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''奥数之表面积与体积(一)专题简析:小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃,需要有更高水平的空间想象能力。因此,要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法,能将公式作适当的变形,养成“数、形”结合的好习惯,解题时要认真细致观察,合理大胆想象,正确灵活地计算。在解答立体图形的表面积问题时,要注意以下几点:(1)充分利用正方体六个面 的面积都相等,每个面都是正方形的特点。(2)把一个立体图形切成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之,把两个立体图形粘合到一起,减少的表面积等于粘合面积的两倍。(3)若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体,应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体,应把它们最大的面拼合起来。例题1:从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?这是一道开放题,方法有多种:①按图27-1所示,沿着一条棱挖,剩下部分的表面积为592平方厘米。 ②按图27-2所示,在某个面挖,剩下部分的表面积为632平方厘米。 ③按图27-3所示,挖通某两个对面,剩下部分的表面积为672平方厘米。 练习1:1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体,剩下部分的表面积是多少?2、把一个长为12分米,宽为6分米,高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块,这两个小长方体的表面积之和,比原来长方体的表面积增加了多少平方分米?3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后,表面积会发生怎样的变化?例题2:把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来,如图27-4所示,拼成一个立体图形,求这个立体图形的表面积。要求这个复杂形体的表面积,必须从整体入手,从上、左、前三个方向观察,每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形(如图27-5所示)。而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用(S上+S左+S前)×2来计算。(3×3×9+3×3×8+3×3×10)×2=(81+72+90)×2=243×2=486(平方厘米) 答:这个立体图形的表面积是486平方厘米。练习2:1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。2、一堆积木(如图27-7所示),是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米?3、一个正方体的表面积是384平方厘米,把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米?例题3:把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体,拼成一个 大长方体,这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米?把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体,需要把两个相同面拼合,所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小,就必须使两个拼合面的面积最大,即减少两个9×7的面。(9×9+9×4+7×4)×2×2—9×7×2=(63+36+28)×4—126=508—126=382(平方厘米) 答:这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。练习3:1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体,长方体的表面积是多少?2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体,再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。3、用6块(如图27-8所示)长方体木块拼成一个大长方体,有许多种做法,其中表面积最小的是多少平方厘米?例题4:一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加90立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方里,求原长方体的表面积。我们知道:体积=长×宽×高;由长增加2厘米,体积增加40立方厘米,可知宽×高=40÷2=20(平方厘米);由宽增加3厘米,体积增加90立方厘米,可知长×高=90÷3=30(平方厘米);由高增加4厘米,体积增加96立方厘米,可知长×宽=96÷4=24(平方厘米)。而长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2=(20+30+24)×2=148(平方厘米)。即40÷2=20(平方厘米)90÷3=30(平方厘米)96÷4=24(平方厘米)(30+20+24)×2=74×2=148(平方厘米) 答:原 长方体的表面积是148平方厘米。练习4:1、一个长方体,如果长减少2厘米,则体积减少48立方厘米;如果宽增加5厘米,则体积增加65立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米?2、一个厂房体木块,从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后,便成为一个正方体,其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米?3、有一个厂房体如下图所示,它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数,这个长方体的体积是多少?例题5:如图27-10所示,将高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。 如果分别求出三个圆柱的表面积,再减去重叠部分的面积,这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样,这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=3.14×(4.5+3+2+1)=3.14×10.5=32.97(平方米)答:这个物体的表面积是32.97平方米。练习5:1、一个棱长为40厘米的正方体零件(如图27-11所示)的上、下两个面上,各有一个直径为4厘米的圆孔,孔深为10厘米。求这个零件的表面积。2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件(单位:厘米),需用铁皮多少平方厘米?3、如图27-13所示,在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米,侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形,上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆,求该立方体的表面积和体积(∏取3.14)。 答案:练11、 切下一块后,切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形,新增加了左右下面三个1×1的正方形,所以表面积大小不变。2、 4×4×6-2×2×2=92平方厘米3、 中心挖去的洞的体积是:12×3×3-13×2=7立方厘米,挖洞后木块的体积:33-7=20立方厘米,中心挖洞后每面增加的面积是12×4-12=3平方厘米,挖洞后木块的表面积:(32+3)×6=72平方厘米。练21、 从三个不同的方向看,得到图答27-1: 从上往下看 从前往后看 从左往右看 (1×1×12+1×1×8+1×1×7)×2=54平方厘米2、 (2×2×9+2×2×9+2×2×7)×2=200平方厘米3、 因为64=4×4×4,所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被,那么大正方体的表面积是小正方体的4×4=16倍,小正方体的表面积是:384÷16=24平方厘米练31、 将正方体分为两个长方体,表面积就增加了2个30÷6=15平方厘米,拼成大正方体,表面积将减少两个拼合面的面积,正好是1个30÷6=15平方厘米,所以大长方体的表面积是30+30+6=35平方厘米。2、 要是表面积最小,就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有如图答27-2两种:表面积都是(3×3+3×4×2)×2=66平方厘米。3、 设大长方体的宽和高为x分米,长为2x分米,左面和右面的面积就是x2平方分米。其余的面积为2x2平方分米,根据题意,大长方体的表面积是:8x2+8×2x2=600 x=5大长方体的体积是:5×5×2×5=250立方分米练41、 (48÷2+65÷5+96÷4)×2=122平方厘米2、 减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。把两个合并起来,用120÷(2+3)=24厘米,求到正方体底面的周长,正方体的棱长就是24÷4=6厘米。圆长方体的体积是:6×6×(6+3+2)=396立方厘米3、 长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×(宽+高),209=11×19,所以长=11,宽+高=19,或长=19,宽+高=11,根据题意,宽和高只能是17和2,长方体的体积就是11×17×2=374练51、 402×6+3.14×4×10×2=9651.2平方厘米2、 用两个同样的工件可拼成图答27-3的圆柱体。3.14×15×(46+54)÷2=2355平方厘米3、 立方体的表面积和是:6×102-42×4-2×3.14×()2=510.88平方厘米打洞后增加的面积是:3.14×4×(10-4)+4×(10-4)×4×2+42×2-3.14×()2×2=274.24平方厘米表面积是:510.88+274.24=785.12平方厘米体积是:103-42×10×2+43-3.14×()2×(10-4)=668.64平方厘米
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