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C语言-普通算法归纳.doc

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语言 普通 算法 归纳
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\\C语言常用算法归纳  应当掌握的一般算法一、基本算法:交换、累加、累乘二、非数值计算常用经典算法:穷举、排序(冒泡,选择)、查找(顺序即线性)三、数值计算常用经典算法:级数计算(直接、简接即递推)、一元非线性方程求根(牛顿迭代法、二分法)、定积分计算(矩形法、梯形法)四、其他:迭代、进制转换、矩阵转置、字符处理(统计、数字串、字母大小写转换、加密等)、整数各数位上数字的获取、辗转相除法求最大公约数(最小公倍数)、求最值、判断素数(各种变形)、数组元素的插入(删除)、二维数组的其他典型问题(方阵的特点、杨辉三角形)详细讲解一、基本算法 1.交换(两量交换借助第三者)例1、任意读入两个整数,将二者的值交换后输出。  main(){ int a,b,t;  scanf("%d%d",&a,&b);  printf("%d,%d\n",a,b);t=a;  a=b;  b=t;  printf("%d,%d\n",a,b);}【解析】程序中加粗部分为算法的核心,如同交换两个杯子里的饮料,必须借助第三个空杯子。假设输入的值分别为3、7,则第一行输出为3,7;第二行输出为7,3。其中t为中间变量,起到“空杯子”的作用。注意:三句赋值语句赋值号左右的各量之间的关系!【应用】例2、任意读入三个整数,然后按从小到大的顺序输出。main(){ int a,b,c,t; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  /*以下两个if语句使得a中存放的数最小*/ if(a>b){ t=a; a=b; b=t; }  if(a>c){ t=a; a=c; c=t; }  /*以下if语句使得b中存放的数次小*/  if(b>c) { t=b; b=c; c=t; }  printf("%d,%d,%d\n",a,b,c);}2.累加累加算法的要领是形如“s=s+A”的累加式,此式必须出现在循环中才能被反复执行,从而实现累加功能。“A”通常是有规律变化的表达式,s在进入循环前必须获得合适的初值,通常为0。例1、求1+2+3+……+100的和。main(){ int i,s; s=0;    i=1;  while(i<=100) { s=s+i;        /*累加式*/   i=i+1;        /*特殊的累加式*/  }  printf("1+2+3+...+100=%d\n",s);}【解析】程序中加粗部分为累加式的典型形式,赋值号左右都出现的变量称为累加器,其中“i = i + 1”为特殊的累加式,每次累加的值为1,这样的累加器又称为计数器。3.累乘累乘算法的要领是形如“s=s*A”的累乘式,此式必须出现在循环中才能被反复执行,从而实现累乘功能。“A”通常是有规律变化的表达式,s在进入循环前必须获得合适的初值,通常为1。例1、求10![分析] 10!=1×2×3×……×10main(){ int i;  long c;  c=1;  i=1;  while(i<=10) { c=c*i;      /*累乘式*/   i=i+1; } printf("1*2*3*...*10=%ld\n",c);}二、非数值计算常用经典算法1.穷举也称为“枚举法”,即将可能出现的每一种情况一一测试,判断是否满足条件,一般采用循环来实现。例1、用穷举法输出所有的水仙花数(即这样的三位正整数:其每位数位上的数字的立方和与该数相等,比如:1*1*1+5*5*5+3*3*3=153)。[法一]main(){ int x,g,s,b; for(x=100;x<=999;x++)  { g=x%10;  s=x/10%10;  b=x/100;    if(b*b*b+s*s*s+g*g*g==x)printf("%d\n",x);}}【解析】此方法是将100到999所有的三位正整数一一考察,即将每一个三位正整数的个位数、十位数、百位数一一求出(各数位上的数字的提取算法见下面的“数字处理”),算出三者的立方和,一旦与原数相等就输出。共考虑了900个三位正整数。[法二]main(){int g,s,b; for(b=1;b<=9;b++)   for(s=0;s<=9;s++)    for(g=0;g<=9;g++)     if(b*b*b+s*s*s+g*g*g==b*100+s*10+g)  printf("%d\n",b*100+s*10+g);}【解析】此方法是用1到9做百位数字、0到9做十位和个位数字,将组成的三位正整数与每一组的三个数的立方和进行比较,一旦相等就输出。共考虑了900个组合(外循环单独执行的次数为9,两个内循环单独执行的次数分别为10次,故if语句被执行的次数为9×10×10=900),即900个三位正整数。与法一判断的次数一样。2.排序(1)冒泡排序(起泡排序)假设要对含有n个数的序列进行升序排列,冒泡排序算法步骤是:①从存放序列的数组中的第一个元素开始到最后一个元素,依次对相邻两数进行比较,若前者大后者小,则交换两数的位置;②第①趟结束后,最大数就存放到数组的最后一个元素里了,然后从第一个元素开始到倒数第二个元素,依次对相邻两数进行比较,若前者大后者小,则交换两数的位置;③重复步骤①n-1趟,每趟比前一趟少比较一次,即可完成所求。例1、任意读入10个整数,将其用冒泡法按升序排列后输出。#define n 10 main(){ int a[n],i,j,t; for(i=0;ia[i+1]) { t=a[i];a[i]=a[i+1];a[i+1]=t; } for(i=0;ia[n-2])  a[n-1]=x ;  /*比最后一个数还大就往最后一个元素中存放*/  else    /*查找待插位置*/   { j=0;    while( j<=n-2 && x>a[j])  j++;     for(k=n-2; k>=j; k- -)    /*从最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/a[k+1]=a[k];    a[j]=x;  /*插入待插数*/ }    for(j=0;j<=n-1;j++)  printf("%d  ",a[j]);}插入法排序的要领就是每读入一个数立即插入到最终存放的数组中,每次插入都使得该数组有序。例2、任意读入10个整数,将其用插入法按降序排列后输出。(提示:将第2至第10个数一一有序插入到数组a中)#define n 10 main(){ int a[n],i,j,k,x; scanf("%d",&a[0]);   /*读入第一个数,直接存到a[0]中*/ for(j=1;j=i;k--) a[k+1]=a[k];      a[i]=x;     /*插入待插数*/      }   }  for(i=0;i=m && j=n && ifloat g(float x,float eps);main(){ float x,eps;  scanf("%f%f",&x,&eps); printf("\n%f,%f\n",x,g(x,eps));}float g(float x,float eps){ int n=1;float s,t;  s=1;  t=1; do { t=t*x/(2*n);      s=s+(n*n+1)*t;   /*加波浪线的部分为直接法描述部分,t为递推法描述部分*/     n++; }while(fabs(t)>eps); return s;}2.一元非线性方程求根(1)牛顿迭代法牛顿迭代法又称牛顿切线法:先任意设定一个与真实的根接近的值x0作为第一次近似根,由x0求出f(x0),过(x0,f(x0))点做f(x)的切线,交x轴于x1,把它作为第二次近似根,再由x1求出f(x1),过(x1,f(x1))点做f(x)的切线,交x轴于x2,……如此继续下去,直到足够接近(比如|x- x0|<1e-6时)真正的根x*为止。而f '(x0)=f(x0)/( x1- x0)  所以 x1= x0- f(x0)/ f ' (x0)例如,用牛顿迭代法求下列方程在1.5附近的根:2x3-4x2+3x-6=0。#include "math.h"main(){ float x,x0,f,f1;  x=1.5;  do{ x0=x;     f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;     f1=6*x0*x0-8*x0+3;     x=x0-f/f1; }while(fabs(x-x0)>=1e-5);  printf ("%f\n",x); }(2)二分法算法要领是:先指定一个区间[x1, x2],如果函数f(x)在此区间是单调变化的,则可以根据f(x1)和 f(x2)是否同号来确定方程f(x)=0在区间[x1, x2]内是否有一个实根;如果f(x1)和 f(x2)同号,则f(x) 在区间[x1, x2]内无实根,要重新改变x1和x2的值。当确定f(x) 在区间[x1, x2]内有一个实根后,可采取二分法将[x1, x2]一分为二,再判断在哪一个小区间中有实根。如此不断进行下去,直到小区间足够小为止。具体算法如下:(1)输入x1和x2的值。(2)求f(x1)和f(x2)。(3)如果f(x1)和f(x2)同号说明在[x1, x2] 内无实根,返回步骤(1),重新输入x1和x2的值;若f(x1)和f(x2)不同号,则在区间[x1, x2]内必有一个实根,执行步骤(4)。(4)求x1和x2的中点:x0=(x1+ x2)/2。(5)求f(x0)。(6)判断f(x0)与f(x1)是否同号。①如果同号,则应在[x0, x2]中寻找根,此时x1已不起作用,用x0代替x1,用f(x0)代替f(x1)。②如果不同号,则应在[x1, x0]中寻找根,此时x2已不起作用,用x0代替x2,用f(x0)代替f(x2)。(7)判断f(x0)的绝对值是否小于某一指定的值(例如10-5)。若不小于10-5,则返回步骤(4)重复执行步骤(4)、(5)、(6);否则执行步骤(8)。(8)输出x0的值,它就是所求出的近似根。例如,用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在(-10,10)之间的根。#include "math.h"main(){ float x1,x2,x0,fx1,fx2,fx0;  do  { printf("Enter x1&x2");       scanf("%f%f",&x1,&x2);       fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;       fx2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6;     }while(fx1*fx2>0);do { x0=(x1+x2)/2;      fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;      if((fx0*fx1)<0)  { x2=x0;  fx2=fx0; }      else  {x1=x0;  fx1=fx0; }   }while(fabs(fx0)>1e-5);   printf("%f\n",x0);}3.梯形法计算定积分定积分 的几何意义是求曲线y=f(x)、x=a、x=b以及x轴所围成的面积。可以近似地把面积视为若干小的梯形面积之和。例如,把区间[a, b]分成n个长度相等的小区间,每个小区间的长度为h=(b-a)/n,第i个小梯形的面积为[f(a+(i-1)·h)+f(a+i·h)]·h/2,将n个小梯形面积加起来就得到定积分的近似值:根据以上分析,给出“梯形法”求定积分的N-S结构图:输入区间端点:a,b输入等分数nh=(b-a)/2,   s=0i从1到nsi=(f(a+(i-1)*h)+f(a+i*h))*h/2s=s+si输出s上述程序的几何意义比较明显,容易理解。但是其中存在重复计算,每次循环都要计算小梯形的上、下底。其实,前一个小梯形的下底就是后一个小梯形的上底,完全不必重复计算。为此做出如下改进:矩形法求定积分则更简单,就是将等分出来的图形当作矩形,而不是梯形。例如:求定积分 的值。等分数n=1000。#include "math.h"float DJF(float a,float b){ float t,h;  int n,i; float HSZ(float x); n=1000;  h=fabs(a-b)/n; t=(HSZ(a)+HSZ(b))/2; for(i=1;i<=n-1;i++)   t=t+HSZ(a+i*h); t=t*h; return(t);}float HSZ(float x){ return(x*x+3*x+2); }main(){ float y;  y=DJF(0,4);printf("%f\n",y);}四、其他常见算法1.迭代法其基本思想是把一个复杂的计算过程转化为简单过程的多次重复。每次重复都从旧值的基础上递推出新值,并由新值代替旧值。例如,猴子吃桃问题。猴子第一天摘下若干个桃子,当即吃了一半,还不过瘾,又多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半,又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上想再吃时,就只剩一个桃子了。编程求第一天共摘多少桃子。main(){ int day,peach; peach=1; for(day=9;day>=1;day--)  peach=(peach+1)*2; printf("The first day:%d\n",peach);}又如,用迭代法求x= 的根。求平方根的迭代公式是:xn+1=0.5×(xn+a/ xn )[算法](1)设定一个初值x0。(2)用上述公式求出下一个值x1。(3)再将x1代入上述公式,求出下一个值x2。(4)如此继续下去,直到前后两次求出的x值(xn+1和xn)满足以下关系:| xn+1- xn|<10-5#include "math.h"main(){ float a,x0,x1;  scanf("%f",&a);  x0=a/2;  x1=(x0+a/x0)/2;  do{ x0=x1;     x1=(x0+a/x0)/2;    }while(fabs(x0-x1)>=1e-5);  printf("%f\n",x1);}2.进制转换(1)十进制数转换为其他进制数一个十进制正整数m转换成r进制数的思路是,将m不断除以r取余数,直到商为0时止,以反序输出余数序列即得到结果。注意,转换得到的不是数值,而是数字字符串或数字串。例如,任意读入一个十进制正整数,将其转换成二至十六任意进制的字符串。void tran(int m,int r,char str[],int *n){ char sb[]="0123456789ABCDEF";  int i=0,g;  do{ g=m%r;     str[i]=sb[g];     m=m/r;     i++;    }while(m!=0); *n=i;}main(){ int x,r0;    /*r0为进制基数*/ int i,n;     /*n中存放生成序列的元素个数*/  char a[50];  scanf("%d%d",&x,&r0); if(x>0&&r0>=2&&r0<=16) { tran(x,r0,a,&n);for(i=n-1;i>=0;i--) printf("%c",a[i]);     printf("\n"); } else  exit(0);}(2)其他进制数转换为十进制数其他进制整数转换为十进制整数的要领是:“按权展开”,例如,有二进制数101011,则其十进制形式为1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43。若r进制数an……a2a1(n位数)转换成十进制数,方法是an×r n-1+……a2×r1+a1×r0。注意:其他进制数只能以字符串形式输入。例1、任意读入一个二至十六进制数(字符串),转换成十进制数后输出。#include "string.h"#include "ctype.h"main(){ char x[20];  int r,d; gets(x);         /*输入一个r进制整数序列*/ scanf("%d",&r);  /*输入待处理的进制基数2-16*/  d=Tran(x,r); printf("%s=%d\n",x,d);}int Tran(char *p,int r){ int d,i,cr;  char fh,c; d=0;  fh=*p; if(fh=='-') p++; for(i=0;i='A')  cr=toupper(c)-'A'+10;    else  cr=c-'0';    d=d*r+cr;   }  if(fh=='-') d=-d;  return(d);} 3.矩阵转置矩阵转置的算法要领是:将一个m行n列矩阵(即m×n矩阵)的每一行转置成另一个n×m矩阵的相应列。例1、将以下2×3矩阵转置后输出。即将      1   2   3        转置成    1   4           4   5   6                   2   5                                      3   6main(){ int a[2][3],b[3][2],i,j,k=1; for(i=0;i<2;i++)    for(j=0;j<3;j++)      a[i][j]=k++; /*以下将a的每一行转存到b的每一列*/ for(i=0;i<2;i++)   for(j=0;j<3;j++)      b[j][i]=a[i][j]; for(i=0;i<3;i++)     /*输出矩阵b*/   { for(j=0;j<2;j++)       printf("%3d",b[i][j]);     printf("\n"); }}4.字符处理(1)字符统计:对字符串中各种字符出现的次数的统计。典型例题:任意读入一个只含小写字母的字符串,统计其中每个字母的个数。#include  "stdio.h "main(){ char a[100]; int n[26]={0}; int i; /*定义26个计数器并置初值0*/   gets(a);  for(i=0;a[i]!= '\0' ;i++)   /*n[0]中存放’a’的个数,n[1] 中存放’b’的个数……*/    n[a[i]-'a' ]++;  /*各字符的ASCII码值减’a’的ASCII码值,正好得对应计数器下标*/   for(i=0;i<26;i++)     if(n[i]!=0)  printf("%c :%d\n ", i+'a', n[i]);}(2)字符加密例如、对任意一个只含有英文字母的字符串,将每一个字母用其后的第三个字母替代后输出(字母X后的第三个字母为A,字母Y后的第三个字母为B,字母Z后的第三个字母为C。) #include "stdio.h"#include "string.h"main(){ char a[80]= "China"; int i;     for(i=0; i='x'&&a[i]<='z'||a[i]>='X'&&a[i]<='Z')  a[i]= a[i]-26+3;       else  a[i]= a[i]+3;puts(a);} 5.整数各数位上数字的获取算法核心是利用“任何正整数整除10的余数即得该数个位上的数字”的特点,用循环从低位到高位依次取出整数的每一数位上的数字。例1、任意读入一个5位整数,输出其符号位及从高位到低位上的数字。main(){ long x;    int w,q,b,s,g;  scanf("%ld",&x);  if(x<0) {printf("-,"); x=-x;}  w=x/10000;      /*求万位上的数字*/  q=x/1000%10;    /*求千位上的数字*/ b=x/100%10;     /*求百位上的数字*/ s=x/10%10;      /*求十位上的数字*/ g=x%10;         /*求个位上的数字*/  printf("%d,%d,%d,%d,%d\n",w,q,b,s,g); }例2、任意读入一个整数,依次输出其符号位及从低位到高位上的数字。[分析]此题读入的整数不知道是几位数,但可以用以下示例的方法完成此题:例如读入的整数为3796,存放在x中,执行x%10后得余数为6并输出;将x/10得379后赋值给x。再执行x%10后得余数为9并输出;将x/10得37后赋值给x……直到商x为0时终止。main(){ long x;   scanf("%ld",&x); if(x<0) {printf("-  "); x=-x;} do  {             /*为了能正确处理0,要用do_while循环*/   printf("%d  ", x%10);    x=x/10;   }while(x!=0);  printf("\n");}例3、任意读入一个整数,依次输出其符号位及从高位到低位上的数字。[分析]此题必须借助数组将依次求得的低位到高位的数字保存后,再逆序输出。main(){ long x; int a[20],i,j; scanf("%ld",&x);  if(x<0) { printf("-  "); x=-x; } i=0;  do { a[i]=x%10;      x=x/10;  i++;     }while(x!=0);  for(j=i-1;j>=0;j--)    printf("%d  ",a[j]); printf("\n");}6.辗转相除法求两个正整数的最大公约数该算法的要领是:假设两个正整数为a和b,先求出前者除以后者的余数,存放到变量r中,若r不为0,则将b的值得赋给a,将r的值得赋给b;再求出a除以b的余数,仍然存放到变量r中……如此反复,直至r为0时终止,此时b中存放的即为原来两数的最大公约数。例1、任意读入两个正整数,求出它们的最大公约数。[ 法一:用while循环时,最大公约数存放于b中]main(){ int a,b,r; do  scanf("%d%d",&a,&b); while(a<=0||b<=0);   /*确保a和b为正整数*/ r=a%b; while(r!=0)  { a=b;b=r;r=a%b; } printf("%d\n",b);}[ 法二:用do…while循环时,最大公约数存放于a中]main(){ int a,b,r; do  scanf("%d%d",&a,&b); while(a<=0||b<=0);  /*确保a和b为正整数*/ do {r=a%b;a=b;b=r;    }while(r!=0); printf("%d\n",a);}【引申】可以利用最大公约数求最小公倍数。提示:两个正整数a和b的最小公倍数=a×b/最大公约数。例2、任意读入两个正整数,求出它们的最小公倍数。[法一:利用最大公约数求最小公倍数]main(){ int a,b,r,x,y; do  scanf("%d%d",&a,&b);  while(a<=0||b<=0);   /*确保a和b为正整数*/  x=a; y=b;           /*保留a、b原来的值*/ r=a%b; while(r!=0) { a=b;b=r;r=a%b; } printf("%d\n",x*y/b);} [法二:若其中一数的最小倍数也是另一数的倍数,该最小倍数即为所求]main(){ int a,b,r,i; do  scanf("%d%d",&a,&b); while(a<=0||b<=0);  /*确保a和b为正整数*/ i=1;   while(a*i%b!=0)  i++; printf("%d\n",i*a);}7.求最值    即求若干数据中的最大值(或最小值)。算法要领是:首先将若干数据存放于数组中,通常假设第一个元素即为最大值(或最小值),赋值给最终存放最大值(或最小值)的max(或min)变量中,然后将该量max(或min)的值与数组其余每一个元素进行比较,一旦比该量还大(或小),则将此元素的值赋给max(或min)……所有数如此比较完毕,即可求得最大值(或最小值)。例1、任意读入10个数,输出其中的最大值与最小值。#define N 10main(){ int a[N],i,max,min;  for(i=0;imax)  max=a[i];  else  if(a[i]     #include      main( )      { int k,j,a[101];     clrscr();   /*清屏函数*/     for(k=2;k<101;k++) a[k]=k;     for(k=2;k=0;j--) printf("  ");   /*输出时每行前导空格递减*/   for(j=0;j<=i;j++)     printf("%4d",a[i][j]);    printf("\n");   }}
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