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悬索桥 成桥主 缆线 计算 分段 悬链线法
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第 25 卷 第 1 期 铁 道 学 报 Vol. 25 , No. 1 2003 年 2 月 JOURNAL OF THE CHINA RAIL WA Y SOCIET Y February 2003 文章编号 : 100128360 (2003) 0120087205 悬索桥成桥主缆线形计算的分段悬链线法 唐茂林 , 强士中 , 沈锐利 (西南交通大学 桥梁及结构系 , 四川 成都 610031) 摘 要 : 根据悬索桥的受力特点 ,发展了悬索桥成桥主缆线形计算的精确方法 ———分段悬链线法。本方法采用 解析表达式、用数值迭代计算法解决给定的问题 ,是一种精确的方法。本文的方法不存在用有限元法或传统的抛 物曲线、悬链曲线法计算时的那种假设误差 ,它根据力学平衡条件和变形相容条件确定各部分的索力和曲线形 状 ,自动计入了索曲线的所有非线性。 关键词 : 悬索桥 ;主缆线形 ;悬链线 ;计算方法 中图分类号 : U448. 25 文献标识码 : A Segmental catenary method of calculating the cable curve of suspension bridge TAN G Mao2lin , Q IAN G Shi2zhong , SHEN Rui2li (Bridge and Structural Engineering Department , Southwest Jiaotong University , Chengdu 610031 , China) Abstract : According to mechanics characteristics of suspension bridge ,an exact method of calculating the cable curve of suspension bridge is developed ,which is segmental catenary method. This proposed method uses mathematic ex2 pressions and iterations to solve the problem , and it is a reliable and accurate method. According to the condition of force equilibrium and the condition of deformation compatibility , it determines every part of cable forces and curve shapes without the hypothesis errors such as the finite element method , custom parabola method and the catenaries method , so it includes automatically all nonlinearities of catenary curve. Keywords : suspension bridge ; cable curve ;catenary ;calculation method 悬索桥的线形关系到桥梁净空、桥面平顺度、结构 内力、支座标高及桥梁功能的实现等诸多因素 ,同时也 影响到桥梁的美观。对于设计者来说 ,悬索桥主缆的 设计首先是确定中跨的矢跨比 ,然后根据桥面净高和 梁高、最短吊索长度等可确定桥塔顶主缆的理论标高 , 有此三个数据就能按近似公式基本准确地计算出成桥 态的主缆内力。这种近似计算对于内力的设计精度足 够 ,但是对于线形计算来说 ,这三点只是控制点 ,在这 三点之外的线形则要由荷载确定。 悬索桥主缆上的荷载由两部分组成。一部分是沿 主缆曲线分布的荷载 ,即主缆自重、缠丝及涂装重量 等 ;另一部分则是通过索夹传递的集中力 ,即索夹自 重、吊索自重以及通过吊索传递的加劲梁及桥面等自 收稿日期 : 2002205229 ; 修回日期 : 2002209202 基金项目 : 铁道部科技研究开发计划项目 (2000 G0222A205 ,2000 G0222A22) 作者简介 : 唐茂林 (1973 — ) , 男 , 四川内江人 , 博士研究生。 重。对于设计完成的结构除吊索力以外的荷载都容易 确定 ,而吊索力则可以根据其加劲梁的架设方法采用 有限位移理论确定。吊索不一定都为竖直的 ,但吊点 处的荷载可以表示为一个竖向荷载和一个水平荷载的 合成。因而主缆线形的计算荷载可以考虑为沿主缆曲 线的分布荷载和索夹位置的集中竖向荷载和水平荷 载。 通过对悬索桥结构体系受力特点的深入研究和大 量计算分析论证 ,发现悬索桥在上述荷载下的成桥各 跨线形并非理想的抛物线 ,也不是理想的悬链线。国 内外传统的主缆计算方法由于悬链线要素计算复杂而 假定自重作用下主缆为抛物线 ,与实际线形相差较大。 事实上无论用抛物曲线还是悬链曲线公式直接计算成 桥状态主缆各点坐标都是不太合理的。本文根据主缆 在吊索之间的各索段在自重作用下呈悬链线 (即分段 悬链线 ,非全跨悬链线 ) ,采用解析表达式、用数值迭代 计算法解决给定的问题 ,是一种精确的方法。本文的 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 方法不存在用有限元法计算时的那种假设误差 ,它根 据力学平衡条件和变形相容条件确定各部分的索力和 曲线形状 ,自动计入了索曲线的所有非线性 ,与有限元 法相比 ,计算精度大为提高 \[1 ,2 \]。根据这种理论编制 的计算软件已被应用于多座桥梁的设计中 ,本文详细 介绍这种理论的推导及计算程序实现。 1 计算假定 在主缆的分析计算过程中 ,采用下列 3 条假定 : (1) 主缆材料线弹性 ,符合虎克定律 ; (2) 主缆是理想柔性索 ,只能承受拉力。截面抗 弯刚度对缆形的影响忽略不计 ; (3) 不考虑变形前后主缆横截面积的变化。 通过上面的假定 ,主缆的自重恒载沿索为恒量 ,主 缆曲线在自重作用下呈悬链线 ,且满足线性应力应变 关系。 2 主缆索段的力学分析 如图 1 所示的自重下柔性索段单元 ,无应力长度 为 S 0 ;抗拉刚度为 EA ;其沿索自重均布荷载为 W ;两 图 1 自重下柔性索段单元 支点跨度为 X ;高差为 Y;水平张力为 H ;索段左端竖 向反力为 V ;右端反力为 V’ ,索曲线为悬链线 ,则满足 边界条件的索曲线方程 [2 ,3 ]为 Y = W S 20 - 2 V S 0 2 EA - 1 W ( V 2 + H2 - ( V - W S 0) 2 + H2) ( 1 ) X = HS 0EA + HW [ln ( V + V 2 + H2) - ln ( V - W S 0 + ( V - W S 0) 2 + H2) ] ( 2 ) 对式 ( 1 ) 和式 ( 2 ) 求和的全微分得 d X = 5 X5 Hd H + 5 X5 V d V d Y = 5 Y5 Hd H + 5 Y5 V d V ( 3 ) 式 ( 3 ) 表示 H 和 V 变化 d H 和 d V 时的跨度和高差 变化量 ,令 A 11 = 1ξ 5 Y5 V A 12 = 1ξ 5 X5 V A 21 = 1ξ 5 Y5 H A 22 = 1ξ 5 X5 H ξ = 5 X5 H 5 Y5 V - 5 X5 V 5 Y5 H ( 4 ) 用 d X 和 d Y 表示 d H 和 d V 得 d H = A 11d X + A 12d Y d V = A 21d X + A 22d Y ( 5 ) 式中 ,ξ 、 5 X5 H、 5 Y5 H 、 5 X5 V 和 5 Y5 V 根据式 ( 1 ) 和式 ( 2 ) 可以 求得。 式 ( 1 ) 和式 ( 2 ) 表达了单跨索跨度、高差与两端 内力的非线性关系 ,式 ( 5 ) 表达了跨度、高差变化量 与内力变化量的关系。主缆的线形是由内力决定的 , 利用式 ( 5 ) 表达线形误差与内力修正量之间的关系 , 利用式 ( 1 ) 和式 ( 2 ) 表达主缆的精确线形 ,因此通过 上列推导可以建立一套计算主缆线形的精确解析计算 方法。已知主缆的 H 和 V ,沿索自重均布荷载 W ,两 支点跨度为 X ,通过数值迭代法可以计算出高差为 Y ,无应力长度为 S 0 ,从而可以计算出成桥时主缆的 线形。初始计算时 , H、 V 和 V’的初值 H0 、 V 0 和 V’0 可按如下给出 [1 ,2 ] H0 = W X2λ V 0 = W2 [ S 0 - Ycothλ ] V’0 = W S 0 - V 0 ( 6 ) 式中 ,λ 为 Χ 和 Y 与 S 0 有关的函数。 3 一跨主缆线形的计算 有集中外荷载的主缆受力图式相当于许多索段相 连 ,并在连接点 (下面称为分点 ) 作用集中荷载如图 2。 悬索上共有 N + 1 个分点 (包括端点 ) ,除作用有沿索 曲线均匀分布的自重 W (图上集中示出 ) 外 ,还作用有 N + 1 个竖向集中荷载 Pi和横向集中荷载 Fi ( i = 0 ,1 , 2 ,3 , … , N ) ;其中两个端点 (主缆与索鞍的切点 ) 的荷 载为 P0 = 0 , PN = 0 , Q0 = 0 , QN = 0 ; V 、 V’ 分别为主 缆在两个端点的竖向张力 ; H、 H’分别为两端水平张 力 。 根据式 ( 1 ) ~式 ( 3 ) ,可以推导出主缆的内力和 线形 [2 ] V i = V i - 1 - Pi - W S 0 i - 1 ( 7 ) Hi = Hi - 1 - Fi ( 8 ) Xi = Xi - 1 + Hi - 1 S 0 i - 1EA + Hi - 1W · 88 铁 道 学 报 第 25 卷 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 图 2 集中荷载作用下的柔索 [ln ( V i - 1 + V 2i - 1 + H2i - 1) - ln ( V i - 1 - W S 0 i - 1 + ( V i - 1 - W S 0 i - 1) 2 + H2i - 1) ] ( 9 ) Y i = Y i - 1 + W S 20 i - 1 - 2 V i - 1 S 0 i - 1 2 EA - 1 W ( V 2 i - 1 + H2i - 1 - ( V i - 1 - W S 0 i - 1) 2 + H2i - 1) (10) α = V i - 1 V 2i - 1 + H2i - 1 - ( V i - 1 - W S 0 i - 1) · ( V i - 1 - W S 0 i - 1) 2 + H2i - 1 (11) β = ln ( V i - 1 + V 2i - 1 + H2i - 1) - ln ( V i - 1 - W S 0 i - 1 + ( V i - 1 - W S 0 i - 1) 2 + H2i - 1) (12) d S 0 i = 12 EA W {α + H2i - 1β } S i = S 0 i + d S i (13) 式中 , i = 1 ,2 ,3 , … , N 。 V i 为主缆 i 分点右侧索段起 点的竖向张力 , V 0 = V ; Hi 为主缆 i 分点右侧索段的 水平张力 , H0 = H ; Xi 、 Y i为 i 分点的坐标 , X0 、 Y 0 为 切点坐标 ; S 0 i 、 d S 0 i 、 si 分别为 i 分点右侧索段的形状 长度、伸长量和无应力长度。一条悬索只要各索段的 无应力长度和一个端点的 H、 V 确定 ,通过式 ( 9 ) 、式 (10) 就可以计算出悬索各点的内力 ,通过式 (11) ~式 (13) 可以计算出各点的位置 ,本跨主缆的线形也就完 全确定了。 4 悬索桥主缆线形计算 前面已经介绍了单跨主缆的内力及线形计算方 法。悬索桥往往有多跨 ,只要在各跨分别采用前述方 法即可。应该首先计算中跨 ,对于中跨 ,往往已知了跨 中设计垂度 ,其初始迭代的近似水平力和竖向力可按 下式给出 H = WL 2 8 f V = 1 2 WL (13) 式中 , W 为全跨内平均荷载集度 ; f 为中跨跨中垂度。 每次经过如图 3 的迭代之后 ,检查悬索桥的线形是否 满足跨中垂度为 f ,按式 ( 5 ) 修正水平力和竖向力 ,如 此反复 ,直到满足精度为至。再通过式 ( 9 ) ~式 (13) 得到主缆精确的水平力、线形和各吊索之间的主缆无 应力长度、形状长度、伸长量等 ;为了保证成桥设计状 态下桥塔为铅垂无偏状态 ,悬索桥各跨的主缆水平分 力应相等。因此 ,对于中跨以外的其它跨 ,实际上为已 知水平分力的计算 , 同样可以得到主缆水平力、线形 和各吊索之间的主缆无应力长度、形状长度、伸长量 等。将各索段无应力长度之和叠加 ,可以求得整个主 缆的无应力长度。 图 3 单跨主缆的线形和内力计算流程图 从计算悬索桥主缆的成桥线形分段悬链线法可以 看出 ,除了将悬索桥主缆简化为索的一些最基本假定 外 ,推导过程中没有任何近似 ,因此是一种精确的计算 方法。根据上述理论和流程图 ,开发了悬索桥主缆设 计与施工控制计算软件 SGKZ\[4 \],并已应用在国内多 座桥梁的设计与施工监控中。 5 算例验证 如图 4 所示 ,悬挂的索段在标准温度下的无应力 长度为 100 m ,抗拉刚度为 3. 0 × 107 kN ,沿索自重均 98第 1 期 悬索桥成桥主缆线形计算的分段悬链线法 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 布荷载为 10. 0 kN/ m ,索的温度变化线胀系数为 6. 5 × 10 - 6 (1/ ℃ ) 并且温度升高 100 ℃ ,当索的端点 J 从 起点 I 移开 ,并且直到索已变成一根直的受拉杆件 ,用 软件 SGKZ 进行计算 ,输入每个 J 点的位置 ,计算得 到的结果与解析解结果见表 1。 表 1 软件 SGKZ计算结果与解析解结果 跨 度 / m 水平分力 / kN 最高点竖向反力 / kN 最低点竖向反力 / kN 伸长量 / m 跨中标高 / m 0 0. 00 800. 00 200. 00 0. 001 134 9. 967 446 10 11. 87 800. 45 200. 20 0. 001 137 11. 428 354 20 30. 63 801. 20 199. 45 0. 001 148 13. 647 535 30 56. 45 803. 29 197. 36 0. 001 174 16. 525 773 40 91. 78 808. 10 192. 55 0. 001 225 20. 137 539 50 142. 12 818. 66 181. 99 0. 001 322 24. 667 152 60 221. 59 843. 19 157. 46 0. 001 518 30. 505 043 70 384. 34 916. 15 84. 50 0. 002 021 38. 672 750 80 4 512. 18 3 893. 32 - 2 892. 67 0. 018 846 57. 783 787 90 2 020 952. 68 1 347 802. 13 - 1 346 801. 48 8. 101 539 59. 994 430 100 4 255 724. 92 2 553 935. 29 - 2 552 934. 64 16. 554 038 59. 997 061 图 4 悬挂索段不同跨度时的线形 表 1 中的解析解是根据式 ( 1 ) 、式 ( 2 ) 联立求解 非线性方程组得到 ,由于软件 SGKZ 也是采用解析表 达式 ,只是求解方法不同 ,但最终结果一样 ,表明软件 SGKZ的正确性。 6 工程应用 前述理论与计算方法已由西南交通大学编制成悬 索桥主缆设计与施工控制计算软件 SGKZ(现已升级 为 Windos 版 Sgkz2000) ,该套软件已在虎门大桥、厦 门海沧大桥 、宜昌长江大桥、忠县长江大桥、润扬长江 大桥、万州第二大桥等大跨度悬索桥的设计中使用 ,同 时在国内其它悬索桥的建设中用作检算程序。下面介 绍软件在厦门海沧大桥施工监控中取得的成果。 海沧大桥为 3 跨连续全漂浮体系的钢箱梁悬索 桥 ,其主缆分跨为 230 m + 648 m + 230 m ,跨度居于同 类型桥梁的亚洲第一、世界第二。为保证线形的平顺 , 使用 SGKZ软件承担施工监控任务 ,利用 SGKZ 软件 确定了成桥主缆的目标线形 ,在施工过程中使用 SGKZ软件进行全程监控。全桥钢桥面焊接完成后桥 面线形平顺 ,全桥主梁标高实测值与监控计算值的均 方根差为 ± 0. 068 m ,图 5 为全桥线形的设计、监控及 实测标高图比较 ;全桥竣工后 ,全桥主梁标高实测值与 监控计算值的均方根差为 ± 0. 039 m ,图 6 为全桥钢桥 面铺装完成后线形的设计、监控及实测标高图比较 ;桥 面施工全面完成后通车前 ,海沧大桥竣工验收复测检 查组对结构线形关键点进行了反复测量 ,测量结果见 表 2。 图 5 全桥焊接完成后的线形设计、监控及实测标高 图 6 桥面铺装完成后设计、监控与实测标高 从表 2、图 5 和图 6 可以看出 ,本桥的线形监控结 09 铁 道 学 报 第 25 卷 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 果具有非常高的精度 ,说明监控过程中对结构参数的 选 取把握很准 ,计算理论、计算模型与实际非常一致 , 对特殊位置的标高控制准确 ,桥面线形平顺 ,行车舒 适 ,达到了较高水平。 表 2 海沧大桥悬索桥桥面铺装完成后复测检查结果 检测项目 检测位置 测点里程 / m 检测气温 / ℃ 监控计算值 / m 测量值 / m 偏差 / mm 南北偏差 / mm 东边跨南线跨中附近 K5 + 7. 0 84. 745 84. 718 - 27 11 东边跨北线跨中附近 985. 2 7. 0 84. 745 84. 707 - 38 主缆中心 中跨南线跨中 K5 + 6. 0 70. 077 70. 127 50 16 标高 中跨北线跨中 546 6. 0 70. 077 70. 111 34 西边跨南线 K5 + 11. 0 84. 729 84. 673 - 56 - 22 西边跨南线 106. 8 11. 0 84. 729 84. 695 - 34 东边跨 E38 号梁段 7. 0 59. 979 59. 981 2 桥面梁顶 中跨 E1 梁段 6. 0 67. 122 67. 181 59 标高 中跨 W1 梁段 6. 0 67. 122 67. 171 49 西边跨 W38 梁段 11. 0 59. 963 59. 925 - 38 塔顶偏位 东塔塔顶 (偏向边跨为正 ) 15. 0 0. 009 0. 004 5 西塔塔顶 (偏向边跨为正 ) 15. 0 0. 009 0. 004 5 7 结语 通过本文分析可得出以下 3 点结论 : (1) 使用分段悬链线理论计算悬索桥成桥线形 , 具有精度高的特点。实践表明 ,本文推导的索自重下 跨度、高差变化量与内力变化量的关系 ,解决了悬索桥 的成桥理论线形的计算问题 ; (2) 根据分段悬链线理论建立的数值算法具有迭 代速度快、计算精度高的特点。经过算例比较表明软 件是正确可靠的。 (3) 本理论的研究成果在悬索桥的设计和监控应 用中取得了圆满的成功 ,可以使悬索桥的结构线形控 制达到非常高的水平 , 保证了桥面线形的平顺与美 观 ,保证了行车的舒适性。 参考文献 : \[1 \]沈锐利 . 悬索桥主缆系统设计及架设计算方法研究 \[J \].土 木工程学报 ,1996 ,29 (4) . \[2 \]唐茂林 ,沈锐利 ,强士中 . 大跨度悬索桥丝股架设线形计算 的精确方法 \[J \].西南交通大学学报 ,2001 ,36 (3) . \[3 \]唐茂林 ,沈锐利 ,强士中 . 悬索桥索鞍位置设计 \[J \].公路交 通科技 ,2001 ,18 (4) . \[4 \]唐茂林 ,沈锐利 ,强士中 . 悬索桥线形与施工控制软件 \[J \]. 工程设计 CAD 与智能建筑 ,2002 ,66 (5) . \[5 \]牛和恩 . 虎门大桥工程第二册 ———悬索桥 \[ M \].北京 :人民 交通出版社 ,1998. (责任编辑 张武美 ) 19第 1 期 悬索桥成桥主缆线形计算的分段悬链线法 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
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