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新课程 背景 中学数学 建模 教学研究
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浙江师范大学 硕士学位论文 新课程背景下中学数学建模教学研究 姓名:梁世日 申请学位级别:硕士 专业:学科教学·数学 指导教师:刘建永 20081201 中 文摘要 在新颁布的数学课程标准里,数学建模成为十分重要的组成部分,因此数学 建模教学研究成为新课程背景下数学教育改革中急需用实践来证明的数学教育 问题。 作为中学数学教师如何落实新课程的基本要求?如何在数学教学中实施数 学建模教学?具体有哪些操作方法?这些做法是否符合中学学生的实际?是否 达到了新课标的要求?这些问题正成为中学数学教师极力思考的问题。 本课题采用行动研究的方法展开对中学数学建模教学的研究。 首先,通过大量的文献资料调查提出了中学数学建模教学研究现状、背景及 意义。提出纯数学建模理论与具体数学建模问题研究比较多,而在中学数学教学 过程中,设计我们的课堂教学来达到数学建模的要求比较少。 其次,通过深入学习研究新课程新理念,对新课程背景下中学数学建模教学 的要求作了具体分析。以数学教育教学理论、数学新课程标准的理论及新的研究 成果作为指导,对中学数学建模教学概念进行界定,指出中学数学建模能力的形 成主要是基础知识、基本技能、基本数学方法训练的一种综合效果,建模能力的 培养主要还是打基础,但也可适当地对一些适合高中阶段的原始的实际问题进行 建模活动。同是,在理论研究的基础上提出中学数学建模教学应遵循的原则、具 体操作计划、评价方法。 本研究的重点在于对计划实施过程中的具体案例进行研究分析。就课堂教学 中如何“切入“中学数学建模教学问题,指出通过问题解决的过程分解,把一些 较小的数学建模问题,放到正常教学的局部环节上进行指导。在应用题教学上, 指出应用题教学与数学建模教学的异同点,并提出如何运用应用题教学进行中学 数学建模教学。就如何充分运用新教材中“信息技术应用”栏、“探索与发现“ 栏、“研究性学习”栏进行中学数学建模教学?作了深入的研究,指出通过中学 数学建模教学与“信息技术“相结合,可以有效地使“信息技术”与数学学科教 学进行整合;数学建模的过程其实是学生在学习过程中进行探究与发现的过程, 利用“探索与发现”栏可以进行有效的数学建模教学;在“研究性学习“中指出 高中阶段的研究性学习关键还是“学习”而不是“研究“,高中阶段的研究性学 习具有交互性、体验性与生成性,在“研究性学习“过程中进行中学数学建模活 动可以让学生体验数学建模活动的整个过程,有利于学生数学建模能力的形成a 最后,在以上理论研究与实践研究的基础上,对研究结果做出评价与反思。 关键词:新课程,中学数学建模教学,问题,评价 ABSTRACT Mathematical Modeling has become one of the most important aspects in the newly—made mathematical curriculum standard.So against a background of pushing on the curriculum reform of the basic education,the study on the teaching of mathematical modeling is imperatively to be proved by practice. As a math teacher in a middle school,how to fulfill the basic require of the newly—made curriculum?How to implemem the teaching of mathematical modeling? What kind of methods should be taken?Are they convenient for the students’practice? Are they reach the require of newly—made curriculum standard?All above have been thought hard by math teachers of middle school? Based on the thinking of above,the thesis carried 0n the study on the modeling teaching for middle schools by activity research methods. First of all,through lots of documentation,the status quo,the research background and the significance of the teaching of mathematical modeling for middle schools is put forward.Nowadays,more attention is paid to pure mathematical modeling and mathematical modeling of specific issues.However,designing our teaching to meet the requirements of mathematical modeling is relatively neglected in the secondary school math teaching. Secondly,analyzing the require of the modeling teaching for middle schools through making a deep learning of newly—made curriculum and the new philosophy is necessary.Meanwhile,under the guidance of mathematical educational theory,newly- made mathematical curriculum standard theory and the new research achievemem,the concept defying of the math teaching of mathematical modeling points out that the forming of mathematical modeling ability is a result of training in fundamental knowledge,fundamental skills and fundamental mathematical methods.The cultivating of modeling ability mainly concerned with learning fundamental knowledge.However,it is also practical to have modeling in real situation at the stage of high school as well as putting forward the principle,certain operational plan and‘ evaluation methodology which should be followed. This thesis focuses on the researching analysis of the certain cases in the implementation process of the plan.On the problem of how tO‘'put’’mathematical modeling into middle school math teaching,this thesis also points out that by splitting up the problem solving process,we can put some small scale mathematical modeling into the certain parts of routine teaching process.Title in the application of teaching, pointing out that questions of teaching and application of mathematical modeling of the similarities and differences between teaching,and how to use the application subj ect teaching in secondary schools to carry out mathematical modeling teaching. On how to make full use of new materials in the”information technology”field ”to explore and found”column,”Research Study”column for secondary school math teaching model made in-depth study。That school Mathematical modeling through teaching and”information technology”combination is an effective way to make the ”information technology”and the teaching of mathematics integration;mathematical modeling is the process of the students in the learning process to explore for and found the process of using”Exploration and found”column can be effective teaching of mathematical modeling.’’Research Study”in high school that stage of the study is the key to”study”rather than”research”and senior high school sfudy of interactive learning,experience and generate,at the high school”study”conducted Mathematical modeling school activities SO that students call experience the activities of the mathematical modeling of the whole process will help students form a mathematical modeling capabilities. Finally,in the above theory and practice of research studies on the basis of the findings to evaluate and reflect on. KEY WORDS:newly.made curriculum,the teaching of mathematical modeling for middle schools,problems,evaluation 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名: 学位论文使用授权声明 日期:伊吻I枷11r 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档,允许论文被查阅和借阅,可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 研究生签名: 新魏举j嵋期:确肿肪 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守《浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例》。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、 观点等,均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年份、 刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文中 未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反,本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人(研究生): 跏 指 导教厩索pj∥ 新课程背景下中学数学建模教学研究 1问题的提出及研究综述 1.1问题提出的背景及意义 2l世纪是知识经济时代,也是经济全球化进程逐步强化的时代。随着知识经济 及经济全球化的迅猛发展,国力的强弱越来越取决于劳动者的素质。而原有单一、 封闭、僵化、保守的教育体系已经严重滞后于新世纪的发展,制约社会的进步,已 经不能满足培养具有全新素质的人才的需要。因此,世界各国,尤其是西方发达国 家纷纷启动以基础教育课程改革为核心的教育改革运动。 我国新一轮基础教育课程改革以“为了中华民族的复兴,为了每位学生的发展“ 为宗旨,力求构建符合素质教育要求的新的基础教育课程体系,全面推行素质教育, 培养具有初步创新精神和实践能力的一代新人。 进入2l世纪,我们的数学教育观币在消然发生变化: (1)从关注教师的“教”转向也关注学生的“学”,由原来教师在教学中的支 配地位向以教师为主导,学生为主体的一种教学模式转变; (2)从“双基”与“三力”观点到更宽广的能力观和素质观,由原来的注重基 础知识、基本技能的同时注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能 力,发展学生的创新意识和应用意识,提高学生的数学探究能力,数学建模能力和 数学交流能力,进一步发展学生的数学实践能力; (3)从听课、阅读、演题的学习方式向提倡实验、讨论、探索的学习方式转变, 由原来的单纯地依赖模仿与汜忆转向要求学生动手实践、自主探索与合作交流,学 生数学学习的内容转向现实的、有意义的、富有挑战性的问题,以便有利于学生进 行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动; (4)从看重数学的抽象和严谨,到关注数学文化、数学探究和数学应用,认识 到现实生活中蕴含着大量的数学信息,数学在现实世界中有着广泛的应用,要求学 生在面对实际问题时,能主动尝试从数学角度,运用所学的知识和方法寻求解决问 题的策略,面对新的数学知识时,能主动地寻找其实际背景,并探索其应用价值。【lj 2001年6月7日教育部下发的《基础教育改革纲要(试行)》中指出:“…… 加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系,关注学生的学习兴趣和 经验,精选终身学习必备的基础知识和技能。’’从这个意义上说,在中学开展数学建 模活动更符合新一轮的课程改革的思想。 数学建模活动就是一种创造性活动,数学建模就是让学生经历“做数学”的数 学过程,是让学生养成动脑和形成数学意识的过程。数学建模是数学学习的一种新 的方式,它提倡动手实践、自主探索与合作交流,为学生提供了自主学-j的空间, 学生是学习过程中的主体。因此在中学开展数学建模教学有助于学生体验数学在解 川jI乏奠南,朱,,庆.数学教育概论(M).北京:高等教育}l:版÷I:,2004.148—151 新课程背景下中学数学建模教学研究 决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运 用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴 趣,发展学生的创新意识和实践能力。 2003年《普通高中数学课程标准(实验)》把“数学应用意识”作为高中数学课 程的基本理念之一。该标准提出了加强数学应用和联系实际的途径:“提供基本内容 的实际背景,反映数学的应用价值,开展‘数学建模’的学习活动,设立体现数学 某些重要应用的专题课程……力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数 学与日常生活及其他学科的联系。”该大纲把发展数学应用意识和提高实践能力结合 起来,作为对数学学习的基本要求。 因此,作为中学数学教师如何落实新课程的基本要求?如何在数学课堂中实施 数学建模教学?具体有哪些操作方法?这些做法是否符合中学学生的实际?是否达 到了新课标的要求?实施中学数学建模教学对高中学生数学基础知识的掌握、数学 能力的发展起怎样的一种作用?收到怎样一种效果?这些问题正是在新课程改革的 背景下中学数学教师极力思考的问题。 中学数学建模教学的研究是数学教育研究的一个重要的组成部分,是新课程理 念下数学教育改革中急需用实践来证明的数学教育问题。因此,笔者希望通过本课 题的研究来解决以上的一些问题,能为新课程背景下中学数学建模教学提供较强的 适应性和可操作性的教学设计框架,并且作为一种校本课程的开发,为以后的数学 建模教学提供一些理论与实践的依据。 1.2问题研究的现状及文献综述 近二十年来,数学建模教学在一些西方国家如美国、英国、丹麦等,成为一个 热门话题,并在国际数学教育大会(ICME)中占有一席之地。在1993年英国EXETER 召开了第一次“数学建模和应用的数学国际会议”(ICTME)以后每隔两年举行一次。 1998年在丹麦的ROSKILDE召丌了ICTME一4的会议序言上就提出了“要重视从实际 出发,建立数学模型,解决数学模型,解决数学问题,从而解决实际问题这个全过 程”并指出“数学教育要教给学生的不仅是数学知识,重要的是在于培养学生应用 数学的意识“,“从知识的掌握到知识的应用不是一件简单的,自然而然就能形成的 事情,没有充分的、有意识的训练,学生的应用意识是不会形成的” 日本于1999年3月颁布了从2003年开始实行的新数学课程。这一课程体系 中一个明显的特点就是重视数学实践,强调学生在学习新概念、新定理时主动完成 某些活动,并提出问题的内在联系;另一方面,要求学生利用计算机去完成一些学 习任务和解决R常生活中的实践问题。 不仅是荷兰和日本,英国、美国的数学课程也进一步加强了应用性,各国的数 学教育改革都努力用较浅显的方法使学生获得较为丰富的数学知识和数学方法,也 2 新谍程背景下中学数学建漠教学f『』畛£ 都试图以某种特别引人注目的方式强化“数学应用”在数学中的地位,从而使中学 数学理论联系实际,学以致用,进一步激发广大学生学习数学的兴趣与动机,更多 地认识数学的价值,更好地体会数学应用对整个社会的作用。 社会对数学应用的需要,引起了世界范围内的思考,世界各国进行了数学教育 改革,而数学建模进入中学,体现了数学教育改革的某种努力。 2000年国际数学教育大会也充分意识到:数学建模、数学应用、数学生存等问 题浮出水面,无法回避。藤F日宏教授指出:现代应用数学的对象、方法、价值,目 前还没有反映到数学课程中来。数学学习过程应该是一个认识发展的过程,而不是 知识叠加的过程。更一般而言,人类发展数学知识的方法也是个人获得数学知识的 方法。 弗赖登塔尔强烈反对所谓的“反教学倒置”,即把数学家工作的结果作为数学教 育的出发点。对于学校的学习大多是大量知识和知识结构的掌握和练习,没有考虑 到应用及情景的利用等,导致了仅仅是肤浅地积累起来的、呆板的知识,一些也许 只用于暂时的考试和测验目的才‘活跃起来的,而在问题情境和应用情境中好象不能 活跃起来的知识。然而思维和学习总是和情境相联系的(情境认知),结论是:“学 校的学习必须更明确地建立在可靠的真实的问题情境中,以使学习的使用价值更明 显地被体验了解。把学习和学习激励固定联系在一些问题情境中必须是教学的主要 原则。参与和共同实施应用问题的解决,似乎可以使学校的教与学达到更高的影响 程度”。 世界各国研究建模教学,并总结出了一些具体方法: 两分法:前一部分主要处理纯数学内容,后一部分处理与前一部分相关的数学 知识应用与数学建模问题。 三分法:整个数学由一些小单元组成,而每一个单元的做法与两分法相同。 混合法:新的数学概念和理论的形成与数学建模活动被设计在一起。一方面, 新的数学概念和理论被数学建模的问题情景所激发和阐述,而另一方面,数学建模 的问题又被这个新的数学内容所描述和解决。这种做法可表述为:问题情境的呈现 一一数学内容的学习一…问题情景的解决……新的问题情景的呈现…一新 的数学内容的学习~一新的问题被解决。 课程内并入法:一个问题首先被呈现,然后与这问题有关的数学内容被探索和 发展,直至问题被解决。 课程间并入法:与前一种方法不同,主要是因为所呈现问题的解决所要的知识 不一定是数学知识,可能是其他科目的知识。数学与其他科目知识融为一体,显然 这是一种跨学科设计教学法。Ⅲ 我国早在20世纪50年代术,60年代初华罗庚等数学家及数学教育家就有意识 地向中学生介绍、普及解决实际问题的建模思想。80年代,徐利治先生在《数学 【11赵林.固外中学数学业模教学情况慨述.课程教材教法(J),安徽建工学院.1995,8:56·58 新课程背景-F中学数学建模教学研究 方法论选讲》中提出了“建立数学模型”的方法。1991年lO月,我国著名科学家钱 学森教授在一封信中指出:“我想我国数学界的同仁必须看到科学技术以至世界的新 变化…一电子计算机的出现和将来的普遍使用,到21世纪人类对数学的要求将有 根本性的变化”。十多年来的进程完全证明了此预言的正确性。 随着科技的发展,人们越来越感觉到数学素养是一个人的基本素质中的重要方 面之一,而掌握和运用数学模型方法是衡量一个人数学素养高低的一个重要标志。 作为一种尝试,20世纪六七十年代西方国家一些学校开设了一门称为数学建模的课 程,讲授一些数学建模方法,培养建模能力,以培养较高的数学素养。80年代初这 门课程引入到我国的一些高等院校,短短十年来发展非常迅速,反应良好。90年代 初国内一些大学组队参加美国大学数学建模竞赛。几年以后,国内也开始仿效美国 的形式举办全国大学生数学建模竞赛。从那以后,数学建模也波及到中学,使得我 国各种各样的有关数学的杂志中,讨论数学模型方法、数学运用、数学建模的文章 明显地多了起来。1991年10月,上海开始举办了首届 “金桥杯”中学生数学 知识应用竞赛,并于1992年进行了决赛,1993年北京也举办了“方正杯”中学生数 学知识应用竞赛,在这个基础上,北京市成立了高中数学知识应用竞赛咨询委员会和 组织委员会,并于1997年举办了第一届北京高中数学知识应用竞赛。显然这些竞赛 是受美国大学生数学建模竞赛的启发,其中的题目有比较确定甚至唯一正确的答案, 而有的题类似于数学建模竞赛中主试题,从不同的角度考虑或提出不同的假设,将得 到不同的结果,竞赛为学生发挥创造力提供了良好的机会。而近几年的高考试题中, 采用数学建模方法求解的应用问题引起了高度的重视,一些地区的初中升高中数学 试题也有了数学建模的内容。 在这种形式下,我国在理论与实践的研究上也取得一定的成果,出版了一些中 学数学应用的书籍,主要有:邱森编著的《数学问题与模式探求》(华东理工大学出 版社),人民教育出版社中学数学室编著的高级中学选修教材《数学应用问题》(上、 下两册);张莫宙、戴再平主编的《中学数学问题集》(华东师大出版社),卜月华主 编的《中学数学建模教与学》(东南大学出版社)等等。他们具体的一些做法是大量 的研究适合中学数学建模的问题,提供了一些数学建模题库,具体在教学方面的一 些做法与国外的一些研究基本类似,同时也融入了一些我国数学教育的特点。 在课程方面,我国1992年的数学教学大纲关于数学能力的提法由“三大能力” 改为“四大能力”,增加了“解决实际问题”的能力;目前正在实施的《数学课程标 准》中,数学建模贯穿于整个高中数学课程,无论在形式上、内容上、还是在要求 上都比以前有较大程度的增强,难度也有所提高。同时在新课程标准中还增设了“数 学建模”专题,要求高中学生在三年的数学学习中至少要进行一次完整的数学建模 过程。 4 新课程背景下中学数学建模教学研究 从以上的文献资料来看,关于纯数学建模理论与具体数学建模问题的研究比较 多,真正在中学数学教学过程中,如何设计我们的教学来达到数学建模的教学要求 的实践过程比较少。 在叶其孝主编的《中学数学建模》一书中提到:数学应用、数学建模、与正常 数学教学的结合和“切入”。“切入”是指教师可以把一些较小的数学应用和数学建 模的问题,通过把问题解决的过程分解后,放到正常教学的局部环节上去做,并且 注意经常这样做,我们可以用“化整为零”、“细水长流”来描述这种做法。“比如 在新知识的引入、复习课时,可以用一点时间穿插介绍一个数学应用或数学建模问 题,让学生在课堂上仅仅讨论完成“问题数学化“的过程,而把问题求解的过程留 给学生课外完成。较大或较难的问题可与假期作业和科技小论文的写作结合起来, 放到假期或给学生一个较长的时间来完成”。… 以上的这段说明,可以说直到现在,在新课程实施的今天,还是非常适合我们 新课程的理念。 Ⅲ叶je孝.中学数学建模(M).湖南:湖南教育…版社,1998.58 新课程背景下中学数学建模教学研究 2问题研究的视角与方法 2.1问题研究的视角 (1)理论层面 以新课程新理念为指导,结合数学教育教学理论,从理论层面探索中学数学建 模教学概念界定、原则、课时安排、评价方法。 (2)操作技术层面 从操作技术层面研究在新课程理念下中学数学建模教学的具体实施途经。 2.2问题研究的方法 (1)理论研究法 课堂教学与实践活动的指导是一个多角度问题,范围广,理论性强,因此要用 现代教育研究的理论成果为指南,以数学教育教学理论、数学新课程标准的理论及 新的研究成果作为指导。 (2)行动研究法 本课题的研究将采用行动研究法,立足于研究者自身的教学实践,着眼于新课 程的教育理念,通过教育教学理论与数学建模教学实践相结合,具体计划、详细观 察、认真记录,积累数学建模教学的案例,学生学习行为的案例,以及教学中疑难 问题的持续研究,从中提炼、概括、总结出有规律性的研究成果。Ⅲ 【u叶宝牛.叶义杰.中小学教育研究方法教程(M).I:海:中固教育Ⅲ版社(M),2003.163—176 6 新议程背景下中学数学建模教学研究 3中学数学建模教学的新理念 3.1新课程的变化 当前,人类已经进入一个高度信息化的社会,在新的时代,科技理性受到质疑, 价值理性不断复苏,科学教育与人文教育呈现融合的趋势。在这样的一个时代,学 校教育呼唤素质教育的全面推进,以真正实现培养具有完美人格的教育。我国高中 课程改革的推行也正是为了弘扬素质教育的理念,在高中教育阶段通过构建符合素 质教育的课程体系而推进素质教育改革的深入发展。 “应试教育”的课程体系表现为:以学科知识为中心,只重智育,忽视德育、 体育、美育及劳动教育;智育中又只重视知识的累积,忽视学生的认知结构,不利 于学生的全面发展。对于教学内容,“应试教育’’以升入高一级学校为标准,侧重选 取升学需要的知识,强调基础知识、基本技能的训练,忽视学生的和谐发展和社会 发展的需要。现行基础教育课程受“单纯应试教育”的制约,过分偏重学科类课程, 偏重必修课和分科设课,忽视活动类课程,忽视选修课和综合课程,从而导致教学 内容偏难和过分关注学科体系的完整,忽视综合应用能力的培养;受“标准化”、“规 范化”的制约,过分要求所有学生达到同等标准,从而导致过高的统一要求,忽视 学生的差异性;受旧式“单向思维方式”的制约,习惯于循序渐进、均衡发展地安 排课程,忽视时空变换、环境变迁和学生变化的特殊性,从而导致学生潜能、个性 特长发展的低下。 新课程总结以往课程的不足,结合素质教育的要求,在以往课程的基础上进行 了以下几个方面的转变: (1)课程功能发生了转变。针对以往课程过于注重知识传授的倾向,高中新课 程强调形成积极主动的学习念度,要求将学习过程变为学生学会学习、学会合作、 学会生存、学会做人的过程。打破以往基于精英主义思想和升学价值取向过于狭窄 的课程定位,改变了以往教学大纲要求过高,教学内容“繁、难、偏、旧”的情况, 而关注学生的全面发展。这一根本性转变,对于实现课程的培养目标,在基础教育 领域全面实施素质教育,培养学生具有社会责任感、健全人格、创新精神和实践能 力、终身学习的愿望等具有重要意义。 (2)课程结构发生了转变。在对各门具体课程之间的比重进行调整的基础上, 与以往课程多是由学科构成不同,建立了由学习领域、科目、模块三个层次组成的 课程结构。新的高中课程设置了八个学习领域。每一领域由课程价值相近的若干科 目组成。这种转变折射出我国基础教育课程改革的基本思想和新时期的培养目标, 重视提高学生的综合素养,保证高中学生全面、均衡、富有个性的发展a (3)课程内容发生了变化。新课程的内容选择上注重创新的同时,更注重基础 的夯实。课程内容的选择体现当代社会进步和科技发展,反映各学科的发展趋势, 关注学生的经验,增强课程内容与社会生活的联系。同时,根据时代发展需要及时 7 新课程背景下中学数学建模教学研究 调整、更新。不再单纯以学科为中心组织教学内容,不再刻意追求学科体系的严密 性、完整性、逻辑性,而是从高中学生发展的需要出发,结合社会和学科发展的实 际,精选学生终身发展必备的知识,以满足不同学生发展的需要。 (4)课程设置发生了转变。高中课程由必修和选修两部分组成,研究性学习活 动成为学生的必修课程。设置研究性学习活动旨在引导学生关注社会、经济、科技 和生活中的问题,通过自主探究亲身实践的过程综合地运用已有知识和经验解决问 题,学会学习,培养学生的人文精神和科学素养。 (5)课程实施发生了变化。以往教学大纲关注的是教师的教学,缺乏对课程实 施特别是对学生学习过程的关注。新课程实施致力于学生个性成长。为引导学生形 成有个性的课程修习计划,要求学校合理有序地安排课程,建立行之有效的校内选课 指导制度,避免学生选课的的育目性。学校要提供课程设置说明和选课手册,并在 选课前及时提供给学生,鼓励学生在感兴趣、有潜能的方面选修更多的模块,使学 生实现有个性的发展。为保障高中课程更有个性,新课程方案要求学校应加强课程 资源建设,充分挖掘并有效利用校内现有的资源,因地制宜,努力为当地经济建设 和社会发展服务,注重普通高中教育、职业技术教育与成人教育的融合与渗透,既 可以由学校独立开发或联校开发,也可以联合高校、科研院所等共同开发。同时要 求建立以校为本的教学研究制度,使课程的实施成为教师专业成长的过程。 (6)在评价方面发生了变化。新课程方案要求实行学生学业成绩与成长记录相 结合的综合评价方式,给予学生更大的成长空间,学校应根据目标多元、方式多样、 注重过程的评价原则,综合运用观察、交流、测验、实际操作、作品展示、自评与 互评等多种方式,为学生建立综合、动态的成长记录手册,全面反映学生的成长历 程,教育行政部门要对高中教育质量进行监控。Ⅲ 从上述的这些变化来看,《普通高中课程方案(实验)》所改革的不单纯是课程, 而是以课程改革为突破口,进行的一次全方位教育改革。其中最重要的是教育观念 的转变,课程方案确立了体现素质教育精神的教育观念,力求从根本上扭转应试教 育的局面,既要求学生全面发展,又强调为学生的个性发展创造空间,比较好地阐 释了新世纪的人才观、质量观和教育观。所以《普通高中课程方案(实验)》最核心 的转变是从应试教育向素质教育的转变。 3.2数学新课程新理念 为适应新课程的改变,《标准》对课程学习提出新的要求:提供有价值的学习内 容,学生的数学学习内容应与现实生活联系密切、富有挑战性、同时也应丰富有趣; 与以往教材中主要采取的‘‘定义一定理(公式)~例题一习题”的形式不同,《标准》 fl】《走进高中新课程》编‘丐组.走进高中新课程(M).武汉:华中师范大学}}{版社,2005.77—79 8 新课程背景下中学数学建模教学研究 提倡以“问题情境一建立模型一解释、应用与拓展”的基本模式呈现知识内容,让 学生经历“数学化”与“再创造”的过程,形成自己对数学概念的理解;提倡在关 注获得知识的同时,关注知识获得的过程,形成自己对数学的理解;学习内容的设 计应具有一定的弹性,《标准》提倡采取丌放的原则,为有特殊需要的学生留出发展 的时间和空间,满足多样化的学习需求。同时,《标准》倡导有意义的学习方式,要 求让学生在“做数学”的过程中去发现数学,认识数学的价值,了解数学的特征, 总结数学的规律,在“做数学”的过程中学会数学,发展数学能力。因此,这一次 数学课程改革,并不仅仅是“换本子“,更重要的是要转变广大数学教师的教学观念, 在数学课堂中推进素质教育,在《标准》的理念下进行教学创新,转变学生的学习 方式。‘玎 (1)改革课程结构,扩大选择和发展空间 传统的理念使课程的多样性与选择性难以真正落到实处。而新课程通过模块式 的课程结构,从数学课程内部为不同基础、不同需要的学生提供了多层次、多种类 的选择。同时新课程为提供更多选择给予时间上的保证,这主要通过课时的调整来 实现。相对老课程必修课时数从280课时减少为180课时,这就为高中三年学习期 间留有充足的时间进行选修课时的学习。另一方面,新课程给学校和教师留有一定 的选择空间。他们可以跟据学生的基本需求和自身条件,制订课程发展计划,不断 地丰富和完善供学生选择的课程,这是历次高中数学大纲所没有的。 (2)注重信息技术与课程整合,改善学生学习方式 新课程提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的教学内容,实现信息技 术与数学课程的有机整合。信息技术不仅影响到什么数学是重要的,而且也影响到 如何做数学。利用信息技术可有效地解决班级教学与个别教学之间的矛盾和困难, 大大提高教学效益。同时,信息技术的运用可拓宽学生学习的方式,如通过网上交 流,使合作学习富有成效,同时也给学生自主学习带来方便。因此,在数学课程设 计与实施中,要充分利用计算器和计算机等现代化教学手段,鼓励学生积极参与数 学活动,培养创新思维能力和良好个性品质。 (3)重新认识双基 双基是我国数学教育的优良传统,其奠定数学基础的良好功能得到国内外数学 教育界的首肯。新课程重新审定双基的内涵,在继承传统双基合理成分的同时,摒 弃繁琐的计算、人为技巧的难题和机械记忆的负担,增加适应信息时代发展需要的 算法内容,把统计与概率、向量、导数、数据处理、数学建模、使用现代信息技术 学习数学作为新的基础知识和基本技能,在以学生发展为本的理念下,构建起符合 时代要求的、科学的、合理的新双基。 (4)强调对数学本质的认识,淡化数学的形式化表达 新课标强调“淡化形式、注重实质”的理念,例如统计案例,使学生通过案例 【11礼企·I‘,张维忠,赞荣会.数学新课程‘j数学学习(M).北京:高等教育:j{版社,2003·48—78 9 新课程背景下中学数学建模教学研究 来学习它的思想方法,理解其意义和作用。又如对导数概念的理解,也是通过实例 的分析,让学生经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,进而了解导数概念的 实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及内涵。这样处理,就是把 形式化数学的学术形态转化成了学生易于接受的教育形态。 (5)发展应用意识,增强实践能力 新课程倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式, 设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动,并且把它们作为贯穿于整个高中课程 的主要内容,从数学课程内部为学生积极主动的、多样的学习方式创造有利条件。 特别是数学建模,作为新课程的一种新的学习方式,无疑为学生提供了自主学习的 广阔空间,它有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日 常生活和其他学科的联系,增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣,发展 学生的创新意识和实践能力。 新课程强调改革封闭式教学,提倡教学的开放性。要求学生不仅在课堂上获取 知识,还可以通过家庭、社会,甚至网上获取知识。在教学内容上,将边缘学科知 识融入数学学习中,促进学生数学的发展,改变了以往完全独立、完全封闭的数学 学习。同时,新课程要求学在思维活动上具有开放性,让学生展开丰富的想象。 (6)注重“发展性”与“多元性”评价 新课程强调通过学生自评、学生互评、家长评价、考试、建立学生档案、数学 小论文、活动报告等,激发学生的热情。新的学生评价体系不仅反映了学生掌握数 学知识和技能的情况,而且反映了学生数学思考、解决问题和情感态度的发展;不 仅反映学习的结果,而且反映学生学习的过程,旨在促进学生素质全面发展的评价 制度,体现了重“发展性”与“多元性”的特点。n1 3.3新课程背景下中学数学建模教学的要求 数学建模是数学学习的一种新的方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于 学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的 联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;有助于激发学 生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力。 新课标对数学建模提出了以下六点要求: (1)在数学建模中,问题是关键。数学建模的问题应是多样的,应来自于学生 的R常生活、现实世界、其它学科等多方面。学校和学生可根据各自实际情况,确 定数学建模活动的次数和时间安排。内容可以根据教学内容以及学生的实际情况提 出一些问题供学生选择,特别要鼓励学生从自己生活的世界中发现数学问题、提出 f1 J郑强,邱忠f仁.走进高中数学教学现场(M).北京:首都师范人学m版社,2008 lO 新课程背景下中学数学矬模教学研究 数学问题。同时,解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联 系。 (2)通过数学建模,让学生了解和经历解决问题的全过程,体验数学与日常生 活及其他学科的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力。 (3)每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题,对同样的问题,可 以发挥自己的特长和个性,从不同的角度、层次探索解决的方法,从而获得综合运 用知识和方法解决实际问题的经验,发展创新意识。 (4)学生在发现和解决问题的过程中,应学会通过查询资料等手段获取信息。 鼓励学生使用计算机、计算器等工具,教师在必要时应给以适当的指导。 (5)学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题,养成与人交流的习惯, 并获得良好的情感体验。教师应引导和组织学生学会独立思考、分工合作、交流讨 论、寻求帮助,教师应成为学生的合作伙伴和参谋。 (6)高中阶段至少应为学生安排一次数学建模活动。还应将课内与课外有机地 结合起来,把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。Ⅲ 【11中{仁人民共和罔教育部.普通高中数学课程标准(实验)(S).北京:人民教育…版社,2003.102一103 ll 新课程背景下中学数学矬模教学研究 4中学数学建模教学的概念、原则、课时安排、评价方法 4.1中学数学建模教学的概念界定 由于对一个问题认识的角度不同、立足点不一样,因此下的概念也各有偏向。 我国的姜启源先生给出的:模型是指为了某个目的将原型的一部分信息简缩、 提炼而构造的原型的替代物。这里的原型(prototype)是指人们在现实世界里关心、 或者从事生产、管理的实际对象。原型与模型是一对对偶体。数学模型是对于现实 世界的一个特定对象,为了一个特定的目的,根据特有的内在规律,做出一些必要 的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。该定义来强调了模型建 构的过程。 徐利治先生的定义:所谓“数学模型”(Mathematical Model)(简称删)是一个 含义很广的概念,粗略说来,数学模型乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量 相依关系,采用形式化数学语言,概括地或近似地表述出来的一个数学结构。 徐利治先生认为,数学模型有广义的解释和狭义的解释。按广义的解释,凡一 切数学概念,数学理论体系、各种数学公式、各种方程式(代数方程、函数方程、 微分方程、差分方程、积分方程一…)以及由公式系列构成的算法系统等等都可 称为删。但按狭义的解释只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系 结构才叫作姗。徐利治先生从方法论(Mothodology)的高度给出的数学模型定义更 能体现数学模型思想。 美国的莱什(Richard Lesh)和多尔(Helen M,Doerr)提出的定义从认知心理 学的角度描述了学生开发的模型的实质:模型就是概念系统(conceptual systems) (由元素、关系、运算及控制相互作用的法则组成),这一系统是用外部符号系统表 示的,被用来构建、描述、解释或预测其它系统。数学模型指的是数学概念系统, 注重结构特征,具有可共享、可控制、可修改、可迁移、可重复使用的特点。这里 所说的概念系统是存在某种关系的概念在个体头脑中形成的网络。 学生开发的概念系统(模型)类似于认知科学家称作认知结构(如用于解释经 验的图式)的概念系统,但通常比后者更情境化,具有更丰富的现实背景。了解学 生开发的概念系统的这一特点对中学数学老师或数学教育工作者来说是重要的,因 为这意味着中学数学教学尤其是数学建模教学应尽可能在一种背景丰富的真实生活 情境中进行,并通过各种表征媒介来表征概念系统的意义。 上述定义强调了:模型实质上是一种存在于学习者或问题解决者头脑中的概念 系统,当这种概念系统用外部符号表示时,即表现为方程、图表、计算机程序或其 他表征媒介时,这种(内在的)概念系统才被投射到(外在的)世界。 《简明不列颠百科全书》对数学模型的解释:这个术语的第二种用法是理论和 分析意义下的模型,也许是更为重要的一种模型。本质上说,在物理和生物世界中 的任何现实情形,无论它是天然的或是与技术和人的干预有关的,只要它可以用定 新谍程背景下中学数学建模教学研究 量的术语来描述,就能够通过数学模型使它服从解析的规律。 综合分析模型和数学模型的各种定义,我认为应该有一种反映中学数学教学特 点而又适合中学生理解的数学模型的定义,我们可用下面的框图4一l来说明: 图4.1 数学建模就是上述框图的多次循环执行的过程。 在中学阶段数学建模教学有他的特殊性,从数学应用角度分析,数学应用大致 可分为以下四个层次: (1)直接套用公式计算; (2)利用现成的数学模型对问题进行定量分析; (3)对已经经过加工提炼的、忽略次要因素,保留下来的诸因素关系比较清楚 的实际问题建立模型; (4)对原始的实际问题进行加工,提炼出数学模型,再分析数学模型求解。口1 其中第四个层次属于典型的数学建模问题。中学数学建模,一般定位在数学应 用的第三层次。在中学阶段,学生建模能力的形成是基础知识、基本技能、基本数 学方法训练的一种综合效果,建模能力的培养主要是打基础,但是,过分强调基础 会导致基础与实际应用的分裂。因此,在新课程标准中明确提出:在中学阶段至少 要让学生进行一次完整的数学建模过程。从这个意义上讲我们可以适当进入第四层 川叶je孝.中学数学建模(M).湖南:湖南教育…版社.1998.10 吲沈义选.关于中学数学J幢用Ii】f究的几点思考【J】.数学教育学报.2000,【1):58 堑丛堡笪!弛学望芋垡模教学研鬼。, 次,而这个分寸的把握是一个很值得探讨的问题,同时也是我们教学的~个难点。 准确的给中学数学建模教学定位,有利于指导数学教学以及更好地开展中学数 学建模活动,而不至于陷入盲目及极端地处理数学应用。 4.2中学数学建模教学的原则 根据新课标对中学数学建模的要求,中学数学建模教学应遵循以下的教学原则: (1)要突出学生的主体地位。高中数学建模的教学环节是将实际问题抽象简化 成数学模型;求得数学模型的解;检验、解释数学模型的解;将其还原成实际问题 的解,从而最终解决实际问题。高中数学建模课程的特点决是了每一个环节的教学 都要把突出学生的主体地位放在首位。教师要激励学生大胆尝试,鼓励学生不怕挫 折失败,要多想、多读、多议、多讲、多练、多听,让学生始终处于主动参与、主 动探索的积极状态。 (2)要重视分析建模的数学思维过程。让学生乐于参加数学建模活动,关键是 要重视分析建模的数学思维过程。通过建模发生、发展、应用过程的提示,挖掘有价 值的思维训练因素,抽象概括出建模过程中蕴含的数学思想和方法,发展学生多方面 的数学思维能力,培养学生创新意识,让每一个学生各尽其智,各有所得,获得成功。 (3)要全方位渗透数学思想方法。由于高中数学建模教学面对的是千变万化的 灵活的实际问题,建模过程应该是渗透数学思想方法的过程。首先是数学建模中化归 思想方法,还可根据不同的实际问题渗透函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论 思想、等价转化思想、类比归纳与联想思想及探索思想,还可向学生介绍消元法、换 元法、待定系数法、配方法、反证法等数学方法。只要教师在高中数学建模教学中 注重全方位渗透数学思想方法,就可以让学生从本质上理解数学建模思想,就可以把 数学建模知识内化为学生的心智素质。 (4)要实行以推迟判断为特征的教学结构。所谓“推迟判断”就是延缓结果出 现的时间,即教师不要过早地把“结果”抛给学生。推迟判断要注意两个方面:一是 对数学概念、定理、解题都要作为“过程“来进行;二是教师在聆听学生回答问题(特 别是回答问题错误)时应该有耐心,不宜立即评判,应沉着冷静,精心组织学生与学 生、学生与教师之间的教学交流。由于建模教学的活动性较强,教学成功的关键是教 师要调动所有学生的探索欲望,积极参与教学过程。学生通过步步深入的积极思考探 索,激发了思维,真正唤起了主动参与意识。教师通过启发诱导学生积极思考,组织学 生进行热烈的讨论,问题就会逐渐明朗化,最终获得满意的建模方案。 (5)要分别要求、分层次推进。数学建模是解决应用问题的重要方法,但在长 期传统应试教育影响下,学生的动手操作能力差,应用意识淡薄。在建模教学中,根据 素质教育面向全体学生,促进学生的全面发展,教师要重视学生的个体差异,对学生 分别要求,个别指导,分层次教学,对每个学生确定不同的数学建模教学要求和素质 14 新课程背景下中学数学建模教学研究 发展目标。对优秀学生要多指导,提出较高的数学建模目标,鼓励他们大胆使用计算 机等现代教育技术手段,多给予独立建模的机会,要求他们能独立完成高质量的建模 论文:对中等程度的学生要多引导,多给予启发和有效的帮助,提高其建模水平,争取 独立完成数学建模小论文;对后进生要多辅导,重点是渗透数学建模思想,只需完成 难度较低的建模习题,不要求独立完成数学建模小论文。当学生遇到困难时,教师应 多用鼓励的方式激励学生,通过师生融洽的情感交流,帮助学生增强信心,提高自信, 进而克服困难,取得建模成功。n1 4.3中学数学建模教学的课时安排 综合高中必修课程,作如下的数学建模教学计划安排:乜3 课题 课时 。说明 必修1 函数图象与实际问题 l课时 在第三章函数的模 的描述 型及应用之前 函数模型及应用 4课时 必修2 利用几何画板探究圆 2课时 信息技术应用用 的轨迹模型 《几何砸板》探究点 的轨迹:圆 ! 必修3 算法案例模型 5课时 冒泡法排序 变量间相关关系实习 l课时 男女生数学与物理 作业 成绩相关性分析 利用随机数模型解决 l课时 概率问题 必修4 三角函数模型的简单 2课时 应用 必修5 利息计算模型 2课时 探究与发现:购房中 的数学 会钱利息计算模型 2课时 研究性学习 线性规划问题 5课时 基本不等式的应用 3课时 对以上安排的几点说明: (1)以上的安排总共占用的课时数为28课时,其中有20课时是必修教材原课 时数,增加的课时数为8课时,分别为函数图象与实际问题的描述(1课时)、利用几 何画板探究圆的轨迹模型(2课时)、算法案例(1课时)、利息计算模型(2课时)、会 …谭佩贞.中学数学建模教学的若+原则(J).pU/jll巾范学院学报,2002,23(I):93—96 121中f挣人民共和圈教育部.普通高级中学数学教学大纲(S).北京:人民教育jlj版社,2003 新课程背景下中学数学建模教学研究 钱利息计算模型(2课时)。 (2)充分运用新教材中的一些栏目,如利用“信息技术的运用”、“探究与发现” 等栏目进行数学建模教学;在“研究性学习”中落实数学建模教学;同时新教材在 每块内容完成后均设置一定实际应用问题,充分利用好教材中应用题是落实数学建 模能力培养的关键。 (3)数学建模教学的安排不仅要在课堂上落实,而且要延伸到课外,尤其是每 一课时后的作业布置要体现数学建模教学的要求,如查寻资料、搜集信息、小组合 作等,研究性学习要让学生经历数学建模的全过程。 (4)对课本原有的内容与课时安排可以作适当的改动,但不能增加课时负担。 改动的依据是要向数学建模的要求靠拢。 4.4中学数学建模教学的评价方法 数学学习评价,既要重视学生知识、技能的掌握和能力的提高,又要重视其情感、 态度和价值观的转变;既要重视学生学习水平的甄别,又要重视其学习过程中能动 性的发挥;既要重视定量的认认,又要重视定性的分析;既要重视教育者对学生的 评价,又要重视学生的自评、互评。总之应将评价贯穿于数学学习的全过程,不忽 视评价的甄别与选拔功能,更突出评价的激励与发展功能。 评价学生在数学建模中的表现时,重过程、重参与。不苛求建模过程的严密、 结果的准确。评价内容应遵循以下几个原则: (1)创新性。问题的提出和解决的方案有新意。 (2)现实性。问题来源于学生的现实。 (3)真实性。确实是学生本人参与制作的,数据是真实的。 (4)合理性。建模过程中使用的数学方法得当,求解过程合乎常理。 (5)有效性。建模的结果有一定的意义。 以上几个方面不必追求全面,只要有一项做得比较好就应该给以肯定。… 具体的评价措施分以下几个步骤: (1)课常教学中进行两个评价:一是过程性评价,可以通过“教师提问一学 生回答”的方式观察学生的建模能力发展情况,二是总结性评价,在一节课的最后 lO分钟左右用几个问题让学生讨论,进行统计、分析建模结果。 (2)阶段性竞赛,检测建模教学的效果。 (3)对研究性学习采用报告会、交流会等形式进行,通过师生之间、同学之间 的提问交流给出定性的评价, 数学建模报告及评价记入学生成长记录,作为反映学 生数学学习过程的资料和推荐依据。鼓励学生书写数学建模论文,进行发表或参评。 …中乍人民共年几困教育部.普通高中数学课程标准(实验)(S).北京:人民教育…版{l:,2003.103 16 新课程背景下中学数学建模教学研究 5中学数学建模教学的案例研究 5.1把数学建模的局部环节切入课堂教学 如果我们能在课堂教学过程中把数学建模局部环节切入,达到培养学生数学建 模能力,将是事半功倍。数学建模的问题来源于具体的生活情境,相应的教学策略 是将它作为课堂教学之外,相对独立的学习活动或选修课来设置。然而学生在参与 并完成数学建模活动之前,必须获得各种基础的知识与能力,这就有赖于课堂教学 过程中数学建模的切入。所谓“切入”,一方面是指教师用数学模型的观点来概括数 学知识,在『F常教学中导入数学建模思想与方法;另一方面是指教师通过问题解决 的过程分解,把一些较小的数学建模问题,放到正常教学的局部环节上进行指导。 (1)用数学建模的思想概括数学知识 例如:人教版A版把函数介绍为“现实世界中的许多运动变化现象都表现为变 量之间的依赖关系。数学上,我们用函数模型描述这种依赖关系,并通过研究函数 的性质了解它们的变化规律”。这样,从思想概括……概念提出……建模应用相当到 位,只要真J下领会教材的立意,就不难设计并实施相应的教学。 (2)问题解决的过程分解 ” 学生普遍感到数学建模难度大,其主要原因是数学建模的思维方式与长期以来 传统的数学知识学习有明显差异。突破难点,让学生乐于参加数学建模活动,关键 是要重视分析建模的数学思维过程,通过建模发生、发展、应用过程的提示,,挖掘 有价值的思维训练因素,抽象概括出建模过程中蕴含的数学思想和方法,在建模的 过程中让学生体验成功,树立自信心,发展多方面数学思维能力,培养创新精神、 探索精神以及实践能力。教师教学时,可以将数学建模的问题解决过程分为问题提出、 模型推断、模型求解、模型检验等4个环节,针对不同部分的不同侧面来设置问题, 在具体的局部教学环节上选择合适的问题来组织学习活动。我们可以按以下的几种 方法切入R常数学教学: (1)在新知识的引入或复习课上,可以用一点时间来介绍一个数学建模问题,让 学生在课堂上仅仅通过讨论完成问题提出与模型推断,而把模型求解与模型检验放 到课外完成。例如,在函数模块的教学中可以选用“把一段木料锯成横截面为矩形 的木料,怎样彳‘能使横截面的面积最大“的问题。建模分析:首先要假设木料是圆 的,可设木料的半径为r,要使横截面的面积最大,就是要使圆内接矩形的面积最大, 分析过程中舍弃原型中的非本质属性“木料”,把现实问题转化为数学问题。 (2)在课堂上结合某一知识点的学习来完成上位问题的模型的定性推断,让学 生在课外完成具体下位问题的模型的定量推断与求解、检验。大多数传统的应用题 都可归为此类。 f3)针对阶段性的知识综合来设置较为完整的数学建模活动。问题的选择与设置 应与学生生活密切相关,易引起学生关注,让学生亲身体会到数学与自然及人类社 17 新谍程背景下中学数学建模教学研究 会的密切关系,体会数学的应用价值。学生看到能用自己所学的知识切实解决生活 中的问题,势必增强进一步学习的信,tl,和持续学习的兴趣。 案例一:函数图象模型 (一)问题提出 温州市出租车收费计价标准:4krn以内10元(含4kin),超过4km且不超过lOkm 的部分1.2元/km,超过18km的部分1.8元/krn。 问题1:将以上问题用数学的形式进行表述。 学生l:如图5.1 y 10 o 图5.1 J 10(018) 学生3:列表格: X(公理) O-1 3.4 4.5 5.6 17—18 18—19 19.20 …I Y(价格) 10 10 11.2 12.4 26.8 28.6 30.4 …I 问题2:行使20公理付多少钱? 学生4:共为30.4元. 分析:函数的表示方法有三种:画图象、列表格、写解析式。从现实生活中得 到的实际问题用数学的形式表达是数学化的一个过程,也是从具体到抽象的一个过 程,把一个实际问题数学化其实就得到一个具有一般意义的数学模型。 过程性评价:学生基本掌握函数图象的三种表示方法,而且能把现实生活中的 简单数学问题用函数的表示方法表示,初步具备建立简单函数模型能力。 l、数学模型具有一般意义的解释: 18 新谍程背景下中学数学建模教学研究 设计意图:为了让学生很好体会数学模型具有的一般性,可以让学生根椐得到 的数学模型,从自己生活经验中描述一个不同的问题情境,而它们的模型又是相同 的。 t 问题3:图5—2中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个 图象写出一件事。 。 (1)我离开家不久,发现自已把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业 本再上学; (2)我骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。 J O 厂0 /. 时间 时间 ) .厂 时间 图5.2 学生5:对于问题(1)他先离家而后又回家,因此纵坐标先变大而后又回到零应 该是第四个图。 学生6:对于问题(2)他先是匀速行驶,因此时间与距离的关系是一次函数关系, 图象是一条直线,中途有堵车,所在有一段平行X轴的直线,后又继续以匀速行驶, 因此图象是第一个图。 学生7:对于问题(3)他先是缓慢行进,因此距离随时间的变化不大,而后加速 前进,距离随时间的变化加大,因此是第二个图。 (余下的那个图是第三个图,学生很轻松就解决了问题) 问题4:如果横坐标与纵坐标所表示的量由你确定,你能根据第三个图象编出哪 些事件昵? 学生8:锥形的容器,匀速地向内注水,水的高度与水的体积的关系; 学生9:一位运动员在百米训练的过程中,时间与百米成绩的关系; 学生lO:人的身高与年龄的关系等等。 分析:同是图三,但是表示的现实问题可不尽相同,这就是数学模型所具有的 一般性的意义。 过程性评价:从学生的回答中可以认为学生基本能理解数学模型具有一般性, 虽然有些事件并不能很好反映图形,如“人的身高与年龄的关系”,但是在开放式的 教学中,学生通过自身对模型的建构,基本能吻合就给以表扬。 19 新课程背景下中学数学建模教学研究 2、从抽象到具体的细化过程: 问题5:如图5-3,是某条公路公共汽车线路收支差额Y与乘客量X的图象. (1)试说明图(1)上点A,点B以及射线AB上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图 (2)(3)所示.你能根据图象,说明这两种建议是什么吗? y 。 L ’ B/.. / 二 A y 。 L ∥, / , 7 t /// X (2) 图5.3 y 。 ‘殄。 .纱 二 (3) 学生11:点A的横坐标是0,因此它表示的是公司在该线路上的支出数额,点 B的纵坐标是O因此它表示的是该线路达到点B的乘客量时收支达到平衡。射线AB 表示的是随乘客量的不断增加,收支差额越来越大,从而走上赢利的一个过程。 学生12“第一种方案是把直线向上平移了,也就是公司减少了开支。 学生13:第二种方案中公司没有减少开支面达到收支平衡的乘客量却减少了, 因此公司是提价了。 分析:抽象与具体之间的对话是数学能力的体现,同时也是数学所具有的一种 独特魅力,因此从这一角度来说,如果我们对于现实生活中的问题能从数学模型的 角度去分析问题,我们就已经是站在一个更高的高度认识了数学。 总结性评价试题: 问题6:设计4个杯子的形状,使得在向杯中匀速注入水时,杯中水面的高度h 随时间t的图象分别与图5.4中的四个图象相符合。(时间5分钟) J L 两及h 厂。 O 时间t J 厂一 .厂 O 时间t 时间t 幽5.4 20 J L 高度h // 。 O 时间t 新课程背景下中学数学建模教学研究 小组长收集评价结果、数学课代表公布结果(全班有40人): (1)不能理解、错误的共有3人。 (2)不能在规定时间内完成前三个的有2人。 (3)其余35人的结果中完成前3图未完成第4个图的有6人,全部完成的有 29人,结果如图5.5: 图5.5 问题7:一天亮亮发烧了,早晨烧得的很厉害,吃过药后感觉好多了,中午 时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身 上不那么烫了。作出时间与体温的图象来表示亮亮这一天24小时内体温变化情 况(时间3分钟)。 收集图象结果基本为以下三种:第一种如图5.6: J L //\\/八 错误分析:体温一般不会匀匀变化,因此不应是折线而是光滑的曲线。 第二种如图5.7: J /弋、/\ 新课程背景下中学数学矬模教学研究 错误分析:据题意是O点到次日晚24点,错误在于认为发烧是在早晨6点 开始,事实上体温是从0点到早上6点渐渐升高的。 第三种如图5.8: J/弋厂\ 学生发表感言: 学生12:数学不仅仅是计算,现实生活中大量存在数学问题有待我们发现。 学生13:实际问题数学化后有利于我们对实际问题更深入的理解。 学生14:今天我对数学模型有进一步的了解,它具有一般性的。 学生15:数与形结合使问题从抽象走向具体。 5.2应用题教学中引入数学建模教学 新课标关注数学的实际应用,关注数学与实际生
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