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学而思奥数2016秋季班提高班第7讲讲义.pdf

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思奥数 2016 秋季 提高班 讲义
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四年级秋季 尖子 班第 7 讲作业 最值问题初步 作业 1 将 99 个苹果分给一些小朋友,每人至 少分一个,且每个小朋友所分得的苹 果数都不一样. 那么小朋友最多有 多少人? 【答案】 13 【分析】 由于苹果数固定,则当每个 人得到的苹果尽量少时,人数最多 . 若有 14 人,则至少需要苹果 1 2 3 1 4 1 0 5 9 9个,从而不可 能达到 14 人; 若有 13 人,则至少需要苹果 1 2 3 . . . 1 3 9 1 9 9个; 例如 13 人各分得 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 2 1个苹果 (注 意:分法不唯一 ). 作业 2 将 88 个桃分给 8 个小朋友,每人分得 的数量各不相同,那么分得最多的小 朋友最少可以分几个? 【答案】 15 【分析】 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 8 4 8 8, 14 不可以,至少 15 个, 8 8 7 8 9 1 0 1 2 1 3 1 4 1 5. 作业 3 有一根长度为 42 米的绳子,用它围成 的长方形中,面积最大的是多少平方 米? 【答案】 110.25 【分析】 4 2 4 1 0 . 5(米), 1 0 . 5 1 0 . 5 1 1 0 . 2 5( 平方米). 作业 4 用 1、 3、 4、 6、 7、 9 这 6 个数字各一 次,分别组成两个三位数,这两个三 位数的乘积最小是多少? 【答案】 54243 【分析】 使乘积最小,首位 1、 3,十 位 4、 6,个位 7、 9,和一定差大积小, 所以乘积最小为 1 4 7 3 6 9 5 4 2 4 3. 作业 5 ( 1)把 31 拆成三个互不相同的自然 数的和,使这些自然数的乘积最大, 最大乘积是多少 ? ( 2) 把 31 拆成若干个可重复自然数 的和,使这些自然数的乘积最大,最 大乘积是多少 ? 【答案】 ( 1) 1080; ( 2) 78732 【分析】 ( 1) 3 1 9 1 0 1 2,乘积最大为 9 1 0 1 2 1 0 8 0; ( 2)拆数原则为:多拆 3,少拆 2, 不拆 1: 3 1 3 9 2 2, 93 3 3 3 2 2 7 8 7 3 2 个 相 乘 . 复习巩固 作业 1 计算: 1 0 7 1 0 9 7 7 7 9 9 9 个 个 【答案】 92977 7 7 6 2 2 2 3个个 【分析】 10 7 10 9 10 7 10 0 10 7 9297 77 7 99 9 77 7 00 0 77 7 77 7 6 22 2 3 个 个 个 个 个 个个 原 式 作业 2 如图所示,在平行四边形 ABCD中, E 为 AB的中点, AF CF,三角形 AFE (图中阴影部分)的面积为 8 平方厘 米.平行四边形 ABCD的面积是多少 平方厘米? 【答案】 64 【分析】 连接 FB.三角形 AFB面积等 于三角形 CFB面积,而三角形 AFB面 积是三角形 AEF面积的 2 倍,所以三 角形 ABC面积是三角形 AEF面积的 4 倍;又因为平行四边形的面积是三角 形 ABC面积的 2 倍,所以平行四边形 的面积是三角形 AFE面积的 4 2 8 倍.因此 ,平行四边形的面积为 8 8 6 4平方厘米. 作业 3 如图 , ABCD是长方形,三角形 BCF 的面积是 10,求三角形 DEF的面积. D C B A E F 【答案】 10 【分析】 A D F B F CSS△ △长方形 ABCD 的一半, A D F D F E A D ES S S△ △ △长方形 ABCD的一半 , 10D E F B C FSS△ △. 四年级秋季 尖子 班第 7 讲练习册答案 最值问题初步 同步练习 1. 枚举比较,最大为 1 2 3或 6 7 8,其个位为 6. 2. 极端分析:一棵树上最多有黄鹂 1 5 4 4 7只 ,一棵树上白鹭不超 过 7 只,因此最多有鸟 14 只. 3. 23556884971 十位数前六位都是依次增大或不变, 第七位变小,所以应在第六位 8 的后 面插入 8,此时得到的十一位数最大, 即 23556884971. 4. 5 1 2 3 4 8 7 6 2 4 7 首先千位要接近,而千位大的数 后边 的三位数尽量小,千位小的数后边的 三位数尽量大,才能减出最小的差, 所以后三位最好分别为 876 和 123, 5 1 2 3 4 8 7 6 2 4 7. 5. 82 其余 4 人共得 334 分, 3 3 4 4 8 3 2.所以得分依次为 85, 84, 83, 82. 6. 11; 18 这 7 个数越平均,最小的数越大,最 大的数越小, 1 2 3 4 5 6 7 2 8, 1 0 0 2 8 7 2, 7 2 7 1 0 2… …,所以 这 7 个数分别是 11、 12、 13、 14、 15、 17、 18. 深化练习 7. (1)100、 19 (2)56、 14 “和一定,差小积大,差大积小 ”,注意 非零自然数最小为 1. 8. 36, 30 24 根火柴棒围成正方形时面积最大, 2 4 4 6厘米, 6 6 3 6平方厘米; 22 根火柴棒围的矩形长和宽越接近时, 面积越大, 2 2 2 1 1厘米, 1 6 5, 6 5 3 0平方厘米 . 9. 1312、 312 乘积要大的话,十位应该为 3、 4,个 位为 1、 2,那么不管每个数位上的数 属于哪个两位数,他们的和是不变的, 此时就可以利用 “和一定差小积大 ”,两 个两位数的差应尽量小,两数乘积最 大为 4 1 3 2 1 3 1 2; 同样的,要乘积小,十位应该为 1、 2, 个位为 3、 4,那么不管每个数位上的 数属于哪个两位数,他们的和是不变 的,此时就可以利用 “和一定差小积 大 ”,两个两位数的差应尽量大,两数 乘积最 小为 1 3 2 4 3 1 2. 实战练习 10. ( 1) 和一定差小积大,最大为 6 6 7 7 7 7 8 6 4 3 6; ( 2) 多拆 3,少拆 2,不拆 1: 2 0 3 6 2,3 3 3 3 3 3 2 1 4 5 8 . 四年级秋季 尖子 班第 7 讲 最值问题初步 例 1 电视台要播放一部 30 集电视连续剧 . 如果要求每天安排播出的集数互不相 等,不能不播,该电视连续剧最多可 以播几天? 【答案】 7 【分析】 由于 1 2 3 4 5 6 7 2 8 3 0, 1 2 3 4 5 6 7 8 3 6 3 0,所以 至多播 7 天. 【随堂练】 一辆公交车连续停靠 5 站,每站都有 乘客上车且人数不同,那么,至少有 多少人上了公交车呢? 【答案】 1 2 3 4 5 1 5 练一练 一个多位数的各位数字互不相同,而 且各位数字之和为 23.这样的多位数 最小可能是多少?最大可能是多少? 【答案】 最小 689;最大 8543210 【分析】 要让这个多位数尽量小,那 么首先位数必须少.易知,最小是三 位数, 先让其中两个数最大,那么剩 下一个数必然最小. 2 3 9 8 6,这 个数是 689. 要让这个多位数尽量大,那么位数必 须尽量多. 1 2 3 4 5 6 2 1,那么 最多可以是 7 位数(加上 0).先让其 中 6 位最小,那么剩下一位最 大. 2 3 0 1 2 3 4 5 8,这个数 是 8543210. 例 2 50 个苹果分给 6 个小朋友,每人至少 分一个.若苹果数可以相同, ( 1) 分得最多的小朋友最多可以分几 个?最少可以分几个? ( 2)分得最少的小朋 友最少可以分几 个?最多可以分几个? 若苹果数互不相同, ( 3)分得最多的小朋友最多可以分几 个?最少可以分几个? ( 4)分得最少的小朋友最少可以分几 个?最多可以分几个? 【答案】 ( 1) 45, 9; ( 2) 1, 8; ( 3) 35, 11; ( 4) 1, 5 【分析】 苹果数可以相同: ( 1)最多 5 0 1 5 4 5个;分的最多的 苹果数一定大于平均数, 5 0 6 8 2,所以最少分 9 个; ( 2)最少 1 个;最多不能大于平均数, 所以最 多分 8 个; 苹果数互不相 同: ( 3)最多:其他 5 人越少越好,最少 为 1 2 3 4 5 1 5,所以最多可以分 5 0 1 5 3 5个; 最少: 6 个人的苹果数在平均数附近, 5 6 7 8 9 1 0 4 5 5 0, 6 7 8 9 1 0 1 1 5 1 5 0,所以分的 最多的至少要分 11 个; ( 4)最少 1 个;最多:由上一问可知, 若为 6 个则总数超过 50,所以最多只 能分 5 个. 拓展 5 五人参加一场智力比赛,一共得 434 分,获第一名的是 100 分,其余各人 所得分数都是整数,并且每人所得分 数都不相同,那么获第五名的最多得 多少分? 【答案】 82 【分析】 其余 4 人共得 334 分, 3 3 4 4 8 3 2.所以得分依次为 85, 84, 83, 82. 例 3 ( 1)两个自然数的和为 40,这两个数 的乘积最大是多少?最小是多少? ( 2)两个两位自然数的和为 45,这两 个数的乘积最大是多少?最小是多 少? ( 3) 一个长方形周长为 60 米,这个 长方形面积最大是多少平方米?如果 周长是 34 米呢? 【答案】 ( 1) 400, 0; ( 2) 506, 350; ( 3) 225; 72.25 【分析】 和一定差小积大(差大积小). ( 1) 4 0 2 0 2 0,两数均为 20 时乘积 最大,为 2 0 2 0 4 0 0; 4 0 0 4 0,两数分别为 0、 40 时乘积 最小,为 0 4 0 0; ( 2) 4 5 2 2 2 3,两数分别为 22, 23 时乘积最大,为 2 2 2 3 5 0 6; 4 5 1 0 3 5,两数分别为 10、 35 时乘 积最小,为 1 0 3 5 3 5 0; ( 3)长与宽的和为 6 0 2 3 0米, 3 0 1 5 1 5,长、宽均为 15 米时面积 最大,为 1 5 1 5 2 2 5平方米; 周长为 34 米,长与宽的和为 3 4 2 1 7 米, 1 7 8 . 5 8 . 5,所以面积最大为 8 . 5 8 . 5 7 2 . 2 5平方米. 【随堂练】 ( 1)两个自然数的和为 30,这两个数 的乘积最大是多少?最小是多少? ( 2)两个两位自然数的和为 35,这两 个数的乘积最大是多少?最小是多 少? ( 3)一个长方形周长为 40,这个长方 形面积最大是多少平方米? 【答案】 ( 1) 3 0 1 5 1 5,两数乘积最大, 1 5 1 5 2 2 5 3 0 0 3 0,两数乘积最小, 0 3 0 0 ( 2) 3 5 1 7 1 8,两数乘积最大, 1 7 1 8 3 0 6 3 5 1 0 2 5,两数乘积最小, 1 0 2 5 2 5 0 ( 3) 1 0 1 0 1 0 0(平方米) 练一练 用 52 根长 1 厘米的小棍围成一个长方 形(小棍不能折断),这个长方形的面 积最大是多少?如果用 98 根呢? 【答案】 169; 600 【分析】 ( 1)长与宽的和一定,和为 5 2 2 2 6 厘米, 2 6 1 3 1 3,所以面积最大为 1 3 1 3 1 6 9平方厘米; ( 2)长与宽的和一定,和为 9 8 2 4 9 厘米, 4 9 2 4 2 5,所以面积最大为 2 4 2 5 6 0 0平方厘米 . 拓展 9 用数字 1 至 4 各一个组成两个两位数, 两数的乘积最大值是多少?最 小值是 多少? 【答案】 1312、 312 【分析】 乘积要大的话,十位应该为 3、 4,个位为 1、 2,那么不管每个数位上 的数属于哪个两位数,他们的和是不 变的,此时就可以利用 “和一定差小积 大 ”,两个两位数的差应尽量小,两数 乘积最大为 4 1 3 2 1 3 1 2; 同样的,要乘积小,十位应该为 1、 2, 个位为 3、 4,那么不管每个数位上的 数属于哪个两位数,他们的和是不变 的,此时就可以利用 “和一定差小积 大 ”,两个两位数的差应尽量大,两数 乘积最小为 1 3 2 4 3 1 2. 例 4 ( 1) 3 个非零自然数之和是 17,它们 的乘积最大是多少?最小是多少? ( 2) 3 个互不相同的非零自然数之和 是 17,它们的乘积最大是多少?最小 是多少? ( 3) 5 个自然数之和是 42,它们的乘 积最大是多少? 【答案】 ( 1) 180; 15; ( 2) 168; 28; ( 3) 41472 【分析】 “和一定差小积大 ”不仅适用于 两个数,也适用于多个数 . ( 1) 1 7 5 6 6,乘积最大为 5 6 6 1 8 0; 1 7 1 1 1 5,乘积最小 为 1 1 1 5 1 5; ( 2) 1 7 4 6 7,乘积最大为 4 6 7 1 6 8; 1 7 1 2 1 4,乘积最小 为 1 2 1 4 2 8; ( 3) 4 2 8 8 8 9 9,乘积最大为 8 8 8 9 9 4 1 4 7 2. 例 5 ( 1) 若干个互不相同的自然数之和 是 16,它们的 乘积最大是多少? ( 2) 若干个可以相同的自然数之和 是 16,它们的乘积最大是多少? 【答案】 180; 324 【分析】 ( 1)使乘积最大,不拆 1, 2 3 4 5 6 2 0 1 6,所以最多能拆 成 4 个不同的自然数, 根据和一定差 小积大, 1 6 2 3 5 6,乘积最大为 2 3 5 6 1 8 0; ( 2)大于 4 的数拆数后都能得到比原 数大的乘积,而 4 2 2,所以最后一 定是拆成若干个 2 和 3; 又 3 3 2 2 2,所以和相等的情况 下,尽量多拆 3,即 “多拆 3 少拆 2 不 拆 1”. 1 6 3 4 2 2, 乘积最大为 3 3 3 3 2 2= 3 2 4. 练一练 把 23 拆成若干个可重复自然数的和, 使这些自然数的乘积最大,最大乘积 是多少? 【答案】 4374 【分析】 2 3 3 7 2,所以乘积最大 为 3 3 3 3 3 3 3 2 4 3 7 4. 拓展练习 拓 1 三个连续自然数相乘 ,所得乘积的个 位数字最大可能是多少 ? 【答案】 6 【分析】 枚举比较,最大为 1 2 3或 6 7 8,其个位为 6. 拓 2 在 3 棵树上栖息着 15 只黄鹂和 14 只 白鹭.每棵树上至少有 4 只黄鹂和 2 只白鹭.如果每棵树上的白鹭都不比 黄鹂多,那么一棵树最多有多少只 鸟? 【答案】 14 【分析】 极端分析:一棵树上最多有 黄鹂 1 5 4 4 7只 ,一棵树上白鹭不 超过 7 只,因此最多有鸟 14 只. 拓 3 在 十位数 2355684971 的某一位数字后 面再插入一个同样的数字(例如:可 以在 2 的后面插入 2 得到 22355684971),这样得到的十一位数 最大可能是多少? 【答案】 23556884971 【分析】 十位数前六位都是依次增大 或不变,第七位变小,所以应在第六 位 8 的后面插入 8,此时得到的十一位 数最大,即 23556884971. 拓 4 用 1 至 8 组成两个四位数,这两个数 的差最小是多少? 【答案】 5 1 2 3 4 8 7 6 2 4 7 【分析】 首先千位要接近,而千位大 的数后边的三位数尽量小,千位小的 数 后边的三位数尽量大,才能减出最 小的差,所以后三位最好分别为 876 和 123, 5 1 2 3 4 8 7 6 2 4 7. 拓 5 五人参加一场智力比赛,一共得 434 分,获第一名的是 100 分,其余各人 所得分数都是整数,并且每人所得分 数都不相同,那么获第五名的最多得 多少分? 【答案】 82 【分析】 其余 4 人共得 334 分, 3 3 4 4 8 3 2.所以得分依次为 85, 84, 83, 82. 拓 6 如果 7 个互不相同的自然数之和为 100,那么其中最小的数最大可能是多 少 ?最大的数最 小可能是多少? 【答案】 11; 18 【分析】 这 7 个数越平均,最小的数 越大,最大的数越小, 1 2 3 4 5 6 7 2 8, 1 0 0 2 8 7 2, 7 2 7 1 0 2… …,所以这 7 个数分别是 11、 12、 13、 14、 15、 17、 18. 拓 7 ( 1)两个非零自然数的和为 20,这两 个数的乘积最大可以为多少?最小 呢? ( 2)两个非零自然数的和为 15,这两 个数的乘积最大可以为多少?最小 呢? 【答案】 (1)100、 19 (2)56、 14 【分析】 “和一定,差小积大,差大积 小 ”,注意非零自然数最小为 1. 拓 8 用 24 根长 l 厘米的火柴棒围成一个矩 形,这个矩形的面积最大是多少 ?如果 用 22 根火柴棒呢 ? 【答案】 36, 30 【分析】 24 根火柴棒围成正方形时面 积最大, 2 4 4 6厘米, 6 6 3 6平方 厘米; 22 根火柴棒围的矩形长和宽越 接近时,面积越大, 2 2 2 1 1厘米, 1 1 6 5, 6 5 3 0平方厘米 . 拓 9 用数字 1 至 4 各一个组成两个两位数, 两数的乘积最大值是多少?最小值是 多少? 【答案】 1312、 312 【分析】 乘积要大的话,十位应该为 3、 4,个位为 1、 2,那么不管每个数位上 的数属于哪个两位数,他们的和是不 变的,此时就可以利用 “和一定差小积 大 ”,两个两位数的差应尽量小,两数 乘积最大为 4 1 3 2 1 3 1 2; 同样的,要乘积小,十位应该为 1、 2, 个位为 3、 4,那么不管每个数位上的 数属于哪个 两位数,他们的和是不变 的,此时就可以利用 “和一定差小积 大 ”,两个两位数的差应尽量大,两数 乘积最小为 1 3 2 4 3 1 2. 拓 10 ( 1)六个自然数的和是 40,则它们的 乘积最大是多少? ( 2)把 20 拆成若干个可重复自然数 的和,使这些自然数的乘积最大,最 大乘积是多少 ? 【答案】 ( 1) 86436; ( 2) 1458 【分析】 ( 1) 和一定差小积大,最大为 6 6 7 7 7 7 8 6 4 3 6; ( 2) 多拆 3,少拆 2,不拆 1: 2 0 3 6 2,3 3 3 3 3 3 2 1 4 5 8 .
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