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学霸笔记 ———— 浙江省专升本《高等数学》复习全书 赵 伟 良 著 不懂事长 编 学霸笔记 —— 《高等数学》 不懂事长的话 不懂事长的话 专升本培训班流行一句话“上线靠数学,二本靠英语”,主要是因为数学在专 升本考试中是提升最快的一门课程 。 经过 赵伟良老师的 8 个 多 月的 悉心辅导, 小编 从开始的 15 分考到 70 分,到 考 前模拟的 99 分, 到 4 月 15 号正式考试 的 110 分, 衷心 感谢赵伟良老师 上课时 候的学霸笔记 。把学霸笔记从笔记形式做成《学霸笔记》,主要是希望在浙江工 业职业技术学院的你在看到《 学霸笔记 》的 后, 可以 通过自己的努力 如愿以偿考 上自己理想的 本科院校 。 学霸笔记是根据赵伟良老师给 2018 届专升本考生的上课笔记整理而成,符 合《浙江省普通专升本考试高等数学考试大纲》及本科教育对数学基础的基本要 求,含浙江省历年考试真题及经典题型。 尽管小编在整理笔记的时候倾注的很多心血,在 新增 题型方面也做出了努力, 但由于小编能力实在有限,笔记 整理 中难免有疏漏之处,请各位学弟学妹见谅, 也希望学弟学妹可以对学霸笔记的完善提出宝贵的意见和建议,以便小编在第二 版学霸笔记中完善。 不懂事长 2018 年 5 月 学霸笔记 —— 《高等数学》 目录 目录 第 1 章 函数 、 极限与连续 3 1.1 函数的概念与性质 3 1.1.1 函数定义域的求法 3 1.1.2 函数的性质 4 1.1.3 反函数 6 1.1.4 基本初等函数 6 1.1.5 复合函数 7 1.1.6 初等函数 8 1.2 极限 9 1.2.1 数列的极限 9 1.2.2 函数的极限 9 1.2.3 极限的计算 9 1.2.4 无穷小与无穷大 14 1.3 连续 16 1.3.1 连续 16 1.3.2 间断点 16 1.3.3 闭区间上连续函数的性质 20 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 3 第 1章 函数 、 极限与连续 1.1 函数的概念与性质 1.1.1 函数定义域的求法 1. 分母 ≠0 2. 偶次方根被开方数 ≥0 3. 对数 y= log𝑎 𝑥( a0 且 a≠1),真数 x0 4 反正弦 arcsin𝑥 反余弦 arccos𝑥 |𝑥| ≤ 1或 −1 ≤ x ≤ 1 5 正切 y= tan𝑥 ( 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 + 𝜋2) k ∈ z(正整数) 余切 y= cot𝑥 ( 𝑥 ≠ 𝑘𝜋) 6. 分段函数 各段函数的并集 例 1:求 y = log 𝑥𝑥−2 +arccos5𝑥−13 的定义域 y = log 𝑥𝑥 −2+arccos5𝑥 −13 ∴ 𝑥𝑥−2 0 , 𝑥 −2 ≠ 0 , −1 ≤ 5𝑥−13 ≤ 1 ∴ 𝑥(𝑥 −2) 0, −3 ≤ 5𝑥 −1 ≤ 3 , −2 ≤ 5𝑥 ≤ 4 ∴ 𝑥 2 , 𝑥 ≠ 2 , −25 ≤ 𝑥 ≤ 45 ∴ −25 ≤ 𝑥 0 𝑥 +1 ≠ 1 4−𝑥2 0 → { 𝑥 −1 𝑥 ≠ 0 −2 0 的定义域为 R 或 (−∞, +∞) 例 5: 设 𝑓(𝑥)的定义域为 [0, 1] 𝜑(𝑥) = ln𝑥 −1 则复合函数 𝑓[𝜑(𝑥)]的定义域为 [𝑒, 𝑒2] 例 6: 设 𝑓(𝑥)的定义域为 [0, 2𝑎], 则 𝑓(𝑥 +𝑎)的定义域为 [−𝑎, 𝑎] 则 𝑓(𝑥 +𝑎)+𝑓(𝑥 − 𝑎2)的定义域为 [ 𝑎2, 𝑎] 1.1.2 函数 的 性质 1 单调性 {𝑥1 0 𝑥2 𝑓(𝑥2 ),则 𝑓(𝑥)单调递减,即 𝑓′(𝑥) 0, s.t|𝑓(𝑥)| ≤ M 则 𝑓(𝑥)在 I上有界 例: |sin𝑥| ≤ 1 |cos𝑥| ≤ 1 |arcsin𝑥| ≤ 𝜋2 0 ≤ arccos𝑥 ≤ 𝜋 |arctan𝑥| 1 则 𝑓[𝑓(𝑥)]= 1 𝑓(𝑥) = {1, |𝑥| ≤ 10, 𝑥 1 ∴ 𝑓[𝑓(𝑥)] = {1, |𝑓(𝑥)| ≤ 10, 𝑓(𝑥) 1 = 1 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 8 1.1.6 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算(加减乘除)及有限次复合,并且能用 一个式子表示的函数的函数 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 9 1.2 极限 1.2.1 数列的极限 limn→∞ 𝑈𝑛 = 𝐴或 𝑈𝑛 → 𝐴(𝑛 → ∞) 1.2.2 函数的极限 lim𝑛→∎ 𝑓(𝑥) = 𝐴或 𝑓(𝑥) → 𝐴(𝑛 → ∎) 1.2.3 极限的计算 1 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎) 直接代入( 𝒙𝟎有意义) 2 𝟎 𝟎 型 a )分解因式 约分 例: lim𝑥→1 𝑥2−1𝑥−1 = lim𝑥→1 (𝑥−1)(𝑥+1)𝑥−1 = lim𝑥→1 𝑥 +1 = 2 b )有理化 例: lim𝑥→1 𝑥−1√𝑥2−3−2 = lim𝑥→1 (𝑥−1)(√𝑥2−3+2)(√𝑥2−3−2)(√𝑥2−3+2) =𝑙𝑖𝑚𝑥→1 (𝑥−1)(√𝑥2−3+2)𝑥−1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1 √𝑥2 −3+2 = 4 c )用第一重要极限公式 lim∎→0sin∎∎ = 1 例: 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 sin4𝑥3𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 sin4𝑥4𝑥 × 43 = 43 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 10 d )洛必达法则 lim𝑥→∎𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = lim𝑥→∎𝑓 ′(𝑥) 𝑔′(𝑥) = lim𝑥→∎ 𝑓′′(𝑥) 𝑔′′(𝑥) 例: 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 sin4𝑥3𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 4cos4𝑥3 = 43 e )用等价无穷小替换 sin𝑥~𝑥 tan𝑥~𝑥 arcsin𝑥~𝑥 arctan𝑥~𝑥 ln(1+𝑥)~𝑥 𝑒𝑥 −1~𝑥 1−cos𝑥~12𝑥2 √1+𝑥𝑛 −1~1𝑛𝑥 例: lim𝑥→0 𝑒𝑥−1sin𝑥 = lim𝑥→0 𝑒𝑥cos𝑥 = 1( 洛必达法则 ) = lim𝑥→0 𝑥𝑥 = 1( 等价无穷小 ) 3 ∞ ∞ 型 a ) 分子分母同除以最快无穷大 例 1: 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 3𝑥2−4𝑥2𝑥2+1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 3− 4 𝑥 2+ 1𝑥2 = 3 2 例 2: 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 3𝑛+4𝑛10𝑛+2𝑛 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ ( 3 10) 𝑛+(2 5) 𝑛 1+(15)𝑛 = 0 b )利用结论 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0 𝑎0𝑥𝑚 +⋯+𝑎𝑚 𝑏0𝑥𝑛 +⋯+𝑏𝑛 = { ∞ ,𝑚 𝑛 𝑎0 𝑏0 ,𝑚 = 𝑛 0 ,𝑚 0 ,讨论 lim𝑥→0 𝑓(𝑥)是否存在。 ∵ 𝑓(𝑥) = { 𝑥sin1𝑥 ,𝑥 0 ∴ lim𝑥→0− 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0− 𝑥𝑠𝑖𝑛1𝑥 = 0 lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→0+ 𝑙𝑛(1+𝑥)𝑥 = 1 ∴ lim𝑥→0 𝑓(𝑥)不存在 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 14 10 夹逼准则求极限 设 𝑊𝑛 ≤ 𝑈𝑛 ≤ 𝑉𝑛 ,且 lim𝑛→∞ 𝑊𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑉𝑛 = 𝐴 ,则 lim𝑛→∞ 𝑈𝑛 = 𝐴 例:求 lim𝑛→∞ ( 1√𝑛2+1 + 1√𝑛2+2 +⋯+ 1√𝑛2+𝑛) ∵ 𝑛√𝑛2 +𝑛 ≤ 1√𝑛2 +1+ 1√𝑛2 +2+⋯+ 1√𝑛2 +𝑛 ≤ 𝑛√𝑛2 +1 ∴ lim𝑥→∞ 𝑛√𝑛2 +𝑛 = lim𝑥→∞ 1 √1+ 1𝑛 = 1 ∴ lim𝑥→∞ 𝑛√𝑛2 +1 = lim𝑥→∞ 1 √1+ 1𝑛2 = 1 ∴ lim𝑛→∞( 1√𝑛2 +1+ 1√𝑛2 +2+⋯+ 1√𝑛2 +𝑛) = 1 1.2.4 无穷小与无穷大 1 定义 { lim𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) = 0 ,则称 𝑓(𝑥)是当 𝑥 → 𝑥0时的无穷小 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) = ∞ ,则称 𝑓(𝑥)是当 𝑥 → 𝑥0时的无穷大 2 无穷小的比较 当 𝑥 → 𝑥0时, α β都是无穷小, 则 { 若 lim𝑥→𝑥0 𝛼 𝛽 = 0, 称 α比 β高阶无穷小,记 α = 0 若 lim𝑥→𝑥0 𝛼𝛽 = ∞, 称 α比 β低阶无穷小 若 lim𝑥→𝑥0 𝛼𝛽 = 𝐶, (C ≠ 0),称 α比 β同阶无穷小 若 lim𝑥→𝑥0 𝛼𝛽 = 1, 称 α比 β等价无穷小,记 α ~ β 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 15 3 定理 若 α ~ 𝛼′, β ~ 𝛽′ 则 lim𝑥→𝑥0 𝛼𝛽 = lim𝑥→𝑥0 𝛼′𝛽′ 注:常见的等价无穷小(当 𝑥 → 0时) sin𝛼𝑥~𝛼𝑥 tan𝛼𝑥~𝛼𝑥 ln(1+𝛼𝑥)~𝛼𝑥 𝑒𝛼𝑥 −1~𝛼𝑥 arcsin𝛼𝑥~𝛼𝑥 arctan𝛼𝑥~𝛼𝑥 1−cos𝑥~12𝑥2 例: lim𝑥→0arcsin4𝑥3𝑥 = lim𝑥→04𝑥3𝑥 = 43 (arcsin4𝑥~4𝑥) lim𝑥→0tan𝑥 −sin𝑥𝑥3 = lim𝑥→0tan𝑥(1−cos𝑥)𝑥3 = lim𝑥→0 𝑥 ∙12𝑥2 𝑥3 = 1 2 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 16 1.3 连续 1.3.1 连续 a ) 𝒇(𝒙)在 𝒙𝟎外连续 lim∆𝑥→0∆𝑦 = lim∆𝑥→0[𝑓(𝑥0 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0)] = 0 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙 𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙) 注: 1.有意义 2.有极限 3.极限值 =函数值 b ) 初等函数在定义域内连续 c ) 分段 函数除无意义的点外,还要讨论分界点处的连续性 例: 𝑓(𝑥) = { sin4𝑥+𝑒−3𝑎𝑥−1 𝑥 ,𝑥 ≠ 0 𝑎 ,𝑥 = 0 ,若 𝑥 = 0处连续,求 𝑎的值 . ∵ 𝑓(𝑥) = { sin4𝑥 +𝑒−3𝑎𝑥 −1 𝑥 ,𝑥 ≠ 0 𝑎 ,𝑥 = 0 ∴ lim𝑥→0𝑓(𝑥) = lim𝑥→0sin4𝑥 +𝑒 −3𝑎𝑥 −1 𝑥 = lim𝑥→0 4cos4𝑥 −3𝑎𝑒−3𝑎𝑥 1 = 4−3𝑎 𝑓(0) = 𝑎 𝑓(𝑥)在 𝑥 = 0处连续, lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) 即 4−3𝑎 = 𝑎 ∴ 𝑎 = 1 1.3.2 间断点 a ) 求法 {初等函数:无定义的点 分段函数:讨论分界点处的连续性 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 17 b ) 分类 { 第一类间断点 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0− 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0+ 𝑓(𝑥)都存在 { 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0− 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0+ 𝑓(𝑥), 可去间断点 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0− 𝑓(𝑥) ≠ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0+ 𝑓(𝑥), 跳跃间断点 第二类间断点 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0− 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0+ 𝑓(𝑥)至少有一个存在 { 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0− 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0+ 𝑓(𝑥)至少一个为 ∞ 无穷间断点 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0− 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0+ 𝑓(𝑥)没有一个为 ∞ 振荡间断点 例 1:求 y = 𝑥+1𝑥2−2𝑥−3的间断点,并判断类型 ∵ y = 𝑥 +1𝑥2 −2𝑥 −3 ∴ 由 𝑥2 −2𝑥 −3得间断点 𝑥1 = −1 ,𝑥2 = 3 ∴ lim𝑥→−1 𝑥 +1𝑥2 −2𝑥 −3 = lim𝑥→−1 12𝑥 −2 = −14 ∴ x = −1为第一类间断点且为可去间断点 ∴ lim𝑥→3 𝑥 +1𝑥2 −2𝑥 −3 = ∞ ∴ x = 3为第二类间断点且为无穷间断点 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 18 例 2:讨论 𝑓(𝑥) = { 𝑥 −1 ,𝑥 0 ,在 x=0 处的连续性 ∵ 𝑓(𝑥) = { 𝑥 −1 ,𝑥 0 ∴ lim𝑥→0− 𝑓(𝑥) = lim𝑥→0− 𝑥 −1 = −1 ∴ lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→0+ 𝑥 +1 = 1 ∴ 𝑥 = 0为第一类间断点且为跳跃间断点 例 3:函数 𝑓(𝑥) = { 1 𝑥(√1+𝑥 −√1+𝑥) ,𝑥 ≠ 0 𝐴 ,𝑥 = 0 ,在 𝑥 = 0处连续,求 A ∵ (𝑥) = { 1 𝑥(√1+𝑥 −√1+𝑥) ,𝑥 ≠ 0 𝐴 ,𝑥 = 0 ∴ lim𝑥→0𝑓(𝑥) = lim𝑥→01𝑥(√1+𝑥 −√1+𝑥) = 1 ∵ 𝑓(𝑥) = 𝐴,𝑓(𝑥)在 𝑥 = 0处连续 ∴ lim𝑥→0𝑓(𝑥) = 𝑓(0) ∴ A = 1 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 19 例 4:讨论 𝑓(𝑥) = {3+(𝑥 −1)sin 1 𝑥−1 ,𝑥 0 ,在 𝑥 = 0处连续,则 a = 1 学霸笔记 —— 《高等数学》 第 1 章 函数、极限与连续 20 1.3.3 闭区间上连续函数的性质 a ) 最值定理 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值 b ) 零点定理 1) 𝑓(𝑥)在 [𝑎, 𝑏]上连续 2) 𝑓(𝑎)∙𝑓(𝑏) 0 ∴ 𝑓(1)∙𝑓(2) 0 ∴至少存在一点 σ ∈ (1, 2),使得 𝑓(𝜎) = 0. ∴方程 𝑥5 −3𝑥 = 1至少有一个根介于 1 和 2 之间
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