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直线和椭圆位置关系总结大全.pdf

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直线 椭圆 位置 关系 总结 大全
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1 1. 直线和椭圆位置关系判定方法概述1 直线斜率存在时 2 2 1y kx bmx ny     2 2 2( ) 2 1 0m k n x kbnx b    当 0  时 直线和椭圆相交当 0  时 直线和椭圆相切当 0  时 直线和椭圆相离2 直线斜率不存在时 2 22 2 1xx ya b   判断y有几个解注: 01 无论直线斜率存在与否,关键是看联立后的方程组有几组解,而不是看“ “ 。 02 直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”,无几何法。2. 直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式 2 21 2 1 2211 1 1AB k x x k y ya k       注: 21 2 1 2 1 2( ) 4x x x x x x    而 1 2x x 和 1 2x x 可用韦达定理解决,不必求出 1x和 2x 的精确值,“设而不求”思想初现。 2三角形面积01 过x轴上一定点H的直线l与椭圆 2 22 2 1x ya b  交于A、B两点,求 AOBS1 212AOBS OH y y  02 过y轴上一定点H的直线l与椭圆 2 22 2 1x yb a  交于A、B两点,求 AOBS1 212AOBS OH x x  03 弦任意,点任意12S   弦长×点线距注:仍然蕴含“设而不求”思想。3弦的中点问题01 中点弦所在直线方程问题 02 平行弦中点轨迹03 共点弦中点轨迹 04 其他问题 2 类型题一:直线与椭圆位置1.已知直线 2kxy 和椭圆 123 22  yx ,当k取何值时,此直线与椭圆:(1)相交;(2)相切;(3)相离。 2.已知直线 2kxy 与椭圆 22 22  yx 相交于不同的两点,求k的取值范围。3.点P在椭圆 2847 22  yx 上,则点P到直线 01623  yx 的距离的最大值为_____,最小值为________. 类型题二:弦长公式1.已知椭圆: 19 22  yx ,过左焦点 1F作倾斜角为 6 的直线交椭圆于 BA, 两点,求弦AB的长。 3 2.已知椭圆 122 nymx 与直线 1 yx 相交于 BA, 两点C为AB的中点。 22AB ,OC的斜率为 22 (O为原点),求椭圆方程。 3.已知椭圆 2 24 1x y  及直线y x m  .(1)当 m为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为2 105 ,求直线的方程. 4.已知直线 mxy  与椭圆 14 22  yx 相交于 BA、 两点,当m变化时,求 AB的最大值。 4 类型题三:弦中点问题(点差法)1.已知椭圆 1936 22  yx ,弦AB的中点是 )1,3(M ,求弦AB所在的直线方程。 2.直线 1y x  被椭圆 2 22 4x y  所截的弦的中点坐标是 ( )(A)(31, -32) (B)(-32, 31) (C)(21, -31) (D)(-31, 21)3.已知椭圆 2 2 136 9x y  ,椭圆内一点 (4,2)P ,则以P为中点的弦所在的直线的斜率是(A)21 (B)-21 (C)2 (D)-24.中心在原点,一个焦点为 1F  50,0 的椭圆截直线 23:  xyl 所得的弦的中点的横坐标为21,求椭圆的方程. 5 5.已知椭圆方程为 1925: 22  yxC ,求:(1)中点为(4,1)的弦所在直线的方程;(2)斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹;(3)过点(4,3)的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。 类型题四:与三角形面积有关的问题1.过椭圆 2 2 15 4x y  的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于 BA, 两点,O为坐标原点,求 OAB 的面积。 6 2.椭圆 12045 22  yx 的两个焦点为 21,FF ,过左焦点作直线与椭圆交于 BA, 两点,若 2ABF的面积为20,求直线的方程。 3.已知椭圆 )0(1: 2222  babyaxG 的离心率为 36 ,右焦点为 )0,22( ,斜率为1的直线l与椭圆G交于 BA, 两点,以AB为底边作等腰三角形 顶点为P(-3,2).(Ⅰ)求椭圆G的方程;(Ⅱ)求 PAB 的面积. 7 4.若直线l与椭圆C:x23+y2=1交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为 32,求△AOB面积的最大值. 5.已知椭圆 2 2 14 2x y  的两个焦点是 1F, 2F ,点P在该椭圆上.若 1 2| | | | 2PF PF  ,则△ 1 2PFF 的面积是______.6.已知 21,FF 是椭圆 )0(1: 2222  babyaxC 的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且21 PFPF  .若 21FPF 的面积为9,则 ______b . 8 7.在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点( 3 0) , ,( 3 0), 的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点 ( 1,0)E  且与曲线C交于A,B两点.(Ⅰ)求曲线C的轨迹方程;(Ⅱ)是否存在△AOB面积的最大值,若存在,求出△AOB的面积;若不存在,说明理由. 类型题五:与向量有关的问题1.在直角坐标系xOy中,曲线C上的点P到两定点 )3,0(  , )3,0( 的距离之和等于4,直线 1 kxy 与C交于A,B点.若 OBOA ,求k的值. 9 2.直线 2y kx  与椭圆 2 2 13x y  交于不同两点A和B,且 1OA OB   (其中O为坐标原点),求k的值. 3.已知直线 1kxy 与双曲线 13 22  yx 相交于 BA、 两点,O是坐标原点,如果 OBOA ,求k的值。 10 4.已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限的一点,B也在椭圆上,且满足OA+OB=0(O为坐标原点),  2AF ·  21FF =0,且椭圆的离心率为 22 .(1)求直线AB的方程;(2)若△ABF2的面积为4 2,求椭圆的方程. 11 类型题六:定值定点问题1.已知椭圆 :C 2 22 2 1( 0)x y a ba b    的离心率为 63 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为5 23 .(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知动直线 ( 1)y k x  与椭圆C相交于A、B两点. ①若线段AB中点的横坐标为 12 ,求斜率k的值;②若点 7( ,0)3M  ,求证:MA MB 为定值. 12 2.已知椭圆C : 2 22 2 1( 0)x y a ba b    , 经过点P 3(1, )2 ,离心率是 32 .(I) 求椭圆C的方程;(II) 设直线l与椭圆C交于 ,A B两点,且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M,求证:直线l恒过定点. 13 3.已知椭圆 2 22 2: 1( 0)x yC a ba b    经过点 3(1, )2 ,离心率为 32 .(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)直线 ( 1) ( 0)y k x k   与椭圆C交于 ,A B两点,点M是椭圆C的右顶点.直线AM 与直线BM分别与y轴交于点 ,P Q,试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
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