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课件 矩阵
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矩 阵 论 讲 稿 讲稿编者: 张 凯 院 使用教材:《矩阵论》(第2版) 西北工业大学出版社 程云鹏 等编 辅助教材:《矩阵论导教导学导考》 《矩阵论典型题解析及自测试题》 西北工业大学出版社 张凯院 等编 课时分配:第一章 17学时 第四章 8学时 第二章 5学时 第五章 8学时 第三章 8学时 第六章 8学时 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 1 第一章 线性空间与线性变换 §1.1 线性空间 一、集合与映射 1.集合:能够作为整体看待的一堆东西. 列举法: } , , , { 3 2 1 L a a a S = 性质法: } { 所具有的性质 a a S = 相等( :指下面二式同时成立 ) 2 1 S S = 2 1 2 1 , S S S a S a ⊆ ∈ ⇒ ∈ ∀ 即 1 2 1 2 , S S S b S b ⊆ ∈ ⇒ ∈ ∀ 即 交: } { 2 1 2 1 S a S a a S S ∈ ∈ = 且 I 并: } { 2 1 2 1 S a S a a S S ∈ ∈ = 或 U 和: } , { 2 2 1 1 2 1 2 1 S a S a a a a S S ∈ ∈ + = = + 例 1 R} 0 { 22 21 11 1 ∈       = = j i a a a a A S R} 0 { 22 12 11 2 ∈       = = j i a a a a A S , 2 1 S S ≠ R} , 0 0 { 22 11 22 11 2 1 ∈       = = a a a a A S S I R} , 0 { 21 12 22 21 12 11 2 1 ∈ =       = = j i a a a a a a a A S S U R} { 22 21 12 11 2 1 ∈       = = + j i a a a a a A S S 2.数域:关于四则运算封闭的数的集合. 例如:实数域 R,复数域C,有理数域 ,等等. Q 3.映射:设集合 与 ,若对任意的 1 S 2 S 1 S a ∈ ,按照法则 σ ,对应唯一的 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 2 . ) ( , 2 b a S b = ∈ σ 记作 称 σ 为由 到 的映射;称 为 的象, 1 S 2 S b a a 2 为 b的象源. 变换:当 1 S S = 时,称映射 σ 为 上的变换. 1 S 例 2 ) 2 ( R} ) ( { ≥ ∈ = = × n a a A S j i n n j i . 映射 1 σ : A A det ) ( 1 = σ ( R) → S 变换 2 σ : n I A A ) det ( ) ( 2 = σ ( ) S S → 二、线性空间及其性质 1.线性空间:集合V 非空,给定数域 K ,若在V 中 (Ⅰ) 定义的加法运算封闭, 即 V y x V y x ∈ + ∈ ∀ ) ( , , 元素 对应唯一 , 且满足 (1) 结合律: ) ( ) ( ) ( V z z y x z y x ∈ ∀ + + = + + (2) 交换律: x y y x + = + (3) 有零元: ) ( , V x x x V ∈ ∀ = + ∈ ∃ θ θ 使得 (4) 有负元: θ = − + ∈ − ∃ ∈ ∀ ) ( , ) ( , x x V x V x 使得 . (Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即 V kx K k V x ∈ ∈ ∀ ∈ ∀ ) ( , , 元素 对应唯一 , 且满足 (5) 数对元素分配律: ) ( ) ( V y ky kx y x k ∈ ∀ + = + (6) 元素对数分配律: ) ( ) ( K l lx kx x l k ∈ ∀ + = + (7) 数因子结合律: ) ( ) ( ) ( K l x kl lx k ∈ ∀ = (8) 有单位数:单位数 x x K = ∈ 1 ,使得 1 . 则称V 为 K 上的线性空间. 例 3 R = K 时, n R —向量空间; n m × R —矩阵空间 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 3 ] [t P n —多项式空间; —函数空间 ] , [ b a C C = K 时, —复向量空间; C —复矩阵空间 n C n m × 例 4 集合 } { 是正实数 m m = + R ,数域 } { R 是实数 k k = . 加法: mn n m n m = ⊕ ∈ + , R , 数乘: k m m k k m = ⊗ ∈ ∈ + R, , R 验证 + R 是 R上的线性空间. 证 加法封闭,且(1)~(2)成立. (3 ) 1 = ⇒ = ⇒ = ⊕ θ θ θ m m m m (4) m m m m m 1 ) ( 1 ) ( ) ( m = − ⇒ = − ⇒ = − ⊕ θ 数乘封闭,(5)~(8)成立.故 + R 是 R上的线性空间. 例 5 集合 R} ) , ( { 2 1 2 ∈ = = i ξ ξ ξ α R ,数域 R.设 R ), , ( 2 1 ∈ = k η η β . 运算方式 1 加法: ) , ( 2 2 1 1 η ξ η ξ β α + + = + 数乘: ) , ( 2 1 ξ ξ α k k k = 运算方式 2 加法: ) , ( 1 1 2 2 1 1 η ξ η ξ η ξ β α + + + = ⊕ 数乘: ) ) 1 ( 2 1 , ( 2 1 2 1 ξ ξ ξ α − + = k k k k k o 可以验证 与 都是 ) ( R 2 ⋅ + ) ( R 2 o ⊕ R上的线性空间. [注] 在 R 中, ) ( 2 o ⊕ ) 0 , 0 ( = θ , . ) , ( 2 1 2 1 ξ ξ ξ α + − − = − Th1 线性空间V 中的零元素唯一,负元素也唯一. 证 设 与 2 θ 都是V 的零元素, 则 2 1 2 2 1 1 θ θ θ θ θ θ = + = + = 1 θ 设 与 都是 的负元素, 则由 1 x 2 x x θ = + 1 x x 及 θ = + 2 x x 可得 2 1 2 1 1 1 ) ( ) ( x x x x x x x x + + = + + = + = θ 2 2 2 2 1 ) ( x x x x x x = + = + = + + = θ θ 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 4 例 6 在线性空间V 中,下列结论成立. θ = x 0 : θ = ⇒ = + = + x x x x x 0 1 ) 0 1 ( 0 1 θ θ = k : θ θ θ θ = ⇒ = + = + k kx x k k ) ( kx ) ( ) 1 ( x x − = − :( ) ( ) ( ] 1 ) 1 [( )] ( [ ) 1 ( ) 1 x x x x x x x x − = − + + − = − + + − = − 2.减法运算:线性空间V 中, ) ( y x y x − + = − . 3.线性组合: K c V x x i i ∈ ∈ 若存在 , , , 使 m m x c x c x + + = L 1 1 , 则称 x 是 的线性组合,或者 可由 线性表示. m x x , , 1 L x m x x , , 1 L 4.线性相关:若有 不全为零,使得 m c c , , 1 L θ = + + m m x c x c L 1 1 ,则称 m x x , , 1 L 线性相关. 5.线性无关:仅当 全为零时,才有 m c c , , 1 L θ = + + m m x c x c L 1 1 ,则称 m x x , , 1 L 线性无关. [注] 在 R 中, ) ( 2 o ⊕ ) 1 , 1 ( 1 = α , ) 2 , 2 ( 2 = α 线性无关; ) 1 , 1 ( 1 = α , ) 3 , 2 ( 2 = α 线性相关.(自证) 三、基与坐标 1.基与维数:线性空间V 中,若元素组 满足 n x x , , 1 L (1) 线性无关; n x x , , 1 L (2) V x ∈ ∀ 都可由 线性表示. n x x , , 1 L 称 为 n x x , , 1 L V 的一个基, 为 n V 的维数, 记作 n V = dim ,或者V . n 例 7 矩阵空间 n m × R 中, 易见 (1) ) , , 2 , 1 ; , , 2 , 1 ( n j m i E j i L L = = 线性无关; (2) . ∑∑ == × = = m i n j j i j i n m j i E a a A 11 ) ( 故 ) , , 2 , 1 ; , , 2 , 1 ( n j m i E j i L L = = 是 n m × R 的一个基, . mn n m = × dimR 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 5 2.坐标:给定线性空间V 的基 ,当 时,有 n n x x , , 1 L n V x ∈ n n x x x ξ ξ + + = L 1 1 .称 n ξ ξ , , 1 L 为 在给定基 下的 x n x , , 1 L x 2 坐标,记作列向量 . Τ 1 ) , , ( n ξ ξ α L = 例 8 矩阵空间 2 R × 中,设 2 2 ) ( × = j i a A . (1) 取基 , 22 21 12 11 , , , E E E E 22 22 21 21 12 12 11 11 E a E a E a E a A + + + = 坐标为 Τ 22 21 12 11 ) , , , ( a a a a = α (2) 取基 , , ,       = 1 1 1 1 1 B       = 1 1 1 0 2 B       = 1 1 0 0 3 B       = 1 0 0 0 4 B 4 22 4 3 21 3 2 12 2 1 11 ) ( ) ( ) ( B a B B a B B a B B a A + − + − + − = 4 21 22 3 12 21 2 11 12 1 11 ) ( ) ( ) ( B a a B a a B a a B a − + − + − + = 坐标为 Τ 21 22 12 21 11 12 11 ) , , , ( a a a a a a a − − − = β [注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同,也可能不同. 例如: 在上述两个基下的坐标都是 ; 22 n n E A = Τ ) 1 , 0 , 0 , 0 ( 11 E A = 在上述两个基下的坐标不同. Th2 线性空间V 中,元素在给定基下的坐标唯一. 证 设V 的基为 ,对于 ,若 n x x , , 1 L n V x ∈ n n x x x ξ ξ + + = L 1 1 n n x x η η + + = L 1 1 则有 θ η ξ η ξ = − + + − n n n x x ) ( ) ( 1 1 1 L 因为 线性无关, 所以 n x x , , 1 L 0 = − i i η ξ , 即 ) , , 2 , 1 ( n i i i L = = η ξ . 故 的坐标唯一. x n 例 9 设线性空间V 的基为 , 元素 在该基下的坐标为 n x x , , 1 L j y ) , , 2 , 1 ( m j j L = α , 则元素组 线性相关(线性无关) m y y , , 1 L ⇔ 向量组 m α α , , 1 L 线性相关(线性无关). 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 6 证 对于数组 , 因为 m k k , , 1 L θ α α = + + = + + ) )( , , ( 1 1 1 1 1 m m n m m k k x x y k y k L L L 等价于 θ α α = + + m m k L 1 1 k , 所以结论成立. 四、基变换与坐标变换 1.基变换:设线性空间V 的基(Ⅰ)为 , 基(Ⅱ)为 , 则 n n x x , , 1 L n y , , 1 L y        + + + = + + + = + + + = n nn n n n n n n n x c x c x c y x c x c x c y x c x c x c y L L L L L L 2 2 1 1 2 2 22 1 12 2 1 2 21 1 11 1 C             = nn n n n n c c c c c c c c c L M M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 写成矩阵乘法形式为 ( C x x y y n n ) , , ( ) , , 1 1 L L = 称上式为基变换公式,C为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵. [注] 过渡矩阵C一定可逆. 否则C的 个列向量线性相关, 从而 n n y , , 1 L y 1 − 线性相关(例9).矛盾!由此可得 1 1 1 ) , , ( ) , , ( − = C y y x x n n L L 称C 为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵. 2.坐标变换:设 在两个基下的坐标分别为 n V x ∈ α 和 β ,则有 = + + = n n x x x ξ ξ L 1 1 α ) , , ( 1 n x x L n n y y x η η + + = L 1 1 β ) , , ( 1 n y y L = β C x x n ) , , ( 1 L = 由定理 2可得 β α C = ,或者 ,称为坐标变换公式. α β 1 − = C 例 10 矩阵空间 2 2 R × 中,取基 ( Ⅰ) , , ,       = 1 0 0 1 1 A       − = 1 0 0 1 2 A       = 0 1 1 0 3 A       − = 0 1 1 0 4 A (Ⅱ) , , ,       = 1 1 1 1 1 B       = 0 1 1 1 2 B       = 0 0 1 1 3 B       = 0 0 0 1 4 B 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 7 (1) 求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵; (2) 求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式. 解 采用中介法求过渡矩阵. 基(0): , , ,       = 0 0 0 1 11 E       = 0 0 1 0 12 E       = 0 1 0 0 21 E       = 1 0 0 0 22 E (0) → (Ⅰ): 1 22 21 12 11 4 3 2 1 ) , , , ( ) , , , ( C E E E E A A A A = (0) → (Ⅱ): 2 22 21 12 11 4 3 2 1 ) , , , ( ) , , , ( C E E E E B B B B = ,             − − = 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 C             = 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 C ( Ⅰ) (Ⅱ): → = ) , , , 4 3 2 1 B B B B ( 2 1 1 4 3 2 1 ) , , , ( C C A A A A −             =             − − = = − 0 1 0 0 0 1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 2 2 1 1 C C C C             + + + + + + + =             =             3 3 2 1 4 3 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 2 2 2 1 η η η η η η η η η η η η η η η ξ ξ ξ ξ C 五、线性子空间 1.定义:线性空间V 中,若子集V 非空,且对 1 V 中的线性运算封闭,即 (1) 1 1 , V y x V y x ∈ + ⇒ ∈ ∀ (2) 1 1 , V kx K k V x ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ∀ 称V 为 1 V 的线性子空间,简称为子空间. 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 8 1 [注] (1) 子空间V 也是线性空间, 而且 V V dim dim 1 ≤ . (2) } { θ 是V 的线性子空间, 规定dim{ 0 } = θ . (3) 子空间V 的零元素就是 1 V 的零元素. 例 11 线性空间V 中,子集V 是 1 V 的子空间 ⇔ 对 1 1 , , , , V ly kx K l k V y x ∈ + ∈ ∀ ∈ ∀ . 有 证 充分性. : 1 = = l k 1 1 , V y x V y x ∈ + ⇒ ∈ ∀ 0 = l : 1 1 0 , V y kx kx K k V x ∈ + = ⇒ ∈ ∀ ∈ ∀ 故V 是 1 V 的子空间. 必要性. 1 1 , V kx K k V x ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ∀ (数乘封闭) 1 1 , V ly K l V y ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ∀ (数乘封闭) 故 (加法封闭) 1 V y l x k ∈ + 例 12 在线性空间V 中,设 ) , , 2 , 1 ( m i V x i L = ∈ ,则 } { 1 1 1 K k x k x k x i m m ∈ + + = = L V 是V 的子空间,称V 为由 生成的子空间. 1 m x x , , 1 L 证 m m x k x k x V x + + = ⇒ ∈ L 1 1 1 ∀ m m x l x l y V y + + = ⇒ ∈ ∀ L 1 1 1 : 1 1 1 1 ) ( ) ( V x l l kk x l l kk y l kx m m m , K l k ∈ ∀ ∈ + + + + = + L 根据例 11知,V 是 1 V 的子空间. [注] (1) 将V 记作span 或者 . 1 } , , { 1 m x x L ) , , ( 1 m x x L L (2) 元素组 的最大无关组是 的基; m x x , , 1 L ) , , ( 1 m x x L L (3) 若线性空间V 的基为 ,则V . n n x x , , 1 L ) , , ( 1 n n x x L L = 2.矩阵的值域(列空间): 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 9 划分 ( ), n m n n m j i a A × × ∈ = = C ) , , ( ) ( 1 β β L m j C ∈ β 称 ) , , ( ) ( 1 n L A R β β L = 为矩阵 的值域(列空间). A 易见 A A R rank ) ( = dim . 例 13 矩阵 A的值域 } C { ) ( n x Ax A R ∈ = = β . 证 ∈ ∀ β 左, 有 右 ∈ =           = + + = Ax k k k k n n n n M L L 1 1 1 1 ) , , ( β β β β β ∈ ∀ β 右, 有 左 ∈ + + =           = = n n n n k k k k Ax β β β β β L M L 1 1 1 1 ) , , ( 3.矩阵的零空间: 设 ,称 n m A × ∈ C } C , 0 { ) ( n x Ax x A N ∈ = = 为矩阵 A的零空间. 易见 A n A N rank ) ( − = dim . Th3 线性空间V 中, 设子空间V 的基为 n 1 ) ( , , 1 n m x x m L , 则存在 n n m V x x ∈ + , , 1 L , 使得 为V 的基. n m m x x x x , , , , , 1 1 L L + n 证 线性表示 不能由 m n m x x V x n m , , 1 1 L ∈ ∃ ⇒ + , , , 1 1 线性无关 + ⇒ m m x x x L 若 ,则 是V 的基; n n m = + 1 1 1 , , , + m m x x x L n 否则, m n + 1 线性表示 不能由 1 1 2 , , , + + ∈ ∃ ⇒ m m n m x x x V x L , , , , 2 1 1 线性无关 + + ⇒ m m m x x x x L 若 ,则 是V 的基; m = + 2 2 1 1 , , , , + + m m m x x x x L n 否则, m . L L ⇒ + n 2 依此类推, 即得所证. 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 10 六、子空间的交与和 1.子空间的交: } { 2 1 2 1 V x V x x V ∈ ∈ = 且 I V Th4 设V 是线性空间 2 1 ,V V 的子空间,则V 是 2 1 V I V 的子空间. 证 2 1 2 1 2 1 , V V V V V V I I ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∈ θ θ θ 非空    ∈ + ⇒ ∈ ∈ + ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∀ 2 2 1 1 2 1 , , , V y x V y x V y x V y x V V y x I 2 1 V V y x I ∈ + ⇒    ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ∀ 2 2 1 1 2 1 , V kx V x V kx V x V V x K k I 2 1 V V kx I ∈ ⇒ 所以V 是 2 1 V I V 的子空间. 2.子空间的和: } , { 2 2 1 1 2 1 2 1 V x V x x x x V V ∈ ∈ + = = + Th5 设V 是线性空间 2 1 ,V V 的子空间,则V 2 1 V + 是V 的子空间. 证 2 1 2 1 2 1 , V V V V V V + ⇒ + ∈ + = ⇒ ∈ ∈ θ θ θ θ θ 非空    ∈ ∈ + = ∈ ∈ + = ⇒ + ∈ ∀ 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 , , , , , V y V y y y y V x V x x x x V V y x ) ( ) ( 2 2 1 1 y x y x y x + + + = + ⇒ , 2 2 2 1 1 1 , V y x V y x ∈ + ∈ + 2 1 V V y x + ∈ + ⇒ 2 2 1 1 2 1 2 1 , , , V x V x x x x V V x K k ∈ ∈ + = ⇒ + ∈ ∀ ∈ ∀ 2 2 1 1 2 1 , , V kx V kx kx kx kx ∈ ∈ + = ⇒ 2 1 V V kx + ∈ ⇒ 所以V 是 2 1 V + V 的子空间. [注] 不一定是 2 1 V V U V 的子空间. 例如:在 2 R 中,V ) ( ) ( 2 2 1 1 e L V e L = = 与 的并集为 } R , 0 ) , ( { 2 1 2 1 2 1 ∈ = ⋅ = = i V V ξ ξ ξ ξ ξ α U 易见 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 1 , 1 ( , , V V e e V V e e U U ∉ = + ∈ 但 , 故加法运算不封闭. 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 11 2 Th6 设V 是线性空间 1 ,V V 的有限维子空间,则 ) ( dim dim dim ) ( dim 2 1 2 1 2 1 V V V V V V I − + = + 证 记 ,dim 1 1 dim n V = 2 2 n V = , m V V = 2 1 I dim 欲证 m n n V V − + = + 2 1 2 1 ) ( dim (1) :( 1 n m = 1 2 1 1 2 1 ) V V V V V V = ⇒ ⊂ I I 2 2 1 2 1 2 2 1 ) ( V V V V V V V V = + ⇒ ⊂ ⇒ ⊂ I m n n n V V V − + = = = + 2 1 2 2 2 1 dim ) ( dim (2) :( 2 n m = 2 2 1 2 2 1 ) V V V V V V = ⇒ ⊂ I I 1 2 1 1 2 1 2 1 ) ( V V V V V V V V = + ⇒ ⊂ ⇒ ⊂ I m n n n V V V − + = = = + 2 1 1 1 2 1 dim ) ( dim (3) :设V 的基为 ,那么 2 1 2 L 1 , n m n m 2 1 V I m x x , , 1 L 扩充为V 的基: (Ⅰ) m n m y y x x − 1 , , , , , 1 1 L L 扩充为V 的基: (Ⅱ) m n m z z x x − 2 , , , , , 1 1 L L 考虑元素组: (Ⅲ) m n m n m z z y y x x − − 2 1 , , , , , , , , 1 1 1 L L L 因为 (Ⅰ),V (Ⅱ) ,所以 V V = 1 L = 2 L V = + 2 1 (Ⅲ) (自证). 下面证明元素组(Ⅲ)线性无关: 设数组 k 使得 m n m n m q q p p k − − 2 1 , , , , , , , , 1 1 1 L L L m n m n m m y p y p x k x k − − + + + + + 1 1 1 1 1 1 L L θ = + + + − − m n m n z q z q 2 2 1 1 L 由 (*)    ∈ + + − ∈ + + + + + = − − − − 2 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 2 2 1 1 V z q z q V y p y p x k x k x m n m n m n m n m m L L L 得 m m x l x l x V V x + + = ⇒ ∈ L I 1 1 2 1 结合(*)中第二式得 θ = + + + + + − − m n m n m m z q z q x l x l 2 2 1 1 1 1 L L 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 12 (Ⅱ)线性无关 0 , 0 2 1 1 = = = = = = −m n m q q l l L L ⇒ 结合(*)中第一式得 θ = + + + + + − − m n m n m m y p y p x k x k 1 1 1 1 1 1 L L (Ⅰ)线性无关 0 , 0 1 1 1 = = = = = = −m n m p p k k L L ⇒ 故元素组(Ⅲ)线性无关,从而是V 2 1 V + 的一个基. 因此 m n n V V − + = + 2 1 2 1 ) ( dim . 3.子空间的直和: } , { 2 2 1 1 2 1 2 1 V x V x x x x V V ∈ ∈ + = = + 唯一 唯一 记作:V 2 1 2 1 V V V ⊕ = + Th7 设V 是线性空间 2 1 ,V V 的子空间,则V 2 1 V + 是直和 ⇔ } { 2 1 θ = V I V . 证 充分性.已知 } { 2 1 θ = V I V :对于 2 1 V V z + ∈ ∀ ,若    ∈ ∈ + = ∈ ∈ + = 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 , , , , V y V y y y z V x V x x x z 则有 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 , , ) ( ) ( V y x V y x y x y x ∈ − ∈ − = − + − θ 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 , , ) ( y x y x y x y x V V y x y x = = ⇒ = − = − ⇒ ∈ − − = − ⇒ θ θ I 故 的分解式唯一, 从而V 2 1 V V z + ∈ 2 1 2 1 V V V ⊕ = + . 必要性.若 } { 2 1 θ ≠ V I V ,则有 2 1 V V x I ∈ ≠ θ .对于 2 1 V V + ∈ θ ,有 2 1 2 1 ) ( , ), ( , , V x V x x x V V ∈ − ∈ − + = ∈ ∈ + = θ θ θ θ θ θ 即 2 1 V V + ∈ θ 有两种不同的分解式.这与V 2 1 V + 是直和矛盾. 故 } { 2 1 θ = V I V . 第一章 线性空间与线性变换(第 1节) 13 2 推论 1 V 是直和 1 V + 2 1 2 1 dim dim ) ( dim V V V V + = + ⇔ 推论 2 设V 是直和,V 的基为 ,V 的基为 , 2 2 1 V + 1 k x x , , 1 L 2 l y y , , 1 L 则V 的基为 . 1 V + l k y y x x , , , , , 1 1 L L 证 因为 ,且 2 ) , , , , , ( 1 1 l k y y x x L L L = 1 V V + l k V V V V + = + = + 2 1 2 1 dim dim ) ( dim 所以 线性无关, 故 是V 的基. l k y y x x , , , , , 1 1 L L l k y y x x , , , , , 1 1 L L 2 1 V + 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 14 §1.2 线性变换及其矩阵 一、线性变换 1 .定 义 线性空间 V,数 域 K, T是 V中的变换.若对 V y x ∈ ∀ , , ∀ , K l k ∈ , 都有 ) ( ) ( ) ( Ty l Tx k ly kx T + = + , 称 T是 V中的线性变换. 性质 (1) θ θ = + = + = ) ( 0 ) ( 0 ) 0 0 ( Ty Tx y x T T (2 ) T ) ( ) ( 0 ) )( 1 ( ) 0 ) 1 (( ) ( Tx Ty Tx y x T x − = + − = + − = − (3 ) 线性相关 ⇒ 线性相关 V x x m ∈ , , 1 L m Tx Tx , , 1 L (4 ) 线性无关时,不能推出Tx 线性无关. V x x m ∈ , , 1 L m Tx , , 1 L (5) 是线性变换 T y T Tx y x T + = + ⇔ )(, ) ( ) ( Tx k kx T = ( V y x ∈ ∀,,K k ∈ ∀ ) 例 1 矩阵空间 n n × R ,给定矩阵 ,则变换 TX = BX+XB ( n n B × n n X × ∈ ∀ R ) 是 n n × R 的线性变换. 2.线性变换的值域: } , { ) ( V x Tx y y T R ∈ = = 3.线性变换的核: } , { ) ( V x Tx x T N ∈ = = θ Th8 设 T是线性空间 V的线性变换,则 R(T)和 N(T)都是 V的子空间. 证 (1) V非空 ⇒ 非空. ) (T R 1 1 1 1 st , ) ( Tx y V x T R y = ∈ ∃ ⇒ ∈ ∀ 2 2 2 2 st , ) ( Tx y V x T R y = ∈ ∃ ⇒ ∈ ∀ ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 T R x x T Tx Tx y y ∈ + = + = + ) 2 1 V x x ∈ + Q ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 T R x k T Tx k y k ∈ = = ( ) , 1 V kx K k ∈ ∈ ∀ Q 故 R(T)是 V的子空间. (2 ) ) ( , T N T V ∈ ⇒ = ∈ θ θ θ θ ,即 非空. ) (T N 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 15 θ = + = + ⇒ ∈ ∀ Ty Tx y x T T N y x ) ( ) ( , ,即 ) (T N y x ∈ + . θ = = ⇒ ∈ ∀ ∈ ∀ ) ( ) ( ), ( Tx k kx T K k T N x ,即 kx ) (T N ∈ . 故 N(T)是 V的子空间. [注] 定义:T的秩 = dim R(T),T的亏 = dim N(T) 例 2 设线性空间V 的基为 , T是V 的线性变换,则 n n x x , , 1 L n , ) , , ( ) ( 1 n Tx Tx L T R L = n T N T R = + ) ( dim ) ( dim 证 (1) 先证 : ∀ ) , , ( ) ( 1 n Tx Tx L T R L ⊂ Tx y V x T R y n = ∈ ∃ ⇒ ∈ st , )( ∈ + + = ⇒ + + = ) ( ) ( 1 1 1 1 n n n n Tx c Tx c y x c x c x L L L ) , , ( 1 n Tx Tx L 再证 R : ) , , ( ) ( 1 n Tx Tx L T L ⊃ ) ( ) ( st , , , ) , , ( 1 1 1 1 n n n n Tx c Tx c y c c Tx Tx L y + + = ∃ ⇒ ∈ ∀ L L L n ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 T R Tx c Tx c y T R Tx n n i i V x ∈ ∈ + + = ⇒ ∈ ⇒ L (2) 设dim , 且 的基为 , 扩充为V 的基: m T N = ) ( ) (T N m y y , , 1 L n n m m y y y y , , , , , 1 1 L L + 则 ) , , ( ) , , , , , ( ) ( 1 1 1 n m n m m Ty Ty L Ty Ty Ty Ty L T R L L L + + = = 设数组 k 使得 n m k , , 1 L + θ = + + + + ) ( ) ( 1 1 n n m m Ty k Ty k L , 则 θ = + + + + ) ( 1 1 n n m m y k y k T L 因为T 是线性变换, 所以 ) ( 1 1 T N y k y k n n m m ∈ + + + + L , 故 m m n n m m y l y l y k y k + + = + + + + L L 1 1 1 1 即 θ = + + + − + + − + + n n m m m m y k y k y l y l L L 1 1 1 1 ) ( )( 因为 线性无关, 所以 n m m y y y y , , , , , 1 1 L L + 0 , , 0 1 = = + n m k k L .因此 线性无关, 从而 n m Ty Ty , , 1 L + m n T R − = ) ( dim , 即dim . n m T R = + ) ( 例 3 向量空间 4 R 中, ) , , , ( 4 3 2 1 ξ ξ ξ ξ = x ,线性变换 T为 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 16 ) 0 , 0 , 4 3 3 , 3 ( 4 3 2 1 4 3 2 1 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + − − − − + = Tx 求 和 的基与维数. ) 4 (T R ) (T N 解 (1) 取 R 的简单基 , 计算 4 3 2 1 , , , e e e e Te , ) 0 , 0 , 3 , 1 ( 1 = ) 0 0 1 1 ( 2 , , , − = Te , ) 0 , 0 , 3 , 3 ( 3 − − = Te , Te ) 0 , 0 , 4 , 1 ( 4 − = 该基象组的一个最大线性无关组为 . 2 1 ,Te Te 故 dim R(T) = 2,且 R(T)的一个基为Te . 2 1 ,Te (2 ) 记 , 则       − − − − = 4 3 1 3 1 3 1 1 A } 0 { } { ) ( 4 1 =           = = = ξ ξ θ M A x Tx x T N 的基础解系为 , . 0 4 1 =           ξ ξ M A             0 2 3 3             − 4 0 7 3 故 dimN(T) = 2,且 N(T)的一个基为(3, 3, 2, 0),(-3, 7, 0, 4). 4.单位变换:线性空间 V中,定义变换 T为Tx ) ( V x x ∈ ∀ = , 则 T是线性变换,记作T . e 5.零变换:线性空间 V中,定义变换 T为 ) ( V x Tx ∈ ∀ = θ , 则 T是线性变换,记作T . 0 6.线性变换的运算:线性空间 V,数域 K,线性变换T 与T . 1 2 (1 ) 相等:若T ) ( 2 1 V x x T x ∈ ∀ = ,称T =T . 1 2 (2 ) 加法:定义变换 T为 ) ( 2 1 V x x T x T Tx ∈ ∀ + = , 则 T是线性变换,记作T 2 1 T T + = . 负变换:定义变换 T为 ) ( ) ( 1 V x x T Tx ∈ ∀ − = , 则 T是线性变换, 记作T 1 T − = . 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 17 (3 ) 数乘:给定 ,定义变换 T为 K k ∈ ) ( ) ( 1 V x x T k Tx ∈ ∀ = , 则 T是线性变换, 记作T 1 kT = . [注] 集合 Hom(V,V) } { def 的线性变换 上的线性空间 是数域 V K T T = 按照线性运算(2)和(3)构成数域 K上的线性空间,称为 V的同态. (4) 乘法:定义变换 T为 ) ( ) ( 2 1 V x x T T Tx ∈ ∀ = , 则 T是线性变换, 记作T 2 1 T T = . 7.逆变换:设 T是线性空间 V的线性变换,若 V的线性变换 满足 S T n ) ( ) ( ) ( V x x x TS x ST ∈ ∀ = = 则称T 为可逆变换,且 S为 T的逆变换,记作 . S = −1 8.幂变换:设 T是线性空间 V的线性变换, 则 也是 V的线性变换. ) , 3 , 2 ( 1 def L = = − m T T T m m 9.多项式变换:设 T是线性空间 V的线性变换,多项式 ) ( ) ( 1 0 K a t a t a a t f i m m ∈ + + + = L 则 也是 V的线性变换. m m e T a T a T a T f + + + = L 1 0 ) ( 二、线性变换的矩阵表示 1.线性变换在给定基下的矩阵 设线性空间V 的基为 ,T是V 的线性变换,则Tx ,且有 n x x , , 1 L n n i V ∈        + + + = + + + = + + + = n nn n n n n n n n x a x a x a Tx x a x a x a Tx x a x a x a Tx L L L L L 2 2 1 1 2 2 22 1 12 2 1 2 21 1 11 1             = nn n n n n a a a a a a a a a A L M M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 写成矩阵乘法形式 T A x x Tx Tx x x n n n ) , , ( ) , , ( ) , , ( 1 1 def 1 L L L = = 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 18 称 A为线性变换 T在基 下的矩阵. n x x , , 1 L n n [注] (1) 给定V 的基 和线性变换 T时,矩阵 A唯一. n x x , , 1 L (2 ) 给定V 的基 和矩阵 A时,基象组Tx 确定. n x x , , 1 L n Tx , , 1 L n V x ∈ ∀ n n x c x c x + + = ⇒ L 1 1 ,定义变换 ( ) ( ) n n Tx c Tx c Tx + + = L 1 1 则 T是线性变换.因此线性变换 T与方阵 A是一一对应关系. 例 4 线性空间 的线性变换为 ] [t P n ( ) ( ) ( ) ( ) ] [t P t f t f t f T n ∈ ∀ ′ = . 基(I): ! , , ! 2 , , 1 2 2 1 0 n t f t f t f f n n = = = = L 基 (II): n n t g t g t g g = = = = , , , , 1 2 2 1 0 L 记 T在基(I)下的矩阵为 ,T在基(II)下的矩阵为 .因为 1 A 2 A 1 1 2 0 1 0 , , , , 0 − = = = = n n f Tf f Tf f Tf Tf L 1 1 2 0 1 0 , , 2 , , 0 − = = = = n n ng Tg g Tg g Tg Tg L 所以 ,                 = 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 M O O L L A                 = 0 0 0 2 0 0 0 1 0 2 n A M O O L L 易见 . 2 1 A A ≠ ) 2 ( ≥ n 例 5 线性空间V 中,设线性变换 T在基 下的矩阵为 A,则 n n x x , , 1 L dimR(T) = rankA,dimN(T) = n - rankA. 证 rankA = m ⇔ A的列向量组 n β β , , 1 L 中最大无关组含 m个向量 元素组Tx 中最大无关组含 m个向量 ⇔ n Tx , , 1 L dim R(T) = dim ⇔ m Tx Tx L n = ) , , ( 1 L 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 19 由例 2知另一结论成立. 2.线性运算的矩阵表示(将线性变换运算转化为矩阵运算) T Th9 设线性空间V 的基为 ,线性变换T 与 的矩阵 n n x x , , 1 L 1 2 A与 ,则 B (1 ) T 1 +T 2 在该基下的矩阵为 B A + . (2 ) kT 1 在该基下的矩阵为 . kA (3 ) T 1 T 2 在该基下的矩阵为 AB. (4 ) T 在该基下的矩阵为 1 1 − 1 − A . 证 () () ( ) ( )B x x x x T A x x x x n n n n , , , , , , , , , 1 1 2 1 1 1 L L L L T = = (1 ) 略.(2) 略. (3 ) 先证: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]C x x T C x x T c C n n m n ij , , , , , 1 1 L L = = × ∀ 左= [ ] ()( ) [ ] ∑ ∑ ∑ ∑ = i im i i i im i i Tx c Tx c x c x c , , , , 1 1 L L T =() = C Tx Tx n , , 1 L 右 由此可得 () ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] B x x T x x T T x x T T n n n , , , , , , 1 1 1 2 1 1 2 1 L L L = = ( ) [ ] ( )AB x x B x x T n n , , , , 1 1 1 L L = = (4 ) 记T ,则 2 1 1 T = − ( ) 1 3 1 2 2 1 − = ⇒ = = ⇒ = = A B I BA AB T T T T T e . 3.象与原象坐标间的关系 Th10 线性空间V 的基为 线性变换 T在该基下的矩阵为 A, n , , , 1 n x x L 的坐标为 ,T x 的坐标为 ,则 . n      V x ∈           n ξ ξ M 1           n η η M 1           =      n n A ξ ξ η η M M 1 1 证 n n x x x ξ ξ + + = L 1 1 () ()( ) ( )           =           = + + = n n n n n n A x x Tx Tx Tx Tx Tx ξ ξ ξ ξ ξ ξ M L M L L 1 1 1 1 1 1 , , , ,第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 20 由定理 2知 .           =           n n A ξ ξ η η M M 1 1 4.线性变换在不同基下矩阵之间的关系 n Th11 线性空间V 的基(I): ,基(II): n x x , , 1 L n y y , , 1 L 线性变换 T :() ( )A x x x x n n , , , , 1 1 L L T = () ( )B y y y y T n n , , , , 1 1 L L = 由基(I)到基(II)的过渡矩阵为 C,则 . AC C B 1 − = 证 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) AC C y y AC x x C x x T y y T n n n n 1 1 1 1 1 , , , , , , − = = = L L L L ( )( ) B y y y y T n n , , , , 1 1 L L = 所以 . AC C B 1 − = 三、线性变换的特征值与特征向量 1.定义 线性空间 V,线性变换 T,若 K ∈ 0 λ 及 V x ∈ ≠ θ 满足Tx x 0 λ = , 称 0 λ 为 T的特征值,x为 T 的对应于 0 λ 的特征向量(元素) . 2.算法 设线性空间V 的基为 ,线性变换 T 的矩阵为 . n n x x , , 1 L n n × A T的特征值为 0 λ ,对应的特征向量为 x. x的坐标为 ,T x 的坐标为           = n ξ ξ α M 1 α A , x 0 λ 的坐标为 α . λ 0 因为 α λ α λ 0 0 = ⇔ = A x Tx ,所以T 的特征值与 A的特征值相同; 的对应于 T 0 λ 的特征向量的坐标就是 A的对应于 0 λ 的特征向量. 例 6 设 ,线性空间       = 1 0 1 1 B ( ) { } R , 0 22 11 2 2 ∈ = + = = × ij ij x x x x X V , 线性变换为 ( ) V X B X X B ∈ − = T T TX ,求 T的特征值与特征向量. 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 21 解       +       +       − =       − = ⇒ ∈ 0 0 0 0 0 0 0 0 21 12 11 11 11 21 12 11 x x x x x x x x X V X       +       +       − = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 21 12 11 x x x 可得V 的简单基为       =       =       − = 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 1 0 0 1 3 2 1 X X X 由公式求得 TX       − =       − =       − = 0 1 1 0 , 0 1 1 0 , 0 1 1 0 3 2 1 TX TX 故 T在简单基下的矩阵为           − − − = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 A A的特征值与线性无关的特征向量为 ;           =           = = = 1 1 0 , 0 1 1 , 0 2 1 2 1 α α λ λ           − = = 1 1 0 , 2 3 3 α λ T的特征值与线性无关的特征向量为 ()       − = = = = 1 0 1 1 , , , 0 1 3 2 1 1 2 1 α λ λ X X X Y Y ()       = = 0 1 1 0 , , 2 3 2 1 2 α X X X ()       − = = = 0 1 1 0 , , , 2 3 3 2 1 3 3 α λ X X X Y 例 7 线性空间 V,线性变换 T, { } V x x Tx x ∈ = = , 0 0 λ λ V 是 V的子空间. 证 ∈ ⇒ = ∈ θ θ λ θ θ 0 ,T V 0 λ V , 即V 非空. 0 λ 0 () , λ V y x ∈ ∀ ( ) y x y x Ty Tx y x T + = + = + = + ⇒ 0 0 0 λ λ λ 0 λ V y x ∈ + ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) kx x k Tx k kx T V x K k 0 0 0 , λ λ λ = = = ⇒ ∈ ∀ ∈ ∀ ⇒ 0 λ V kx ∈ 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 22 0 λ 0 故V 是 V的子空间. [注] 若 λ 是线性变换的特征值,则称V 为T 的特征子空间. 0 λ 3.矩阵的迹: . () ∑ = × = = n i ii n n ij a A a A 1 tr , ∆ Th12 () ( ) BA AB B A m n n m tr tr , = ⇒ × × . 证 ( ) ( ) m n ij n m ij b B a A × × = = , , ( ) m m ij u AB × = ∆ , ( ) n n ij v BA × = ∆ : , v () ∑ = =           = n k ki ik ni i in i ii b a b b a a u 1 1 1 , , M L () ∑ = =           = m i ik ki mk k km k kk a b a a b b 1 1 1 , , M L () () BA v a b b a u AB n k kk n k m i ik ki m i n k ki ik m i ii tr tr 1 11 11 1 = =       =       = = ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ = == == = Th13 若 A相似于 B ,则 tr B A tr = . 证 由 AP P B 1 − = 可得 ( ) ( ) A P AP AP P B tr ) ( tr tr tr 1 1 = = = − − [注] 因为相似矩阵有相同的特征值(Th14 -- 线性代数课程结论) 所以线性变换的特征值与线性空间中基的选取无关 4.三角相似 Th17 相似于上三角矩阵. n n A × 证 归纳法.n =1时, ( ) 11 a A = 是上三角矩阵 ⇒ A相似于上三角矩阵. 假设 n = k-1时定理成立,下证 n = k时定理也成立. 的特征值为 k k A × k λ λ λ , , , 2 1 L ,对应 1 λ 的特征向量为 1 x 1 1 1 x Ax λ = ⇒ . 扩充 为C 的基: (列向量) 1 x k k x x x , , , 2 1 L () k x x x P , , , 2 1 1 L = 可逆, ( ) k Ax Ax Ax AP , , , 2 1 1 L = ( ) k j x b x b x b Ax Ax k kj j j j k j , , 2 C 2 2 1 1 L L = + + + = ⇒ ∈ 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 23 ()             = kk k k k k b b b b b b x x x AP L M M M L L L 2 2 22 1 12 1 2 1 1 0 0 , , , λ             = − 0 0 1 1 12 1 1 1 1 A b b AP P k M L λ 的特征值为 1 A k λ λ , , 2 L ,由假设知,存在 1 − k 阶可逆矩阵 Q使得 ,           = − k Q A Q λ λ M O L * 2 1 1             = 0 0 0 0 1 2 Q P M L ∆             = = ⇒ = − k AP P P P P λ λ λ ∆ * * * 2 1 1 2 1 O M O L L 由归纳法原理,对任意 n,定理成立. 5.Hamilton-Cayley定理 Th18 设 ,则 () ( ) n n n n n n a a a A I A + + + + = − = − − × λ λ λ λ λ ϕ ∆ 1 1 1 det , L () n n n n n n O I a A a A a A A × − − = + + + + = 1 1 1 L ∆ ϕ 证 A的特征值为 ( ) ( ) ( ) ( ) n n λ λ λ λ λ λ λ ϕ λ λ λ − − − = ⇒ L L 2 1 2 1 , , , . 由 Th17知,存在可逆矩阵 ,使得 . n n P ×           = − n AP P λ λ M O L * 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) I AP P I AP P I AP P AP P n λ λ λ ϕ − − − = − − − − 1 2 1 1 1 1 L 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 24 L O M O L O M O L               − −             − − = 2 2 1 1 1 2 * 0 * * * * * 0 λ λ λ λ λ λ λ λ n n             − − − 0 * * * 1 1 n n n λ λ λ λ M O O L L O M O L L O M M M O L L                 − − −                 = 3 3 2 3 1 * 0 * * * * * * 0 0 * * 0 0 * * 0 0 * * 0 0 λ λ λ λ λ λ n O n n n =             − − − 0 * * * 1 1 λ λ λ λ M O O L 即 ( ) ( ) O A O P A P = ⇒ = − ϕ ϕ 1 . [注] (1) () I a A a A a A a A a A n n n n n n 1 2 2 1 1 1 1 , 0 0 − − − − − + + + + − = ≠ ⇒ ≠ L (2 ) { } I A A A n n , , , span 1 L − ∈ 例 8 ,计算           − − = 2 1 0 1 1 1 1 1 1 A 50 100 2A A + . 解 ( ) ( ) ( ) 2 1 det ) ( , 2 ) ( 2 50 100 − − = − = + = λ λ λ λ ϕ λ λ λ A I f ϕ除 f : ( ) 2 2 1 0 ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ ϕ λ b b b g f + + + = ( ) λ λ λ ϕ λ 2 1 2 ] ) ( ) ( [ ) ( b b g f + + ′ = ′ 由 可得 51 100 2 2 ) 2 ( , 200 ) 1 ( , 3 ) 1 ( + = = ′ = f f f 第一章 线性空间与线性变换(第 2节) 25      − + = + − − = − + = ⇒      + = + + = + = + + 203 2 2 606 2 2 400 2 2 2 2 4 2 200 2 3 51 100 2 52 101 1 51 100 0 51 100 2 1 0 2 1 2 1 0 b b b b b b b b b b b () () 2 2 1 0 A b A b I b A f O A + + = ⇒ = ϕ 6.最小多项式:以 为根,且次数最低的首 1多项式,记作 n n A × () λ m . () () ( ) 1 1 ≥ ∂ ⇒ ≠ = ⇒ = λ λ m O I A f f () ( ) ( ) ( ) n m O A A I ≤ ∂ ⇒ = ⇒ − = λ ϕ λ λ ϕ 18 Th , det 例 9 () ( )( ) 4 2 , 0 3 1 2 5 1 2 3 3 2 − − =           − − − − = λ λ λ ϕ A () ( ) ( ) ( ) 1 : R 1 1 ∂ ⇒ ≠ + = ∈ ∀ + = λ λ λ m O kI A A f k k f () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) λ λ λ λ λ 2 2 2 4 2 : 4 2 f m O I A I A A f f = ⇒ = − − = − − = Th19 (1) 多项式 () λ f 满足 ( ) ( ) ( ) λ λ f m O A f ⇒ = ; (2 ) ( ) λ m 唯一. 证 (1) 反证法. () () () ( ) ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ r g m f f m + = ⇒ / | () 0 ≡ / λ r 且 ( ) ( ) λ λ m r ∂ ∂ () ( ) ( ) ( ) A r A g A m A f + = ⇒ ( ) ( ) ( ) λ λ m r O A r O A m O A f ∂ ∂
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