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(浙大第四版)概率论与数理统计知识点全汇总.pdf

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浙大 第四 概率论 数理统计 知识点 汇总
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概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 第 1 章 随机事件及其概率 ( 1) 排列 组合公式 )!( ! nm mP n m 从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数 )!(! ! nmn mC n m 从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数 ( 2) 加法 和乘法原 理 加法原理(两种方法均能完成此事) : m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种 方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) : m× n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个 步骤可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m× n 种方法来完成。 ( 3) 一些 常见排列 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题 ( 4) 随机 试验和随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果 不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则 称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 ( 5) 基本 事件、样 本空间和 事件 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事 件,它具有如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表示。 一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用 大写字母 A, B, C, , 表示事件,它们是 的子集。 为必然事件,? 为不可能事件。 不可能事件( ?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事 件;同理,必然事件( Ω )的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定 是必然事件。 ( 6) 事件 的关系与 运算 ①关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分, ( A发生必有事件 B 发生) : BA 如果同时有 BA , AB ,则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于 B: A=B。 A、 B 中至少有一个发生的事件: A B,或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为 A 与 B 的差,记为 A-B, 也可表示为 A-AB或者 BA , 它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 A、 B同时发生: A B,或者 AB。 A B=?,则表示 A 与 B 不可能同 时发生,称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。 -A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为 A 。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算: 结合率: A(BC)=(AB)C A ∪ (B∪ C)=(A∪ B)∪ C 分配率: (AB) ∪ C=(A∪ C)∩ (B∪ C) (A ∪ B)∩ C=(AC)∪ (BC) 德摩根率: 11 i i i i AA BABA , BABA ( 7) 概率 的公理化 定义 设 为样本空间, A 为事件,对每一个事件 A 都有一个实数 P(A) ,若满足下列三个条件: 1° 0 ≤ P(A)≤ 1, 2° P( Ω ) =1 3° 对于两两互不相容的事件 1A , 2A , , 有 11 )( i i i i APAP 常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。 ( 8) 古典 概型 1° n21, , 2° nPPP n 1)()()( 21 。 设任一事件 A ,它是由 m21 , 组成的,则有 P(A) = )()()( 21 m = )()()( 21 mPPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A ( 9) 几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀, 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述, 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A, )( )()( L ALAP 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。 ( 10)加 法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)= 0 时, P(A+B)=P(A)+P(B) ( 11)减 法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A时, P(A-B)=P(A)-P(B) 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 当 A=Ω 时, P( B )=1- P(B) ( 12)条 件概率 定义 设 A、 B 是两个事件,且 P(A)0,则称 )( )( AP ABP 为事件 A 发生条 件下,事件 B发生的条件概率,记为 )/( ABP )( )( AP ABP 。 条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) ( 13)乘 法公式 乘法公式: )/()()( ABPAPABP 更一般地,对事件 A1, A2,, An,若 P(A1A2, An-1)0,则有 21( AAP , )nA )|()|()( 213121 AAAPAAPAP ,, 21|( AAAP n , )1nA 。 ( 14)独 立性 ①两个事件的独立性 设事件 A 、 B 满足 )()()( BPAPABP , 则称事件 A 、 B 是相互独 立的。 若事件 A 、 B 相互独立,且 0)(AP ,则有 )()( )()()( )()|( BPAP BPAPAP ABPABP 若事件 A 、 B 相互独立,则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A与 B 也都 相互独立。 必然事件 和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。 ? 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件, P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C); P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、 B、 C相互独立。 对于 n 个事件类似。 ( 15)全 概公式 设事件 nBBB ,,, 21 满足 1° nBBB ,,, 21 两两互不相容, ),,2,1(0)( niBP i , 2° n i iBA 1 , ( 分类讨论的 则有 )|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP 。 ( 16)贝 叶斯公式 设事件 1B , 2B , , , nB 及 A 满足 1° 1B , 2B , , , nB 两两互不相容, )(BiP 0, i 1, 2, , , n, 2° n i iBA 1 , 0)(AP , (已经知道结果 求原因 则 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 n j jj ii i BAPBP BAPBPABP 1 )/()( )/()()/( , i=1 , 2,, n。 此公式即为贝叶斯公式。 )( iBP , ( 1i , 2 , , , n ) ,通常叫先验概率。 )/( ABP i , ( 1i , 2 , , , n) ,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概 率规律,并作出了“由果朔因”的推断。 ( 17)伯 努利概型 我们作了 n次试验,且满足 每次试验只有两种可能结果, A 发生或 A 不发生; n 次试验是重复进行的,即 A 发生的概率每次均一样; 每次试验是独立的, 即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型,或称为 n重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A 发生的概率,则 A 发生的概率为 qp1 ,用 )(kPn 表示 n 重伯努利试验中 A 出现 )0( nkk 次的概率, knkk nn qpkP C)( , nk ,,2,1,0 。 第二章 随机变量及其分布 ( 1 ) 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律 设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2, , ) 且取各个值的 概率,即事件 (X=Xk) 的概率为 P(X=xk)=p k, k=1,2, , , 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。 有时也用分 布列的形式给出: ,,,, ,,,,| )( 21 21 k k k ppp xxx xXP X 。 显然分布律应满足下列条件: ( 1) 0kp , ,2,1k , ( 2) 1 1 k kp 。 ( 2 ) 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 密度 设 )(xF 是随机变量 X 的分布函数,若存在非负函数 )( xf ,对任意实 数 x,有 x dxxfxF )()( , 则称 X 为连续型随机变量。 )( xf 称为 X 的概率密度函数或密度函数, 简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质: 1° 0)( xf 。 2° 1)( dxxf 。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 ( 3 ) 离 散 与 连 续 型 随 机 变 量 的关系 dxxfdxxXxPxXP )()()( 积分元 dxxf )( 在连续型随机变量理论中所起的作用与 kk pxXP )( 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 ( 4 ) 分 布函数 设 X 为随机变量, x 是任意实数,则函数 )()( xXPxF 称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。 )()()( aFbFbXaP 可以得到 X 落入区间 ],( ba 的概率。 分布函数 )(xF 表示随机变量落入区间(– ∞, x] 内的概率。 分布函数具有如下性质: 1° ,1)(0 xF x ; 2° )(xF 是单调不减的函数,即 21 xx 时,有 )( 1xF )( 2xF ; 3° 0)(lim)( xFF x , 1)(lim)( xFF x ; 4° )()0( xFxF ,即 )(xF 是右连续的; 5° )0()()( xFxFxXP 。 对于离散型随机变量, xx k k pxF )( ; 对于连续型随机变量, x dxxfxF )()( 。 ( 5 ) 八 大分布 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 二项分布 在 n 重贝努里试验中, 设事件 A 发生的概率为 p 。 事件 A 发生的次数是随机变量,设为 X ,则 X 可能取值为 n,,2,1,0 。 knkk nn qpCkPkXP )()( , 其 中 nkppq ,,2,1,0,10,1 , 则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为 ),(~ pnBX 。 当 1n 时, kk qpkXP 1)( , 1.0k ,这就是( 0-1 ) 分布,所以( 0-1 )分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量 X 的分布律为 ekkXP k !)( , 0, 2,1,0k , 则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 , 记 为 )(~X 或者 P( ) 。 泊松分布为二项分布的极限分布( np=λ , n→∞) 。 超 几 何 分 布 ),min( ,2,1,0,)( nMl lkCCCkXP n N kn MN k M 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M) 。 几何分布 ,3,2,1,)( 1 kpqkXP k ,其中 p≥ 0, q=1-p。 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p) 。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 均匀分布 设随机变量 X 的值只落在 [a , b] 内, 其密度函数 )(xf 在 [a , b] 上为常数 ab 1 ,即 ,0 ,1)( abxf 其他, 则称随机变量 X 在 [a , b] 上服从均匀分布, 记为 X~U(a, b) 。 分布函数为 x dxxfxF )()( 当 a≤ x1b 。 a≤ x≤ b )(xf ,xe 0x , 0, 0x , )( xF ,1 xe 0x , ,0 xx1时,有 F( x2,y )≥ F(x 1,y); 当 y2y 1时,有 F(x,y 2) ≥ F(x,y 1); ( 3) F( x,y )分别对 x 和 y 是右连续的,即 );0,(),(),,0(),( yxFyxFyxFyxF ( 4) .1),(,0),(),(),( FxFyFF ( 5)对于 ,, 2121 yyxx 0)()()()( 11211222 yxFyxFyxFyxF ,,,, . ( 4)离散 型 与 连 续 型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP )()()( ,,, 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 ( 5)边缘 分布 离散型 X 的边缘分布为 ),2,1,()( jipxXPP ij j ii ; Y 的边缘分布为 ),2,1,()( jipyYPP ij i jj 。 连续型 X 的边缘分布密度为 ;dyyxfxf X ),()( Y 的边缘分布密度为 .),()( dxyxfyf Y ( 6)条件 分布 离散型 在已知 X=xi 的条件下, Y取值的条件分布为 ; i ij ij p pxXyYP )|( 在已知 Y=yj 的条件下, X取值的条件分布为 ,)|( j ij ji p pyYxXP 连续型 在已知 Y=y 的条件下, X 的条件分布密度为 )( ),()|( yf yxfyxf Y ; 在已知 X=x 的条件下, Y 的条件分布密度为 )( ),()|( xf yxfxyf X ( 7)独立 性 一般型 F(X,Y)=F X(x)F Y(y) 离散型 jiij ppp 有零不独立 连续型 f(x,y)=f X(x)f Y(y) 直接判断,充要条件: ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 二维正态分 布 , 12 1),( 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 ))((2 )1(2 1 2 yyxx eyxf = 0 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 随机变量的 函数 若 X1,X 2, , Xm,X m+1, , Xn 相互独立, h,g 为连续函数,则: h( X1, X2, , Xm)和 g( Xm+1, , Xn)相互独立。 特例:若 X与 Y 独立,则: h( X)和 g( Y)独立。 例如:若 X与 Y 独立,则: 3X+1 和 5Y-2 独立。 ( 8)二维 均匀分布 设随机向量( X, Y)的分布密度函数为 其他,0 ),(1 ),( DyxS yxf D 其中 SD为区域 D的面积,则称( X, Y)服从 D上的均匀分布,记为( X, Y)~ U( D) 。 例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 。 y 1 D 1 O 1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 D2 1 D3 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 ( 9)二维 正态分布 设随机向量( X, Y)的分布密度函数为 , 12 1),( 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 ))((2 )1(2 1 2 yyxx eyxf 其中 1||,0,0, 21,21 是 5 个参数,则称( X, Y)服从二维正态分 布, 记为( X, Y)~ N( ).,,, 2221,21 由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布, 即 X~ N( ).(~),, 22,2211 NY 但是若 X~ N( )(~),, 22,2211 NY , (X, Y)未必是二维正态分布。 ( 10)函数 分布 Z=X+Y 根据定义计算: )()()( zYXPzZPzF Z 对于连续型, f Z(z) = dxxzxf ),( 两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 222121 , ) 。 n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。 i iiC , i iiC 222 Z=max,min( X 1,X 2,, X n) 若 nXXX 21, 相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为 )()()( 21 xFxFxF nxxx , ,则 Z=max,min(X 1,X 2,, X n)的分布 函数为: )()()()( 21max xFxFxFxF nxxx )](1[)](1[)](1[1)( 21min xFxFxFxF nxxx 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 2 分布 设 n 个随机变量 nXXX ,,, 21 相互独立,且服从标准正态分 布,可以证明它们的平方和 n i iXW 1 2 的分布密度为 .0,0 ,0 22 1 )( 2 1 2 2 u ueu nuf un n 我们称随机变量 W服从自由度为 n 的 2 分布, 记为 W~ )(2 n , 其中 .2 0 12 dxexn xn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数。 2 分布满足可加性:设 ),(2 ii nY 则 ).(~ 21 1 2 k k i i nnnYZ 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 t 分布 设 X, Y 是两个相互独立的随机变量,且 ),(~),1,0(~ 2 nYNX 可以证明函数 nY XT / 的概率密度为 2 1 2 1 2 2 1 )( n n t nn n tf ).( t 我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布,记为 T~ t(n) 。 )()(1 ntnt F 分布 设 )(~),(~ 2 2 1 2 nYnX ,且 X 与 Y 独 立,可 以 证明 2 1 / / nY nXF 的概率密度函数为 0,0 0,1 22 2 )( 2 2 1122 2 1 21 21 21 1 1 y yynnynnnn nn yf nn n n 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1,第二个自由度为 n2 的 F 分布,记为 F~ f(n 1, n 2). ),( 1),( 12 211 nnFnnF 第四章 随机变量的数字特征 ( 1) 离散型 连续型 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 一 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征 期望 期望就是平均值 设 X 是离散型随机变量, 其分布 律 为 P( kxX ) = pk , k=1,2, , ,n , n k kk pxXE 1 )( (要求绝对收敛) 设 X是连续型随机变量, 其概率密 度为 f(x) , dxxxfXE )()( (要求绝对收敛) 函数的期望 Y=g(X) n k kk pxgYE 1 )()( Y=g(X) dxxfxgYE )()()( 方差 D(X)=E[X-E(X)] 2, 标准差 )()( XDX , k kk pXExXD 2)]([)( dxxfXExXD )()]([)( 2 矩 ①对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩,记为 vk, 即 ν k=E(Xk)= i i k i px , k=1,2, , . ②对于正整数 k,称随机变量 X 与 E( X)差的 k 次幂的数学期 望为 X的 k 阶中心矩, 记为 k , 即 . ))(( kk XEXE = i i k i pXEx ))(( , k=1,2, , . ①对于正整数 k, 称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X的 k 阶原点 矩,记为 vk, 即 ν k=E(Xk)= ,)( dxxfxk k=1,2, , . ②对于正整数 k, 称随机变量 X 与 E( X)差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩,记为 k ,即 . ))(( kk XEXE = ,)())(( dxxfXEx k k=1,2, , . 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E( X) =μ ,方差 D( X) =σ 2,则对于 任意正数 ε ,有下列切比雪夫不等式 2 2 )( XP 切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下,对概率 )( XP 的一种估计,它在理论上有重要意义。 ( 2) 期 望 的 性 质 ( 1) E(C)=C ( 2) E(CX)=CE(X) ( 3) E(X+Y)=E(X)+E(Y) , n i n i iiii XECXCE 1 1 )()( ( 4) E(XY)=E(X) E(Y) ,充分条件: X 和 Y 独立; 充要条件: X 和 Y 不相关。 ( 3) 方 差 的 性 质 ( 1) D(C)=0; E(C)=C ( 2) D(aX)=a 2D(X); E(aX)=aE(X) ( 3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b ( 4) D(X)=E(X 2)-E 2(X) ( 5) D(X± Y)=D(X)+D(Y) ,充分条件: X和 Y 独立; 充要条件: X和 Y 不相关。 D(X ± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))] ,无条件成立。 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y) ,无条件成立。 ( 4) 常 见 分 布 的 期 望 和 方差 期望 方差 0-1 分布 ),1( pB p )1( pp 二项分布 ),( pnB np )1( pnp 泊松分布 )(P 几何分布 )( pG p 1 2 1 p p 超几何分布 ),,( NMnH N nM 11 N nN N M N nM 均匀分布 ),( baU 2 ba 12 )( 2ab 指数分布 )(e 1 21 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 正态分布 ),( 2N 2 分布2 n 2n t 分布 0 2n n (n2) ( 5) 二 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征 期望 n i ii pxXE 1 )( n j jj pyYE 1 )( dxxxfXE X )()( dyyyfYE Y )()( 函数的期望 )],([ YXGE = i j ijji pyxG ),( )],([ YXGE = - - dxdyyxfyxG ),(),( 方差 i ii pXExXD 2)]([)( j jj pYExYD 2)]([)( dxxfXExXD X )()]([)( 2 dyyfYEyYD Y )()]([)( 2 协方差 对于随机变量 X 与 Y, 称它们的二阶混合中心矩 11 为 X 与 Y 的协方 差或相关矩,记为 ),cov( YXXY或 ,即 ))].())(([(11 YEYXEXEXY 与记号 XY 相对应, X 与 Y 的方差 D( X) 与 D( Y) 也可分别记为 XX 与 YY 。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 相关系数 对于随机变量 X 与 Y,如果 D( X) 0, D(Y)0 ,则称 )()( YDXD XY 为 X 与 Y 的相关系数,记作 XY (有时可简记为 ) 。 | | ≤ 1, 当 | |=1 时, 称 X 与 Y 完全相关: 1)( baYXP 完全相关 ,时负相关,当 ,时正相关,当 )0(1 )0(1 a a 而当 0 时,称 X 与 Y不相关。 以下五个命题是等价的: ① 0XY ; ② cov(X,Y)=0; ③ E(XY)=E(X)E(Y); ④ D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤ D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 YYYX XYXX 混合矩 对于随机变量 X 与 Y,如果有 )( lkYXE 存在,则称之为 X 与 Y 的 k+l 阶混合原点矩,记为 kl ; k+l 阶混合中心矩记为: ].))(())([( lkkl YEYXEXEu ( 6) 协 方 差 的 性质 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). ( 7) 独 立 和 不 相关 ( i ) 若随机变量 X 与 Y相互独立,则 0XY ;反之不真。 ( ii ) 若( X, Y)~ N( ,,,, 222121 ) , 则 X与 Y 相互独立的充要条件是 X和 Y 不相关。 第五章 大数定律和中心极限定理 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 ( 1)大数定律 X 切比雪 夫大数 定律 设随机变量 X1, X2, , 相互独立,均具有有限方差,且被同一 常数 C所界: D( Xi ) C(i=1,2, , ), 则对于任意的正数 ε ,有 .1)(11lim 11 n i i n i in XEnXnP 特殊情形:若 X1, X2, , 具有相同的数学期望 E( XI) =μ , 则上式成为 .11lim 1 n i in XnP 伯努利 大数定 律 设 μ 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数, p 是事件 A 在 每次试验中发生的概率,则对于任意的正数 ε ,有 .1lim pnPn 伯努利大数定律说明,当试验次数 n 很大时,事件 A 发生 的频率与概率有较大判别的可能性很小,即 .0lim pnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大 数定律 设 X1, X2, , , Xn, , 是相互独立同分布的随机变量序列,且 E ( Xn) =μ ,则对于任意的正数 ε 有 .11lim 1 n i in XnP ( 2)中心极限定 理 ),( 2 nNX 列维- 林德伯 格定理 设随机变量 X1, X2, , 相互独立,服从同一分布,且具有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 : ),2,1(0)(,)( 2 kXDXE kk ,则随机变量 n nX Y n k k n 1 的分布函数 Fn(x) 对任意的实数 x,有 x t n k k nnn dtexn nX PxF . 2 1lim)(lim 21 2 此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 棣莫弗 -拉普 拉斯定 理 设随机变量 nX 为具有参数 n, p(0p1) 的二项分布,则对于 任意实数 x, 有 x tn n dtexpnp npXP . 2 1 )1( lim 2 2 ( 3)二项定理 若当 ),(, 不变时 knp N MN ,则 knkk nn N kn MN k M ppC C CC )1( ).( N 超几何分布的极限分布为二项分布。 ( 4)泊松定理 若当 0,npn 时 ,则 ekppC k knkk n !)1( ).(n 其中 k=0, 1, 2, , , n, , 。 二项分布的极限分布为泊松分布。 第六章 样本及抽样分布 ( 1)数 理 统 计 的 基 本概念 总体 在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全 体称为总体 (或母体) 。 我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量(或随机向量) 。 个体 总体中的每一个单元称为样品(或个体) 。 样本 我们把从总体中抽取的部分样品 nxxx ,,, 21 称为样本。样本 中所含的样品数称为样本容量, 一般用 n 表示。 在一般情况下, 总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机 变量,这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结 果时, nxxx ,,, 21 表示 n 个随机变量 (样本) ; 在具体的一次 抽取之后, nxxx ,,, 21 表示 n 个具体的数值 (样本值) 。 我们 称之为样本的两重性。 样本函数和 统计量 设 nxxx ,,, 21 为总体的一个样本,称 ( nxxx ,,, 21 ) 为样本函数,其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未 知参数,则称 ( nxxx ,,, 21 )为一个统计量。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 常见统计量 及其性质 样本均值 .1 1 n i ixnx 样本方差 n i i xxnS 1 22 .)( 1 1 样本标准差 .)( 1 1 1 2 n i i xxnS 样本 k 阶原点矩 n i k ik kxnM 1 .,2,1,1 样本 k 阶中心矩 n i k ik kxxnM 1 .,3,2,)(1 )(XE , nXD 2 )( , 22 )(SE , 22 1)*( n nSE , 其中 n i i XXnS 1 22 )(1* ,为二阶中心矩。 ( 2)正 态 总 体 下 的 四大分布 正态分布 设 nxxx ,,, 21 为来自正态总体 ),( 2N 的一个样本,则样 本函数 ).1,0(~ / N n xu def t 分布 设 nxxx ,,, 21 为来自正态总体 ),( 2N 的一个样本,则样 本函数 ),1(~ / nt ns xt def 其中 t(n-1) 表示自由度为 n-1 的 t 分布。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 分布2 设 nxxx ,,, 21 为来自正态总体 ),( 2N 的一个样本,则样 本函数 ),1(~)1( 22 2 nSnw def 其中 )1(2 n 表示自由度为 n-1 的 2 分布。 F 分布 设 nxxx ,,, 21 为来自正态总体 ),( 2 1N 的一个样本,而 nyyy ,,, 21 为来自正态总体 ),( 2 2N 的一个样本,则样本 函数 ),1,1(~// 212 2 2 2 2 1 2 1 nnF S SF def 其中 ,)(11 2 11 2 1 1n i i xxnS ;)(1 1 2 12 2 2 2n i i yynS )1,1( 21 nnF 表示第一自由度为 11n ,第二自由度为 12n 的 F 分布。 ( 3)正 态 总 体 下 分 布的性质 X 与 2S 独立。 第七章 参数估计 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 ( 1) 点 估计 矩估计 设总体 X 的分布中包含有未知数 m,,, 21 , 则其分布函数可以表成 ).,,,;( 21 mxF 它的 k 阶原点矩 ),,2,1)(( mkXEv kk 中也 包 含 了 未 知 参 数 m,,, 21 , 即 ),,,( 21 mkk vv 。 又 设 nxxx ,,, 21 为总体 X的 n 个样本值,其样本的 k 阶原点矩为 n i k ixn 1 1 ).,,2,1( mk 这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程,即有 n i m imm n i im n i im xnv xnv xnv 1 21 1 2 212 1 211 .1),,,( ,1),,,( ,1),,,( 由上面的 m个方程中,解出的 m 个未知参数 ),,,( 21 m 即为参数 ( m,,, 21 )的矩估计量。 若 为 的矩估计, )(xg 为连续函数,则 )?(g 为 )(g 的矩估计。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 极 大 似 然估计 当 总 体 X 为 连 续 型 随 机 变 量 时 , 设 其 分 布 密 度 为 ),,,;( 21 mxf , 其 中 m,,, 21 为 未 知 参 数 。 又 设 nxxx ,,, 21 为总体的一个样本,称 ),,,;(),,,( 1 11 22 n i mim xfL 为样本的似然函数,简记为 Ln. 当 总 体 X 为 离 型 随 机 变 量 时 , 设 其 分 布 律 为 ),,,;(}{ 21 mxpxXP ,则称 ),,,;(),,,;,,,( 1 111 222 n i mimn xpxxxL 为样本的似然函数。 若似然函数 ),,,;,,,( 22 11 mnxxxL 在 m,,, 21 处取 到最大值,则称 m,,, 21 分别为 m,,, 21 的最大似然估计值, 相应的统计量称为最大似然估计量。 miL iii n ,,2,1,0ln 若 为 的极大似然估计, )(xg 为单调函数,则 )?(g 为 )(g 的极大 似然估计。 ( 2) 估 计量的 评选标 准 无偏性 设 ),,,( 21 nxxx 为未知参数 的估计量。若 E ( ) = ,则称 为 的无偏估计量。 E( X ) =E( X) , E( S2) =D( X) 有效性 设 ),,,,( 2111 nxxx 和 ),,,,( 2122 nxxx 是未知参数 的两个无偏估计量。若 )()( 21 DD ,则称 21 比 有效。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 一致性 设 n 是 的一串估计量,如果对于任意的正数 ,都有 ,0)|(|lim n n P 则称 n 为 的一致估计量(或相合估计量) 。 若 为 的无偏估计,且 ),(0)?( nD 则 为 的一致估计。 只要总体的 E(X) 和 D(X) 存在,一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。 ( 3) 区 间估计 置 信 区 间 和 置 信度 设总体 X含有一个待估的未知参数 。 如果我们从样本 nxxx ,,,, 21 出 发 , 找 出 两 个 统 计 量 ),,,,( 2111 nxxx 与 ),,,,( 2122 nxxx )( 21 , 使 得 区 间 ],[ 21 以 )10(1 的概率包含这个待估参数 ,即 ,1}{ 21P 那么称区间 ],[ 21 为 的置信区间, 1 为该区间的置信度(或置 信水平) 。 单 正 态 总 体 的 期 望 和 方 差 的 区 间 估 计 设 nxxx ,,,, 21 为总体 ),(~ 2NX 的一个样本,在置信度为 1 下,我们来确定 2和 的置信区间 ],[ 21 。具体步骤如下: ( i )选择样本函数; ( ii )由置信度 1 ,查表找分位数; ( iii )导出置信区间 ],[ 21 。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 已知方差,估计均值 ( i )选择样本函数 ).1,0(~ /0 N n xu (ii) 查表找分位数 .1 /0 n xP ( iii )导出置信区间 n x n x 00 , 未知方差,估计均值 ( i )选择样本函数 ).1(~ / nt nS xt (ii) 查表找分位数 .1 / nS xP ( iii )导出置信区间 n Sx n Sx , 方差的区间估计 ( i )选择样本函数 ).1(~)1( 22 2 nSnw ( ii )查表找分位数 .1)1( 22 2 1 SnP ( iii )导出 的置信区间 SnSn 12 1,1 第八章 假设检验 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 基本思想 假设检验的统计思想是,概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是 不会发生的,即小概率原理。 为了检验一个假设 H0是否成立。 我们先假定 H0 是成立的。 如果根据这个假 定导致了一个不合理的事件发生,那就表明原来的假定 H0是不正确的,我们拒 绝接受 H0;如果由此没有导出不合理的现象,则不能拒绝接受 H0,我们称 H0 是 相容的。与 H0 相对的假设称为备择假设,用 H1 表示。 这里所说的小概率事件就是事件 }{ RK ,其概率就是检验水平 α ,通 常我们取 α =0.05 ,有时也取 0.01 或 0.10 。 基本步骤 假设检验的基本步骤如下: (i) 提出零假设 H0; (ii) 选择统计量 K; (iii) 对于检验水平 α 查表找分位数 λ ; (iv) 由样本值 nxxx ,,, 21 计算统计量之值 K; 将 与K 进行比较,作出判断:当 )(|| KK 或 时否定 H0,否则认为 H0 相容。 两类错误 第一类错误 当 H0 为真时,而样本值却落入了否定域,按照我们规定的 检验法则,应当否定 H0。这时,我们把客观上 H0 成立判为 H0 为不成立(即否定了真实的假设) ,称这种错误为“以真 当假” 的错误或第一类错误, 记 为犯此类错误的概率, 即 P{ 否定 H0| H0 为真 }= ; 此处的 α 恰好为检验水平。 第二类错误 当 H1 为真时,而样本值却落入了相容域,按照我们规定的 检验法则,应当接受 H0。 这时,我们把客观上 H0。 不成立判 为 H0 成立(即接受了不真实的假设) ,称这种错误为“以假 当真”的错误或第二类错误,记 为犯此类错误的概率, 即 P{ 接受 H0| H1 为真 }= 。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。 但是, 当 容量 n 一定时, 变小, 则 变大; 相反地, 变小, 则 变大。取定 要想使 变小,则必须增加样本容量。 在实际使用时,通常人们只能控制犯第一类错误的概 率, 即给定显著性水平 α 。 α 大小的选取应根据实际情况而 定。当我们宁可“以假为真” 、而不愿“以真当假”时,则 应把 α 取得很小,如 0.01 ,甚至 0.001 。 反之, 则应把 α 取 得大些。 概率论与数理统计 公式(全) 知识点总结 1 单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本函数分布 否定域 已知 2 00 :H n xU /0 0 N( 0, 1) 21 || uu 00 :H 1uu 00 :H 1uu 未知 2 00 :H nS xT / 0 )1(nt )1(|| 2 1 ntt 00 :H )1(1 ntt 00 :H )1(1 ntt 未知 2 22 0 :H 2 0 2)1( Sn w )1(2 n )1( )1( 2 21 2 2 nw nw 或 2 0 2 0 :H )1( 2 1 nw 2 0 2 0 :H )1( 2 nw
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