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(精心整理)图像的傅里叶变换.ppt

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精心 整理 图像 傅里叶变换
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图像的傅里叶变换 Fourier Transformation For Image,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况,除单频率分量的简谐波外,很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例:受噪声干扰的多频率成分信号,信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小,能够提供比时域信号波形更直观,丰富的信息。,一维FT及其反变换,连续函数f(x)的傅立叶变换F(u): 傅立叶变换F(u)的反变换:,一维DFT及其反变换,离散函数f(x)(其中x,u=0,1,2,…,N-1)的傅立叶变换:,F(u)的反变换的反变换:,计算F(u): 在指数项中代入 u=0,然后将所有x 值相加,得到F(0); 2) u=1,复对所有x 的相加,得到F(1); 3) 对所有M 个u 重复此过程,得到全部完整的FT。,离散傅里叶变换及其反变换总存在。 用欧拉公式得,每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成;,u 值决定了变换的频率成份,因此,F(u) 覆盖的域 (u值) 称为频率域,其中每一项都被称为FT 的频率 分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。,傅里叶变换的作用,傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色,称数学棱镜。 傅里叶变换的成份:直流分量和交流分量 信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、跳跃部分代表图像的高频分量;背景区域和慢变部分代表图像的低频分量,二维DFT傅里叶变换,一个图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v): F(u,v)的反变换:,二维DFT傅里叶变换,(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为,即f(x,y) 的均值,原点(0,0) 的傅里叶变换是图像的 平均灰度。F(0,0) 称为频率谱的直流分量(系数), 其它F(u,v) 值称为交流分量(交流系数)。,二维连续傅里叶变换,1) 定义,2) 逆傅里叶变换,3) 傅里叶变换特征参数,频谱/幅度谱/模,能量谱/功率谱,相位谱,傅里叶变换中出现的变量u和v通常称为频率变量,空间频率可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。,相应的空间频率分别为,,对图像信号而言,空间频率是指单位长度内亮度作周期性变化的次数。,思考:噪声、线、细节、背景或平滑区域对应的空间频率特性?,傅里叶变换的意义,傅里叶变换好比一个玻璃棱镜 棱镜是可以将光分成不同颜色的物理仪器,每个成分的颜色由波长决定。 傅里叶变换可看做是“数学中的棱镜”,将函数基于频率分成不同的成分。,,一些图像的傅里叶变换,,,是g(x,y)的频谱,物函数g(x,y)可以看作不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加。 为权重因子。空间频率 表示了单色平面波的传播方向。,对于xy平面上一点的复振幅分布g(x,y)可由逆傅里叶变换表示成:,二维离散傅里叶变换,1) 定义,2) 逆傅里叶变换,,,离散的情况下,傅里叶变换和逆傅里叶变换始终存在。,(a),(b),,,,x,y,1,-1,j,-j,图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减,许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小,这使得在显示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它们时,其高频项变得越来越不清楚。,解决办法: 对数化,25,26,主极大的值用Fmax表示,第一个旁瓣的峰值用Fmin表示,例题:对一幅图像实施二维DFT,显示并观察其频谱。 解:源程序及运行结果如下: %对单缝进行快速傅里叶变换,以三种方式显示频谱, %即:直接显示(坐标原点在左上角);把坐标原点平 %移至中心后显示;以对数方式显示。 f=zeros(512,512); f(246:266,230:276)=1; subplot(221),imshow(f,[]),title('单狭缝图像') F=fft2(f); %对图像进行快速傅里叶变换 S=abs(F); subplot(222) imshow(S,[]) %显示幅度谱 title('幅度谱(频谱坐标原点在坐上角)'),Fc=fftshift(F); %把频谱坐标原点由左上角移至屏幕中央 subplot(223) Fd=abs(Fc); imshow(Fd,[]) ratio=max(Fd(:))/min(Fd(:)) %ratio = 2.3306e+007,动态范围太大,显示器无法正常显示 title('幅度谱(频谱坐标原点在屏幕中央)') S2=log(1+abs(Fc)); subplot(224) imshow(S2,[]) title('以对数方式显示频谱') 运行上面程序后,结果如下:,二维离散傅里叶变换的性质,线性性,证明:,%imagelinear.m %该程序验证了二维DFT的线性性质 f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg'); g=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.30(a).jpg'); [m,n]=size(g); f(m,n)=0; f=im2double(f); g=im2double(g); subplot(221) imshow(f,[]) title('f') subplot(222) imshow(g,[]) title('g'),F=fftshift(fft2(f)); G=fftshift(fft2(g)); subplot(223) imshow(log(abs(F+G)),[]) FG=fftshift(fft2(f+g)); title('DFT(f)+DFT(g)') subplot(224) imshow(log(abs(FG)),[]) title('DFT(f+g)'),可分离性,二维DFT可视为由沿x,y方向的两个一维DFT所构成。,其中:,例题:编程验证二维离散傅里叶变换可分离为两个一维离散傅里叶变换。 解: %myseparable.m %该程序验证了二维DFT的可分离性质 %该程序产生了冈萨雷斯《数字图像处理》(第二版) %P125 图4.4,f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg'); subplot(211) imshow(f,[]) title('原图') F=fftshift(fft2(f)); subplot(223) imshow(log(1+abs(F)),[]) title('用fft2实现二维离散傅里叶变换') [m,n]=size(f); F=fft(f); %沿x方向求离散傅里叶变换 G=fft(F')'; %沿y方向求离散傅里叶变换 F=fftshift(G); subplot(224) imshow(log(1+abs(F)),[]) title('用fft实现二维离散傅里叶变换'),平移性,证明: (1)频域移位,,结论:,即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点(0,0)移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅里叶变换即可实现。 例题:利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制,实现把频谱坐标原点移至屏幕正中央的目标。,当,解:完成本题的源程序为: %在傅里叶变换之前,把函数乘以(-1) x+y,相当于把频谱 %坐标原点移至屏幕窗口正中央。 f(512,512)=0; f=mat2gray(f); [Y,X]=meshgrid(1:512,1:512); f(246:266,230:276)=1; g=f.*(-1).^(X+Y); subplot(221),imshow(f,[]),title('原图像f(x,y)') subplot(222),imshow(g,[]),title('空域调制图像g(x,y)=f(x,y)*(-1)^{x+y}') F=fft2(f); subplot(223),imshow(log(1+abs(F)),[]),title('f(x,y)的傅里叶频谱') G=fft2(g); subplot(224),imshow(log(1+abs(G)),[]),title('g(x,y)的傅里叶频谱'),(a) 在[0 N-1]周期中有两个背靠背半周期,(b) 同一区间内有一个完整的周期,这就意味着,坐标原点移到了频谱图像的中间位置,这一点十分重要,尤其是对以后的图像显示和滤波处理。,例题:利用(-1)x对f(x)曲线进行调制,达到平移频域坐标原点至屏幕正中央的目的。 %以一维情况为例,说明空域调制对应着频域坐标原点移位。 f(1:512)=0; f(251:260)=1; %产生宽度为10的窗口函数 subplot(221),plot(f),title('宽度为10 的窗口函数') F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换,延拓周期周期为512 subplot(222) plot(abs(F)) %绘幅度频谱(频谱坐标原点在左边界处) title('幅度谱(频谱坐标原点在左边界处)') x=251:260; f(251:260)=(-1).^x; %把曲线f(x)乘以(-1)^x,可以把频谱 %坐标原点移至屏幕正中央 subplot(223),plot(f),title('宽度为10 的调制窗口函数'),F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换 subplot(224); plot(abs(F)) %直接显示幅度频谱(频谱坐标原点在正中央) title('幅度谱(频谱坐标原点在中央)') figure f(1:512)=0; f(251:270)=1; %产生宽度为20的窗口函数 subplot(221),plot(f),title('宽度为20 的窗口函数') F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换,延拓周期周期为512 subplot(222) plot(abs(F)) %绘幅度频谱(频谱坐标原点在左边界处) title('幅度谱(频谱坐标原点在左边界处)') x=251:270; f(251:270)=(-1).^x; %把曲线f(x)乘以(-1)^x,可以把频谱坐标原点移至屏幕正中央 subplot(223),plot(f),title('宽度为20 的调制窗口函数') F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换 subplot(224); plot(abs(F)) %直接显示幅度频谱(频谱坐标原点在正中央) title('幅度谱(频谱坐标原点在中央)'),(2)空域移位:,,周期性和共轭对称性,周期性:,共轭对称性:,证明: (1)周期性:,,(2) 共轭对称性:,旋转不变性,注:为看清问题的实质、简化旋转不变性的证明,以上用二维连续傅里叶变换进行证明。实际上,由连续积分公式进行离散化处理,即可得到离散公式,证明可参照连续情况进行。,f=zeros(512,512); f(246:266,230:276)=1; subplot(221); imshow(f,[]) title('原图') F=fftshift(fft2(f)); subplot(222); imshow(log(1+abs(F)),[]) title('原图的频谱') f=imrotate(f,45,'bilinear','crop'); subplot(223) imshow(f,[]) title('旋转45^0图') Fc=fftshift(fft2(f)); subplot(224); imshow(log(1+abs(Fc)),[]) title('旋转图的频谱'),离散卷积定理,,例1,,,求以下两个函数的卷积,1)连续卷积,,2)离散卷积定理,,离散卷积定义:,空间滤波输出:,结论:空间域进行滤波的过程就是“卷积”的过程。,证明:(1)空域卷积和,(2)频域卷积和:,离散的卷积原理基本上是和连续卷积相同,其差别仅仅是在与抽样间隔对应的离散增增量处发生位移,用求和代替微分,由于离散傅里叶变换和它的逆傅里叶变换都是周期函数,那么离散卷积定理应该和这个周期联系起来,就是让在计算卷积时让这两个离散函数具有同样的周期,否则将产生错误。,注意:利用FFT计算卷积时,为防止频谱混叠误差,需对离散的二维函数补零,即周期延拓,对两个函数同时添加零,使它们具有相同的周期。,,,,,,,,0,200,400,,2,800,,,周期延拓,周期延拓,的大小为,的大小为,空间域滤波和频域滤波的关系,空间域和频域的滤波器构成傅里叶变换对,相关定理,,证明:,
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