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2019年高考仿真模拟理科数学试题及答案.pdf

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2019 年高 仿真 模拟 理科 数学试题 答案
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理科数学试题 第 1 页(共 8 页) 2019 年高考仿真模拟试题 新课标 卷 理科数学 试题( 一) 注意 事项 : 1 .本 试卷适用于使用全国卷一、卷 二及卷 三的考 生。 2 .本 试卷共8 页,考试时间 120 分钟,满分150 分。 一、 选 择题 : 本大 题 共 12 小题 , 每小 题 5 分, 共 60 分 。 在每 小 题给 出 的四 个 选项 中 , 只 有一 项 是 符合 题 目要 求 的 。 1. 设复数 1 2 1 i zi i    ,则 z  _______________ . A .0 B .1 C .2 D .3 2. 已知集合 2 { | 4 0} A x x x     , 1 { | 3 27} 81 x Bx    , { | 2 , } C x x n n N    ,则() A B C    _______ . A .{2, 4} B .{2, 0} C .{0 2, 4} , D .{ | 2 , } x x n n N  3. 若定义在 R 上的偶函数 () fx满足 ( 2) ( ) f x f x  且 ] 1 [0 x  , 时 , () f x x  , 则方程 3 ( ) log | | f x x  的零点个数是_______________ . A .2 个 B .3 个 C .4 个 D .6 个 4. 计算 sin133 cos197 cos 47 cos73      的结果为_______________ . A . 1 2 B . 1 2  C . 2 2 D . 3 2 5. 已知 A 、 B 、 P 是双曲线 22 22 1 xy ab  上不 同的 三点 , 且 A 、 B 连线 经过 坐标 原 点, 若 直线 PA 、 PB 的斜率乘积 为 3 ,则 该双 曲 线的 离 心率 为_______________ . A . 2 B . 3 C .2 D .3 6. 某单位为了落实 “ 绿水 青山 就 是金 山 银山 ” 理念 ,制 定节 能减 排 的目 标 ,先 调查 了 用 电 量 y (单位 : 千瓦· 时 ) 与气 温 x (单位 :℃ ) 之间 的 关系 , 随机 选取 了 4 天的 用电 量 与 当 天 气 温 , 并制作了以下对照表 : x ( 单位 :℃ ) 17 14 10 1  y (单位 : 千瓦· 时 ) 24 34 38 64 理科数学试题 第 2 页(共 8 页) 由表中数据得线性回归方 程 : ^^ 2 y x a    , 则由 此 估计 当 某天 气 温为 2℃ 时, 当天 用 电 量 约 为 :_______________ . A .56 千瓦· 时 B .62 千瓦· 时 C .64 千瓦· 时 D .68 千瓦· 时 7. 某空间儿何体的三视图如 图所示 ,则该 几 何体 的外 接 球的 体 积为_______________ . A . 500 3  B . 1000 2 3  C . 125 3  D . 125 2 3  8. 已知平面向 量a , b 满足 ( ) 3 a a b  ,且 2 a  , 1 b  ,则 向 量a 与b 夹角 的 正弦 值 为_________ . A . 1 2  B . 3 2  C . 1 2 D . 3 2 9. 设 , a b R  ,则 “ 2 ( ) 0 a b a    ” 是“ab  ” 的 :_______________ . A .充分而必要条件 B . 必要酣不充分条件 C .充要条件 D . 既不充分也不必要条件 10. 我国数学家 陈景润在 哥 德巴赫 猜 想的 研究 中 取得 了世 界领 先 的成 果 . 德巴赫 猜 想是 “ 每个 大于 2 的偶数可以表示为 两个秦 数的和 ” ,如 30 = 7 + 23 . 在不超过 30 的 素数 屮 , 随机选 取两个不同的数其和等于 30 的概率是_______________ . A . 1 12 B . 1 14 C . 1 15 D . 1 18 11. 过抛物线 4 yx  焦点的直线l 与抛 物线 交 于 A 、 B 两 点, 与 圆 2 2 2 1) (x y r  交于 C 、 D 两 点,若有三条直线满足 AC BD  ,则 r 的 取值 范 围为_______________ . A . 3 () 2  , B . (2 )  , C . 3 (1 ) 2 , D . 3 ( 2) 2 , 12. 设函数 ( ) ( 1) x f x e x  ,函数 ( ) ( 1) g x m x  , ( 0 m  ) , 若 对任 意的 1 2 [] 2 x   , ,总存在 4 3 5 正视图 侧视图 俯视图 理科数学试题 第 3 页(共 8 页) 2 2 [] 2 x   , ,使得 12 ( ) ( ) f x g x  ,则实数 m 的取 值范 围 是_______________ . A . 2 1 3, 3 e     B . 2 1 , 3 e    C . 1 + 3      , D .  2 e    , 二、 填空题 :本 题共 4 小题 , 每小题 5 分, 共 20 分 。 13. 设 x , y 满足约束条件 33 1 0 xy xy y         ,则 y z x  的 最大 值 为____________ . 14. 《聊 斋志 异》 中有 这样 一首 诗 : “ 挑水 砍柴 不 堪苦 , 请归 但求 穿 墙术 。 得诀 自诩 无 所 阻 , 额 上坟起终不悟。” 在这 里, 我们 称形 如 以下 形式 的等 式具 有 “ 穿墙 术 ” : 22 22 33  , 33 33 88  , 44 44 15 15  , 55 55 24 24  , 则按照以上规律, 若 88 88 nn  具有 “ 穿墙 术” ,则n ____________ . 15. 已知 n S 是等比数列{} n a 的前n 项和 ,若 存 在 * mN  ,满足 2 9 m m S S  , 2 51 1 m m a m am    ,则数列{} n a 的公比为____________ . 16. 如图,在边长为 e ( e 为自 然对 数 的底 数 )的 正 方形 中 ,阴 影 部分 的 面积 为____________ . 三、 解 答题 :共 70 分 。 解答 应 写出 文 字说 明 、 证明 过程 或 演算 步 骤 。 第 17~21 题 为必 考 题 , 每 个 试题 考 生都 必 需作 答 , 第 22 、23 题为 选考 题 ,考 生 根据 要 求作 答 。 (一) 必 考 题: 共 60 分 。 17 . (本 小题 满 分 12 分 ) 在 ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 3 cos (2 3 )cos a C b c A  . (1 )求角 A 的大小; (2 ) 若 a = 2 ,求 ABC 面积的最大值 . x y O 1 1 e e 理科数学试题 第 4 页(共 8 页) 18 . (本 小题 满 分 12 分) 如 图 , 在四 棱锥 P  A B C D 中, PA ⊥底面 A B C D , AD ⊥AB , AB // DC , 2 AD DC AP    , AB = 1 ,点 E 为棱 PC 的中点 . (1 )证明 BE ⊥ P D ; (2 ) 若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ⊥AC ,求 二 面角 F  AB  D 的余 弦 值 . A B C D E P 理科数学试题 第 5 页(共 8 页) 19 . (本 小题 满 分 12 分) 某家电公司销售部门共有 200 名销 售 员 , 每年 部门 对每 名 销 售员 都有 1400 万元 的 年 度 销售任务 . 已知这 200 名销 售员 去 年完 成 的销 售 额 都 在 区间[2 ,22] ( 单位 :百 万元 ) 内 , 现 将其 分成 5 组 , 第 1 组、第 2 组、第 3 组、第 4 组 、第 5 组 对应 的 区间分 别为[2 6) , ,[6 10) , ,[10 14) , ,[14 18) , ,[18 22) , , 并绘制 出如下的频率分布直方图 . (1 ) 求 a 的值 ,并 计 算完 成 年度 任 务的 人 数 ; (2 ) 用分 层抽 样的 方 法从 这 200 名 销售 员 中抽 取 容 量 为 25 的样本 , 求这 5 组分 别 应抽 取 的人 数 ; (3 ) 现从 (2 ) 中完 成 年度 任 务的 销 售员 中 随机 选 取 2 名 奖励海南三亚 三日 游 ,求 获得 此 奖励 的 2 名 销 售 员 在 同一 组 的概 率 . 0.02 0.08 0.09 a 2 6 10 14 18 22 频 率 组 距 销售额/ 百万元 理科数学试题 第 6 页(共 8 页) 20 . (本 小题 满 分 12 分) 已知椭圆 22 1 22 : 1( 0) xy C a b ab     的左 右顶 点是 双 曲线 2 2 2 :1 3 x Cy  的 顶点 , 且 椭 圆 1 C 的 上 顶 点到双曲线 2 C 的渐 近线 的距 离 为 3 2 . (1 )求椭圆 1 C 的方程; (2 ) 若直线l 与 1 C 相交于 1 M , 2 M 两点 , 与 2 C 相 交于 1 Q , 2 Q 两点 , 且 12 5 OQ OQ    , 求 12 MM 的取值范围 . 理科数学试题 第 7 页(共 8 页) 21 . (本小 题满分 12 分) 已知函数 ln ( ) 1 mx f x m R x x     , , . (1 )讨论 () fx 的单 调区 间 ; (2 )若 () f x mx  恒成立,求 m 的取 值范 围 . 理科数学试题 第 8 页(共 8 页) (二) 选 考题 : 共 10 分 。 请考 生 在 22、23 题中 任选 一 题作 答 。 如 果多 做 , 则 按所 做 的第 一 题 计分 。 22 .[ 选修 4 4 :坐 标系 与 参数 方 程] (本小 题 满分 10 分 ) 在平面直角坐标系 x Oy 中 ,直 线l 的参 数 方程 为 1 2 xt y a t      (其中 t 为参 数 ) . 在以 坐 标 原 点为极点, x 轴的 正半 轴 为极 轴 的极 坐 标系 中 ,圆 C 的极 坐标 方 程为 4cos   . (1 )分别写出直线l 的 普通 方 程和 圆 C 的直 角坐 标方 程 ; (2 )若直线l 与圆 C 相 切, 求实 数 a 的值 . 23 .[ 选修 4 5 :不 等式 选 讲] (本 小题 满分 10 分) 设函数 () f x x a x a     . (1 ) 当 1 a  时,解不等式 ( ) 4 fx  ; (2 ) 若 ( ) 6 fx  在xR  上恒 成立 , 求 a 的 取值 范 围 . 理科数学 参考答 案 第 1 页(共 4 页) 2019 年高考仿真模拟试题新课标卷 理科 数 学试题 (一) 参考答案 一 、 选择 题 1 5 .D C C B C 6 10.A D D A C 11 12 .B D 二 、 填空 题 13 . 1 3 14 .63 15 .2 16. 2 2 e  三 、 解答 题 17 .解: (1 )由正弦定理可得 : 3 sin cos 2sin cos 3 sin cos A C B A C A  . 从而可得 3 sin( + ) 2sin cos A C B A  , 即 3 sin 2sin cos B B A  (4 分 ) B 为三角形内角 ,所以 sin 0 B  ,于是 3 cos 2 A  , 又 A 为三 角形 内角 , 所以 6 A   . (6 分 ) (2 ) 由余弦定理 : 2 2 2 2 cos a c b bc A    得 : 22 3 4 2 2 3 2 c b bc bc bc      , 所以 4(2+ 3) bc  . 所以 1 sin 2 3 2 ABC S bc A    , ABC 面积 的最 大值 为23  . (12 分 ) 18 .解: 依题意 , 以点 A 为原点 , 以 A B 、 AD 、 AP 为轴 建 立 空 间 直 角坐 标系 如 图 ,可得 (1,0,0) B , (2,2,0) C , (0,2,0) D , (0,0,2) P , 由 E 为棱 PC 的中点 , 得 (1,1,1) E . (1 ) 向 量 (0,1,1) BE  , (0,2, 2) PD , 故 0 BE PD  , BE PD  (4 分) (2 ) (1,2,0) BC  , ( 2, 2,2) CP    , (2,2,0) AC  , (1,1,0) AB  ,由 点 F 在棱 PC 上 , 设CF CP   ,01   , 故 (1 2 ,2 2 ,2 ) BF BC CF BC CP            A B C D E P x y z 理科数学 参考答 案 第 2 页(共 4 页) 由BF AC  , 0 BF AC  .因此, 3 2(1 2 ) 2(2 2 ) 0 4         , ,即 1 1 3 ( , , ) 222 BF  , 设 1 ( , , ) n x y z  为 平面 F A B 的法向量,则 1 1 0 0 n AB n BF        ,即 0 1 1 3 0 2 2 2 x x y z           , 不妨令 1 z  , 可得 1 (0,3, 1) n 为平面 F A B 的 一 个 法 向量 , 取 平面 A B D 的 法向 量 2 (0,0, 1) n ,则 12 12 12 1 10 cos , 10 10 nn nn nn      , 所以 二 面角 F  AB  D 的余弦值 为 10 10 . (12 分 ) 19 .解: (1 ) 因为(0.02 + 0.08 + 0.09 + 2 a) × 4 =1 , a = 0.03 , (2 分 ) 完成 年度 任务 的 人 数 为 2 a × 4 × 200 = 480 . (4 分 ) (2 )第 1 组应 抽取 的 人数 为 0.02 × 4 × 25 = 2 . 第 2 组应抽取的人 数 为 0.08 × 4 × 25 = 8 , 第 3 组应抽取的人 数 为 0.09 × 4 × 25 = 9 , 第 4 组应抽取的人 数 为 0.03 × 4 × 25 = 3 , 第 5 组应 抽取 的 人数 为 0.03 × 4 × 25 = 3 . (8 分 ) (3 ) 在(2 ) 中如 需 word 原版 及选 择 填空 详 细答 案 请咨 询 维新 renzheng0117 完成年度 任务的 销售员中 第 4 组有 3 人, 记这 3 人分 别 为 1 A , 2 A , 3 A ; 第 3 组有 3 人记这 3 人分 别 为 1 B , 2 B , 3 B ;从这 6 人中 随 机选 取 2 名 , 所有 的 基 本 事 件 共有 2 1 1 3 3 3 2 15 C C C    个基本事件 , 获得 此奖 励 的 2 名 销售 员 在同 一组 的 基本 事 件 有 2 3 26 C  个 , 故所 求概 率 为 62 = 15 3 . (12 分 ) 20 .解: (1 )由 题意可知 : 2 3 a  , 又 椭圆 1 C 的上 顶点为 (0, ) b , 双曲 线 2 C 的渐 近线 为 : 3 3 3 y x x y      , 由点到直线的距离公式有 3 3 =1 22 b b   , 所以 椭圆 1 C 的方程 为 2 2 1 3 x y  . (3 分 ) 理科数学 参考答 案 第 3 页(共 4 页) (2 ) 易知直线l 的斜 率存 在 , 设直线l 的方 程 为 :y kx m  , 代入 2 2 1 3 x y  消去 y 并整 理 得 : 2 2 2 (1 3 ) 6 3 3 0 k x kmx m      , 要与 2 C 相交于两点 ,则 应 有: 2 2 2 2 2 (1 3 ) 0 36 4(1 3 )( 3 3) 0 k k m k m           , 即 : 2 22 1 3 0 +1 3 k mk       ① 设 1 1 1 ( , ) Q x y , 2 2 2 ( , ) Q x y 则有 12 2 6 13 km xx k   , 2 12 2 33 13 m xx k    . 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) (1 ) ( ) 5 OQ OQ xx kx m kx m k xx km x x m             . 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 [(1 )( 3 3) 6 (1 3 )] 5 1 9 13 k m k m m k m k k             . ② 将y kx m  代入 2 2 1 3 x y  , 消去 y 并整 理 得 : 2 2 2 (1 3 ) 6 3 3 0 k x kmx m      , 要有两交 点, 则 2 2 2 2 2 2 36 4(1 3 )(3 3) 0 1 3 k m k m k m          , ③ 由①②③ 有 2 1 0 9 k  (6 分) 设 1 3 3 ( , ) M x y , 2 4 4 ( , ) M x y , 则有 34 2 6 1+3 km xx k   , 2 34 2 33 1+3 m xx k   2 2 2 2 2 2 22 12 2 2 2 2 36 4(3 3)(1+3 ) 4(3 3 9 ) 11 (1+3 ) (1+3 ) k m m k m k M M k k kk           (8 分 ) 将 22 19 mk  代入有 : 2 2 2 22 12 2 2 2 2 2 12 144 (1 ) 1 1 12 (1 3 ) 1 3 (1 3 ) k k k k M M k k k k k          , (10 分 ) 令 2 tk  ,则 1 0 9 t  ; 令 2 (1 ) () (1 3 ) tt ft t    , 2 1 ( ) 0 (1 3 ) t ft t    ,故函 数 () ft 在 1 (0, ] 9 内单 调 递增 ;所以 12 5 ( ) 0, (0, 10) 72 f t M M        (12 分 ) 21 .解: (1 ) 2 1 ln ( ) , 1, mx f x x x   当10 m  时, 即 1 m  时, 2 1 ln ( ) 0 mx fx x   在[1, )  上恒 成立 , 所以 () fx 的单 调 减 区间是[1, )  , 无单 调 增区 间 ; (3 分) 理科数学 参考答 案 第 4 页(共 4 页) 当10 m  时,即 1 m  时,由 ( ) 0 fx   得 1 (1, ) m xe   , 由 ( ) 0 fx   得 1 ( , ) m xe     , 所以 () fx 的单 调减 区 间是 1 ( , ) m e   ,单 调增 区间 是 1 (1, ) m e  . (6 分 ) (2 )由题意, 2 ln ( 1), 1 x m x x    恒 成立 , 2 ( ) ln ( 1), 1 g x x m x x     , max ( ) 0 gx  , 2 1 1 2 ( ) 2 , 1 mx g x mx x xx       0 m  时, ( ) 0,( 1), ( ) g x x g x   在 (1, )  上单 调递 增, ( ) (1) 0 g x g  ,舍去 ; (8 分 ) 1 2 m  时, ( ) 0,( 1), ( ) g x x g x   在 (1, )  上单 调递 减, ( ) (1) 0 g x g  , 成立 ; (10 分 ) 1 0 2 m  时, 1 ( ) 0,( 1), 2 g x x x m     , 当 1 1, 2 x m      时 ( ) 0, ( ) g x g x   在 1 1, 2m     上单 调递增 , ( ) (1) 0 g x g  ,舍去 ; 综上 1 2 m  . (12 分 ) 22 .解: (1 )直线l 的直 角坐 标 系方 程 是 2 2 0 x y a     , 圆 C 的直 角坐 标方 程 是 22 ( 2) 4 xy    (5 分) (2 )由(1 )知 圆 心为 C(2 ,0) ,半径 r = 2 , 设 圆 心到 直线 的 距离 为 d ,因 为直 线 与 圆相切, 所以 4 2 2 2 55 aa d       ,解得 2 2 5 a (10 分 ) 23 .解: (1 )当 a = l 时,不等式 ( ) 4 1 1 4 f x x x       , 当 1 x  时, ( ) 2 4 f x x  ,解得 2 x  ; 当11 x    时, ( ) 2 4 fx    ,无解; 当 1 x  时, ( ) 2 4 f x x    ,解得 2 x  , 综上 所述 ,不 等 式的 解 集为     , 2 2,       . (5 分 ) (2 )     ( ) 2 f x x a x a x a x a a          , 所以26 a  ; 解得 3 a  或者 3 a  ,即 a 的取值 范围 是     , 3 3,       . (10 分)
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