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(初三)旋转题型专项训练(各类题型).doc

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初三 旋转 题型 专项 训练 各类
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旋转一、旋转图案的识别例1(1)(浙江金华)将叶片图案旋转1800后,得到的图形是( )。(2)(广西梧州)下列四组图形中,图①按顺时针方向旋转1200后可以得到图②的那一组是( )。二、旋转作图例2(黑龙江鸡西市)如图3,在形网格中有一个四边形图案。(1)请你画出此图案绕点O顺时针方向旋转90,180,270的图案,你会得到一个美丽的图案。(2)若网格中每个小正方形的边长为1,旋转后点A的对应点依次为A1,A2,A3,求四边形AA1A2A3的面积;(3)这个美丽的图案能够说明一个著名结论的正确性,请写出这个结论。三、旋转过程的语言叙述例3 (锦州市)如图5,我们称每个小正方形的顶点为“格点”,以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”。根据图形解答下列问题:(1)图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的?(写出变换过程)(2)在图中建立适当的直角坐标系,写出△DEF各顶点的坐标。四、旋转性质解几何题目例4(青岛市)如图8,P是正三角形 ABC 内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P'AB ,则点P与点P' 之间的距离为______,∠APB=_____°.旋转中的新题型一、阅读理解题例1在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角称为这个图形的一个旋转角.例如:正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合,所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90°.(1) 判断下列命题的真假(在相应的括号内填上“真”或“假”).①等腰梯形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°.( )② 矩形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°( ) (2)填空:下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角为120°的是 (写出所有正确结论的序号):①正三角形;②正方形;③正六边形;④正八边形 . (3)写出两个多边形,它们都是旋转对图形,都有一个旋转角为72°,并且分别满足下列条件①是轴对称图形,但不是中心对称图形: ②既是轴对称图形,又是中心对称图形: 二、平移、旋转题例2(湖北孝感)如图,在平面直角坐标系中,先把梯形ABCD向左平移6个单位长度得到梯形A1B1C1D1. (1)请你在平面直角坐标系中画出梯形A1B1C1D1 ;(2)以点C1为旋转中心,把(1)中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转 得到梯形A2B2C2D2 ,请你画出梯形A2B2C2D2.三、动手操作题例3(浙江省)如图1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图2),量得他们的斜边长为10cm,较小锐角为30°,再将这两张三角纸片摆成如图3的形状,但点B、C、F、D在同一条直线上,且点C与点F重合(在图3至图6中统一用F表示)(图1) (图2) (图3) (图4) (图5) (图6)小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.(1)将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置,使点B与点F 重合,请你求出平移的距离;(2)将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;(3)将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置,AB1交DE于点H,请证明:AH﹦DH练习:1.(内江)把一张正方形纸片按如图7两次后,再挖去一个小圆孔,那么展开后的图形应为( )图 7   A.B.C.D. 2(福建福州)为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计,使正方形和所画的图弧构成的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案.提示:在两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种,例如:图①、图②只能算一种.①②③④⑤旋转变换在解题中的应用当条件比较分散时,可通过旋转变换把分散的条件集中在一个三角形,其中旋转的角度是构图的关键.通常把图形旋转到特定的位置或是特殊的角度,当三角形绕某一顶点旋转90°时,可出现等腰直角三角形,当三角形绕某一顶点旋转60°时,可出现等边三角形.于是可把陌生问题转化为熟悉问题,把复杂问题转化为简单问题.一、三角形旋转到特殊位置例1 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,以点C为旋转中心将△ABC旋转α角到△A1B1C的位置,使B点恰好落在A1B1上.求旋转角α的度数.二、三角形旋转90度例2 如图2,P为正方形ABCD内一点,若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0),求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积. 三、三角形旋转60度例3 如图3,在凸四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.证明:BD2=AB2+BC2.与旋转变换有关的作图问题与旋转有关的作图问题既具有开放性又具有探索性,它的基本特征是根据题意设计几种不同的方案,从而解决实际问题;或者设计不同的图案,体会数学的异样性,解题的关键是充分发挥想像力和动手能力,当然也夹杂着一些计算能力、推理能力的考查.例1 图中的方格图均是由边长为1的正方形组成的,请你通过图形变换将图中阴影部分的图形割补成一个正方形.例2 如图,已知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片.如果限定裁剪线最多有两条,能否做到:_______(用“能”或“不能”填空).若填“能”,准确定裁剪线的位置,并说明拼接方法;若填“不能”,请简要说明理由.________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 题图 答图 旋转与证明1.如图,已知正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且AF平分∠DAE.求证:AE=DF+BE.2.如图,在正方形ABCD的边BC,CD上分别有点E,F,∠EAF=45°,AH⊥EF.求证:(1)AH=AB;(2)猜想EF与BE、DF的关系并给出证明.3.如图,正方形ABCD中,AB=,点E、F分别在BC、CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=15°,求△AEF的面积.4.如图,正方形被两条与边平行的线段EF,GH分割成四个小矩形,P是EF与GH的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍,试确定∠HAF的大小并证明你的结论.5.已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:   ;(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)旋转之后巧计算 学习了弧长的计算公式及扇形面积的计算公式,我们可以解决有关的计算问题.但在中考试题中出现了一些旋转型计算问题,需要我们认真分析,探究解题的技巧.一、旋转后求弧长例1.如图1,一块边长为10cm的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时,顶点B从开始到结束所经过的路径长为(  )图1图2A.20cmB.cmC.cmD.cm例2 .如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=cm,将△ABC绕点B旋转到△A′BC′的位置,且使点A,B,C′三点在同一条直线上,则点A经过的最短线路的长度是______.二、旋转后求面积图4例3.如图4,把直角△ABC的斜边AB放在定直线l上,按顺时针的方向在直线l上转动两次,使它转到△A2B2C2的位置,设AC=,BC=1,则顶点A运动到点A2的位置时,点A所经过的路线与直线l围成的面积为________.三、旋转后求圈数例4.如图5,(1)把⊙O放在一条长度等于其周长的线段上,从一个端点无滑动的滚动到另一个端点,⊙O将转动______周.图7(2)如图6,若把⊙O放在边长等于其周长的正三角形ABC上,沿着ABCA的线路无滑动一周回到原来的位置,则⊙O将转动几周?说明理由.旋转答案例1(1)D;(2)D.例2解析:解决画图题的方法就是利用“对应点到旋转中心的距离相等、对应点到旋转中心连线所成的角相等”的性质,找出图形关键点旋转后的位置,而后顺次连线,即作出所需图形。(1)如图4。(2)S四边形AA1A2A3=S四边形BB1B2B3-S△BAA1=(3+5)2-4××3×5=34,故四边形AA1A2A3的面积为34。(3)结论:AB2+BC2=AC2。例3解析:这是旋转类试题的新题型,把旋转前后的图形都给出,而后展开思维、想象,用语言叙述变换过程,一般变换过程的方法不唯一。下面提供方法供参考:方法一:将△ABC以点C为旋转中心,按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C,再将△A1B1C向右平移3个格就得到△DEF;方法二:将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1,再将△A1B1C1以点C1为旋转中心,按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF;方法三:将△ABC以点B为旋转中心,按逆时针方向旋转90°得到△A1BC1,再将△A1BC1向下平移4个格得到△A2B2C2,再将△A2B2C2向右平移7个格就得到了△DEF;方法四:将△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1,再将△AB1C1向下平移4个格得到△A2B2C2,再将△A2B2C2向下平移5个格就得到了△DEF。(2)答案不唯一,如:  方法一:如图6建立直角坐标系,则点D(0,0)、E(2,-1)、F(2,3);  方法二:如图7建立直角坐标系,则点D(-2,0)、E(0,-1)、F(0,3)。例4解析:由旋转的特征知PA/=PA=6,P/B=PC=10,∠P/AB=∠PAC,由△ABC是正三角形 ABC,则∠BAC=600,从而∠P/AP=600,所以△P/AP是正三角形,所以P/P=6cm,∠APP/=600;在△P/BP中,P/P=6cm ,P/B= 10,PB=8,由勾股定理的逆定理知△P/BP是直角三角形,∠BPP/=900,从而∠APB=1500。旋转中的新题型一、阅读理解题分析:本题阅读是前提,理解期中的内容、思想和方法是关键,通过阅读明确旋转对称图形的本质含义.由此进行合理的“模仿”与“迁移”.并注意与范例进行比较,防止出错.例1解:(1)①假②真;(2)①、③;(3)①如正五边形,正十五边形;②如正十边形,正二十边形点评:阅读理解题是近几年中考中的一道亮丽风景,通常给出一段文字背景材料,或提供解答某一问题的全过程,或给出一部分新知识,要求考生在阅读的基础上,用归纳的方法从具体、特殊的事实中探究其存在的规律,把潜藏在表面现象中的本质挖掘出来,为解决后面的问题得启迪.阅读理解题是题型,它能从不同的角度很好考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、文字概括能力、联想猜想、探索发现能力,反映了课改理念,是今后命题的趋向.例2分析:(1)欲解答这一问题,就要正确看清平面直角坐标系中的图形;(2)结合平移、旋转知识画出符合要求的图形.解:如图点评:利用网格特征进行图形的平移、旋转变换,进而设计出一些图案,是中考中的一个热点,在学习时应注意这方面题型的训练.例3分析: 图3中的两个三角形是矩形中的两部分,且是全等的两部分,抓住此即可解题.解:(1)图形平移的距离就是线段BC的长又∵在Rt△ABC中,斜边长为10cm,∠BAC=30,∴BC=5cm,∴平移的距离为5cm.(2)∵∠,∴∠,∠D=30°.∴∠.(1分)在RtEFD中,ED=10 cm,∵FD=,∵cm.(3)△AHE与△中,∵,∵,,∴,即.又∵,∴△≌△(AAS).∴. 点评:中考中有很多实际操作题,但是考试中有时候不可能实际操作,这就需要同学们在平时动手,培养自己的实践操作能力.练习:答案: 1. C2. 解:以下为不同情形下的部分正确画法,答案不唯一.旋转变换在解题中的应用一、三角形旋转到特殊位置例1分析:将△ABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时,即确定了旋转角α的大小.于是∠A1BB1是平角,它是解题的切入点,通过平角可列方程求出角α .解:∵△ABC≌△A1B1C(旋转前后的图形全等).∴∠A=∠A1且CB=CB1.∵∠ADC=∠A1DB, ∴∠A1BD=α .在△ABC中,∠ABC=90°-25°=65°.∵∠BCB1=α(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角).∴∠CBB1=(180°-α)∵点A1、B、B1在同一直线上, ∴α+65+(180-α)=180.解之得α=50°.思考 例1中,若∠A=θ,那么α与θ有何数量关系?(答: α=2θ)二、三角形旋转90度例2 分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点,且它们不能构成三角形.但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°后,即会出现等腰直角三角形,于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形.解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.于是PB=QB=2a,PQ==2a.在△PQC中,∵PC2=9a2,PQ2+QC2=9a2.∴PC2=PQ2+QC2. ∴∠PQC=90°.∵△PBQ是等腰直角三角形,∴∠BPQ=∠BQP=45°.故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°,∴三点A、P、Q在同一直线上.在Rt△AQC中,AC2=AQ2+QC2=(a+2a)2+a2=(10+4)a2.故S正方形ABCD=AC2=(5+2)a2.思考 例2中,如果把△CBP绕点B逆时针方向旋转90°得△ABM,怎样解以上问题?(答:(1)△PBM是等腰直角三角形, 且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP,垂足为N.则PN=BN=,于是在△ABN中可求出边长AB的平方,即得正方形的面积.)三、三角形旋转60度例3分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形.因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中.证:连接AC. ∵AD=DC,∠ADC=60°,∴△ADC是等边三角形.故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE.连接BE.于是△DCB≌△ACE且CB=CE,∠BCE=60°.∴△BCE是等边三角形,∴BC=BE,∠CBE=60°.∵∠ABC=30°, ∴∠ABE=90°.故AB2+BC2=AB2+BE2=AE2=BD2.与旋转变换有关的作图问题例1分析:由于要拼成的正方形的面积为“5”(由5个小正方形组成),则正方形的边长为,而=.解:①连接A1A3、A1A5;②将△A1A2A3绕A3沿顺时针方向旋转90°③将△A1A5A6绕A5沿逆时针方向旋转90°;④将小正方形A1A6A7A8先向左平移2个单位,再向上平移1个单位.则四边形A1A3A4A5即为所求的正方形.例2析解:如图,取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H连接EF、GH,则EF、GH为裁剪线.EF、GH将四边形ABCD分成1、2、3、4四个部分,拼接时,图中的1不动,将2、4分别绕点H、F各旋转180°,3平移,拼成的四边形满足条件. 题图 答图 点评:图形变换前后面积不变是解决此类问题的切入点.旋转与证明参考答案1.考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质。专题:证明题。分析:延长CB到G,使BG=DF,连接AG,易证△ADF≌△ABG,得∠5=∠G,∠1=∠3,进而证明∠FAB=∠EAG,进而证明AE=EB+BG=EB+DF.解答:证明:延长CB到G,使BG=DF,连接AG(如图)∵AD=AB,∠D=∠ABG=90°,∴△ADF≌△ABG(SAS),∴∠5=∠G,∠1=∠3,∵∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴∠2+∠4=∠3+∠4,即∠FAB=∠EAG,∵CD∥AB,∴∠5=∠FAB=∠EAG,∴∠EAG=∠G,∴AE=EB+BG=EB+DF.2.考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质。专题:证明题;探究型。分析:(1)求证AH=AB,无法直接证明三角形ABE和AHE全等,那么可构建全等三角形来求解.将正方形ABCD顺时针旋转90°,AD和AB重合,从而根据旋转的性质及全等三角形的判定不难求得结论;(2)要求EF,BE,DF的关系,可以通过全等将BE,DF转化为EH,HF来求解.解答:解:(1)如果,将正方形ABCD以A为顶点,以AD为边顺时针旋转90°与AB重合.设旋转后的正方形为AD1C1B1那么B与D1重合.且E1,B,E三点共线.由旋转的性质可知∠E1AF=90°,AF=AE1∴∠E1AE=90°﹣45=45°=∠EAF.三角形AE1E和AEF中,∵∠E1AE=∠EAF,AF=AE1,AE=AE,∴△AE1E≌△AFE.∵AH,AB为两三角形对应边EF,E1E上的高,∴AH=AB.(2)由(1)得,AH=AB.在直角三角形AHF和AFD中,∵AH=AB,AF=AF,∴△AHF≌△ADF(HL).∴HF=DF.由(1)得出的全等三角形可知:BE=EH.∴EF=EH+HF=BE+DF.3. 考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质。专题:计算题。分析:将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置,得到△ABG,求证:△AEF≌△AEG,要求△AEF的面积求△AEG即可,且AB为底边上的高,EG为底边.解答:解:将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置,∴AG=AF,∠GAB=∠FAD=15°,∠GAE=15°+30°=45°,∠EAF=90°﹣(30°+15°)=45°,∴∠GAE=∠FAE,又AE=AE,∴△AEF≌△AEG,∴EF=EG,∠AEF=∠AEG=60°,在Rt△ABE中,AB=,∠BAE=30°,∴∠AEB=60°,BE=1,在Rt△EFC中,∠FEC=180°﹣(60°+60°)=60°,EC=BC﹣BE=﹣1,EF=2(﹣1),∴EG=2(﹣1),S△AEG=EG•AB=3﹣,∴S△AEF=S△AEG=3﹣.4.考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的性质。专题:证明题;转化思想。分析:作出辅助线BM,AM,FH,把求∠HAF的度数转化为求其全等三角形的对应角∠MAF的度数.解答:解:如图,连FH,延长CB到M,使BM=DH,连接AM,∵Rt△ABM≌Rt△ADH,∴AM=AH,∠MAB=∠HAD,∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°,如图设正方形边长为a,AG=m,GP=n,则FC=a﹣n,CH=a﹣m,因为面积是二倍所以列式得到:a2﹣(m+n)a+mn=2mn,在直角三角形FCH中FH2=(a﹣n)2+(a﹣m)2,将上面的式子联立得到:FH2=MF2=(m+n)2,即得到FH=MF,∵AF=AF,AH=AM,∴△AMF≌△AHF,∴∠MAF=∠HAF,∴∠HAF=∠MAF=45°.点评:本题考查的全等三角形的证明,考查了正方形对边平行且各内角均为90°的性质,构建△DAH的全等三角形△BAM并进行求证是解本题的关键.5. 考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理。专题:证明题;探究型。分析:(1)由三角形全等可以证明AH=AB,(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB,(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.解答:解:(1)如图①AH=AB.(1分)(2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN.∵ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°.∴Rt△AEB≌Rt△AND.(3分)∴AE=AN,∠EAB=∠NAD.∴∠EAM=∠NAM=45°.∵AM=AM,∴△AEM≌△ANM.(4分)∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,∴AB=AH.(5分)(3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2∴52=(x﹣2)2+(x﹣3)2(6分)解得x1=6,x2=﹣1.(不符合题意,舍去)∴AH=6.(7分)点评:本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断,不是很难旋转之后巧计算一、旋转后求弧长例1.析解:正方形木版ABCD在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转的过程中,正方形的每一点在作以点D为圆心的圆周运动,所以点B所经过的路径是以点D为圆心,以BD长为半径,以B,B′为端点的一段圆弧(如图2),其半径为cm,圆心角为90°,所以弧长为(cm).故选D.例2 .析解:点A经过的最短路线是以B为圆心,AB为半径,圆心角为∠ABA′的扇形BAA′的弧长.因为AB=,∠ABA′=180°-∠A′BC′=150°,所以点A经过的最短路线的长度是(cm).二、旋转后求面积例3. 析解:本题旋转了两次,第一次是以B为圆心,AB为半径转了120°(因为tan∠ABC=,∠ABC=60°),第二次以C″为圆心,BC″为半径转了90°,所以点A经过的路线与直线l所围成的面积为S=S扇形BAA′+S△A′BC+S扇形C″A′A″.三、旋转后求圈数例4.析解:第(1)问比较简单,结论是⊙O将转动1周.本题是真实目的是在第(2)问上.⊙O的初始位置有OA⊥AC,当它按题意要在AB上滚动时,⊙O必须先绕A点转动一个角β,使其半径OA⊥AB,显然∠β是∠A的补角,∠β=180°-∠A=120°,尽管这一过程是⊙O绕点A旋转完成的,实际上⊙O自身也正好是转动了这么个角β,图7就很直观地显示了这一点,我们不妨在⊙O上取一点M,使AM为⊙O之直径,当⊙O绕A点旋转一角β之后,点M到达M′的位置,显然,这一过程可分解为两个部分,圆心O移动O′的位置,而⊙O绕圆心旋转了一角β.由第(1)问的答案知⊙O分别在AB,BC,CA上滚动时,各旋转了一周,共计3周,⊙O又分别在点A,点B,点C处从一边过渡到另一条边时又各旋转了120°,共计120°×3=360°,即又是一周,所以⊙O沿ABCA滚动一周回到原来位置时,将转动4周.图712
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