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(含详答)2018年上海春考数学试卷.doc

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含详答 2018 上海 数学试卷
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2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.不等式的解集为__________.2.计算:__________.3.设集合,,则__________.4.若复数(是虚数单位),则__________.5.已知是等差数列,若,则__________.6.已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4,则动点的轨迹为__________.7.如图,在长方形中,,,,是的中点,则三棱锥的体积为__________. 第7题图 第12题图8.某校组队参加辩论赛,从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩.若其中学生甲必须参赛且不担任四辩,则不同的安排方法种数为__________.9.设,若与的二项展开式中的常数项相等,则__________.10.设,若是关于的方程的一个虚根,则的取值范围是__________.11.设,函数,,若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点,则的取值范围是__________.12.如图,正方形的边长为20米,圆的半径为1米,圆心是正方形的中心,点、分别在线段、上,若线段与圆有公共点,则称点在点的“盲区”中.已知点以1.5米/秒的速度从出发向移动,同时,点以1米/秒的速度从出发向移动,则在点从移动到的过程中,点在点的盲区中的时长约为__________秒(精确到0.1)二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13.下列函数中,为偶函数的是( )(A)(B)(C)(D)14.如图,在直三棱柱的棱所在的直线中,与直线异面的直线条数为( )(A)1(B)2(C)3(D)415.记为数列的前项和.“是递增数列”是“为递增数列”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件16.已知、为平面上的两个定点,且.该平面上的动线段的端点、,满足,,,则动线段所形成图形的面积为( ) (A)36(B)60(C)81(D)108三、解答题(本大题共有5题,满分76分,第17~19题每题14分,20题16分,21题18分)17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知.(1)若,且,求的值;(2)求函数的最小值.18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知,双曲线.(1)若点在上,求的焦点坐标;(2)若,直线与相交于、两点,且线段中点的横坐标为1,求实数的值.19.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面,所得截线是抛物线”的几何原理,某快餐店用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在广告牌上投影出其标识,如图1所示,图2是投影出的抛物线的平面图,图3是一个射灯的直观图,在图2与图3中,点、、在抛物线上,是抛物线的对称轴,于,米,米.(1)求抛物线的焦点到准线的距离;(2)在图3中,已知平行于圆锥的母线,、是圆锥底面的直径,求圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0.01°). 图1 图2 图320.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)设,函数.(1)若,求的反函数;(2)求函数的最大值(用表示);(3)设.若对任意,恒成立,求的取值范围.21.(本题满分18分,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分)若是递增数列,数列满足:对任意,存在,使得,则称是的“分隔数列”.(1)设,,证明:数列是的“分隔数列”;(2)设,是的前项和,,判断数列是否是数列的分隔数列,并说明理由;(3)设,是的前项和,若数列是的分隔数列,求实数、的取值范围.参考答案一、填空题1.2.33.4.25.156.7.58.1809.410.11.提示:12.提示:以为原点建立坐标系,设时刻为,则则,化简得点到直线PQ的距离,化简得即,则二、选择题13.A14.C15.D16.B提示:建系,则的轨迹为线段,扫过的三角形面积为12,则利用相似三角形可知扫过的面积为48,因此和为60三、解答题17.(1);(2)18.(1);(2).19.(1);(2).20.(1);(2)(时取最值);(3)提示:因为-a<0,所以当x=0,t=1时,分母取到最小值从而分式值取到最小值,此时21.(1)证明:存在,此时 证毕(2)不是.反例:时,无解;(3).提示:因为为递增数列,因此或者①当时,,因此因此不存在,不合题意。②当时,两边同时取对数得:记则下面分析函数的取值范围:显然时,为减函数,因此,即(Ⅰ)当时,,因此总有此时因此总存在符合条件,使得成立(Ⅱ)当时, , 根据零点存在定理,并结合的单减性可知:存在唯一正整数使得此时即显然不存在满足条件的正整数综上: 7 / 7
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