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(精华讲义)数学人教版高二必修五不等式.doc

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精华 讲义 学人 教版高二 必修 不等式
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不等式(一)不等式与不等关系1、应用不等式(组)表示不等关系;不等式的主要性质:(1)对称性:       (2)传递性:(3)加法法则:;(同向可加)(4)乘法法则:;    (同向同正可乘)(5)倒数法则:  (6)乘方法则:(7)开方法则:2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论)3、应用不等式性质证明不等式(二)解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集:设相应的一元二次方程的两根为,,则不等式的解的各种情况如下表: 二次函数()的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 2、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。3、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上(三)线性规划1、用二元一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(),把它的坐标()代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)3、线性规划的有关概念:①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.②线性目标函数:关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数.③线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:(1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数;(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;(3)依据线性目标函数作参照直线ax+by=0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解(四)基本不等式1.若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2.如果a,b是正数,那么变形: 有:a+b≥;ab≤,当且仅当a=b时取等号.3.如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.注:(1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等”4. 常用不等式有:(1)(根据目标不等式左右的运算结构选用) ; 平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数):(2)a、b、cR,(当且仅当时,取等号);(3)若,则(糖水的浓度问题)。不等式主要题型讲解(一) 不等式与不等关系题型一:不等式的性质1. 对于实数中,给出下列命题: ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥; ⑦; ⑧,则。其中正确的命题是________________________题型二:比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式)2. 设,,,试比较的大小3. 比较1+与的大小4. 若,则的大小关系是 .(二) 解不等式题型三:解不等式5. 解不等式 6. 解不等式。7. 解不等式8. 不等式的解集为{x|-1<x<2},则=_____, b=_______9. 关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为10. 解关于x的不等式题型四:恒成立问题11. 关于x的不等式a x2+ a x+1>0 恒成立,则a的取值范围是_____________ 12. 若不等式对的所有实数都成立,求的取值范围.13. 已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围。(三)基本不等式题型五:求最值14. (直接用)求下列函数的值域(1)y=3x 2+ (2)y=x+15. (配凑项与系数)(1)已知,求函数的最大值。(2)当时,求的最大值。16. (耐克函数型)求的值域。注意:在应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数的单调性。17. (用耐克函数单调性)求函数的值域。18. (条件不等式)(1) 若实数满足,则的最小值是 .(2) 已知,且,求的最小值。(3) 已知x,y为正实数,且x 2+=1,求x的最大值.(4) 已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.题型六:利用基本不等式证明不等式19. 已知为两两不相等的实数,求证:20. 正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc21. 已知a、b、c,且。求证:题型七:均值定理实际应用问题:22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建筑单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。(四)线性规划题型八:目标函数求最值23. 满足不等式组,求目标函数的最大值24. 已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,.则的取值范围是 25. 已知满足约束条件: 则的最小值是26. 已知变量(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为 。27. 已知实数满足如果目标函数的最小值为,则实数等于( )题型九:实际问题28. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元,售价50元;凤梨月饼每个成本20元,售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒,个数不超过10个,售价不超过350元,问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个,可使利润最大?又利润最大为多少?复习――不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习---不等式1. ②③⑥⑦⑧;2. ;3. 当或时,1+>;当时,1+<;当时,1+=4. ∵ ∴( ∴R>Q>P。5. 6. 或;7. );8. 不等式的解集为{x|-1<x<2},则=___-6____, b=__6_____9. ).10. 解:当a=0时,不等式的解集为;2分当a≠0时,a(x-)(x-1)<0;当a<0时,原不等式等价于(x-)(x-1)>0不等式的解集为;6分当0<a<1时,1<,不等式的解集为;8分当a>1时,<1,不等式的解集为;10分当a=1时,不等式的解为φ.12分11. _____0≤x<4________12. )13. 14. 解:(1)y=3x 2+≥2= ∴值域为[,+∞) (2)当x>0时,y=x+≥2=2;当x<0时, y=x+= -(- x-)≤-2=-2∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)15. (1)解,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。(2)当,即x=2时取等号 当x=2时,的最大值为8。16. 解析一: 当,即时,(当且仅当x=1时取“=”号)。解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。当,即t=时,(当t=2即x=1时取“=”号)。17. 解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。18. (条件不等式)(1) 解: 都是正数,≥当时等号成立,由及得即当时,的最小值是6.(2) 解:,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,(3) 解:x=x =x·下面将x,分别看成两个因式:x·≤== 即x=·x ≤ (4) 解:法一:a=, ab=·b=    由a>0得,0<b<15   令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2=8   ∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2  ∴ 30-ab≥2   令u= 则u2+2u-30≤0, -5≤u≤3    ∴≤3,ab≤18,∴y≥19. 已知为两两不相等的实数,求证:20. 正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc21. 已知a、b、c,且。求证:证明:a、b、c,。。同理,。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得。当且仅当时取等号。22. 解:  若设污水池长为x米,则宽为 (米)  水池外圈周壁长: (米)  中间隔墙长: (米)  池底面积:200(米2)  目标函数:         ≥ 23. 424. 25. 126. 。27. 5 28. 解:设一盒內放入x个豆沙月饼,y个凤梨月饼,利润为z元       则x,y必须满足,       目标函数为z=15x+10y                          在可行区內的顶点附近z=f ( x,y ) 的最大值,  所以,一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼,可得最大利润110元。绝对值不等式的解法:方法1:利用绝对值性质: 一般的:①② 特别地:① ②练习1:不等式的解集为___________________2、 解不等式3、不等式的解集是 4、不等式的解集是_____________________方法2:利用绝对值定义:将不等式同解变形为不等式组(即分类讨论思想)上面5题都可用此法方法3:零点分区间法,(含有多个绝对值的不等式时可用此法)练习1、解不等式 . 方法4:平方法:若不等式两边均为非负数,对其两边同时平方,再解不等式。(切记:若用平方法,则不等式两边必须都是非负数,只有这样,才能运用平方法。)① ②练习1、不等式的解集为__________________________2、不等式的解集是 绝对值不等式性质定理的运用:,特别是用此定理求函数的最值。练习1、不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为_______________________2、若不等式,对于均成立,那么实数的取值范围是___________________含绝对值不等式的性质:同号或有;异号或有.如设,实数满足,求证:练习:1、 已知,求的取值范围。2、已知,且,求的取值范围。3、正数满足,求的最小值。4、设实数满足,当时,求的取值范围。5、已知函数满足,,求取值范围。6、已知:、都是正数,且,,,求的最小值7、已知集合与,若,求的取值范围。8、若关于的方程有实数解,求实数的取值范围。15
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