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(珍藏版)2016届深圳市育才三中九年级上月考数学试卷.doc

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珍藏 2016 深圳市 育才 九年级 月考 数学试卷
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广东省深圳市育才三中2016届九年级上学期月考数学试卷(10月份) 一、选择题(共12小题)1.如图,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则△DBF的面积为 (  )A.4B.C.D.2 2.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是(  )A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分 3.在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.对于两人的观点,下列说法正确的是(  )A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对 4.如图,一个正方体被截去四个角后得到一个几何体,它的俯视图是(  )A.B.C.D. 5.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是(  )A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形 6.已知a:b:c=2:3:4,则的值(  )A.B.1C.﹣1D.或﹣1 7.已知x1,x2是方程x2﹣x﹣3=0的两个根,那么x1+x2的值是(  )A.1B.5C.7D. 8.已知线段AB,点C是它的黄金分割点(AC>BC).设以AC为边的正方形的面积为S1,以AB、CB分别为长和宽的矩形的面积为S2,则S1与S2关系正确的是(  )A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不能确定 9.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将△ABC沿DE折叠,使点B落在AC边上的F处,并且DF∥BC,则BD的长是(  )A.B.C.D. 10.已知方程(m﹣1)x2+3x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是(  )A.m≠1B.m≥0C.m≥0且m≠1D.m为任意数 11.学生冬季运动装原来每套的售价是100元,后经连续两次降价,现在的售价是81元,则平均每次降价的百分数是(  )A.9%B.8.5%C.9.5%D.10% 12.如图,,∠1=∠2,则对于结论:①△ABE∽△ACF;②△ABC∽△AEF;③;④.其中正确的结论的个数是(  )A.1B.2C.3D.4  二、填空题(共4小题)13.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F,若CF=1,FD=2,则BC的长为      . 14.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是      . 15.如图,正方形OABC∽正方形ODEF,它们是以原点O为位似中心的位似图形,位似比为1:,点A的坐标为(0,1),则点E的坐标是      . 16.若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解,则c2=      .  三、解答题(共7小题)17.如图,在直角坐标系xOy中,直线y=x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第二象限内作矩形ABCD,使AD=.(1)求点A,点B的坐标,过点D作DH⊥x轴,垂足为H,求证:△ADH∽△BAO;(3)求点D的坐标. 18.(1)解方程:x2﹣2x﹣2=0.已知a≠0,b≠0,且x=1是方程ax2+bx﹣10=0的一个解,求的值. 19.已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是      ;以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是      ;(3)△A2B2C2的面积是      平方单位. 20.已知,如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,请你计算DE的长. 21.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 22.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动,且E、F不与B、C、D重合.(1)证明:BE=CF;当点E、F在BC、CD上滑动时,四边形AECF面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;(3)设BE=x,△CEF的面积为y,求y与x之间的函数关系式(不写出自变量x取值范围). 23.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.(1)求线段CD的长;当t为何值时,△CPQ与△ABC相似?(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?  广东省深圳市育才三中2016届九年级上学期月考数学试卷(10月份)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题)1.如图,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则△DBF的面积为 (  )A.4B.C.D.2考点: 整式的混合运算.专题: 计算题.分析: 设正方形CEFH边长为a,根据图形表示出阴影部分面积,去括号合并即可得到结果.解答: 解:设正方形CEFH的边长为a,根据题意得:S△BDF=4+a2﹣×4﹣a(a﹣2)﹣a(a+2)=2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a=2.故选:D.点评: 此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 2.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是(  )A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分考点: 矩形的判定;三角形中位线定理.分析: 根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形,再推出一个角是直角,由矩形的判定定理可求解.解答: 解:要是四边形EHGF是矩形,应添加条件是对角线互相垂直,理由是:连接AC、BD,两线交于O,根据三角形的中位线定理得:EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH一定是平行四边形,∴EF∥AC,EH∥BD,∵BD⊥AC,∴EH⊥EF,∴∠HEF=90°,故选C.点评: 能够根据三角形的中位线定理证明:顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形;顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形;顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形.掌握这些结论,以便于运用. 3.在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.对于两人的观点,下列说法正确的是(  )A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对考点: 相似三角形的判定;相似多边形的性质.专题: 数形结合.分析: 甲:根据题意得:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,即可证得∠A=∠A′,∠B=∠B′,可得△ABC∽△A′B′C′;乙:根据题意得:AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,则可得,即新矩形与原矩形不相似.解答: 解:甲:根据题意得:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,∴∠A=∠A′,∠B=∠B′,∴△ABC∽△A′B′C′,∴甲说法正确;乙:∵根据题意得:AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,∴,,∴,∴新矩形与原矩形不相似.∴乙说法正确.故选:A.点评: 此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用. 4.如图,一个正方体被截去四个角后得到一个几何体,它的俯视图是(  )A.B.C.D.考点: 简单组合体的三视图.专题: 常规题型.分析: 根据从上面看得到的图形是俯视图,可得答案.解答: 解;从上面看是一个正方形并且每个角有一个三角形,故选:C.点评: 本题考查了简单组合体的三视图,从上面看得到的图形是俯视图. 5.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是(  )A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形考点: 正方形的判定;平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的判定.专题: 证明题.分析: 根据邻边相等的平行四边形是菱形;根据所给条件可以证出邻边相等;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形;根据对角线相等的平行四边形是矩形.解答: 解:A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知:四边形ABCD是平行四边形,当AB=BC时,它是菱形,故A选项正确;B、∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=OD,∵AC⊥BD,∴AB2=BO2+AO2,AD2=DO2+AO2,∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,故B选项正确;C、有一个角是直角的平行四边形是矩形,故C选项正确;D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时,它是矩形,不是正方形,故D选项错误;综上所述,符合题意是D选项;故选:D.点评: 此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,学生答题时容易出错. 6.已知a:b:c=2:3:4,则的值(  )A.B.1C.﹣1D.或﹣1考点: 比例的性质.分析: 根据比例性质,可用a表示b,用a表示c,根据分式的性质,可得答案.解答: 解:由a:b:c=2:3:4,得b=,c=2a.===1,故选:B.点评: 本题考查了比例的性质,利用比例的性质得出b=,c=2a是解题关键. 7.已知x1,x2是方程x2﹣x﹣3=0的两个根,那么x1+x2的值是(  )A.1B.5C.7D.考点: 根与系数的关系.分析: 直接利用根与系数的关系求得答案即可.解答: 解:∵x1,x2是方程x2﹣x﹣3=0的两个根,∴x1+x2的值是1.故选:A.点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为x1,x2,则x1+x2=﹣,x1•x2=. 8.已知线段AB,点C是它的黄金分割点(AC>BC).设以AC为边的正方形的面积为S1,以AB、CB分别为长和宽的矩形的面积为S2,则S1与S2关系正确的是(  )A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不能确定考点: 黄金分割.分析: 根据黄金分割的概念得到AC2=BC•AB,根据正方形、矩形的面积公式计算即可得到答案.源:学科网]解答: 解:∵点C是AB的黄金分割点,∴AC2=BC•AB,∴S1=S2,故选:B.点评: 本题考查的是黄金分割的概念,掌握把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割是解题的关键. 9.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将△ABC沿DE折叠,使点B落在AC边上的F处,并且DF∥BC,则BD的长是(  )A.B.C.D.考点: 翻折变换(折叠问题).分析: 先利用勾股定理求得AB的长,然后由翻折的性质可知DF=DB,由DF∥BC可知△AFD∽△ACB,利用相似三角形的性质列出方程求解即可.解答: 解:在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB===10.由翻折的性质可知:DF=DB.设BD=x,则DF=x.∵DF∥BC,∴△AFD∽△ACB.∴,即.解得:x=.故选:A.点评: 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、翻折的性质、勾股定理的应用,利用相似三角形的性质列出关于x的方程是解题的关键. 10.已知方程(m﹣1)x2+3x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是(  )A.m≠1B.m≥0C.m≥0且m≠1D.m为任意数考点: 一元二次方程的定义.分析: 根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0,由此求得m的取值范围.解答: 解:依题意得:m﹣1≠0,解得m≠1.故选:A.点评: 本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点. 11.学生冬季运动装原来每套的售价是100元,后经连续两次降价,现在的售价是81元,则平均每次降价的百分数是(  )A.9%B.8.5%C.9.5%D.10%考点: 一元二次方程的应用.专题: 增长率问题.分析: 设平均每次降价的百分数是x,则第一次降价后的价格是100(1﹣x),第二次降价后的价格是100(1﹣x)(1﹣x),根据“现在的售价是81元”作为相等关系列方程求解.解答: 解:设平均每次降价的百分数是x,依题意得100(1﹣x)2=81,解方程得x1=0.1,x2=1.9(舍去)所以平均每次降价的百分数是10%.故选D.点评: 本题运用增长率(下降率)的模型解题.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.(当增长时中间的“±”号选“+”,当降低时中间的“±”号选“﹣”) 12.如图,,∠1=∠2,则对于结论:①△ABE∽△ACF;②△ABC∽△AEF;③;④.其中正确的结论的个数是(  )A.1B.2C.3D.4考点: 相似三角形的判定与性质.分析: 根据相似三角形的判定定理及性质可验证以上的结论.解答: 解:∵,∠1=∠2,∴△ABE∽△ACF,∠BAC=∠EAF∴△ABC∽△AEF∴①②正确;∴,∴∴③错误∴∴④错误故2个结论都是正确的.故选:B点评: 本题考查了相似三角形的判定定理和性质,在利用其性质的时候注意边角的对应. 二、填空题(共4小题)13.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F,若CF=1,FD=2,则BC的长为  .考点: 翻折变换(折叠问题);矩形的性质.专题: 压轴题.分析: 首先过点E作EM⊥BC于M,交BF于N,易证得△ENG≌△BNM(AAS),MN是△BCF的中位线,根据全等三角形的性质,即可求得GN=MN,由折叠的性质,可得BG=3,继而求得BF的值,又由勾股定理,即可求得BC的长.解答: 解:过点E作EM⊥BC于M,交BF于N,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=90°,AD=BC,∵∠EMB=90°,∴四边形ABME是矩形,∴AE=BM,由折叠的性质得:AE=GE,∠EGN=∠A=90°,∴EG=BM,在△ENG和△BNM中∵,∴△ENG≌△BNM(AAS),∴NG=NM,∴CM=DE,∵E是AD的中点,∴AE=ED=BM=CM,∵EM∥CD,∴BN:NF=BM:CM,∴BN=NF,∴NM=CF=,∴NG=,∵BG=AB=CD=CF+DF=3,∴BN=BG﹣NG=3﹣=,∴BF=2BN=5,∴BC===2.故答案为:2.点评: 此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 14.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是 AC=BD或AB⊥BC .考点: 正方形的判定;菱形的判定.专题: 开放型.分析: 根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答.解答: 解:∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是:AC=BD或AB⊥BC.点评: 解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理,即有一个角是直角的菱形是正方形. 15.如图,正方形OABC∽正方形ODEF,它们是以原点O为位似中心的位似图形,位似比为1:,点A的坐标为(0,1),则点E的坐标是 (,)或(﹣,﹣) .考点: 位似变换;坐标与图形性质.分析: 由题意可得OA:OD=1:,又由点A的坐标为(1,0),即可求得OD的长,又由正方形的性质,即可求得E点的坐标.解答: 解:∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1:,∴OA:OD=1:,∵点A的坐标为(0,1),即OA=1,∴OD=,∵四边形ODEF是正方形,∴DE=OD=.∴E点的坐标为:(,)或(﹣,﹣).故答案为:(,)或(﹣,﹣).点评: 此题考查了位似变换的性质与正方形的性质.此题比较简单,注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键. 16.若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解,则c2= 4 .考点: 一元二次方程的解.专题: 压轴题.分析: 根据一元二次方程的解的定义,把x=1代入方程x2+x+c=0即可求得c的值,进而求得c2的值.解答: 解:根据一元二次方程的解得定义,把x=1代入方程x2+x+c=0得到2+c=0,解得c=﹣2,则c2=22=4,若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解,则c2=4.故本题答案为则c2=4.点评: 本题逆用一元二次方程解的定义得出c的值,在解题时要重视解题思路的逆向分析. 三、解答题(共7小题)17.如图,在直角坐标系xOy中,直线y=x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第二象限内作矩形ABCD,使AD=.(1)求点A,点B的坐标,过点D作DH⊥x轴,垂足为H,求证:△ADH∽△BAO;(3)求点D的坐标.考点: 一次函数综合题.分析: (1)将y=0,x=0分别代入直线的解析式,然后解得x、y的值,从而可求得点A、B的坐标;由题意可知:∠DAH+∠BAO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,从而可证明∠DAH=∠ABO,又因为∠DHA=∠BOA=90°,故此△ADH∽△BAO;(3)先由勾股定理求得AB的长,然后利用相似三角形的性质可求得HD、AH的长,从而可求得点D的坐标.解答: 解:(1)将y=0代入直线y=x+2得;,解得:x=﹣4.∴点A的坐标为(﹣4,0).将x=0代入直线y=x+2得;y=2,∴点B的坐标为(0,2).∵∠BAD=90°,∴∠DAH+∠BAO=90°.∵∠BAO+∠ABO=90°,∴∠DAH=∠ABO.又∵∠DHA=∠BOA=90°,∴△ADH∽△BAO.(3)在Rt△AOB中,AB===2.又∵△ADH∽△BAO,∴,即.∴DH=2,AH=1.∴点D的坐标为(﹣5,2).点评: 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理的应用,利用相似三角形的性质求得HD、AH的长度是解题的关键. 18.(1)解方程:x2﹣2x﹣2=0.已知a≠0,b≠0,且x=1是方程ax2+bx﹣10=0的一个解,求的值.考点: 解一元二次方程-配方法;一元二次方程的解.分析: (1)在本题中,把常数项﹣2移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方.把x=1代入方程求得a+b=10,然后将其整体代入化简后的分式并求值.解答: (1)解:x2﹣2x=2,x2﹣2x+1=3,(x﹣1)2=3,x﹣1=±,则x=1±,解得x1=1+,x2=1﹣;解:依题意得a+b=10,==5.点评: 本题考查了一元二次方程的解的定义和解一元二次方程的方法.配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数. 19.已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是  ;以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 (1,0) ;(3)△A2B2C2的面积是 10 平方单位.考点: 作图-位似变换;作图-平移变换.专题: 作图题.分析: (1)利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案;利用位似图形的性质得出对应点位置即可;(3)利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积.解答: 解:(1)如图所示:C1;故答案为:;如图所示:C2(1,0);故答案为:(1,0);(3)∵A2C22=20,B2C=20,A2B2=40,∴△A2B2C2是等腰直角三角形,∴△A2B2C2的面积是:×20=10平方单位.故答案为:10.点评: 此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识,得出对应点坐标是解题关键. 20.已知,如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,请你计算DE的长.考点: 平行投影;相似三角形的性质;相似三角形的判定.专题: 计算题;作图题.分析: (1)根据投影的定义,作出投影即可;根据在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例;构造比例关系.计算可得DE=10(m).解答: 解:(1)连接AC,过点D作DF∥AC,交直线BC于点F,线段EF即为DE的投影.∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF.∴,∴∴DE=10(m).说明:画图时,不要求学生做文字说明,只要画出两条平行线AC和DF,再连接EF即可.点评: 本题考查了平行投影特点:在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例.要求学生通过投影的知识并结合图形解题. 21.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?考点: 一元二次方程的应用.专题: 销售问题;压轴题.分析: 设每千克水果应涨价x元,得出日销售量将减少20x千克,再由盈利额=每千克盈利×日销售量,依题意得方程求解即可.解答: 解:设每千克水果应涨价x元,依题意得方程:(500﹣20x)(10+x)=6000,整理,得x2﹣15x+50=0,解这个方程,得x1=5,x2=10.要使顾客得到实惠,应取x=5.答:每千克水果应涨价5元.点评: 解答此题的关键是熟知此题的等量关系是:盈利额=每千克盈利×日销售量. 22.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动,且E、F不与B、C、D重合.(1)证明:BE=CF;当点E、F在BC、CD上滑动时,四边形AECF面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;(3)设BE=x,△CEF的面积为y,求y与x之间的函数关系式(不写出自变量x取值范围).考点: 四边形综合题.分析: (1)连接AC,根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ACF,得到答案;根据割补法求面积的思想解答;(3)根据△ABE≌△ACF,得到BE=CF,求出△CEF边CF的高,根据三角形的面积公式计算即可.解答: (1)证明:连接AC,∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,∴∠1+∠EAC=60°,∠3+∠EAC=60°,∴∠1=∠3,∵∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∴△ABC和△ACD为等边三角形,∴∠4=60°,AC=AB,在△ABE和△ACF中,,∴△ABE≌△ACF(ASA),∴BE=CF;解:四边形AECF的面积不变.理由:由(1)得△ABE≌△ACF,则S△ABE=S△ACF,故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,是定值,作AH⊥BC于H点,则BH=2,S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=4;(3)解:由(1)得△ABE≌△ACF,∴BE=CF=x,则EC=4﹣x,∴△CEF边CF的高为(4﹣x),y=×x×(4﹣x)=﹣x2+x.点评: 本题考查的是菱形的性质、三角形全等的判定和性质、二次函数解析式的求法,掌握菱形的四条边相等和等边三角形的性质是解题的关键. 23.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.(1)求线段CD的长;当t为何值时,△CPQ与△ABC相似?(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?考点: 相似形综合题.分析: (1)先根据勾股定理求出AB的长,再由三角形的面积公式即可得出结论;先用t表示出DP,CQ,CP的长,再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论;(3)根据题意画出图形,分CQ=CP,PQ=PC,QC=QP三种情况进行讨论.解答: 解:(1)∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB=10.∵CD⊥AB,∴S△ABC=BC•AC=AB•CD.∴CD===4.8.∴线段CD的长为4.8.由题可知有两种情形,设DP=t,CQ=t.则CP=4.8﹣t.①当PQ⊥CD时,如图a∵△QCP∽△△ABC∴=,即=,∴t=3;②当PQ⊥AC,如图b.∵△PCQ∽△ABC∴=,即=,解得t=,∴当t为3或时,△CPQ与△△ABC相似;(3)①若CQ=CP,如图1,则t=4.8﹣t.解得:t=2.4.②若PQ=PC,如图2所示.∵PQ=PC,PH⊥QC,∴QH=CH=QC=.∵△CHP∽△BCA.∴=.∴=,解得t=.③若QC=QP,过点Q作QE⊥CP,垂足为E,如图3所示.同理可得:t=.综上所述:当t为2.4秒或秒或秒时,△CPQ为等腰三角形.点评: 本题考查的是相似形综合题,涉及到相似三角形的判定与性质等知识,在解答此题时要注意进行分类讨论. 
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