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(整理)高中函数值域的求法.doc

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整理 高中 函数 值域 求法
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高中函数值域的求法题型一 求函数值:特别是分段函数求值例1 已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).(1)求f(2),g(2)的值;(2)求f[g(3)]的值.解 (1)∵f(x)=,∴f(2)==.又∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.(2)∵g(3)=32+2=11,∴f[g(3)]=f(11)==.反思与感悟 求函数值时,首先要确定出函数的对应关系f的具体含义,然后将变量代入解析式计算,对于f[g(x)]型的求值,按“由内到外”的顺序进行,要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.跟踪训练4 已知函数f(x)=.(1)求f(2);(2)求f[f(1)].解 (1)∵f(x)=,∴f(2)==.(2) f(1)==,f[f(1)]=f()==.5.已知函数f(x)=x2+x-1.(1)求f(2),f();(2)若f(x)=5,求x的值.解 (1)f(2)=22+2-1=5,f()=+-1=.(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,∴x=2,或x=-3.(3)4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x+1)=f(x)+1,f(0)=1,则f(5)=________.答案 6解析 f(1)=f(0)+1=1+1=2,f(2)=f(1)+1=3,f(3)=f(2)+1=4,f(4)=f(3)+1=5,f(5)=f(4)+1=6.二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 求值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};二次函数的定义域为R,当a>0时,值域为{};当a<0时,值域为{}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1x1) ② ③ (记住图像) 解:①∵-1x1,∴-33x3,∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]②略③ 当x>0,∴=,当x<0时,=-∴值域是[2,+).(此法也称为配方法)函数的图像为:二次函数在区间上的值域(最值):例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:①; ②;③; ④; 解:∵,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y-3 }.②∵顶点横坐标2[3,4],当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上,=-2,=1;值域为[-2,1].③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,∴在[0,1]上,=-2,=1;值域为[-2,1].④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6,∴在[0,1]上,=-3,=6;值域为[-3,6].注:对于二次函数,⑴若定义域为R时, ①当a>0时,则当时,其最小值; ②当a<0时,则当时,其最大值;⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若[a,b],则是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较的大小决定函数的最大(小)值. ②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值.注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习:1、求函数y=3+的值域 解:由算术平方根的性质,知≥0,故3+≥3。∴函数的值域为  . 2、求函数 的值域 解: 对称轴 1 单调性法例3 求函数y=4x-(x≤1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)= -,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。练习:求函数y=3+的值域。(答案:{y|y≥3})2 换元法例4 求函数 的值域 解:设,则   点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习:求函数y=的值域。(答案:{y|y≤-3/4} 求的值域;例5 (三角换元法)求函数的值域解: 设 小结:(1)若题目中含有,则可设 (2)若题目中含有则可设,其中(3)若题目中含有,则可设,其中(4)若题目中含有,则可设,其中 (5)若题目中含有,则可设其中3 平方法例5 (选)求函数 的值域解:函数定义域为: 4 分离常数法 例6 求函数 的值域由 ,可得值域小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。练习求函数 的值域 求函数 的值域01 求函数 y=的值域;(y∈(-1,1)) -10134-4xy例7 求 的值域解法一:(图象法)可化为 如图, 观察得值域解法二:(不等式法) 同样可得值域练习:的值域 例8 求函数 的值域解:(换元法)设 ,则 原函数可化为 例9求函数 的值域 解:(换元法)令,则10xy 由指数函数的单调性知,原函数的值域为 例10 求函数 的值域解:(图象法)如图,值域为 (换元法)设 ,则 例13 函数 的值域解法一:(逆求法) 2解法二:(换元法)设 ,则 解法三:(判别式法)原函数可化为 1) 时 不成立2) 时,综合1)、2)值域解法四:(三角换元法)设,则 原函数的值域为10例14 求函数的值域5解法一:(判别式法)化为1)时,不成立2)时,得综合1)、2)值域解法二:(复合函数法)令,则 所以,值域例15 函数的值域解法一:(判别式法)原式可化为 解法二:(不等式法)1)当时,2) 时,综合1)2)知,原函数值域为例16 (选) 求函数的值域解法一:(判别式法)原式可化为 解法二:(不等式法)原函数可化为 当且仅当时取等号,故值域为例17 (选) 求函数的值域解:(换元法)令 ,则原函数可化为。。。小结:已知分式函数 ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为(选)的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数的单调性去解。利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法,但在教学过程中,很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做,二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法,哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据例1、 求函数的值域象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。解:由得:(y-1)x2+(1-y)x+y=0 ①上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法,但在用判别式法求值域时经常出错,因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题:一、要注意判别式存在的前提条件,同时对区间端点是否符合要求要进行检验例:求函数的值域。错解:原式变形为 (*)∵,∴,解得。故所求函数的值域是错因:把代入方程(*)显然无解,因此不在函数的值域内。事实上,时,方程(*)的二次项系数为0,显然不能用“”来判定其根的存在情况。正解:原式变形为 (*)(1)当时,方程(*)无解;(2)当时,∵,∴,解得。综合(1)、(2)知此函数的值域为二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例2:求函数的值域。错解:将函数式化为(1)当时,代入上式得,∴,故属于值域;(2)当时, ,综合(1)、(2)可得函数的值域为。错因:解中函数式化为方程时产生了增根(与虽不在定义域内,但是方程的根),因此最后应该去掉与时方程中相应的值。所以正确答案为,且。三、注意变形后函数值域的变化例3:求函数的值域。错解:由已知得 ①,两边平方得 ②整理得,由,解得。故函数得值域为。错因:从①式变形为②式是不可逆的,扩大了的取值范围。由函数得定义域为易知,因此函数得最小值不可能为。∵时,,∴,故函数的值域应为。四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性例4:求函数的值域。错解:令,则,∴,由及得值域为。错因:解法中忽视了新变元满足条件。∴设,,,。故函数得值域为。综上所述,在用判别式法求函数得值域时,由于变形过程中易出现不可逆得步骤,从而改变了函数得定义域或值域。因此,用判别式求函数值域时,变形过程必须等价,必须考虑原函数得定义域,判别式存在的前提,并注意检验区间端点是否符合要求。 练习:1 、;解:∵x0,,∴y11.另外,此题利用基本不等式解更简捷:(或利用对勾函数图像法)2 、0
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