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“将军饮马”模型详解与拓展.doc

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将军 饮马 模型 详解 拓展
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“将军饮马”模型详解与拓展平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有:① 线段公理:两点之间,线段最短. 并由此得到三角形三边关系;  ② 垂线段的性质:从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.  在一些“线段和最值”的问题中,通过翻折运动,把一些线段进行转化即可应用 ①、② 的基本图形,并求得最值,这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。问题提出:唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?模型提炼:模型【1】一定直线、异侧两定点直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小解答:根据“两点之间,线段距离最短”,所以联结AB交直线l于点P,点P即为所求点模型【2】一定直线、同侧两定点直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小解答:第一步:画点A关于直线l的对称点A'(根据“翻折运动”的相关性质,点A、A'到对称轴上任意点距离相等,如图所示,AP=A'P,即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题)第二步:联结A'B交直线l于点Q,根据“两点之间,线段距离最短”,此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短模型【3】一定直线、一定点一动点已知直线l和定点A,在直线k上找一点B(点A、B在直线l同侧),在直线l上找点P,使得AP+PB最小解答:第一步:画点A关于直线l的对称点A'第二步:过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P,根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”,可知A'P+PB最小即AP+PB最小模型【4】一定点、两定直线点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON上作点A,B,使△PAB的周长最小解答:策略:两次翻折第一步:分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2第二步:联结P1P2,交OM、ON于点A、点B(根据“翻折运动”的相关性质,AP=AP1,BP=BP2;根据“两点之间,线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短即△ABP周长最短)拓展如果两定点、两定直线呢?“如图,点P,Q为∠MON内的两点,分别在OM,ON上作点A,B。使四边形PAQB的周长最小”问题升级:问题:如图,△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上,试求作△DEF的最小值解答:将点D视为定点,先作出△DEF的最小值对应的线段D’D’’,而后研究D’D’’随着点D的位置变化过程中的最小值即可无论点D位置在何处,点C对线段D’D’’的张角不变,即∠ D’CD’’的大小不变,为2∠ACB. 因而,为使得D’D’’最小,只需要CD’ = CD’’ = CD最小即可,显然当CD⊥AB时,有垂线段最小,从而内接三角形△DEF的周长最小现在已经有CD⊥AB,接下来说明点E、点F也正好是△ABC的高线的垂足!如下图:D’、D、D’’三点在以C为圆心的圆上,弧D’D所对圆心角为∠D’CD,所对圆周角为∠D’D’’D,故有:(1/2)∠D’CD=∠D’D”D.由翻折又有:(1/2)∠D’CD=∠ECD,得∠D’D”D=∠ECD,故C、E、D、D’’四点共圆;另一方面:∠CDB+∠CD”B=180°,故C、D、B、D’’四点共圆,综上有:C、E、D、B、D’’ 五点共圆,从而∠CDB=∠CDB=90°从而得到一个重要结论:锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形周长最小
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