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2016年全国高考数学试题分类汇编.pdf

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2016 全国 高考 数学试题 分类 汇编
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集合 1 2016 年全国高考数学试卷 集合 分类汇编 1. (2016 全国 I 理 1 ) 设集合   2 4 3 0 A x x x     ∣ ,   2 3 0 B x x    ∣ ,则AB  ( ) A . 3 3 2     , B . 3 3 2     , C . 3 1 2    , D . 3 3 2    , D     2 4 3 0 1 3 A x x x x x          3 2 3 0 2 B x x x x         3 3 2 A B x x       2. (2016 全国 II 理 2 ) 已知集 合 { 1, 2 , 3} A  , { | ( 1)( 2) 0 } B x x x x     Z , ,则AB  A.   1 B.{ 1 2} , C.   0 1 2 3 , , , D.{ 1 0 1 2 3}  , , , , C       1 2 0 Z B x x x x          1 2 0 1 Z x x x       , , ∴   0 1 2 3 AB  3. (2016 四川 理1 ) 设集合 { | 2 2} A x x  ≤ ≤ ,Z 为整数集, 则 集合 中元素 的个 数是 ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 【解析 】C 由题可 知, ,则 中元素 的 个数为5 4. (2016 北京 理 1 ) 已知集 合   2 A x x  ,   1 0 1 2 3 B , , , , ,则AB  A .   01 , B .   0 1 2 , , C .   1 0 1  , , D .   1 0 1 2  , , , C { | 2 2} A x x     { | 1, 0 , 1, 2 ,3} Bx  { 1, 0 , 1 } AB  . 5. (2016 北京 文 1 ) 已知集 合 { 2 4}, { 3 5} A x x B x x x       或 ,则AB  ( ) A.{ 2 5} xx  B.{ 4 5} x x x  或 C.{ 2 3} xx  D.{ 2 5} x x x  或 C 6. (2016 江苏 1) 已知集 合   1,2,3,6 A ,   | 2 3 B x x     ,则AB  .   1,2    1,2 AB  A Z { 2, 1,0,1,2} A    Z A Z 2 集合 7. 2016 天津理 1 已知集 合   1 2 3 4 A  , , , ,   32 B y y x x A     , ,则AB  A .   1 B .   4 C .   13 , D .   14 , D   1 2 3 4 A  , , , ,   1 4 7 10 B  , , , ,∴   14 AB  , ,选 D . 8. 2016 浙江理 1 已知集 合   |1 3 P x x  R ≤ ≤ ,   2 |4 Q x x  R ≥ ,则   R PQ  ∪ ( ) A .   2,3 B .   2,3  C .   1,2 D .     , 2 1,      ∪ 【解析 】B 根据补 集的 运算 得.   2 4 ( 2,2) RQ x x     , ∴     ( ) ( 2,2) 1,3 2,3 R PQ     .故 选 B . 9. 2016 山东理 2 设集合   | 2 , x A y y x   R ,   2 | 1 0 B x x    ,则AB  ( ) A .   1,1  B .   0,1 C .   1,    D .   0,  【解析 】C { | 0} A y y  , { | 1 1 } B x x    = ,则 ( 1, ) AB     ,选 C . 10.(2016 全国 I 文 1) 设集合   1, 3, 5 , 7 A  ,   25 B x x  ≤ ≤ ,则AB  ( ) A .   1, 3 B .   3 , 5 C .   5 , 7 D .   1, 7 【解析 】B 集合A 与集合B 的公 共元 素 有 3,5,故 {3 5} AB  , . 11. (2016 全国 II 文) 已知集 合   1, 2 , 3 A  ,   2 |9 B x x  ,则AB  ( ) A .   2 , 1, 0 , 1, 2 , 3  B .   2 , 1, 0 , 1, 2  C .   1, 2 , 3 D .   1, 2 【解析 】D 由 2 9 x  得,33 x    ,所 以 { | 3 3} B x x     ,因为 { 1,2,3} A  , 所以 { 1,2} AB  . 12. (2016 天津 文 1 ) 己知集 合 3 {} 12 A  ,, ,   21 B y y x x A     , ,则AB  ( ) A .{ 1 } 3 , B .{ 1 } 2 , C .{2 } 3 , D .   1 2 3 ,, 【解析 】A = {1,3,5} {1,3} B A B  , ,选 A. 13. (2016 浙江 文 1 ) 已知全 集   1,2,3,4,5,6 U  ,集合     1,3,5 , 1,2,4 PQ  ,则   U PQ  ( ) A .   1 B .   3,5 C .   1,2,4,6 D .   1,2,3,4,5 【解析 】C 根据补 集的 运算 得 {2,4,6} U P  ,∴ ( ) {2,4,6} { 1,2,4} { 1,2,4,6} U PQ . 集合 3 14. (2016 四川 文 2 ) 设集合   |1 5 A x x  ≤ ≤ , Z 为整数 集, 则集 合A Z 中元 素的 个数 是( ) A . 6 B . 5 C . 4 D . 3 【解析 】B 由题意 , { 1,2,3,4,5} AZ  ,故其 中的 元素 个数为 5 ,选 B 15. (2016 山东 文 1 ) 设集合 { 1,2,3,4,5,6} U  , { 1,3,5} A  , {3,4,5} B  ,则   U AB  ( ) A .{2,6} B .{3,6} C .{ 1,3,4,5} D .{ 1,2,4,6} 【解析 】A 由已知 , { 1,3,5} {3,4,5}={1,3,4,5} AB  , 所以 ( )= {1,3,4,5}={2,6} UU AB ,选 A . 16. (2016 全国 III 文 1) 设集合   0 2 4 6 8 10 A  , , , , , ,   48 B  , ,则 A B  ( ) A .   48 , B .   0 2 6 ,, C .   0 2 6 10 , , , D .   0 2 4 6 8 10 , , , , , 【解析 】C 由补集 的概 念, 得 {0,2,6,10} A B  ,故 选 C. 17. (2016 全国 III 理 1) 设集合 { | ( 2)( 3) 0} S x x x    ≥ , { | 0} T x x  ,则ST  A .[2 , 3] B . ( , 2] [3, )     C .[3 , )  D . (0 , 2] [3, )  【解析 】D 由 ( 2)( 3) 0 xx  ≥ 解得 3 x ≥ 或 2 x ≤ ,所以 { | 2 S x x  ≤ 或 3} x ≥ , 所以 { | 0 2 S T x x  ≤ 或 3} x ≥ ,故 选 D. 4 简易逻 辑 2016 年全国高考数学试卷 简易逻辑 分类汇编 1. (2016 四 川理7 ) 设 p : 实数 , xy 满足 22 ( 1) ( 1) 2 xy    ≤ , q : 实 数 , xy 满足 1 1 1 yx yx y        ≥ ≥ ≤ 则 p 是 q 的( ) A . 必要 不充 分条 件 B . 充分 不必 要条 件 C . 充要 条件 D . 既不 充分 也不 必要 条 件 【解析 】A 如 图, ① 表 示圆 心为 , 半径为 的圆 内区 域所 有点 (包括 边界 ); ② 表示 内部区 域所 有点 ( 包括边 界). 实数 满足 ② 则必 然满 足 ① ,反之 不成 立. 则 是 的必要 不充 分条 件. 2. (2016 北京 理 4 ) 设 是向 量, 则 “ ” 是“ ” 的 A . 充分 而不 必要 条件 B . 必要 而不 充分 条件 C . 充分 必要 条件 D . 既不 充分 也不 必要 条 件 D , , . 3. (2016 上海理 15 、文 15 ) a R “ 1 a  ” “ 2 1 a  ” ( ) A. B. C. D. 【解析 】A 4.(2016 浙江理 4) 命题“ x  R , * n  N ,使得 2 nx ≥ ” 的否 定形 式是( ) A . x  R , * n  N ,使得 2 nx  B . x  R , * n  N ,使得 2 nx  C . x  R , * n  N ,使得 2 nx  D . x  R , * n  N ,使得 2 nx  【解析 】D  的否定 是  ,  的否 定是  , 2 nx ≥ 的否定是 2 nx  .故 选 D . 5.(2016 天津文 5) 设 0 x  ,yR  ,则“xy  ” 是“xy  ” 的( ) A . 充要 条件 B . 充分 而不 必要 条件     22 1 1 2 xy    ≤   1,1 2 1, 1, 1 yx yx y        ≥ ≥ ≤ ABC  , xy p q ab , ab  a b a b    = ab a b + ab ab  += a b a b  += a b a b  a b = ab (1,1) 1 y= 1 y=x  1 y= x  (0,1) A (1, 0) B (2,1) C y x O 简易逻 辑 5 C . 必要 而不 充分 条件 D . 既不 充分 也不 必要 条 件 【解析 】C 3 4 3 | 4 |    , ,所以 充分 性不 成立 ; || x y y x y    ≥ ,必要性 成立 ,故 选 C 6.(2016 浙江文 6) 已知函数   2 f x x bx  ,则“ 0 b  ” 是 “     f f x 的最小值与   fx 的最小值相等 ” 的( ) A . 充分 不必 要条 件 B . 必要 不充 分条 件 C . 充分 必要 条件 D . 既不 充分 也不 必要 条 件 【解析 】A 由题意 知 2 2 2 () 24 bb f x x bx x         ,最小 值为 2 4 b  . 令 2 t x bx  ,则 2 2 2 ( ( )) ( ) 24 bb f f x f t t bt t          , 2 4 b t  ≥ , 当 0 b  时, ( ( )) f f x 的 最 小 值 为 2 4 b - , 所 以 “ 0 b  ” 能 推 出 “ ( ( )) f f x 的 最 小 值 与 () fx 的最小 值相 等 ” ; 当 0 b  时, 4 ( ( )) f f x x  的最小值为 0 , () fx 的最小值也为 0 ,所以 “ ( ( )) f f x 的 最小值 与 () fx 的最小 值相 等 ” 不 能推出 “ 0 b  ”. 故选 A. 7. (2016 上海 理 18 、文 18 ) 设 ( ), ( ), ( ) f x g x h x 是 定 义 域 为 R 的三个函数,对于命题: ① 若 ( ) ( ) f x g x  , ( ) ( ) f x h x  , ( ) ( ) g x h x  均为增函数,则 ( ), ( ), ( ) f x g x h x 中至少有一个为增函数; ② 若 ( ) ( ) f x g x  , ( ) ( ) f x h x  , ( ) ( ) g x h x  均是以T 为 周 期 的 函 数 , 则 ( ), ( ), ( ) f x g x h x 均是以T 为周 期的 函数 ,下 列判断 正确 的是( ) A. ①和 ②均 为真 命题 B. ① 和② 均为 假命 题 C. ① 为真 命题 , ② 为假 命 题 D. ①为 假命 题, ②为 真命 题 【解析 】D 不成 立, 可举 反 例 2, 1 ) 1 ( 3, x x fx x x       ≤ , 0 3, 0 2 3, 1 2 , 1 () x gx x xx xx            ≤ ≥ , 0 ( 0 ) 2, , x h x xx x       ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x T g x T      ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x f x T h x T      ( ) ( ) ( ) ( ) g x h x g x T h x T      前两式 作差 ,可 得 ( ) ( ) ( ) ( ) g x h x g x T h x T      结合第 三式 ,可 得 ( ) ( ) g x g x T  , ( ) ( ) h x h x T  也有 ( ) ( ) f x f x T  正确 8. (2016 四川 文 5 ) 设 p : 实 数 , xy 满足 1 x  且 1 y  ,q : 实数 , xy 满足 2 xy ,则 p 是q 的( ) A . 充分 不必 要条 件 B . 必要 不充 分条 件 C . 充要 条件 D . 既不 充分 也不 必要 条 件 【 解析 】A 由题意 , 1 x  且 1 y  ,则 2 xy  , 而 当 2 xy  时不能得 出, 1 x  且 1 y  .故 p 是q 的充 分不 必要 条件 , 选 A . 6 简易逻 辑 9.(2016 山东理 6、文 6 ) 已知直 线a ,b 分别 在两 个不 同的平 面  ,  内. 则“ 直线a 和 直线b 相交 ” 是“平面  和平 面  相交 ”的( ) A . 充分 不必 要条 件 B . 必要 不充 分条 件 C . 充要 条件 D . 既不 充分 也不 必要 条 件 【解析 】A 直线a 与直线b 相交 , 则  ,  一 定相交 , 若  ,  相交 , 则a ,b 可能相 交, 也 可能平 行, 故 选 A . 函数 7 2016 年全国高考数学试卷 函数分类汇编 1. (2016 全国 II 理 12 、文 12 ) 已知函 数     R f x x  满足     2 f x f x    , 若函数 1 x y x   与   y f x  图像的交 点为   11 xy , ,   22 xy , ,⋯ ,   mm xy , ,则   1 m ii i xy    ( ) A.0 B.m C.2m D.4m B     2 f x f x    fx   01 , 11 1 x y xx       01 , ∴ '0 ii xx  '=2 ii yy  ∴   1 1 1 02 2 m m m i i i i i i i m x y x y m              B 2. (2016 四 川理5 、文7 ) 某公司 为激 励创 新, 计划 逐年加 大研 发资 金投 入, 若该公 司 2015 年全 年投 入 研发 资金 130 万 元, 在此 基础 上,每 年投 入的 研发 资金 比上一 年增 长 12% , 则该 公司 全年投 入的 研发 资金 开始 超过 200 万 元的 年份 是( ) (参考 数据 : lg1.12 0.05  , lg1.3 0.11  , lg2 0.30  ) A .2018 年 B .2019 年 C .2020 年 D .2021 年 【解析 】B 设 x 年后 该公 司全 年投 入的 研发资 金 为 200 万元 由 题可 知,   130 1 12% 200 x  , 解得 1.12 200 lg 2 lg1.3 log 3.80 130 lg1.12 x     , 因资金 需超 过200 万 ,则 x 取4 ,即2019 年 3. (2016 四川 理14 ) 已知函 数 () fx 是定义 在 R 上 的 周期 为 2 的 奇函 数, 当01 x  时, ( ) 4 x fx  , 则 5 (1) 2 ff       __________. 【解析 】 2  首先,   fx 是周 期 为 2 的 函数 ,所以     2 f x f x  ; 而   fx 是奇 函数 ,所 以     f x f x    , 所 以:     11 ff  ,     11 ff    ,即   10 f  又 5 1 1 2 2 2 f f f                        , 1 01 2  时, 1 2 1 ( ) 4 2 2 f  故 5 2 2 f       ,从 而   5 12 2 ff        8 函数 4. (2016 北京 理 5 ) 已知xy R , ,且 0 xy  ,则 A . 11 0 xy  B . sin sin 0 xy  C . 11 0 22 xy              D . ln ln 0 xy  C A . 1 y x    0,  11 xy  11 0 xy  A B . sin yx    0,  sin sin xy  B C . 1 2 x y       0,  11 22 xy              11 0 22 xy              C D ln yx  ln ln ln x y xy  0 xy  0 xy  ln 0 xy  D . 5. (2016 北京 文 4 ) 下列函 数中 ,在 区间   1,1  上为 减函数 的是 ( ) A. 1 1 y x   B. cos yx  C.   ln 1 x  D. 2 x y   D 2 x y   R . 6. (2016 北京 文 10 ) 函数     2 1 x f x x x   ≥ 的最大 值为_________. 2     1 1 1 12 1 1 1 xx f x x x x x         ≥ ∵ 1 1 x    2,  ∴   11 1 1 2 1 2 1 fx x      ≤     2 1 x f x x x   ≥ 2 . 7. (2016 江苏 5) 函数 2 32 y x x    的定义 域是 .   3,1  2 3 2 0 xx  ≥ 31 x  ≤ ≤   3,1  8. (2016 江苏 11 ) 设   fx 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间   1,1  上 函数 9   , 1 0, 2 , 0 1, 5 x a x fx xx           ≤ ≤ , 其 中 a R ,若 59 22 ff              ,则   5 fa 的值 是 . 2 5  5 1 1 2 2 2 f f a                   9 1 2 1 1 2 2 5 2 10 ff                 59 22 ff              11 2 10 a    3 5 a        32 5 3 1 1 1 55 f a f f a            9.(2016 江苏 17 ) 现需要 设计 一个 仓库 , 它由 上下两 部分 组成 , 上部 分的 形状是 正四 棱锥 1 1 1 1 P A B C D  , 下部分 的形 状是 正四 棱柱 1 1 1 1 ABCD A B C D  (如图 所示) , 并要 求正 四 棱柱的 高 1 OO 是正四 棱锥 的高 1 PO 的 4 倍. ⑴ 若 6m AB  , 1 2m PO  ,则仓 库的 容积 是 多少; ⑵ 若 正四 棱锥 的侧 棱长 为6m ,当 1 PO 为多少 时, 仓库 的容 积最大 ? ⑴ 1 2m PO  1 8m OO  1 1 1 1 23 1 11 6 2 24 m 33 P A B C D ABCD V S PO       = 1 1 1 1 23 1 6 8 288 m ABCD A B C D ABCD V S OO      = 1 1 1 1 1 1 1 1 3 312 m = P A B C D ABCD A B C D V V V   3 312 m ⑵ 1 m PO x  () Vx 1 4m OO x  2 11 36 m AO x  2 11 2 36 m A B x        1 1 1 1 2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 72 2 72 2 24 m 3 3 3 3 P A B C D ABCD V S PO x x x x x x           =   1 1 1 1 2 2 3 3 1 72 2 4 288 8 m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x x        =     1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 26 24 288 8 312 0 6 33 = P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x                22 ' 26 312 26 12 V x x x         06 x    0,2 3 x    '0 Vx    Vx   2 3,6 x    '0 Vx    Vx 10 函数 23 x    Vx 1 2 3 m PO  10. (2016 天津 理 8 ) 已 知 函 数 2 (4 3) 3 0 () log ( 1) 1 0 a x a x a x fx xx            , , ≥ ( 0 a  ,且 1 a  )在 R 上 单 调 递 减 , 且关于 x 的方 程 ( ) 2 f x x  恰有两 个不 相等的 实数 解, 则 a 的取值 范围是 A . 2 0 3     , B . 23 34    , C . 1 2 3 3 3 4           , ∪ D . 1 2 3 3 3 4            , ∪ C log ( 1) 1 a yx    [0, )  01 a  () fx R 2 0 (4 - 3) 0 3 (0) 1 13 34 34 0 2 a a f a a            ≥ ≤ ≤ ≥ [0,+ )  ( ) 2 f x x  ( ,0)  ( ) 2 f x x  32 a  2 3 a  2 (4 3) 3 2 x a x a x      2 (4 2) 4(3 2) 0 aa       3 4 a  1 32 a 1 ≤ ≤ . ∴ 1 2 3 3 3 4 a            , 11. (2016 天 津理 13) 已知   fx 是 定义在 R 上的 偶函数,且在 区间   0  , 上单调递 增,若实数 a 满足     1 22 a ff   ,则 a 的取值 范围 是 . 13 22 a    fx   0  ,   0  , 函数 11     1 22 a ff       22 ff  1 22 a   1 1 2 a  13 22 a  12. (2016 上海 理 5 、文 6 ) 已知点 (3,9) 在函 数 ( ) 1 x f x a  的图像 上, 则 () fx 的反 函数 1 () fx  ____________ 【解析 】 2 log ( 1) x  3 19 a  ,故 2 a  , ( ) 1 2 x fx ∴ 2 log ( 1) xy  ∴ 1 2 ( ) log ( 1) f x x   13. (2016 上海 理 18 ) 设 ( ), ( ), ( ) f x g x h x 是 定 义 域 为 R 的三个函数,对于命题: ① 若 ( ) ( ) f x g x  , ( ) ( ) f x h x  , ( ) ( ) g x h x  均为增函数,则 ( ), ( ), ( ) f x g x h x 中至少有一个为增函数; ② 若 ( ) ( ) f x g x  , ( ) ( ) f x h x  , ( ) ( ) g x h x  均是以T 为 周 期 的 函 数 , 则 ( ), ( ), ( ) f x g x h x 均是以T 为周 期的 函数 ,下 列判断 正确 的是( ) A. ①和 ②均 为真 命题 B. ① 和② 均为 假命 题 C. ① 为真 命题 , ② 为假 命 题 D. ①为 假命 题, ②为 真命 题 【解析 】D ① 不 成立 ,可 举反 例 2, 1 ) 1 ( 3, x x fx xx         , 0 3, 0 2 3, 21 () 1 , x xx xx x gx              , 0 ( 0 ) 2, , x h x xx x        ② ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x T g x T      ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x f x T h x T      ( ) ( ) ( ) ( ) g x h x g x T h x T      前两式 作差 ,可 得 ( ) ( ) ( ) ( ) g x h x g x T h x T      结合第 三式 ,可 得 ( ) ( ) g x g x T  , ( ) ( ) h x h x T  也有 ( ) ( ) f x f x T  ∴②正确 14. (2016 上海 理 20 、文 20 ) 有一块 正方 形菜 地 EFGH , EH 所在 直线是 一条 小河 , 收 货的 蔬 菜可送 到 F 点或河 边运走 。 于 是, 菜 地分 为 两个区 域 1 S 和 2 S , 其中 1 S 中的 蔬 菜运到 河边 较近, 2 S 中 的蔬菜 运到 F 点较 近, 而菜 地内 1 S 和 2 S 的分 界线 C 上的 点到 河边与 到 F 点的距 离 相 等 , 现建 立 平面 直 角坐标 系 , 其中 原 点 O 为 EF 的 中 点, 点 F 的坐标为 (1,0) , 如图 ⑴ 求 菜地 内的 分界 线 C 的方 程 ⑵ 菜 农从 蔬菜 运量 估计 出 1 S 面积是 2 S 面积 的两 倍, 由此 得到 1 S 面积的 “ 经 验值 ” 为 8 3 。设 M 是 C 上纵 坐标 为1 的点 , 请 计算 以 EH 为一边 , 另一 边过点 M 的矩 形的面 积, 及五 边形 EOMGH 的面 积, 并 判断 哪一 个更 接近 于 1 S 面积 的经 验值. 12 函数 【解析 】 ⑴ 设 分界 线上 任 一点为 ( , ) xy ,依 题意 22 1 ( 1) x x y     可得 2 (0 1) y x x  ≤ ≤ ⑵ 设 00 ( , ) M x y ,则 0 1 y  ∴ 2 0 0 1 44 y x ∴设所 表述 的矩 形面 积为 3 S ,则 3 15 ( 1) 4 2 2 S     设五边 形 EMOGH 面积为 4 S ,则 43 51 2 1 1 3 11 11 44 2 24 OMP MGQ S S S S            13 8 5 1 3 2 6 SS     , 41 11 8 1 1 4 3 12 6 SS      ∴五边 形 EOMGH 的面积 更接 近 1 S 的面积 15. (2016 浙江 理 12 ) 已知 1 ab  ,若 5 log log 2 ab ba  , ba ab  ,则 a  _______ , b  _______ . 【解析 】2 ,4 设 log , 1 b a t t  则 ,因 为 2 15 2 2 t t a b t       , 因此 2 22 2 2, 4. b a b b a b b b b b b a         16. (2016 浙江 理 18 ) 已知 3 a ≥ , 函数     2 min 2 1 , 2 4 2 F x x x ax a      , 其 中   ,, min , ,. p p q pq q p q      ≤ ⑴ 求 使得 等式   2 2 4 2 F x x ax a     成立 的 x 的取 值范围 ; ⑵(i)求   Fx 的最小 值   ma ; (ii )求   Fx 在区间   0,6 上的 最大 值   Ma . 【解析 】 ⑴ 由于 3 a ≥ ,故 当 1 x ≤ 时,       22 2 4 2 2 1 2 1 2 0 x ax a x x a x           , 当 1 x  时,       2 2 4 2 2 1 2 2 x ax a x x x a         . 所以, 使得 等式   2 2 4 2 F x x ax a     成立 的 x 的取值范 围为   2,2a . ⑵(i ) 设函 数   21 f x x  ,   2 2 4 2 g x x ax a     ,则     min 10 f x f  ,     2 min 42 g x g a a a      , 函数 13 所以, 由   Fx 的定义 知         min 1 , m a f g a  ,即   2 0, 3 2 2, 4 2, 2 2. a ma a a a             ≤ ≤ (ii )当02 x ≤ ≤ 时,             max 0 , 2 2 2 F x f x f f F    ≤ , 当26 x ≤ ≤ 时,                   max 2 , 6 max 2,34 8 max 2 , 6 F x g x g g a F F     ≤ . 所以,   34 8 , 3 4 2, 4 aa Ma a      ≤ ≥ 17. (2016 山东 理 9 、文 9 ) 已 知 函 数   fx 的 定 义 域 为 R .当 0 x  时,   3 1 f x x  ;当11 x  ≤ ≤ 时,     f x f x    ;当 1 2 x  时, 11 22 f x f x                .则   6 f  ( ) A . 2  B . 1  C . 0 D . 2 【解析 】D 当 1 2 x  时, 11 = 22 f x f x              , 所 以当 1 2 x  时 , 函 数 () fx 是周期 为1 的周期 函 数, 所以 (6)= (1) ff , 又函 数 () fx 是奇函 数 , 所 以 3 (1) ( 1) ( 1) 1 = 2 ff          故选 D . 18. (2016 山东 理 15 、文 15 ) 已知函 数   ,, 2 4 , , x x m fx x mx m x m           ≤ 其中 0 m  , 若存 在实 数 b , 使 得关 于 x 的方 程   f x b  有三 个不 同的 根, 则 m 的取值范 围是_________ .   3  ,   fx b   f x b  3 2 24 x mx m  x xm  2 43 m m m m     19.( 2016 全国 I 理 8 ) 若 1 0 1 a b c     , ,则 ( ) A . cc ab  B . cc ab ba  C . log log ba a c b c  D . log log ab cc  【解析 】C 对 A :由 于01 c  ,∴函数 c yx  在 R 上 单调递 增, 因此 1 cc a b a b     , m y x O 14 函数 A 错误 对 B :由 于 1 1 0 c     ,∴函数 1 c yx   在   1,  上 单调递 减, ∴ 11 1 c c c c a b a b ba ab        ,B 错误 对 C : 要比 较 log b ac 和 log a bc , 只需 比较 ln ln ac b 和 ln ln bc a , 只需 比较 ln ln c bb 和 ln ln c aa , 只需 ln bb 和 ln aa 构造函 数     ln 1 f x x x x  ,易知 ,   fx 在   1,  上单 调递增 ,因 此     11 0 ln ln 0 ln ln f a f b a a b b a a b b        又由01 c  得 ln 0 c  ,∴ ln ln log log ln ln ab cc b c a c a a b b    ,C 正确 对 D :要 比较 log a c 和 log b c ,只需 比 较 ln ln c a 和 ln ln c b 而函数 ln yx  在   1,  上单调 递增 ,故 11 1 ln ln 0 ln ln a b a b ab        又由01 c  得 ln 0 c  ,∴ ln ln log log ln ln ab cc cc ab    ,D 错误 20. (2016 全国 I 文 8 ) 若 0 ab  ,01 c  ,则( ) A . log log ab cc  B . log log cc ab  C . cc ab  D . ab cc  【解析 】B 对于选 项 A : lg log lg a c c a  , lg log lg b c c b  ,∵01 c  ,∴ lg 0 c  ,而 0 ab  , 所以 lg lg ab  , 但 不能 确定 lga 、 lg b 的正 负, 所以 它们 的大 小不 能 确定 ; 对 于选 项 B: lg log lg c a a c  , lg log lg b b c c  ,lg lg ab  , 两 边同 乘以 一 个负数 1 lg c 改变 不等 号 方向, 所以 选项 B 正确; 对于选 项 C : 利用 c yx  在第一 象限内 是增 函数 即可 得到 cc ab  ,所 以 C 错误; 对于 选 项 D : 利用 x yc  在 R 上为减 函数 易得 ab cc  ,所 以 D 错误. 21. (2016 全国 II 文 10) 下列函 数中, 其定 义域 和值 域分别 与函 数 lg 10 x y  的定义 域和 值域相 同的 是 ( ) A .yx  B . lg yx  C . 2 x y  D . 1 y x  【解析 】D 1g 10 x yx  ,定义 域与 值域 均为 (0, )  ,只 有 D 满 足. 22. (2016 天津 文 6 ) 已知   fx 是 定义在 R 上 的偶 函数, 且在 区间   0 , 上 单调递 增,若 实数 a 满足     1 22 a ff   ,则 a 的取值 范围 是( ) A . 1 2     , B . 13 22                 ,, 函数 15 C . 13 22    , D . 3 2     , 【解析 】 13 22 a  由题意 得 1 | 1| | 1| | 1| 2 1 1 3 ( 2 ) ( 2) 2 2 2 2 | 1| 2 2 2 a a a f f a a                   . 23. (2016 天津 文 14 ) 已 知 函 数       2 4 3 3 0 log 1 1 0 a x a x a x fx xx            , , ≥ ( 0 a  且 1 a  )在 R 上 单 调 递 减 , 且 关于 x 的方程   2 3 x fx 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解 , 则 a 的取值范围是 __________ . 【解析 】 12 , 33     由函数 () fx 在 R 上单调 递减 得 4 3 1 3 0,0 1,3 1 2 3 4 a a a a      ≥ ≥ ≤ ≤ ,又方程 | ( ) | 2 3 x fx 恰有两 个不 相等 的实 数解 , 所 以 1 2 1 3 2, 1 6 37 aa a     ≤ ≥ , 因 此 a 的取值 范围 是 12 , 33     . 24. (2016 浙江 文 5 ) 已知,0 ab  且 1, 1 ab  .若 log 1 a b  ,则 ( ) A .     1 1 0 ab    B .     10 a a b    C .     10 b b a    D .     10 b b a    【解析 】D log log 1 aa ba  , 当 1 a  时, 1 ba  ,∴ 10 a , 0 ba  ,∴ ( 1)( ) 0 a b a    ; 当01 a  时, ∴01 ba    , ∴ 10 a , 0 ba  , ∴ ( 1)( ) 0 a b a    . 故选 D . 25. (2016 浙江 文 7 ) 已知函 数 () fx 满足:   f x x ≥ 且   2, a f x x R ≥ .( ) A.若   f a b ≤ ,则ab ≤ B.若   2 b fa ≤ ,则ab ≤ C.若   f a b ≥ ,则ab ≥ D.若   2 b fa ≥ ,则ab ≥ 【解析 】B 由已知 可设 2 ( 0) () 2 ( 0) x x x fx x         ≥ ,则 2 ( 0) () 2 ( 0) a a a fa a         ≥ ,因 为 () fx 为偶函数 ,所 以 只考虑 0 a ≥ 的情 况即 可. 若 ( ) 2 b fa ≤ ,则22 ab ≤ ,所 以ab ≤ .故 选 B . 26. (2016 浙江 文 12 ) 设函数   32 31 f x x x    ,已知 0 a  ,且         2 f x f a x b x a     , x R , 则实数 a  ________ , b  ________ . 【解析 】 2  ,1 3 2 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) 3 1 3 1 3 3 f x f a x x a a x x a a            , 16 函数 2 3 2 2 2 ( )( ) (2 ) ( 2 ) x b x a x a b x a ab x a b         , 所以 2 2 3 2 23 20 3 ab a ab a b a a              ,解得 2 1 a b      . 27. (2016 四川 文 14 ) 若函数   fx 是 定 义 在 R 上的周期为 2 的 奇 函 数 . 当01 x  时,   4 x fx  ,则   5 2 2 ff       __________ . 【解析 】因 为函 数 () fx 是定义 在 R 上周 期为 2 的奇 函数 ,所 以 (2) (0) 0 ff  1 2 5 1 1 1 = 2 = = = 4 = 2 2 2 2 2 f f f f                                ,所以 5 + (2) 2 2 ff       . 28. (2016 全国 III 理 6、文 7) 已知 4 2 1 3 3 3 2 3 25 a b c    ,, ,则( ) A .bac  B .abc  C . b c a  D . c a b  【解析 】A 因为 42 33 24 a , 12 33 25 5 c , 又函 数 2 3 yx  在[0, )  上是 增函 数, 所以 2 2 2 3 3 3 3 4 5  , 即 b a c  ,故 选 A . 三角函数 17 2016 年全国高考数学试卷 三角函数分类汇编 1.( 2016 全国 I 理 12 ) 已知函 数     π sin 0 2 f x x           , ≤ , π 4 x  为   fx 的零点 , π 4 x  为   y f x  图像 的对 称轴 , 且   fx 在 π 5 π 18 36    , 单调, 则  的最 大值 为 ( ) A .11 B .9 C .7 D .5 B 1 2 π + π 4 π π + π+ 42 k k            21 k  k Z () fx π 5 π , 18 36    5 π π π , 12 36 18 12 2 T      ≤ π 11, 4     π ( ) sin 11 4 f x x     () fx π 3 π , 18 44    3 π 5 π , 44 36    () fx π 5 π , 18 36    π 9, 4   π ( ) sin 9 4 f x x     () fx π 5 π , 18 36    2.( 2016 全国 I 理 17 ) ABC △ 的内角 A B C 、 、 的对 边分 别为abc 、 、 . 已 知   2cos cos cos C a B b A c  . ⑴求 C ; ⑵若 7 c  , ABC △ 的面 积为 33 2 ,求 ABC △ 的周 长. ⑴   2cos cos cos C a B b A c    2cos sin cos sin cos sin C A B B A C       2cos sin sin C A B C    ∵ π A B C      0 π A B C  、 、 , ∴   sin sin 0 A B C    ∴ 2cos 1 C  1 cos 2 C  ∵   0 π C  , ∴ π 3 C  ⑵ 2 2 2 2 cos c a b ab C     22 1 72 2 a b ab       2 37 a b ab    18 三角函数 1 3 3 3 sin 2 4 2 S ab C ab     ∴ 6 ab  ∴   2 18 7 ab    5 ab  ∴ ABC △ 57 abc     3. (2016 全国 II 理 7 ) 若将函 数 y=2sin 2x 的 图像 向左平 移 π 12 个单位 长度 ,则 平移后 图象 的对 称轴 为 A.   π π 26 k xk   Z B.   π π 26 k xk   Z C.   π π 2 12 Z k xk    D.   π π 2 12 Z k xk    B π 2sin 2 12 yx     π π 2 π + 12 2 xk       π π 26 Z k xk    4. (2016 全国 II 理 9 ) 若 π 3 cos 45      ,则 sin 2  = A. 7 25 B. 1 5 C. 1 5  D. 7 25  D ∵ 3 cos 45       2 π π 7 sin 2 cos 2 2cos 1 2 4 25                       5. (2016 全国 II 理 13 ) ABC △ 的内 角 A ,B ,C 的 对边 分 别为 a ,b ,c,若 4 cos 5 A  , 5 cos 13 C  , 1 a  , 则 b  . 21 13 ∵ 4 cos 5 A  5 cos 13 C  3 sin 5 A  12 sin 13 C    63 sin sin sin cos cos sin 65 B A C A C A C      sin sin ba BA  21 13 b  三角函数 19 6. (2016 四川 理3 ) 为 了 得 到 函 数 π sin 2 3 yx     的 图 象 , 只 需 把 函 数 sin 2 yx  的 图 象 上 所 有 的 点 ( ) A . 向左 平行 移动 π 3 个单 位 长度 B . 向右 平行 移动 π 3 个单 位长 度 C . 向左 平行 移动 π 6 个单 位长 度 D . 向右 平行 移动 π 6 个单 位 长度 【解析 】D 由 题可 知, π π sin 2 sin 2 36 y x x                    ,则只 需把 sin 2 yx  的图 象向右 平移 π 6 个单 位 7. (2016 四 川理11 ) 22 π π cos sin = 88  __________ . 【解析 】 2 2 由 题可 知, 22 π π π 2 cos sin cos 8 8 4 2    (二 倍 角公式 ) 8. (2016 四川 理17 、文18 ) 在 ABC △ 中, 角 A ,B ,C 所 对的 边分别 是 a ,b ,c ,且 cos cos sin A B C a b c . ⑴证明 : sin sin sin A B C  ; ⑵若 2 2 2 6 5 b c a bc    ,求 tan B . 【解析 】 ⑴ 证明 :由 正弦 定理 sin sin sin a b c A B C  可知 原式可 以化 解为 cos cos sin 1 sin sin sin A B C A B C    ∵ A 和 B 为三角 形内 角 , ∴ sin sin 0 AB  则,两 边同 时乘 以 sin sin AB ,可得 sin cos sin cos sin sin B A A B A B  由和角 公式 可知 ,     sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C        原式得 证。 ⑵由题 2 2 2 6 5 b c a bc    , 根 据余 弦定 理可 知 , 2 2 2 3 cos 25 b c a A bc   ∵ A 为 为三 角形 内角 ,   0, π A  , sin 0 A  则 2 34 sin 1 55 A       ,即 cos 3 sin 4 A A  由⑴ 可知 cos cos sin 1 sin sin sin A B C A B C    ,∴ cos 1 1 sin tan 4 B BB  ∴ tan 4 B  9. (2016 北京 理 7 ) 将函数 π sin 2 3 yx     图象上的点 π 4 Pt    , 向左平移   0 ss  个单位长度得到点 P  .若 P  位于 函数 sin 2 yx  的图 象上 , 则 20 三角函数 A . 1 2 t  , s 的最小 值为 π 6 B . 3 2 t  , s 的最小 值为 π 6 C . 1 2 t  , s 的最小 值为 π 3 D . 3 2 t  , s 的最小 值为 π 3 A π , 4 Pt    π sin 2 3 yx     π π π 1 sin 2 sin 4 3 6 2 t                  π sin 2 3 yx     s π sin 2( ) sin2 3 y x s x        π + π, 6 s k k  Z s π 6 . 10. (2016 北京 理 15 ) 在 ABC △ 中, 2 2 2 2 a c b ac    . ⑴ 求 B ∠ 的大 小; ⑵ 求 2 cos cos AC  的最 大值 . 【解析 】 ⑴ ∵ 2 2 2 2 a c b ac    ∴ 2 2 2 2 a c b ac    ∴ 2 2 2 22 cos 2 2 2 a c b ac B ac ac     ∴ π 4 B  ⑵ ∵ π A B C    ∴ 3 π 4 AC  ∴ 2 cos cos AC  22 2 cos ( cos ) sin 22 A A A     22 cos sin 22 AA  π sin( ) 4 A  ∵ 3 π 4 AC  ∴ 3 (0, π) 4 A  ∴ π π (, π) 44 A ∴ π sin( ) 4 A  1 1 11. (2016 北京 文 13 ) 在 ABC  中, 2 π 3
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