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2016年考研数学一试题及解答.pdf

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2016 考研 数学 试题 解答
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2016 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试题及解答 本文档仅供学习交流之用.试题来源于网络,解答由孟庆鑫提供,个人观点仅供参考. 一、选择题: 1s8 小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中 , 只有一个 选项是符合题目要求的 . 1.若反常积分 +1 0 1 xa(1 + x)b d x收敛,则[ C ] (A) a 1: (B) a 1且b 1: (C) a 1: (D) a 1且a + b 1: 2.已知函数f(x) = 8 0);记p = P fX ⩽ + 2g;则[ B ] (A) p随着 的增加而增加. (B) p随着 的增加而增加. (C) p随着 的增加而减少. (D) p随着 的增加而减少. 8.设随机试验E有三种两两不相容的结果A1; A2; A3;且三种结果发生的概率均为 1 3;将试验E独立重复做两次, X表示两次试验中结果A1发生的次数, Y表示两次 试验中结果A2发生的次数,则X与Y的相关系数为[ A ] (A) 12: (B) 13: (C) 13: (D) 12: 二、填空题: 9s14 小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 . 9. lim x!0 x 0 tln (1 + tsin t) d t 1 cos x2 = 1 2 : 10.向量场A(x; y; z) = (x + y + z)i+ xyj + zk的旋度rot A = j + (y 1)k : 11.设函数f(u; v)可微, z = z(x; y)由方程(x + 1)z y2 = x2f(x z; y)确定,则 d zj(0;1) = d x + 2d y : 12.设函数f(x) = arctan x x1 + ax2;且f′′(0) = 1;则a = 12 : 13.行列式 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 3 2 + 1 = 4 + 3 + 2 2 + 3 + 4 : 14.设X1; X2; ; Xn为来自总体N( ; 2)的简单随机样本,样本均值X = 9:5;参数 的置信度为0:95的双侧置信区间的置信上限为10:8;则 的置信度为0:95的双侧 置信区间为(8:2; 10:8) : 三、解答题: 15s23 小题 , 共 94 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.(本题满分10分) 已知平面区域D = { (r; ) j 2 ⩽ r ⩽ 2(1 + cos ); 2 ⩽ ⩽ 2 } ; 计算二重积分 D xd xd y: 数学(一)试题及解答 第2页(共7页) 解换成极坐标计算, D xd xd y = 2 2 d 2(1+cos ) 2 rcos rd r = 16 2 0 ( cos 2 + cos 3 + 13 cos 4 ) d = 16 (1 2 2 + 2 3 + 1 3 3 4 1 2 2 ) = 323 + 5 : 16.(本题满分10分) 设函数y(x)满足方程y′′ + 2y′ + ky = 0;其中0 0) ) F(1) 0; F(2) Y: ( I )写出(X; Y )的概率密度; (II)问U与X是否相互独立?并说明理由; (III)求Z = U + X的分布函数F(z): ( I )解f(x; y) = 8 : 1 D d ; (x; y) 2 D; 0;其他; = 8 Y; X ⩽ bg = 32 b2 b3; P fU ⩽ ag = P fX Y g = 12; P fX ⩽ bg = 2b32 b3; P fU ⩽ a; X ⩽ bg ̸= P fU ⩽ ag P fX ⩽ bg;即U与X不独立. (III)解F(z) = P fU + X ⩽ zg = P fU + X ⩽ z; U = 0g+P fU + X ⩽ z; U = 1g = P fX ⩽ z; X Y g+ P f1 + X ⩽ z; X ⩽ Y g = 8 : 0; z : 0; z : 0; z : 0; t 0;( t 0 3x2 3 d )3 ; 0 ⩽ z ; 1; t ⩾ ) fT(t) = 8 : 9t8 9 ; 0 z ; 0;其他: (II)解EaT = R atfT(t)d t令= ) a = 109 : 数学(一)试题及解答 第7页(共7页)
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