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2016年上海高三数学各章节知识点总结(超级详细).pdf

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2016 上海 数学 各章 知识点 总结 超级 详细
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FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 第一章 集合和命题 1. 集合及其表示法 能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合,简称集; 集合中的各个对象叫做这个集合的元素;集合的元素具有确定性、互异性和无序性; 集合常用大写字母A B C、 、 …表示,集合中的元素用小写字母a b c、 、…表示;如果 a是集合A的元素,就记作a A ,读作“a属于A”;如果a不是集合A的元素,就记作 a A ,读作“a不属于A”; 数的集合简称数集;全体自然数组成的集合,即自然数集,记作Ν,不包括零的自然 数组成的集合,记作 *Ν ;全体整数组成的集合即整数集,记作Z;全体有理数组成的集合 即有理数集,记作Q;全体实数组成的集合即实数集,记作R;另外正整数集、负整数集、 正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为      Z Z Q Q R R、 、 、 、 、 ; 点的集合简称点集,即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合; 含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集; 规定空集不含元素,记作; 集合的表示方法常用列举法和描述法; 将集合中的元素一一列出来,并且写在大括号内,这种表示集合的方法叫做列举法; 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式,再划一条竖线,在竖线后面写上集合 中元素所共同具有的特性,即 { |A x x 满足性质 }p ,这种表示集合的方法叫做描述法; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 2. 集合之间的关系 对于两个集合A和B,如果集合A中任何一个元素都属于集合B,那么集合A叫做集 合B的子集,记作A B 或B A ,读作“A包含于B”或“B包含A”; 空集包含于任何一个集合,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;所以 若A B ,不要遗漏A的情况; 对于一个含有n个元素的集合P,它的子集个数为2n,真子集个数为2 1n  ,非空子 集个数为2 1n  ,非空真子集的个数为2 2n  ; 用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法,所用图叫做文氏图; 对于两个集合A和B,如果A B 且B A ,那么叫做集合A与集合B相等,记作 A B ,读作“集合A等于集合B”,因此,如果两个集合所含的元素完全相等,那么这两 个集合相等; 对于两个集合A和B,如果A B ,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B的真子集,记作A  B或B  A,读作“A真包含于B”或“B真包含A”; 对于数集N Z Q R、 、 、 来说,有N  Z  Q  R; 3. 集合的运算 一般地,由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集,记作 A B ,读作“A交B”,即 A B x x A  且 x B ; 由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B的并集,记作 A B ,读作“A并B”,即 A B x x A  或 x B ; 在研究集合与集合之间的关系时,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个确定的 集合叫做全集,常用符合U 表示;即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素; 设U 为全集,A是U 的子集,则由U 中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在 全集U 中的补集,记作 UC A,读作“A补”,即  ,UC A x x U x A   ; 德摩根定律: ( )U U UC A B C A C B  ; ( )U U UC A B C A C B  ; 容斥原理:用| |A 表示集合A的元素个数,则| | | | | | | |A B A B A B    ; | | | | | | | | | | | | | | | |A B C A B C A B B C C A A B C             ; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 4. 命题 可以判断真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述,正确的命题叫做真命题,错 误的命题叫做假命题; 如果命题成立可以推出命题 也成立,那么就说由可以推出 ,记作  , 读作“推出”,换言之,  表示以为条件、为结论的命题是真命题; 如果  ,并且  ,那么记作  ,叫做与等价; 推出关系满足传递性:  ,  ,那么  ; 一个数学命题用条件,结论 表示就是“如果,那么 ”,如果把结论和条件互 相交换,就得到一个新命题“如果,那么”,这个命题叫做原命题的逆命题; 一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定,我们把这样两个 命题叫做互否命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个命题就叫做原命题的否命题;如果 把、的否定分别记作、 ,那么命题“如果,那么”的否命题就是“如果, 那么 ”; 如果把原命题“如果,那么”结论的否定作条件,把条件的否定作结论,那么就 可得到一个新命题,我们把它叫做原命题的逆否命题,即“如果 ,那么”; 如果A、B是两个命题,A B ,B A ,那么A、B叫做等价命题; 原命题与逆否命题是等价命题; 不含逻辑联结词的命题叫做简单命题,由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合 命题;复合命题有三类:p或q,p且q,非p; p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 一些常用结论的否定形式: 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有 1n 个 小于 不小于 至多有n个 至少有 1n 个 p或q 非p且非q 对所有x成立 存在某个x不成立 p且q 非p或非q 对任何x不成立 存在某个x成立 5. 充要条件 一般地,用、分别表示两个命题,如果命题成立,可以推出也成立,即  , 那么叫做的充分条件,叫做的必要条件; 一般地,用、分别表示两个命题,如果既有  ,又有  ,即  , 那么既是的充分条件,又是的必要条件,这时我们就说,是的充分必要条件, 简称充要条件; 设具有性质p的对象组成集合A,具有性质q的对象组成集合B,则 ① 若A B ,则p是q的充分条件; ② 若A  B,则p是q的充分非必要条件; ③ 若A B ,则p是q的必要条件; ④ 若A  B,则p是q的必要非充分条件; ⑤ 若A B ,则 ,p q互为充要条件; 等价关系:“ p q ” “ A B ” “ A B A ” “ A B B ” “ U UC B C A ”“ UA C B  ”“ UC A B U ”(注意考虑A的情况); FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 第二章 不等式 1. 不等式的基本性质 性质1 如果 ,a b b c  ,那么a c ; 性质2 如果a b ,那么a c b c   ; 性质3 如果a b , 0c ,那么ac bc ;如果a b , 0c ,那么ac bc ; 性质4 如果 ,a b c d  ,那么a c b d   ; 性质5 如果 0, 0a b c d    ,那么ac bd ; 性质6 如果 0a b  ,那么 1 10 a b  ; 性质7 如果 0a b  ,那么 n na b ( *)nN ; 性质8 如果 0a b  ,那么n na b ( *, 1)n n N ; 2. 不等式的解法 (1)一元二次不等式 对于一个整式不等式,它只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次,这样的不 等式叫做一元二次不等式,它的一般形式是 2 0ax bx c   或 2 0ax bx c   ( 0a  ); 一般地,设一元二次不等式为 2 0ax bx c   或 2 0ax bx c   ( 0a  ),当对应的 一元二次方程 2 0ax bx c   的根的判别式 2 4 0b ac   时,先求出方程 FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 2 0ax bx c   的两个实数根 1 2,x x (不妨设 1 2x x ),于是不等式 2 0ax bx c   的解集 为 1{ |x x x 或 2}x x ,不等式 2 0ax bx c   的解集为 1 2{ | }x x x x  ; 不等式的解集经常用区间来表示,设 ,a b都为实数,并且a b ,我们规定: ① 集合{ | }x a x b  叫做闭区间,表示为[ , ]a b ; ② 集合{ | }x a x b  叫做开区间,表示为( , )a b ; ③ 集合{ | }x a x b  或{ | }x a x b  叫做半开半闭区间,分别表示为[ , )a b 或( , ]a b ; ④ 实数集R表示为( , )  ,集合{ | }x x a 、{ | }x x a 、{ | }x x b 和{ | }x x b 分别用区间[ )a 、( )a 、( , ]b 和( , )b 表示;a与b也叫做区间的端点,“” 读作“正无穷大”,“”读作“负无穷大”; 前面讨论的是判别式 0 的情形,当 0 时,抛物线 2y ax bx c   ( 0)a 与x轴 没有交点,整个图像都在x轴的上方,于是不等式 2 0ax bx c   的解集为实数集R,不 等式 2 0ax bx c   的解集为空集; 当 0 时,抛物线 2y ax bx c   ( 0)a 与x轴两个交点重合,即 1 2 2bx x a  , 除了这一个点外,抛物线的其余部分都在x轴的上方,于是不等式 2 0ax bx c   的解集 为( , ) ( , )2 2b ba a    ,不等式 2 0ax bx c   的解集为空集; (2)高次不等式 高次不等式常用“数轴标根法”来解,其步骤是: ① 等价变形后的不等式一边是零,一边是各因式的积;(未知数系数一定是正数) ② 把各因式的根标在数轴上; ③ 从右上角起,用曲线穿根(奇次根穿透,偶次根不穿透),看图像写出解集; 如图: 1 2 3( )( )( ) 0x x x x x x    (假设 1 2 3x x x  )的解为 1 2 3[ , ] [ , )x x x x  ; (3)分式不等式 型如 ( ) 0( )f xx  (或 0 )或 ( ) 0( )f xx  (或 0 )(其中 ( )f x 、 ( )x 为整式且 ( ) 0x  ) FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 的不等式称为分式不等式;解分式不等式的关键是转化为整式不等式; ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) f x f x x x      , ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) f x f x x x      ; ( ) 0 ( ) f x x  (或 0 ) ( ) ( ) 0f x x   (或 0 )且 ( ) 0x  ; (4)含绝对值不等式 | |x 表示实数x在数轴上所对应的点到原点的距离; 所以,不等式| |x a ( 0)a 的解集为( , )a a ,类似地,不等式| |x a ( 0)a 的解 集为( , ) ( , )a a   ; 解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值,一般有如下方法: ① 定义法;② 零点分段法;③ 平方法;④ 数形结合法; 绝对值不等式的性质:| | | | | | | | | |a b a b a b     (5)无理不等式 只含有一个未知数,并且未知数在根号中的不等式叫做无理不等式;解无理不等式, 关键是转化为有理不等式; ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0, ( ) ( )f x g x f x g x f x g x     ; 2( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0, ( ) [ ( )]f x g x f x g x f x g x     或 ( ) 0, ( ) 0f x g x  ; (6)指数对数不等式 解指数对数不等式的关键是化成相同的底数,然后同时去掉底数; ① 当 1a  时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   , log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0a af x g x f x g x    ; ② 当0 1a  时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   , log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )a af x g x f x g x    3. 基本不等式 基本不等式1 对任意实数a和b,有 2 2 2a b ab  ,当且仅当a b 时等号成立; 基本不等式2 对任意正数a和b,有 2a b ab  ,当且仅当a b 时等号成立; 推论1 若 , ,a b c R ,则 3 3 3 3a b c abc   ,当且仅当a b c  时等号成立; 推论2 若 , ,a b c R ,则 33a b c abc   ,当且仅当a b c  时等号成立; 推论3 1 2 1 2n n na a a a a an   … … , *, ,1in a i n   N R ; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 均值不等式 2 2 2 1 12 2 a b a b ab a b      , ,a b R ; 柯西不等式 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd    ; 注意:一正二定三相等;和定积最大,积定和最小; 4. 不等式的证明 (1)比较法 要证明a b ,只要证明 0a b  ,同样,要证明a b ,只要证明 0a b  ,这种证明 不等式的方法叫做比较法; 用比较法证明不等式的一般步骤是:先作出要求证的不等式两边的差,通过对这个差 的变形,确定其值是正的还是负的,从而证明不等式成立; (2)分析法 从要求证的结论出发,经过适当的变形,分析出使这个结论成立的条件,把证明结论 转化为判定这些条件是否成立的问题,如果能够判定这些条件都成立,那么就可以断定原 结论成立,这种证明方法叫做分析法; (3)综合法 从已知条件出发,利用各种已知的命题和运算性质作为依据,推导出要求证的结论,这 种方法叫做综合法; (4)放缩法 在证明过程中,根据不等式传递性,常采用舍去(或添加)一些项而使不等式的各项之 和变小(或变大),或把某些项换成较大(或较小)的数,或在分式中扩大(或缩小)分式 的分子(或分母),从而达到证明的目的,这种证明不等式的方法叫做放缩法; (5)换元法 根据证明需要进行一些等量代换,选择适当的辅助参数简化问题的一种方法; (6)判别式法 根据证明需要,通过构造一元二次方程,利用关于某一变量的二次三项式有实根时的判 别式的取值范围来证明不等式; (7)分解法 按照一定的法则,把一个数(或式)分解为几个数(或式),使复杂的问题转化为简单 易解的基本问题,然后各个击破,从而证明不等式的一种方法; (8)反证法 (9)数学归纳法 FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 第三章 函数的基本性质 1. 函数概念与运算 (1)函数概念 在某个变化过程中有两个变量 ,x y,如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的 值,按照某个对应法则 f ,y都有唯一确定的实数值与它对应,那么y就是x的函数,记 作 ( )y f x ,x D ,x叫做自变量,y叫做因变量,x的取值范围D叫做函数的定义域, 和x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域; 求函数定义域时,主要考虑以下因素: ① 分母不为零;② 偶次方根号内大于等于零;③ 真数大于零;④ 实际意义; 求定义域时,遵循“括号内范围一致”原则; 当我们要用数学方法解决实际问题时,首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的 形式表示出来,通常这个过程叫做建模; (2)函数的和与积 一般地,已知两个函数 1( )( )y f x x D  , 2( )( )y g x x D  ,设 1 2D D D  ,并且 D ,那么当x D 时, ( )y f x 与 ( )y g x 都有意义,于是把函数 ( ) ( )y f x g x  ( )x D 叫做函数 ( )y f x 与 ( )y g x 的和;类似于求两个函数的和,我们也可以求两个 函数的积,同样考虑两函数的公共定义域后,可以定义两个函数的积; 2. 函数的基本性质 (1)奇偶性 FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 一般地,如果对于函数 ( )y f x 的定义域D内的任意实数x,都有 ( ) ( )f x f x  , 那么就把函数 ( )y f x 叫做偶函数;如果函数 ( )y f x ( )x D 是偶函数,那么 ( )y f x 的图像关于y轴成轴对称图形,反过来,如果一个函数的图像关于y轴成轴对称图形,那 么这个函数必是偶函数; 如果对于函数 ( )y f x 的定义域D内的任意实数x,都有 ( ) ( )f x f x  ,那么就把 函数 ( )y f x 叫做奇函数;如果函数 ( )y f x ( )x D 是奇函数,那么 ( )y f x 的图像关 于原点成中心对称图形,反过来,如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形,那么这个 函数必是奇函数; 由上可知,函数定义域D关于原点对称是这个函数有奇偶性的必要非充分条件; 奇偶性分类:① 奇函数;② 偶函数;③ 既是奇函数又是偶函数;④ 非奇非偶函数; 奇偶性常用性质结论: ① 奇函数 ( )y f x 在 0x 处有意义 (0) 0f  ② 奇函数关于原点对称;偶函数关于y轴对称; ③ 对于多项式函数 1 2( ) n nf x ax bx cx dx e     … ; 若 ( )f x 是奇函数 ( )f x 偶次项的系数全为零; 若 ( )f x 是偶函数 ( )f x 奇次项的系数全为零; ④ ( )y f x a  为奇函数 ( ) ( )f x a f x a     ; ( )y f x a  为偶函数 ( ) ( )f x a f x a     ; ⑤ ( )y f x 为奇函数 ( ) ( )f x a f x a     ; ( )y f x 为偶函数 ( ) ( )f x a f x a     ; ⑥ 任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和; 即: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2f x f x f x f xf x      ; 复合函数奇偶性: ① 对于 ( ( ))f g x ,同奇则奇,有偶则偶; ② 奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇×奇=偶;奇÷奇=偶;偶×偶=偶;偶÷偶=偶; 奇×偶=奇;奇÷偶=奇; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 (2)单调性 一般地,对于给定区间I 上的函数 ( )y f x :如果对于属于这个区间I 的自变量的任 意两个值 1 2,x x ,当 1 2x x 时,都有 1 2( ) ( )f x f x ,那么就说函数 ( )y f x 在这个区间上 是单调增函数,简称增函数;如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值 1 2,x x ,当 1 2x x 时,都有 1 2( ) ( )f x f x ,那么就说函数 ( )y f x 在这个区间上是单调减函数,简 称减函数; 如果函数 ( )y f x 在某个区间I 上是增(减)函数,那么说函数 ( )y f x 在区间I 上 是单调函数,区间I 叫做函数 ( )y f x 的单调区间; 证明单调性步骤:① 在定义域上任取 1 2x x ;② 作差 1 2( ) ( )f x f x ;③ 变形判断; 单调性常用性质结论: ① 在对称的两个区间上,奇函数单调性相同,偶函数单调性相反; ② 互为反函数的两个函数有相同的单调性 复合函数单调性: ① 对于 ( ( ))f g x ,同增异减; ② 增+增=增;减+减=减;增-减=增;减-增=减; 注意:单调性是函数局部的性质,奇偶性是整体的性质; (3)最值 一般地,设函数 ( )y f x 在 0x 处的函数值是 0( )f x ,如果对于定义域内任意x,不等 式 0( ) ( )f x f x 都成立,那么 0( )f x 叫做函数 ( )y f x 的最小值,记作 min 0( )y f x ;如 果对于定义域内任意x,不等式 0( ) ( )f x f x 都成立,那么 0( )f x 叫做函数 ( )y f x 的最 大值,记作 max 0( )y f x ; 求函数最值的方法: ① 利用基本初等函数的值域:反比例函数、一次函数、二次函数、幂指对函数等; ② 配方法:主要用于二次函数求最值; ③ 换元法:无理函数,复合函数等,包括三角换元,注意新变量的取值范围; ④ 数形结合法:利用函数图像求最值,或根据几何意义(斜率、距离等); ⑤ 单调性法:结合函数单调性求最值; ⑥ 不等式法:利用常见的基本不等式,注意一正二定三相等; ⑦ 分离常数法:分式函数; ⑧ 判别式法:定义域为R,有二次项的分式方程, ⑨ 转化法:利用某些式子的有界性进行转化求最值;或转化成求反函数的定义域; ⑩ 其他法:包括向量法、构造法、平方法、导数法等; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 (4)零点 一般地,对于函数 ( )y f x ( )x D ,如果存在实数c ( )c D ,当x c 时, ( ) 0f c  , 那么就把x c 叫做函数 ( )y f x ( )x D 的零点; 实际上,函数 ( )y f x 的零点就是方程 ( ) 0f x  的解,也就是函数 ( )y f x 的图像 与x轴的交点的横坐标; 通过每次把 ( )y f x 的零点所在的小区间收缩一半的方法,使区间的两个端点逐步逼 近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法; 零点定理:若 ( ) ( ) 0f m f n  ,则方程 ( ) 0f x  在区间( , )m n 内至少有一个实根; (5)周期性 一般地,对于函数 ( )f x ,如果存在一个常数T ( 0)T  ,使得当x取定义域D内的任 意值时,都有 ( ) ( )f x T f x  成立,那么函数 ( )f x 叫做周期函数,常数T 叫做函数 ( )f x 的周期,对于一个周期函数 ( )f x 来说,如果在所有的周期中存在一个最小正数,那么这个 最小正数就叫做函数 ( )f x 的最小正周期; 周期性的判断: ① ( ) ( )f x a f x a   , 2T a ; ( ) ( )f x a f x b   ,T a b  ; ② ( ) ( )f x a f x  , 1( ) ( )f x a f x  , 1 ( )( ) 1 ( )f xf x a f x   , 2T a ; ③ 1( ) 1 ( )f x a f x   或 1( ) 1 ( )f x f x a   , 3T a ; ④ 1 ( )( ) 1 ( )f xf x a f x   , 1 ( )( ) 1 ( )f xf x a f x   , 4T a ; ⑤ ( ) ( ) ( ) ( )f x f x a f x f x a    , 2T a ; ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 )f x f x a f x a f x f x a f x a       , 3T a ; 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n f x f x a f x na f x f x a f x na           项 … … , ( 1)T n a  ; (6)对称性 ① 一个函数的对称性 对于函数 ( )y f x ,若 ( ) ( )f a x f a x   或 ( ) (2 )f x f a x  恒成立,则函数对称 轴是x a ;若 ( ) ( )f a x f b x   恒成立,则函数对称轴是 2a bx  ; 若 ( ) ( ) 0f a x f a x    或 ( ) (2 ) 0f x f a x   恒成立,则函数对称中心是( ,0)a ; 若 ( ) ( ) 2f a x f a x b    ,则函数的对称中心是( , )a b ; 注意:括号内相减得常数,一般有周期性;括号内相加得常数,一般有对称性; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 ② 两个函数的对称性 函数 ( )y f x 与函数 (2 )y f a x  的图像关于直线x a 对称; 函数 ( )y f x a  与函数 ( )y f b x  的图像关于直线 2b ax  对称; 函数 ( )y f x 与函数2 (2 )b y f a x   的图像关于点( , )a b 对称; 3. 函数的图像变换 (1)平移变换 ① 左加右减 ( ) ( )ay f x y f x a   左移 个单位 ; ( ) ( )ay f x y f x a   右移 个单位 ; ② 上加下减 ( ) ( )by f x y f x b   上移 个单位 ; ( ) ( )by f x y f x b   下移 个单位 ; (2)伸缩变换 ① 1 ( ) ( )y f x y f x   纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍 ( 0)  ; ② ( ) ( )Ay f x y Af x  横坐标不变,纵坐标变为原来的 倍 ( 0)A ; (3)翻折变换 ① ( ) | ( )|y f x y f x   ; 函数 ( )y f x 图像在x轴上方的部分保持不变,将函数 ( )y f x 图像在x轴下方的部 分对称翻折到x轴上方; ② ( ) (| |)y f x y f x   ; 保留 ( )y f x 图像在y轴右边的部分,并将y轴右边的部分沿y轴对称翻折到y轴左 边,替代原有的y轴左边图像; (4)对称变换 函数 ( )y f x 与函数 ( )y f x  的图像关于y轴对称; 函数 ( )y f x 与函数 ( )y f x 的图像关于x轴对称; 函数 ( )y f x 与函数 ( )y f x  的图像关于原点对称; 函数 ( )y f x 与函数 (2 )y f a x  的图像关于直线x a 对称; 函数 ( )y f x a  与函数 ( )y f b x  的图像关于直线 2b ax  对称; 函数 ( )y f x 与函数2 (2 )b y f a x   的图像关于点( , )a b 对称; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 第四章 幂函数、指数函数和对数函数 1. 幂函数 一般地,函数 ky x (k为常数,kQ)叫做幂函数; 幂函数 ky x (kQ)的性质: ① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限,且不经过第四象限;如果与坐标轴相 交,则交点一定是原点; ② 所有幂函数在(0, ) 上都有定义,并且图像都经过点(1,1); ③ 若 0k  ,幂函数图像都经过点(0,0)和(1,1),在第一象限内递增;若 0k  ,幂函 数图像只经过点(1,1),在第一象限内递减; 注意:画幂函数图像时,先画第一象限的部分,再根据奇偶性完成整个图像; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 2. 指数函数 一般地,函数 xy a ( 0a 且 1)a 叫做指数函数,自变量x叫做指数,a叫做底数, 函数的定义域是R; 指数运算法则: x y x ya a a   ( 0, , )a x y R ; ( )x y xya a ( 0, , )a x y R ; ( )x x xa b a b   ( , 0, )a b x R ; 一般地,指数函数 xy a 在底数 1a  及0 1a  这两种情况下的图像如图所示: 指数函数有下列性质: 性质1 指数函数 xy a 的函数值恒大于零,定义域为R,值域(0, ) ; 性质2 指数函数 xy a 的图像经过点(0,1); 性质3 函数 xy a ( 1)a 在R上递增,函数 xy a (0 1)a  在R上递减; 3. 对数及其运算 一般地,如果a ( 0, 1)a a  的b次幂等于N ,即 ba N ,那么b叫做以a为底N 的 对数,记作loga N b ,其中a叫做对数的底数,N 叫做真数; 根据对数定义,可知:①零和负数没有对数,真数大于零;②1的对数为0,即log 1 0a  ; ③底的对数等于1,即log 1a a  ;④对数恒等式: loga Na N 成立; 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,常用对数 10log N简记作lgN ;以无理数 2.71828.e 为底的对数叫做自然对数,自然对数loge N简记作lnN ; 对数运算性质:如果 0, 1, 0, 0a a M N    ,那么: log log log ( )a a aM N MN  ;log log loga a a MM N N  ;log logna aM n M ; 对数换底公式: loglog logab a NN b (其中 0, 1, 0, 1, 0a a b b N     ); 常用恒等式:① loga Na N ;② log Na a N ;③ log log 1a bb a  ; ④ log log log loga b c ab c d d   ;⑤ log logm n aa nb bm ; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 4. 反函数 一般地,对于函数 ( )y f x ,设它的定义域为D,值域为A,如果对A中任意一个值 y,在D中总有唯一确定的x值与它对应,且满足 ( )y f x ,这样得到的x关于y的函数 叫做 ( )y f x 的反函数,记作 1( )x f y ,在习惯上,自变量常用x表示,而函数用y表 示,所以把它改写为 1( )y f x ( )x A ; 反函数的判定: ① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数;定义域上的单调函数必有反函数; ② 周期函数不存在反函数;定义域为非单元素的偶函数不存在反函数; 反函数的性质: ① 原函数 ( )y f x 和反函数 1( )y f x 的图像关于直线y x 对称;若点( , )a b 在原 函数 ( )y f x 上,则点( , )b a 必在其反函数 1( )y f x 上; ② 函数 ( )y f x 与 1( )y f x 互为反函数;原函数 ( )y f x 的定义域是它反函数 1( )y f x 的值域;原函数 ( )y f x 的值域是它反函数 1( )y f x 的定义域; ③ 原函数与反函数具有对应相同的单调性;奇函数的反函数也是奇函数; 求反函数步骤: ① 用y表示x,即求出 1( )x f y ; ② ,x y互换,即写出 1( )y f x ; ③ 确定反函数定义域; 注意事项:若函数 ( )y f ax b  存在反函数,则其反函数为 11[ ( ) ]y f x ba   ,而不 是 1( )y f ax b  ,函数 1( )y f ax b  是 1[ ( ) ]y f x ba  的反函数; 5. 对数函数 一般地,对数函数 logay x ( 0a 且 1)a 就是指数函数 xy a ( 0a 且 1)a 的反 函数;因为 xy a 的值域是(0, ) ,所以,函数 logay x 的定义域是(0, ) ; 对数函数 logay x ( 0a 且 1)a 在 1a  及0 1a  两种情形下的图像如图所示: FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 对数函数 logay x ( 0a 且 1)a 的性质: 性质1 对数函数 logay x 的图像都在y轴的右方,定义域(0, ) ,值域为R; 性质2 对数函数 logay x 的图像都经过点(1,0); 性质3 对数函数 logay x ( 1)a ,当 1x 时, 0y  ;当0 1x  时, 0y  ; 对数函数 logay x (0 1)a  ,当 1x 时, 0y  ;当0 1x  时, 0y  ; 性质4 对数函数 logay x ( 1)a 在(0, ) 上是增函数, logay x (0 1)a  在(0, ) 上是减函数; 6. 指数对数方程 我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程;在解指数方程时,常利用指数函数的性 质:a a      ,其中 0a  且 1a  ,将指数方程化为整式方程求解; 在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程;解对数方程时,必须对求得的解进行 检验,因为在利用对数的性质将对数方程变形过程中,如果未知数的允许值范围扩大,那么 可能产生增解; 解指数对数方程的基本思路是通过“化成相同底数”“换元”等方法转化成整式方程; 7. 抽象函数 抽象函数的解法: ① 赋值法;如赋值 0x 、 1x 、y x 、 0x y  等; ② 结构变换法;如 1 1 2 2( ) [( ) ]f x f x x x   、 11 2 2 ( ) ( )xf x f xx  等; 抽象函数特征 可能对应函数 ( ) ( ) ( )f x y f x f y   或 ( ) ( )f xy x f y  , (1)f c 正比例函数 ( )f x cx ( 0)c ( ) ( ) ( )f x y f x f y   或 ( ) [ ( )]yf xy f x , (0) 1f  指数函数 xy a ( 0a 且 1)a ( ) ( ) ( )f xy f x f y  或 ( ) ( )yf x y f x  , (1) 0f  对数函数 logay x ( 0a 且 1)a ( ) ( ) ( )f xy f x f y  , (1) 1f  幂函数 ( ) kf x x FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 第五章 三角比 1. 角的概念与度量 一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角,其度量值是正的;按顺时针方向 旋转所形成的角为负角,其度量值是负的;特别地,当一条射线没有旋转时,我们也认为形 成了一个角,这个角叫做零角; 在平面直角坐标系中,把角的顶点置于坐标原点,角的始边与x轴的正半轴重合,此 时角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角,或者说这个角属于第几象限;当角 的终边在坐标轴上时,就认为这个角不属于任何象限;我们把所有与角有重合终边的角 (包括角本身)的集合表示为{ | 360 , }k k     Z ; 在平面几何里,我们把周角分成 360 等份,每一份叫做 1 度的角,这种用“度”作为 单位来度量角的单位制叫做角度制; 我们也可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧或圆弧所对的圆心角的大小; 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad 表示,读作弧度;用“弧 度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制; 如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l,那么比值lr 就是角的弧度数的绝 对值,即 lr  ,这里的正负由它的终边的旋转方向决定;零角的弧度数为零; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 弧度制与角度制的换算关系:1弧度 180  ;1 180 弧度;在弧度制下,角的集合 与实数集R 之间建立起一一对应的关系;例如,与角 终边相同的角可以表示为 { | 2 ,k     }kZ ,与角终边共线的角可以表示为{ | , }k k     Z ; 弧长公式: | |l r ; 扇形面积公式: 21 1| |2 2S r lr 扇形 ; 附表:由的象限判断2 、3、 2 、 3 的象限:  一 二 三 四 2 一、二 三、四 一、二 三、四 3 一、二、三 一、二、四 一、三、四 二、三、四 2  一、三 一、三 二、四 二、四 3  一、二、三 一、二、四 一、三、四 二、三、四 2. 任意角的三角比 在任意角的终边上任取一点P,设P的坐标为( , )x y ,OP r ,则 2 2r x y  ( 0)r  ,我们规定:sin yr  ;cos xr  ;tan yx  ;cot , ( )x k ky    Z ; sec , ( )2r k kx      Z ;csc , ( )r k ky    Z ; 根据三角比的定义,各三角比的正负值如下所示: sin (csc ) cos (sec ) tan (cot ) 在平面直角坐标系中,称以原点O为圆心,以1为半径的圆为单位圆,把点 ( , )P x y 看 作角的终边与单位圆的交点,如图,过点P作x轴的垂线,垂足为M ,过点 (1,0)A 作单 位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与角的终边或其反向延长线相交于点T ; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 于是,cos x OM   ,sin y PM   ,tan y ATx   ;所以点P坐标总可以 表示成(cos ,sin )  ;我们把PM 、OM 、AT这三条线段分别叫做角的正弦线、余弦 线、正切线,这些线段通称为三角函数线; 由三角函数线得出的常用三角不等式: ① 0 |sin | 1x  ,0 |cos | 1x  ,1 |sin | |cos | 2x x   ; ② 若 (0, )2x  ,则sin tanx x x  ; 附表:特殊角的三角比  0 6 4 3 2  32 sin 0 12 22 32 1 0 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 tan 0 33 1 3 不存在 0 不存在 3. 同角三角比关系与诱导公式 (1)同角三角比关系 倒数关系:sin csc 1   ,cos sec 1   ,tan cot 1   ; 商数关系: sintan (cos 0)cos   , coscot (sin 0)sin   ; 平方关系: 2 2sin cos 1   , 2 21 tan sec   , 2 21 cot csc   ; 利用同角三角比的关系,可以实现“弦”、“切”、“割”之间的互化: ① 切割化弦,“切”通过商数关系化为“弦”,“割”通过倒数关系化为“弦”; ② 弦化切,一般和“齐次式”有关,通过分式上下同时除以cos或 2cos 得到“切”; ③ 1的代换,通过平方关系,将1代换成所需的三角比; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 (2)诱导公式:奇变偶不变,符号看象限; 第一组:sin(2 ) sink    ;cos(2 ) cosk    ;tan(2 ) tank    ; 第二组:sin( ) sin   ;cos( ) cos   ;tan( ) tan   ; 第三组:sin( ) sin    ;cos( ) cos    ;tan( ) tan    ; 第四组:sin( ) sin    ;cos( ) cos    ;tan( ) tan    ; 第五组:sin( ) cos2    ;cos( ) sin2    ;tan( ) cot2    ; 第六组:sin( ) cos2    ;cos( ) sin2    ;tan( ) cot2    ; 4. 三角恒等变换 (1)和与差公式 cos( ) cos cos sin sin        ;cos( ) cos cos sin sin        ; sin( ) sin cos cos sin        ;sin( ) sin cos cos sin        ; tan tantan( ) 1 tan tan         ; tan tantan( ) 1 tan tan         ; (2)辅助角公式: 2 2sin cos sin( )a b a b       ,通常取0 2   , 由 2 2 cos a a b    , 2 2 sin b a b    (或tan ba  )确定; 常见类型:sin cos 2sin( )4     ; 3sin cos 2sin( )6     ; sin 3cos 2sin( )3     ; (3)倍角公式 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin          ; sin2 2sin cos   ; 22tantan2 1 tan   ; (4)半角公式 1 cossin 2 2   ; 1 coscos 2 2   ; 1 cos sin 1 costan 2 1 cos 1 cos sin              ; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 (5)其他公式及恒等变换 ① 万能公式: 22tansin2 1 tan   ; 2 2 1 tancos2 1 tan     ; 2 2tantan2 1 tan    ; ② 三倍角公式: 3sin3 3sin 4sin    ; 3cos3 3cos 4cos    ; 3 2 3tan tantan3 1 3tan      ; ③ 积化和差公式: 1sin cos [sin( ) sin( )]2A B A B A B    ; 1cos sin [sin( ) sin( )] 2A B A B A B    ; 1cos cos [cos( ) cos( )] 2A B A B A B    ; 1sin sin [cos( ) cos( )] 2A B A B A B    ; 和差化积公式:sin sin 2sin cos2 2A B A BA B    ; sin sin 2cos sin2 2A B A BA B    ; cos cos 2cos cos2 2A B A BA B    ; cos cos 2sin sin2 2A B A BA B    ; ④ 特殊三角等式: 2 2sin( )sin( ) sin sin         ; 2 2 2 2cos( )cos( ) cos sin cos sin             ; cot tan 2cot2    ; ⑤ 常见公式变形: 1 cos 2cos 2  ; 1 cos 2sin 2  ; 21 sin2 (sin cos )     ;1 tan tan( ) 1 tan 4         ; tan tan tan( )(1 tan tan )         ; ⑥ 常见角的变换: ( )      ; 2 2   ; ( ) ( )2 4 4       ; 2 ( ) ( )        ;2 ( ) ( )        ; ( ) ( )2 2 2         ; ( ) ( )2 2 2         ; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 5. 解三角形 (1)三角形面积公式(其中R是三角形外接圆半径,r是内切圆半径, 2a b cp   ) 1 1 1sin sin sin 2 2 2ABCS bc A ac B ab C    ; 22 sin sin sin 4ABC abcS R A B C R   ; ( )( )( )ABCS pr p p a p b p c      ; (2)正弦定理: 2sin sin sina b c RA B B   ,其中R是三角形外接圆半径; (3)余弦定理: 2 2 2 2 cosa b c bc A   ,即 2 2 2 cos 2b c aA bc  ; 2 2 2 2 cosb a c ac B   ,即 2 2 2 cos 2a c bB ac  ; 2 2 2 2 cosc a b ab C   ,即 2 2 2 cos 2a b cC ab  ; (4)三角形中常见结论 ① sin sina b A B A B     ; ② sin2 sin2A B A B   或 90A B  ;cos2 cos2A B A B   ; ③ , ,A B C成等差数列 60B  ; ④ , ,A B C成等差数列, , ,a b c成等比数列△ABC为等边三角形; (5)三角形中的恒等式 ① sin( ) sinA B C  ,cos( ) cosA B C  ,tan( ) tanA B C  ; sin cos2 2A B C  ,cos sin2 2A B C  ,tan cot2 2A B C  ; ② sin sin sin 4cos cos cos2 2 2A B CA B C   ; cos cos cos 1 4sin sin sin2 2 2A B CA B C    ; ③ sin2 sin2 sin2 4sin sin sinA B C A B C   ; cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C    ; ④ 2 2 2sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C    ; 2 2 2cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C    ; ⑤ tan tan tan tan tan tanA B C A B C     ; tan tan tan tan tan tan 12 2 2 2 2 2A B B C C A   ; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 第六章 三角函数 1. 正弦函数图像 对任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应,按照这个对应法则所建立的函 数,表示为 siny x ,它叫做正弦函数,它的定义域是实数集R; (1)值域和最值:正弦函数 sin ,y x x R的值域是[ 1,1] , max 1y  ,此时x的集 合是{ | 2 , }2x x k k  Z , min 1y  ,此时x的集合是 3{ | 2 , }2x x k k  Z ; (2)周期性:正弦函数 siny x 是周期函数,2 ( , 0)k k k  Z 是它的周期,2 是 siny x 的最小正周期; sin( )y A x   的周期是 2| |T  ; (3)奇偶性: siny x 是奇函数; (4)单调性: siny x 在闭区间[2 ,2 ]( )2 2k k k    Z 上都是增函数;在闭区 间 3[2 ,2 ]( )2 2k k k    Z 上都是减函数; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 (5)对称性:正弦函数 siny x 既是轴对称图形,又是中心对称图形,对称轴是 2x k   ( )kZ ,对称中心( ,0)k ( )kZ ; 2. 余弦函数图像 对任意一个实数x都有唯一确定的值cosx与它对应,按照这个对应法则所建立的函 数,表示为 cosy x ,它叫做余弦函数,它的定义域是实数集R; (1)值域和最值:余弦函数 cos ,y x x R的值域是[ 1,1] , max 1y  ,此时x的集 合是{ | 2 , }x x k k Z , min 1y  ,此时x的集合是{ | 2 , }x x k k   Z ; (2)周期性:余弦函数 cosy x 是周期函数,2 ( , 0)k k k  Z 是它的周期,2 是 它的最小正周期; cos( )y A x   的周期是 2| |T  ; (3)奇偶性: cosy x 是偶函数; (4)单调性:余弦函数 cosy x 在闭区间[2 ,2 ]( )k k k   Z 上是增函数;在闭 区间[2 ,2 ]( )k k k   Z 上是减函数; (5)对称性:余弦函数 cosy x 既是轴对称图形,又是中心对称图形,对称轴是 x k ( )kZ ;对称中心( ,0)2k   ( )kZ ; 3. 正切函数图像 对任意一个实数x ( , )2x k k  Z 都有唯一确定的值tanx与它对应,按照这个对 应法则所建立的函数,表示为 tany x ,叫做正切函数; (1)值域和最值:由 tany x 的定义可以得到它的值域是实数集R,无最值; (2)周期性:由tan( ) tanx x  可知正切函数是周期函数, 是它的最小正周期; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 (3)奇偶性:由tan( ) tanx x  ( , )2x k k  Z 可知正切函数是奇函数; (4)单调性:正切函数 tany x 在区间( , )2 2k k    ( )kZ 内都是增函数; (5)对称性:正切函数 tany x 是中心对称图形,对称中心是( ,0)2k ( )kZ ; 4. 函数 sin( )y A x   的图像与性质 函数 sin( )y A x   ( 0, 0)A   中的常数 , ,A  对其图像有如下影响: 正数A决定了函数 sin( )y A x   的值域为[ , ]A A ,A叫做该正弦曲线的振幅; 如图, siny x 与 2siny x 的图像对比,横坐标不变,纵坐标变成原来的2倍; 正数决定了函数 sin( )y A x   的周期, 2T  ,在单位时间里曲线振动的次数 1 2f T    叫做该正弦曲线的频率; | sin( )|y A x   的周期为   ; 如图, siny x 与 sin2y x 的图像对比,纵坐标不变,横坐标变成原来的12; 决定了 sin( )y A x   在 0x 时所对应的角,也决定了该正弦曲线的左右位置, 我们把叫做初相; 如图, siny x 与 sin( )3y x   的图像对比,图像整体往左平移3 个单位; 三角函数的图像变换: 1 sin sin( ) sin( )y x y x y x         横坐标变成原来的水平方向平移 个单位 左加右减 sin( )A y A x   纵坐标变成原来的 倍 sin( )B y A x B    垂直方向平移 个单位 上加下减 ; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 5. 反三角函数 函数 sin , [ , ]2 2y x x     的反函数叫做反正弦函数,记作 arcsin , [ 1,1]y x x   ; 函数 cos , [0, ]y x x   的反函数叫做反余弦函数,记作 arccos , [ 1,1]y x x   ;函数 tan , ( , )2 2y x x     的反函数叫做反正切函数,记作 arctan , ( , )y x x    ; arcsiny x arccosy x arctany x (1)值域: arcsin [ , ]2 2y x     ; arccos [0, ]y x   ; arctan ( , )2 2y x     ; (2)奇偶性: arcsiny x 与 arctany x 为奇函数; arccosy x 为非奇非偶函数; (3)单调性: arcsiny x 与 arctany x 为增函数; arccosy x 为减函数; (4)对称性: arcsiny x 与 arctany x 关于原点成中心对称, arccosy x 关于点 (0, )2 成中心对称; 由反三角函数的定义有以下恒等式: sin(arcsin )x x ( 1 1)x   ;arcsin(sin )x x ( )2 2x    ; cos(arccos )x x ( 1 1)x   ;arccos(cos )x x (0 )x   ; tan(arctan )x x ( )xR ;arctan(tan )x x ( )2 2x    ; arcsin arccos 2x x   ( 1 1)x   ;arctan arccot 2x x   ( )xR ; 6. 最简三角方程 含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程;满足三角方程的所有x的集合叫做三角方 程的解集;在三角方程中,形如sin ,cos ,tanx a x a x a   的方程叫做最简三角方程; 最简三角方程的解集: (1)sin ,| | 1x a a  的解集为{ | ( 1) arcsin , }kx x k a k    Z ; (2)cos ,| | 1x a a  的解集为{ | 2 arccos , }x x k a k  Z ; (3)tanx a 的解集为{ | arctan , }x x k a k  Z ; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 第七章 数列与数学归纳法 1. 数列概念 按一定顺序排列起来的一列数叫做数列;数列中的每一个数叫做这个数列的项;数列的 一般形式可以写成 1 2 3, , ,., ,.na a a a ,其中 na 是数列的第n项,n是 na 的序数,上面的数 列可以简单记作{ }na ; 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列;从第2项起,每一项都 大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递 减数列;各项相等的数列叫做常数列; 若存在正常数M ,使得数列每一项的绝对值都不大于M ,这样的数列叫做有界数列, 否则叫做无界数列; 如果数列{ }na 的第n项 na 与项的序数n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个 公式就叫做这个数列的通项公式; 如果已知数列{ }na 的任一项 na 与它的前一项 1na  (或前几项)之间的关系可用一个公 式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式; 一般地,我们称 1 2 3 na a a a   … 为数列{ }na 的前n项和,用 nS 表示;根据数列前 n项和的定义 1n n na S S   ( 2)n ; FunshineMaths 峰行数学 整理人 谭峰 2. 等差数列 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这 个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用小写字母d表示; 等差中项:如果 2a bA  ,那么A叫做a与b的等差中项;如果三个数成等差数列, 那么等差中项等于另两项的算术平均数; 等差数列{ }na 的通项公式: 1 ( 1)na a n d   *( )nN ; 等差数列{ }na 的递推公式: 1n na a d  ( 2)n ; 等差数列{ }na 的前n项和公式: 1 1( ) ( 1)2 2nn n a a n nS na d na     中; 等差数列{ }na 的性质: ① ( )n ma a n m d   ; ② 若m n p q   ,则 m n p qa a a a   ; ③ ka , k ma  , 2k ma  ,……,成等差数列,公差为md ; ④ nS , 2n nS S , 3 2n nS S , 4 3n nS S ,……,成等差数列,公差为 2n d ; ⑤ 数列{ }na 成等差数列 na pn q   , 1 12 n n na a a   , 2nS An Bn  ; ⑥ 若数列{ }na 是等差数列,
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