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2016年湖北省实验高中高一10月月考数学试卷.pdf

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2016 湖北省 实验 中高 10 月考 数学试卷
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湖北 省 武昌实验 中学高一年级 10 月 月考 数 学 试 卷 一、选择题:本大题 共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四 个选项中,只 有一项是符合题目要 求的 . 1.已知 集合 {0,1, 2}, { | 2 1, } A Bx x x = = − =  −   ++ +   ① ② 解集 中的 整数有 且 只有 一个 , 则 a 的范围 为( ) A .[ 2, 2] − B .[ 3, 2) − C .[ 3, 2) (3, 4] −  D . (3, 4] 8 .设函 数 1 () fx x x = − , 对任意 [1, ), ( ) ( ) 0 x f mx mf x ∈ +∞ +  , 若存在 12 , xx ∈ R 且 12 xx ≠ , 使得 12 () () fx fx = 成立, 则实数 a 的取 值范 围是( ) A . 2 a C . 4 a 的解集 为___________ . 16. 将 含有 3n 个正整 数的 集合 M 分成元 素个 数相 等且 两两 没有公 共元 素的 三个 集合 ,, ABC , 其中 12 {, , } n A aa a =  , 12 {, , } n B bb b =  , 12 {, , } n C cc c =  , 若 ,, ABC 中的元素满足条件 : , ( 1, 2, 3, ) k kk c a bk n =+=  且 123 n ccc c  则称 M 为 “完 并集 合” , (Ⅰ)若 { 1 , ,3 ,4,5,6 } Mx = 为“完 并集 合” ,则 x 的一个 可能 值为_________ . (写 出一 个即 可) (Ⅱ)对于 “完 并集 合 ” {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12} M = , 在所有 符合 条件 的集 合 C 中, 其元 素乘积 最小 的集 合 C 是_______. 三、解答题:本大题 共 6 小题,共 70 分.解答应写 出文字说明、证明过 程或 演算步骤. 17. (本 小题 满分 10 分) 已知集 合 { } 25 Ax x = −≤≤ , { } 13 Bx x = ≤ , { } 1 21 C xm x m = +≤≤ − , (Ⅰ)求 A CB R  . (Ⅱ) 若 ACC =  ,求 m 的 取值 范围 . 18. (本 小题 满分 12 分) 已知集合 21 { 1, } 1 x Ax x x − = ≤∈ + R ,集合 { 1, } B xx a x = −≤∈ R . (Ⅰ)求集 合 A ; (Ⅱ)若 B CA B = R  ,求 实数 a 的 取值 范围 . 19. (本 小题 满分 12 分) 某化工 厂引 进一 条先 进生 产线生 产某 种化 工产 品, 其 生产的 总成 本 y (万元) 与年 产量 x (吨) 之间的函数关系式可以近 似地表示为 2 48 8000 5 x yx =−+ ,已知此成产 线年产量最大为 210 吨. ( Ⅰ)求 年产 量为 多少 吨时 ,生产 每吨 产品 的平 均成 本最低 ,并 求最 低成 本; ( Ⅱ)若每 吨产 品平 均出 厂价 为 40 万元 ,那么 当年 产品 为 多少 吨时 , 可以 获得 最大利 润?最 大利润 是多 少? 20. (本 小题 满分 12 分) 已知函 数 3 () 2 x fx xa + = −+ ( Ⅰ)当 1 a = 时, 用 定义 证明 () fx 在 ( , 1) −∞ − 上单调 递减 ; ( Ⅱ)若 () fx 在 ( 1, ) − +∞ 上单调 递减 ,求 a 的取值 范围 . 21. (本 小题 满分 12 分) 已知 () fx是定义在区间[ 1,1] − 上的奇函数, 且 ( 1) 1 f −= , 若 , [ 1,1], 0 mn m n ∈− + ≠ 时 , 有 ( ) () 0 fm fn mn + + . (Ⅰ)证明 : () fx 在 区间[ 1,1] − 上是单 调减函 数 ; ( Ⅱ)解不 等式 11 ( )( ) 21 fx f x + − ; (Ⅲ)若 2 () 1 f x t mt ≤−− 对 所有 [ 1,1], [0,1] xm ∈− ∈ 恒成立 ,求 实数 t 的取值 范围 . 22. (本 小题 满分 12 分) 已知函数 () fx 对任意 实数 x 均有 ( ) ( 2) fx k fx = + , 其中 常数 k 为负数 , 且 () fx 在 区间[0, 2] 上 有表达 式 ( ) ( 2) f x xx = − . ( Ⅰ) 求 ( 1) f − , (2.5) f 的值; ( Ⅱ)求 () fx 在[ 3, 3] − 上的表 达式 ; (Ⅲ)求 () fx 在[ 3, 3] − 的最值 . 湖北省武昌实验 中学高一年级 10 月 月考 数学试卷 参考答案 一、选择题:本大题 共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.C 2.D 3 .B 4 .D 5 .A 6.D 7 .C 8.B 9.A 10.B 11 .C 12 .D 二、填空题:本大题 共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.[ 1,1] − 14. 2 2 1, 0 ( ) 0, 0 1, 0 xx x fx x xx x  −−  15. ( 2,0) (1,2) −  16.( Ⅰ)7 (或 9 、11 ) (Ⅱ){6,10,11,12} (提示 :集 合 C 的元素 之和为 集合 M 元 素之 和的 一半 ) 三、解答题:本大题 共 6 小题,共 70 分. 17. 解:( Ⅰ)[ 2,1) [3,5] −  (Ⅱ) ACC C A =⇒⊆  . 若 C = ∅ , 12 1 2 mmm + −⇒ 得: ( , 2] (3, ) a ∈ −∞ − +∞  19.解:( Ⅰ)设年 产量 为 x 吨,对应 的成 本为 y (万元 ) ,于是 平均 成本 可表 示为 y x , 8000 48, [0,210] 5 yx x xx =+−∈ , 考虑 到 8000 5 x x + 为 “双 勾函 数” , 由 图 像可 知: 200 x = 时, min 8000 ( ) 80 5 x x += ,故 min ( ) 32 y x = ,即最低 成本为 32 万元 . (Ⅱ)设年 产量 为 x 吨, 对应 的成本 为 w (万元 ) 22 2 1 40 ( 48 8000) 88 8000 ( 220) 1680, [0,210] 5 55 xx wx x x x x =−−+ = −+− = −− + ∈ 则当 210 x = 时, max 1660 w = ,即当年 产品为 210 吨时 , 可以 获得 最大 利润 , 最 大 利润是 1660 万元 . 20.解:( Ⅰ)当 1 a = 时, 32 () 1 11 x fx xx + = = + ++ , 取 12 , ( , 1) xx ∀ ∈ −∞ − ,令 12 xx + +++ , 所以 () fx 在 ( , 1) −∞ − 上 单调 递减 . (Ⅱ) 31 () 1 22 xa fx xa xa ++ = = + −+ −+ , () fx 的单 调性 只与 1 2 a xa + −+ 有关 , 1 2 a xa + −+ 的图像 对称 中心 为 ( 2,0) a − ,由于 () fx 在 ( 1, ) − +∞ 上 单调 递减 , 故 10 21 a a +   − ≥−  ,得 ( 1, 3] a∈− 21.解:( Ⅰ)证明 : 取 12 , [ 1,1] xx ∀ ∈− ,令 12 xx 故 () fx 在 区间[ 1,1] − 上是单 调减 函数 . (Ⅱ)由于 () fx 是定义 在区 间[ 1,1] − 上的减函 数 , 故: 11 21 1 11 2 1 11 1 x x x x  +  −   −≤+ ≤    −≤ ≤  −  得: ( 1, 0] x∈− (Ⅲ) 2 () 1 f x t mt ≤−− 在 [ 1,1] x∈− 恒 成立 , 故 2 max 1 ( ) , [0,1] t mt f x m − −≥ ∈ , 考虑到 () fx 为减 函数 , max ( ) ( 1) 1 fx f =−= , 故 2 11 t mt − −≥ , 即 2 20 t mt − −≥ , 将 2 2 t mt −− 中 m 看做自 变量, t 看做参数, 故 2 2 t mt −− 为关于 m 的一次函 数, 记 2 ( ) 2, [0,1] g m mt t m = −+− ∈ ,因 为 ( ) 0, [0,1] gm m ≥∈ , 所以 (0) 0 (1) 0 g g ≥   ≥  , 即 2 2 20 20 t tt  −≥   −−≥   ,得 ( , 2] [2, ) t ∈ −∞ − +∞  . 22.解:( Ⅰ)由 ( ) ( 2) fx k fx = + 知, ( 2) ( ) fx k fx −= ,即 ( 2) () fx fx k − = 于是: ( 1) (1) f kf k −= = − , 13 (2.5) (0.5) 4 ff kk = = − ; ( Ⅱ) [ 2,0] x∈− 时, 2 [0, 2] x+∈ , ( ) ( 2) ( 2) f x kf x kx x = += + , [2,3] x ∈ 时, 2 [0,1] x−∈ , ( 2) 1 ( ) ( 2)( 4) fx fx x x kk − = =−− , [ 3, 2] x∈− − 时, 2 [ 1, 0] x + ∈− , 2 ( ) ( 2) ( 2)( 4) ( 2)( 4) fx k fx kk x x k x x = +=⋅+ += + + , 综上可 知: 2 ( 2)( 4), [ 3, 2] ( 2), [ 2,0] () ( 2), [0,2] 1 ( 2)( 4), [2,3 ] kx x x kx x x fx xx x xx x k  + + ∈− −  + ∈−   = −∈   −−∈   ( Ⅲ)易知 : [ 3, 2] x∈− − 或[0, 2] 时, () 0 fx ≤ ; [ 2, 0] x∈− − 或[2,3] 时, () 0 fx ≥ . 故 [ 3, 2] x∈− − 或[0, 2] 时, 可求 min () fx ; [ 2, 0] x∈− − 或[2,3] 时,可 求 max () fx . ① [ 3, 2] x∈− − 时, 2 22 ( ) ( 2)( 4) [( 3) 1] fx k x x k x = + += +− ,故 2 min () fx k = − [0, 2] x ∈ 时, 2 ( ) ( 2) ( 1) 1 f x xx x =−=−− ,故 min () 1 fx = − 于是, [ 3, 3] x∈− 时, { } 2 2 min ,1 ( ) min , 1 1, 1 0 kk fx k k − ≤− = −−=  −−  , ② [ 2, 0] x∈− − 时, 2 ( ) ( 2) [( 1) 1] f x kx x k x = += +− ,故 max () fx k = − [2,3] x ∈ 时, 2 11 ( ) ( 2)( 4) [( 3) 1] fx x x x kk = − −= −− ,故 max 1 () fx k = − 于是, [ 3, 3] x∈− 时, max ,1 1 ( ) max , 1 ,1 0 kk fx k k k k − ≤−    = −− =   − −    , 综合①② 可知 : 1 k ≤− 时, 2 min () fx k = − , max () fx k = − 10 k − 时, min () 1 fx = − , max 1 () fx k = − .
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