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2015中考分类汇编图形的平移和旋转基础题(含答案)版资料.doc

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2015 中考 分类 汇编 图形 平移 旋转 基础 答案 资料
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图形的平移和旋转基础题教师版 一.选择题(共15小题)1.(2015•德州)如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为(  )A.35°B.40°C.50°D.65° 2.(2015•镇海区模拟)如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为(  )A.48B.96C.84D.42 3.(2015•哈尔滨)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′),连接CC′.若∠CC′B′=32°,则∠B的大小是(  )A.32°B.64°C.77°D.87° 4.(2015•贵港)在平面直角坐标系中,若点P(m,m﹣n)与点Q(﹣2,3)关于原点对称,则点M(m,n)在(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2014•呼伦贝尔)将点A(﹣2,﹣3)向右平移3个单位长度得到点B,则点B所处的象限是(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 6.(2015•枣庄)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是(  )A.B.C.D.﹣1 7.(2015•天津)如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为(  )A.130°B.150°C.160°D.170° 8.(2014•自贡)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A.B.C.D. 9.(2015•巴彦淖尔)如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BE=CF,连接CE、DF,将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,则旋转角为(  )A.30°B.45°C.60°D.90° 10.(2015•龙岩)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A.B.C.D. 11.(2015•东西湖区校级模拟)如图,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′,且点B刚好落在A′B′上,若∠A=25°,∠BCA′=45°,则∠A′BA等于(  )A.30°B.35°C.40°D.45° 12.(2014•邵阳)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是(  )A.甲种方案所用铁丝最长B.乙种方案所用铁丝最长C.丙种方案所用铁丝最长D.三种方案所用铁丝一样长 13.(2015•甘孜州)下列图形中,是中心对称图形的为(  )A.B.C.D. 14.(2015•随州)在直角坐标系中,将点(﹣2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是(  )A.(4,﹣3)B.(﹣4,3)C.(0,﹣3)D.(0,3) 15.(2014•南昌)如图,△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后,点B′恰好与点C重合,则平移的距离和旋转角的度数分别为(  )A.4,30°B.2,60°C.1,30°D.3,60°  二.填空题(共6小题)16.(2015•福州)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是      . 17.(2015•西宁)若点(a,1)与(﹣2,b)关于原点对称,则ab=      . 18.(2015•湘潭)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若线段AB=3,则BE=      . 19.(2015•扬州)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点,连接AF,则AF=      . 20.(2015•吉林)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为      cm. 21.(2015•沈阳)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为,则AK=      .  三.解答题(共6小题)22.(2015•湖北)如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.(1)求证:BE=CF;(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长. 23.(2013•南通)在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣1,5),B(4,2),C(﹣1,0)三点.(1)点A关于原点O的对称点A′的坐标为      ,点B关于x轴的对称点B′的坐标为      ,点C关于y轴的对称点C的坐标为      .(2)求(1)中的△A′B′C′的面积. 24.(2015•新泰市校级模拟)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE顺时针旋转△ABF的位置.(1)旋转中心是点      ,旋转角度是      度;(2)若连结EF,则△AEF是      三角形;并证明;(3)若四边形AECF的面积为25,DE=2,求AE的长. 25.(2015•昆明)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2;(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(记过保留根号和π). 26.(2015•桂林)如图,△ABC各顶点的坐标分别是A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).(1)在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1;(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;(3)在(2)的条件下,AC边扫过的面积是      . 27.(2015•贵港)如图,已知△ABC三个顶点坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(4,4).(1)请按要求画图:①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2.(2)请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标.  图形的平移和旋转基础题教师版参考答案与试题解析 一.选择题(共15小题)1.(2015•德州)如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为(  )A.35°B.40°C.50°D.65°【考点】旋转的性质.菁优网版权所有【分析】根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB,根据旋转的性质可得AC=AC′,然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′,再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.【解答】解:∵CC′∥AB,∴∠ACC′=∠CAB=65°,∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′,∴AC=AC′,∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°,∴∠CAC′=∠BAB′=50°.故选C.【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键. 2.(2015•镇海区模拟)如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为(  )A.48B.96C.84D.42【考点】平移的性质.菁优网版权所有【分析】根据平移的性质得出BE=6,DE=AB=10,则OE=6,则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO,根据梯形的面积公式即可求解.【解答】解:由平移的性质知,BE=6,DE=AB=10,∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6,∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=(AB+OE)•BE=(10+6)×6=48.故选:A.【点评】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式,得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键. 3.(2015•哈尔滨)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′),连接CC′.若∠CC′B′=32°,则∠B的大小是(  )A.32°B.64°C.77°D.87°【考点】旋转的性质.菁优网版权所有【分析】旋转中心为点A,C、C′为对应点,可知AC=AC′,又因为∠CAC′=90°,根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数,进而求出∠B的度数.【解答】解:由旋转的性质可知,AC=AC′,∵∠CAC′=90°,可知△CAC′为等腰直角三角形,则∠CC′A=45°.∵∠CC′B′=32°,∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°,∵∠B=∠C′B′A,∴∠B=77°,故选C.【点评】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等.也考查了等腰直角三角形的性质. 4.(2015•贵港)在平面直角坐标系中,若点P(m,m﹣n)与点Q(﹣2,3)关于原点对称,则点M(m,n)在(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】关于原点对称的点的坐标.菁优网版权所有【分析】根据平面内两点关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,则m=2且n=﹣3,从而得出点M(m,n)所在的象限.【解答】解:根据平面内两点关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,∴m=2且m﹣n=﹣3,∴m=2,n=5∴点M(m,n)在第一象限,故选A.【点评】本题考查了平面内两点关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,该题比较简单. 5.(2014•呼伦贝尔)将点A(﹣2,﹣3)向右平移3个单位长度得到点B,则点B所处的象限是(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】坐标与图形变化-平移.菁优网版权所有【分析】先利用平移中点的变化规律求出点B的坐标,再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限.【解答】解:点A(﹣2,﹣3)向右平移3个单位长度,得到点B的坐标为(1,﹣3),故点在第四象限.故选D.【点评】本题考查了图形的平移变换及各象限内点的坐标特点.注意平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减. 6.(2015•枣庄)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是(  )A.B.C.D.﹣1【考点】旋转的性质.菁优网版权所有【专题】压轴题.【分析】连接AC1,AO,根据四边形AB1C1D1是正方形,得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°,求出∠DAB1=45°,推出A、D、C1三点共线,在Rt△C1D1A中,由勾股定理求出AC1,进而求出DC1=OD,根据三角形的面积计算即可.【解答】解:连接AC1,∵四边形AB1C1D1是正方形,∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1,∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,∴∠B1AB=45°,∴∠DAB1=90°﹣45°=45°,∴AC1过D点,即A、D、C1三点共线,∵正方形ABCD的边长是1,∴四边形AB1C1D1的边长是1,在Rt△C1D1A中,由勾股定理得:AC1==,则DC1=﹣1,∵∠AC1B1=45°,∠C1DO=90°,∴∠C1OD=45°=∠DC1O,∴DC1=OD=﹣1,∴S△ADO=×OD•AD=,∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1,故选:D.【点评】本题考查了正方形性质,勾股定理等知识点,主要考查学生运用性质进行计算的能力,正确的作出辅助线是解题的关键. 7.(2015•天津)如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为(  )A.130°B.150°C.160°D.170°【考点】旋转的性质;平行四边形的性质.菁优网版权所有【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补,得∠ABC=60°,∠DCB=120°,再由∠A′DC=10°,可运用三角形外角求出∠DA′B=130°,再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°,从而得到答案.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=60°,∴∠ABC=60°,∠DCB=120°,∵∠ADA′=50°,∴∠A′DC=10°,∴∠DA′B=130°,∵AE⊥BC于点E,∴∠BAE=30°,∵△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,∴∠BA′E′=∠BAE=30°,∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°.故选:C.【点评】本题主要考查了平行四边形的性质,三角形内角和定理及推论,旋转的性质,此题难度不大,关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′. 8.(2014•自贡)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.菁优网版权所有【专题】常规题型.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故A选项错误;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故B选项错误;C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故C选项正确;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故D选项错误.故选:C.【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识,解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 9.(2015•巴彦淖尔)如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BE=CF,连接CE、DF,将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,则旋转角为(  )A.30°B.45°C.60°D.90°【考点】旋转的性质.菁优网版权所有【专题】计算题.【分析】由题意得到D对应点为C,连接OC,OD,∠DOC即为旋转角,利用正方形性质求出即可.【解答】解:∵正方形ABCD,O为正方形的中心,∴OD=OC,OD⊥OC,∴∠DOC=90°,由题意得到D对应点为C,连接OC,OD,∠DOC即为旋转角,则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,旋转角为90°,故选D.【点评】此题考查了旋转的性质,熟练掌握旋转的性质是解本题的关键. 10.(2015•龙岩)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故A正确;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故B错误;C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故C错误;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故D错误.故选:A.【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识,解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 11.(2015•东西湖区校级模拟)如图,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′,且点B刚好落在A′B′上,若∠A=25°,∠BCA′=45°,则∠A′BA等于(  )A.30°B.35°C.40°D.45°【考点】旋转的性质.菁优网版权所有【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°,以及∠BB′C=∠B′BC=70°,再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°.【解答】解:∵∠A=25°,∠BCA′=45°,∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°,∵CB=CB′,∴∠BB′C=∠B′BC=70°,∴∠B′CB=40°,∴∠ACA′=40°,∵∠A=∠A′,∠A′DB=∠ADC,∴∠ACA′=∠A′BA=40°.故选:C.【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识,根据已知得出∠ACA′=40°是解题关键. 12.(2014•邵阳)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是(  )A.甲种方案所用铁丝最长B.乙种方案所用铁丝最长C.丙种方案所用铁丝最长D.三种方案所用铁丝一样长【考点】生活中的平移现象.菁优网版权所有【专题】操作型.【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度,进而得出答案.【解答】解:由图形可得出:甲所用铁丝的长度为:2a+2b,乙所用铁丝的长度为:2a+2b,丙所用铁丝的长度为:2a+2b,故三种方案所用铁丝一样长.故选:D.【点评】此题主要考查了生活中的平移现象,得出各图形中铁丝的长是解题关键. 13.(2015•甘孜州)下列图形中,是中心对称图形的为(  )A.B.C.D.【考点】中心对称图形.菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故A错误;B、不是轴对称图形,是中心对称图形.故B正确;C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故C错误;D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故D错误.故选:B.【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合. 14.(2015•随州)在直角坐标系中,将点(﹣2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是(  )A.(4,﹣3)B.(﹣4,3)C.(0,﹣3)D.(0,3)【考点】关于原点对称的点的坐标;坐标与图形变化-平移.菁优网版权所有【分析】根据关于原点的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得关于原点的对称点,根据点的坐标向左平移减,可得答案.【解答】解:在直角坐标系中,将点(﹣2,3)关于原点的对称点是(2,﹣3),再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是(0,﹣3),故选:C.【点评】本题考查了点的坐标,关于原点的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数;点的坐标向左平移减,向右平移加,向上平移加,向下平移减. 15.(2014•南昌)如图,△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后,点B′恰好与点C重合,则平移的距离和旋转角的度数分别为(  )A.4,30°B.2,60°C.1,30°D.3,60°【考点】旋转的性质;平移的性质.菁优网版权所有【分析】利用旋转和平移的性质得出,∠A′B′C=60°,AB=A′B′=A′C=4,进而得出△A′B′C是等边三角形,即可得出BB′以及∠B′A′C的度数.【解答】解:∵∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后,点B′恰好与点C重合,∴∠A′B′C=60°,AB=A′B′=A′C=4,∴△A′B′C是等边三角形,∴B′C=4,∠B′A′C=60°,∴BB′=6﹣4=2,∴平移的距离和旋转角的度数分别为:2,60°.故选:B.【点评】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识,得出△A′B′C是等边三角形是解题关键. 二.填空题(共6小题)16.(2015•福州)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是 +1 .【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等边三角形的判定与性质;等腰直角三角形.菁优网版权所有【专题】压轴题.【分析】如图,连接AM,由题意得:CA=CM,∠ACM=60°,得到△ACM为等边三角形根据AB=BC,CM=AM,得出BM垂直平分AC,于是求出BO=AC=1,OM=CM•sin60°=,最终得到答案BM=BO+OM=1+.【解答】解:如图,连接AM,由题意得:CA=CM,∠ACM=60°,∴△ACM为等边三角形,∴AM=CM,∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°;∵∠ABC=90°,AB=BC=,∴AC=2=CM=2,∵AB=BC,CM=AM,∴BM垂直平分AC,∴BO=AC=1,OM=CM•sin60°=,∴BM=BO+OM=1+,故答案为:1+.【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转,等腰直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,线段的垂直平分线的性质,准确把握旋转的性质是解题的关键. 17.(2015•西宁)若点(a,1)与(﹣2,b)关于原点对称,则ab=  .【考点】关于原点对称的点的坐标.菁优网版权所有【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),即:求关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数.记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆.【解答】解:∵点(a,1)与(﹣2,b)关于原点对称,∴b=﹣1,a=2,∴ab=2﹣1=.故答案为:.【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标,这一类题目是需要识记的基础题,记忆时要结合平面直角坐标系. 18.(2015•湘潭)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若线段AB=3,则BE= 3 .【考点】旋转的性质.菁优网版权所有【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°,AB=AE,得出△BAE是等边三角形,进而得出BE=3即可.【解答】解:∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,∴∠BAE=60°,AB=AE,∴△BAE是等边三角形,∴BE=3.故答案为:3.【点评】本题考查旋转的性质,关键是根据旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.要注意旋转的三要素:①定点﹣旋转中心;②旋转方向;③旋转角度. 19.(2015•扬州)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点,连接AF,则AF= 5 .【考点】旋转的性质.菁优网版权所有【分析】根据旋转的性质,EC=BC=4,DC=AC=6,∠ACD=∠ACB=90°,由点F是DE的中点,可求出EG、GF,因为AE=AC﹣EC=2,可求出AG,然后运用勾股定理求出AF.【解答】解:作FG⊥AC,根据旋转的性质,EC=BC=4,DC=AC=6,∠ACD=∠ACB=90°,∵点F是DE的中点,∴FG∥CD∴GF=CD=AC=3EG=EC=BC=2∵AC=6,EC=BC=4∴AE=2∴AG=4根据勾股定理,AF=5.【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用,作垂线构造直角三角形是解决问题的关键. 20.(2015•吉林)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为 42 cm.【考点】旋转的性质.菁优网版权所有【专题】压轴题.【分析】根据将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,可得△ABC≌△BDE,∠CBD=60°,BD=BC=12cm,从而得到△BCD为等边三角形,得到CD=BC=CD=12cm,在Rt△ACB中,利用勾股定理得到AB=13,所以△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD,即可解答.【解答】解:∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,∴△ABC≌△BDE,∠CBD=60°,∴BD=BC=12cm,∴△BCD为等边三角形,∴CD=BC=CD=12cm,在Rt△ACB中,AB==13,△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42(cm),故答案为:42.【点评】本题考查了旋转的性质,解决本题的关键是由旋转得到相等的边. 21.(2015•沈阳)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为,则AK= 2﹣3 .【考点】旋转的性质.菁优网版权所有【专题】压轴题.【分析】连接BH,由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°,由旋转的性质得:AB=EB,∠CBE=30°,得出∠ABE=60°,由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH,得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°,AH=EH,由三角函数求出AH,得出EH、FH,再求出KH=2FH,即可求出AK.【解答】解:连接BH,如图所示:∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°,由旋转的性质得:AB=EB,∠CBE=30°,∴∠ABE=60°,在Rt△ABH和Rt△EBH中,,∴Rt△ABH≌△Rt△EBH(HL),∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°,AH=EH,∴AH=AB•tan∠ABH=×=1,∴EH=1,∴FH=﹣1,在Rt△FKH中,∠FKH=30°,∴KH=2FH=2(﹣1),∴AK=KH﹣AH=2(﹣1)﹣1=2﹣3;故答案为:2﹣3.【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数;熟练掌握旋转的性质和正方形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键. 三.解答题(共6小题)22.(2015•湖北)如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.(1)求证:BE=CF;(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.【考点】旋转的性质;勾股定理;菱形的性质.菁优网版权所有【专题】计算题;证明题.【分析】(1)先由旋转的性质得AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,利用AB=AC可得AE=AF,于是根据旋转的定义,△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到,然后根据旋转的性质得到BE=CD;(2)由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1,AC∥DE,根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE,根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°,所以∠AEB=∠ABE=45°,于是可判断△ABE为等腰直角三角形,所以BE=AC=,于是利用BD=BE﹣DE求解.【解答】(1)证明:∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,∴AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,∵AB=AC,∴AE=AF,∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到,∴BE=CF;(2)解:∵四边形ACDE为菱形,AB=AC=1,∴DE=AE=AC=AB=1,AC∥DE,∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°,∴∠AEB=∠ABE=45°,∴△ABE为等腰直角三角形,∴BE=AC=,∴BD=BE﹣DE=﹣1.【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了菱形的性质. 23.(2013•南通)在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣1,5),B(4,2),C(﹣1,0)三点.(1)点A关于原点O的对称点A′的坐标为 (1,﹣5) ,点B关于x轴的对称点B′的坐标为 (4,﹣2) ,点C关于y轴的对称点C的坐标为 (1,0) .(2)求(1)中的△A′B′C′的面积.【考点】关于原点对称的点的坐标;三角形的面积;关于x轴、y轴对称的点的坐标.菁优网版权所有【分析】(1)关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数;关于x轴对称的两点的横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数,纵坐标相同;(2)根据点A′(1,﹣5),B′(4,﹣2),C′(1,0)在平面直角坐标系中的位置,可以求得A′C′=5,B′D=3,所以由三角形的面积公式进行解答.【解答】解:(1)∵A(﹣1,5),∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为(1,﹣5).∵B(4,2),∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为(4,﹣2).∵C(﹣1,0),∴点C关于y轴的对称点C′的坐标为(1,0).故答案为:(1,﹣5),(4,﹣2),(1,0).(2)如图,∵A′(1,﹣5),B′(4,﹣2),C′(1,0).∴A′C′=|﹣5﹣0|=5,B′D=|4﹣1|=3,∴S△A′B′C′=A′C′•B′D=×5×3=7.5,即(1)中的△A′B′C′的面积是7.5.【点评】本题考查了关于原点、x轴、y轴对称的点的坐标,三角形的面积.解答(2)题时,充分体现了“数形结合”数学思想的优势. 24.(2015•新泰市校级模拟)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE顺时针旋转△ABF的位置.(1)旋转中心是点 A ,旋转角度是 90 度;(2)若连结EF,则△AEF是 等腰直角 三角形;并证明;(3)若四边形AECF的面积为25,DE=2,求AE的长.【考点】旋转的性质.菁优网版权所有【分析】(1)根据旋转变换的定义,即可解决问题.(2))根据旋转变换的定义,即可解决问题.(3)根据旋转变换的定义得到△ADE≌△ABF,进而得到S四边形AECF=S正方形ABCD=25,求出AD的长度,即可解决问题.【解答】解:(1)如图,由题意得:旋转中心是点A,旋转角度是90度.故答案为A、90.(2)由题意得:AF=AE,∠EAF=90°,∴△AEF为等腰直角三角形.故答案为等腰直角.(3)由题意得:△ADE≌△ABF,∴S四边形AECF=S正方形ABCD=25,∴AD=5,而∠D=90°,DE=2,∴.【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题;解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识,这是灵活运用、解题的基础和关键. 25.(2015•昆明)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2;(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(记过保留根号和π).【考点】作图-旋转变换;弧长的计算;作图-轴对称变换.菁优网版权所有【专题】作图题.【分析】(1)利用关于x轴对称点的横坐标相等,纵坐标化为相反数可先找出点A1、B1、C1的坐标,然后画出图形即可;(2)利用旋转的性质可确定出点A2、C2的坐标;(3)利用弧长公式进行计算即可.【解答】解:(1)根据关于x轴对称点的坐标特点可知:A1(2,﹣4),B1(1,﹣1),C1(4,﹣3),如图下图:连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1.(2)如图:(3)由两点间的距离公式可知:BC=,∴点C旋转到C2点的路径长=.【点评】本题主要考查的是图形的对称、图形的旋转以及扇形的弧长公式,掌握相关性质是解题的关键. 26.(2015•桂林)如图,△ABC各顶点的坐标分别是A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).(1)在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1;(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;(3)在(2)的条件下,AC边扫过的面积是  .【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.菁优网版权所有【专题】作图题.【分析】(1)如图,画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1;(2)如图,画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;(3)在(2)的条件下,AC扫过的面积即为扇形AOA2的面积减去扇形COC2的面积,求出即可.【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1为所求的三角形;(2)如图所示,△A2B2C2为所求的三角形;(3)在(2)的条件下,AC边扫过的面积S=﹣=5π﹣=.故答案为:.【点评】此题考查了作图﹣旋转变换,平移变换,以及扇形面积公式,作出正确的图形是解本题的关键. 27.(2015•贵港)如图,已知△ABC三个顶点坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(4,4).(1)请按要求画图:①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2.(2)请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标.【考点】作图-旋转变换;两条直线相交或平行问题;作图-平移变换.菁优网版权所有【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可;(2)根据旋转角度,旋转方向,分别找到A、B、C的对应点,顺次连接可得△A2B2C2;(3)由图形可知交点坐标;【解答】解:(1)如图所示:△A1B1C1即为所求;(2)如图所示:△A2B2C2,即为所求; (3)由图形可知:交点坐标为(﹣1,﹣4).【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换,得出对应点位置是解题关键. 第26页(共26页)
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