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2016-2017学年吉林省吉林普通中学高三(上)第一次调研数学试卷(文科)(解析版).doc

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2016 2017 学年 吉林省 吉林 普通 中学 第一次 调研 数学试卷 文科 解析
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2016-2017学年吉林省吉林普通中学高三(上)第一次调研数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求.1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},则A∩(∁UB)=(  )A.{1,2}B.{3,4}C.{5,6,7}D.∅2.(5分)tan的值是(  )A.B.﹣C.D.﹣3.(5分)在等比数列{an}中,a1=3,a3=12,则a5=(  )A.48B.﹣48C.±48D.364.(5分)四边形ABCD中,=,且||=||,则四边形ABCD是(  )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形5.(5分)下列函数中,既是偶函数又在(﹣∞,0)上单调递增的函数是(  )A.y=x2B.y=exC.y=log0.5|x|D.y=sinx6.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=30°,b=2,c=2,则角C=(  )A.60°或120°B.60°C.30°或150°D.30°7.(5分)已知两个单位向量、的夹角为,则|﹣2|=(  )A.B.2C.D.8.(5分)将函数f(x)=sin(x+)的图象向左平移个单位,所得函数g(x)图象的一个对称中心可以是(  )A.(,0)B.(﹣,0)C.(,0)D.(﹣,0)9.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=9,a6=11,则S9等于(  )A.180B.90C.72D.1010.(5分)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别是BC,CD中点,则•=(  )A.B.C.D.411.(5分)设f(x)=lnx+,则f(sin)与f(cos)的大小关系是(  )A.f(sin)>f(cos)B.f(sin)<f(cos)C.f(sin)=f(cos)D.大小不确定12.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x﹣1),数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+2,则f(a2016)的值为(  )A.0B.0或1C.﹣1或0D.1 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(5分)已知向量,,,若∥,则k=  .14.(5分)已知tan(+θ)=,则tanθ=  .15.(5分)大衍数列,来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项为:0、2、4、8、12、18、24、32、40、50.通项公式:an=如果把这个数列{an}排成右侧形状,并记A(m,n)表示第m行中从左向右第n个数,则A(10,4)的值为  .16.(5分)对于函数f(x)=xex有以下命题:①函数f(x)只有一个零点; ②函数f(x)最小值为﹣e; ③函数f(x)没有最大值; ④函数f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减.其中正确的命题是(只填序号)  . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=﹣n2+7n(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求Sn的最大值.18.(12分)已知函数f(x)=2sinxcosx﹣cos2x(Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,]上的取值范围.19.(12分)数列{an}是以d(d≠0)为公差的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.20.(12分)已知函数f(x)=x﹣alnx(a∈R).(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)当a=1时,设函数h(x)=f(x)+,求函数h(x)的单调区间.21.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c.已知=b﹣acosC.(1)求角A的大小;(2)若a=,b=4,求边c的大小.22.(12分)已知x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)﹣,若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,求实数a的取值范围. 2016-2017学年吉林省吉林普通中学高三(上)第一次调研数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求.1.(5分)(2016秋•吉林月考)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},则A∩(∁UB)=(  )A.{1,2}B.{3,4}C.{5,6,7}D.∅【分析】根据补集与交集的定义写出结果即可.【解答】解:全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},∴∁UB={1,2},∴A∩(∁UB)={1,2}. 故选:A.【点评】本题考查了补集与交集的定义和应用问题,是基础题目. 2.(5分)(2016秋•吉林月考)tan的值是(  )A.B.﹣C.D.﹣【分析】根据诱导公式化简求解即可.【解答】解:∵tan=tan(2π﹣)=﹣tan=﹣.故选B.【点评】本题考查了诱导公式的化简和特殊三角函数值的计算.比较基础. 3.(5分)(2016秋•吉林月考)在等比数列{an}中,a1=3,a3=12,则a5=(  )A.48B.﹣48C.±48D.36【分析】根据等比数列的性质即可得到结论.【解答】解:在等比数列中,a1a5=a32,∵a1=3,a3=12,∴a5==48,故选:A.【点评】本题主要考查等比数列的项的计算,根据等比数列的性质是解决本题的关键. 4.(5分)(2016秋•吉林月考)四边形ABCD中,=,且||=||,则四边形ABCD是(  )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形【分析】=,⇒四边形ABCD是平行四边形,∵||=||⇒⇒⇒AD⊥AB【解答】解:四边形ABCD中,=,⇒四边形ABCD是平行四边形,∵||=||⇒⇒⇒AD⊥AB∴则四边形ABCD是矩形.故选C.【点评】本题考查了向量的运算法则,及向量的几何意义,属于基础题. 5.(5分)(2016秋•吉林月考)下列函数中,既是偶函数又在(﹣∞,0)上单调递增的函数是(  )A.y=x2B.y=exC.y=log0.5|x|D.y=sinx【分析】分别利用基本初等函数的函数奇偶性和单调性判断A、B,根据函数奇偶性的定义、对数函数、复合函数的单调性判断C,由正弦函数的性质判断D.【解答】解:A、y=x2是偶函数,在(﹣∞,0)上是减函数,A不正确;B.y=f(x)=ex,且f(﹣x)=e﹣x≠﹣f(x),所以y=ex不是偶函数,B不正确;C.y=f(x)=log0.5|x|的定义域是{x|x≠0},且f(﹣x)=log0.5|﹣x|=f(x),则该函数为偶函数,且x<0,y=log0.5(﹣x),则由复合函数的单调性知:函数在(﹣∞,0)上是减函数,C正确;D.y=sinx是奇函数,在(﹣∞,0)上不是单调函数,D不正确,故选C.【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断方法,复合函数的单调性,熟练掌握基本初等函数的奇偶性和单调性是解题的关键. 6.(5分)(2016秋•吉林月考)在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=30°,b=2,c=2,则角C=(  )A.60°或120°B.60°C.30°或150°D.30°【分析】由已知利用正弦定理可求sinC的值,结合C的范围即可得解.【解答】解:∵B=30°,b=2,c=2,∴由正弦定理可得:sinC===,∵C∈(0°,180°),∴C=60°,或120°.故选:A.【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题. 7.(5分)(2016秋•吉林月考)已知两个单位向量、的夹角为,则|﹣2|=(  )A.B.2C.D.【分析】由已知求得,然后求出|﹣2|2,开方后得答案.【解答】解:由题意可知:||=||=1,<,>=,∴•=||•||cos=,∴|﹣2|2=﹣4•+4=1﹣4×+4=3,∴|﹣2|=.故选:D.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是中档题. 8.(5分)(2016秋•吉林月考)将函数f(x)=sin(x+)的图象向左平移个单位,所得函数g(x)图象的一个对称中心可以是(  )A.(,0)B.(﹣,0)C.(,0)D.(﹣,0)【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性得出结论.【解答】解:将函数f(x)=sin(x+)的图象向左平移个单位,所得函数g(x)=sin(x++)=sin(x+)图象,令x+=kπ,求得x=kπ﹣,k∈Z,故g(x)的图象的对称中心是(kπ﹣,0),故选:C.【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题. 9.(5分)(2014•孝感二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=9,a6=11,则S9等于(  )A.180B.90C.72D.10【分析】由a4=9,a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20,代入等差数列的前n项和公式可求.【解答】解:∵a4=9,a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q,则am+an=ap+aq和数列的求和.解题的关键是利用了等差数列的性质:利用性质可以简化运算,减少计算量. 10.(5分)(2016秋•吉林月考)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别是BC,CD中点,则•=(  )A.B.C.D.4【分析】根据矩形ABCD中•=0,用、表示出、,求它们的数量积即可.【解答】解:矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别是BC,CD中点,∴•=0,且=+=+,=+=+;∴•=(+)•(+)=+•+=×22+×0+×12=.故选:C.【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题,是基础题. 11.(5分)(2016秋•吉林月考)设f(x)=lnx+,则f(sin)与f(cos)的大小关系是(  )A.f(sin)>f(cos)B.f(sin)<f(cos)C.f(sin)=f(cos)D.大小不确定【分析】求出函数f(x)的单调区间,判断sin与cos的大小,从而求出f(sin)与f(cos)的大小即可.【解答】解:f(x)=lnx+,x>0,f′(x)=﹣=,令f′(x)<0,解得:0<x<1,故f(x)在(0,1)递减,而sin<cos<1,故f(sin)>f(cos),故选:A.【点评】本题考查了三角函数的性质,考查函数的单调性问题,是一道基础题. 12.(5分)(2016秋•吉林月考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x﹣1),数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+2,则f(a2016)的值为(  )A.0B.0或1C.﹣1或0D.1【分析】数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+2,n=1时,a1=2a1+2,解得a1,n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,化为:an=2an﹣1.利用等比数列的通项公式可得an=﹣2n.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x﹣1),可得f(x+2)=f(x),f(﹣x)=﹣f(x).于是f(a2016)=f(﹣2n)=﹣f(2n)=﹣f(2)=﹣f(0).【解答】解:∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+2,∴n=1时,a1=2a1+2,解得a1=﹣2.n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an+2﹣(2an﹣1+2),化为:an=2an﹣1.∴数列{an}是等比数列,公比为2.∴an=﹣2n.∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x﹣1),∴f(x+2)=f(x),f(﹣x)=﹣f(x).∴f(a2016)=f(﹣2n)=﹣f(2n)=﹣f(2)=﹣f(0)=0.故选:A.【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、函数的周期性与奇偶性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(5分)(2015秋•孝感期末)已知向量,,,若∥,则k= 5 .【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可.【解答】解:向量,,,若∥,可得3(3﹣k)=1﹣7,解得k=5.故答案为:5【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用,考查计算能力. 14.(5分)(2016秋•吉林月考)已知tan(+θ)=,则tanθ=  .【分析】根据正切的两角和与差的公式求解即可.【解答】解:∵tan(+θ)==,∴tanθ=,故答案为:.【点评】本题考查两角和与差的三角函数计算能力. 15.(5分)(2016秋•吉林月考)大衍数列,来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项为:0、2、4、8、12、18、24、32、40、50.通项公式:an=如果把这个数列{an}排成右侧形状,并记A(m,n)表示第m行中从左向右第n个数,则A(10,4)的值为 3612 .【分析】由题意,前9行,共有1+3+…+17==81项,A(10,4)为数列的第85项,即可求出A(10,4)的值.【解答】解:由题意,前9行,共有1+3+…+17==81项,A(10,4)为数列的第85项,∴A(10,4)的值为=3612.故答案为3612.【点评】本题考查归纳推理,考查等差数列的求和公式,属于中档题. 16.(5分)(2016秋•吉林月考)对于函数f(x)=xex有以下命题:①函数f(x)只有一个零点; ②函数f(x)最小值为﹣e; ③函数f(x)没有最大值; ④函数f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减.其中正确的命题是(只填序号) ①③ .【分析】求出函数的导函数,由导函数等于0求出x的值,以求出的x的值为分界点把原函数的定义域分段,以表格的形式列出导函数在各区间段内的符号及原函数的增减性,从而得到函数的单调区间及极值点,把极值点的坐标代入原函数求极值(最值).【解答】解:∵函数f(x)=xex的定义域为R,f'(x)=(xex)′=x′ex+x(ex)′=ex+xex令f'(x)=ex+xex=ex(1+x)=0,解得:x=﹣1.列表:x(﹣∞,﹣1)﹣1(﹣1,+∞)f′(x)﹣0+f(x)↓极小值↑由表可知函数f(x)=xex的单调递减区间为(﹣∞,﹣1),单调递增区间为(﹣1,+∞).当x=﹣1时,函数f(x)=xex的极小值(最小值)为f(﹣1)=﹣<0,且x>0时,f(x)>0,x<0时,f(x)<0,x=0时,f(x)=0.∴对于①函数f(x)只有一个零点,正确; 对于②函数f(x)最小值为﹣e﹣1,错; 对于③,函数f(x)没有最大值,正确; 对于④,函数f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减,错. 故答案为:①③【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值,在求出导函数等于0的x值后,借助于表格分析能使解题思路更加清晰,此题是中档题. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2016秋•吉林月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=﹣n2+7n(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求Sn的最大值.【分析】(I)利用递推关系即可得出.(II)配方利用二次函数的单调性即可得出.【解答】解:(Ⅰ)∵,当n≥2时,,当n=1时,a1=S1=6适合上式.∴an=﹣2n+8.(Ⅱ)由(Ⅰ),∴n=3,4时,Sn的最大值为12.【点评】本题考查了数列递推关系、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.(12分)(2016秋•吉林月考)已知函数f(x)=2sinxcosx﹣cos2x(Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,]上的取值范围.【分析】(Ⅰ)先利二倍角和辅助角公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期.(Ⅱ)x∈[0,]上时,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和性质,求出f(x)的取值最大和最小值,即得到f(x)的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=2sinxcosx﹣cos2x,化简可得:f(x)=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣)函数的最小正周期T=.(Ⅱ)x∈[0,]上时,2x﹣∈[,]当2x﹣=或时,函数f(x)的取值最小值为﹣1,当2x﹣=时,函数f(x)的取值最大值为2,故得函数f(x)在区间[0,]上的取值范围是[﹣1,2].【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于基础题. 19.(12分)(2016秋•吉林月考)数列{an}是以d(d≠0)为公差的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】(Ⅰ)由题意可知:a2,a4,a8成等比数列,即(2+3d)2=(2+d)(2+7d),解得:d=2,由等差数列的通项公式即可求得求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)化简bn,利用“裂项消项法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn.【解答】解:(Ⅰ)由a2,a4,a8成等比数列,∴(2+3d)2=(2+d)(2+7d),整理得:d2﹣2d=0,∵d=2,d=0(舍去),∴an=2+2(n﹣1)=2n,数列{an}的通项公式an=2n;(Ⅱ)若bn===,数列{bn}的前n项和Tn=1+++…+=1﹣=.【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列的通项公式的求法,数列求和的方法,考查计算能力. 20.(12分)(2016秋•吉林月考)已知函数f(x)=x﹣alnx(a∈R).(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)当a=1时,设函数h(x)=f(x)+,求函数h(x)的单调区间.【分析】(1)欲求在点x=1处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率;(2)先求出h(x)的导数,根据h′(x)>0求得的区间是单调增区间,h′(x)<0求得的区间是单调减区间,从而问题解决.【解答】解:(1)∵当a=2时,f(x)=x﹣2lnx(a∈R),∴f′(x)=1﹣,∴f′(1)=﹣1,∵f(1)=1,∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y﹣1=﹣(x﹣1),即x+y﹣2=0;(2)∵h(x)=f(x)+,∴h′(x)=,a=1时,h′(x)=,令h′(x)>0,解得:x>2,令h′(x)<0,解得:0<x<2,故h(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增.【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力及分类讨论思想.属于中档题. 21.(12分)(2016秋•吉林月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c.已知=b﹣acosC.(1)求角A的大小;(2)若a=,b=4,求边c的大小.【分析】(1)直接利用余弦定理化简已知条件,然后求角A的余弦函数值,即可求解;(2)由已知利用余弦定理可得c2﹣4c+1=0,即可解得c的值.【解答】解:(1)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若=b﹣acosC=b﹣a,可得2b2﹣bc=a2+b2﹣c2,即c2+b2﹣bc=a2,又由余弦定理c2+b2﹣2bccosA=a2,∴cosA=,∴A=60°.(2)∵a=,b=4,A=60°,∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:15=16+c2﹣2×,整理可得:c2﹣4c+1=0,∴解得:c=2±.【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,考查分析问题解决问题的能力,考查了转化思想,属于基础题. 22.(12分)(2016秋•吉林月考)已知x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)﹣,若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,求实数a的取值范围.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,计算f′(1)=0,求出b的值即可;(Ⅱ)求出g(x)的解析式,求出g(x)的导数,问题转化为a≥﹣2x2﹣x在[1,2]恒成立,求出a的范围即可.【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=2﹣+,x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点,故f′(1)=2﹣b+1=0,解得:b=3;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:g(x)=2x++lnx﹣﹣=2x+lnx﹣,若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,则g′(x)=2++=,则2x2+x+a≥0在[1,2]恒成立,即a≥﹣2x2﹣x在[1,2]恒成立,令h(x)=﹣2x2﹣x=﹣2+,x∈[1,2],h(x)在[1,2]递减,h(x)max=h(1)=﹣3,故a≥﹣3.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数的极值问题,是一道中档题. 17页
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