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2016-2017学年江苏省南京外国语学校九年级(上)月考数学试卷(10月份).doc

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2016 2017 学年 江苏省 南京 外国语学校 九年级 月考 数学试卷 10 月份
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2016-2017学年江苏省南京外国语学校九年级(上)月考数学试卷(10月份) 一、选择题(每题2分,共12分)1.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)已知⊙O半径为3,A为线段PO的中点,则当OP=6时,点A与⊙O的位置关系为(  )A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.不能确定2.(2分)(2016•兰州)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为(  )A.(x+1)(x+2)=18B.x2﹣3x+16=0C.(x﹣1)(x﹣2)=18D.x2+3x+16=03.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)如图,平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,连接AE,∠E=36°,则∠ADC的度数是(  )A.54°B.64°C.72°D.82°4.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1,x2,且=3,则k的值是(  )A.1B.2C.3D.45.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)从{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3}这七个数中随机抽取一个数记为a,则a的值是不等式组的解,但不是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率是(  )A.B.C.D.6.(2分)(2014•泰安)如图,P为⊙O的直径BA延长线上的一点,PC与⊙O相切,切点为C,点D是⊙O上一点,连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论:(1)PD与⊙O相切;(2)四边形PCBD是菱形;(3)PO=AB;(4)∠PDB=120°.其中正确的个数为(  )A.4个B.3个C.2个D.1个 二、填空题(每题2分,共20分)7.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)一元二次方程(1+3x)(x﹣3)=2x2+1化为一般形式为   ,常数项为   .8.(2分)(2015•南京)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是   ,m的值是   .9.(2分)(2015•南通)如图,在⊙O中,半径OD垂直于弦AB,垂足为C,OD=13cm,AB=24cm,则CD=   cm.10.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)某商场以30元/件的进价购进一批商品,按50元/件出售,平均每天可以售出100件,经市场调查,单价每降低5元,则平均每天的销售量可增加20件,若该商品要想平均每天获利1400元,则每件应降价多少元?设每件应降价x元,可列方程为   .11.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的值是   .12.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)已知⊙P的直径为8,点P的坐标是(﹣4,﹣3),那么⊙P与x轴的位置关系是   ,与y轴的位置关系是   .13.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)如图,⊙I与△ABC的三边分别切于点D、E、F,∠B=70°,∠C=60°,M是上的动点(与D、E不重合),∠DMF的度数为   .14.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)如图,在半径为6 cm的⊙O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=3;③∠AOB=60°;④四边形ABOC是菱形,其中正确结论的序号是   .15.(2分)(2014•贵阳)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<t<8),则t=   秒时,S1=2S2.16.(2分)(2014•肥城市校级模拟)如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB切⊙O于点B,则PB的最小值是   . 三、解答题(共88分)17.(20分)(2016秋•玄武区校级月考)用适当的方法解下列方程(1)(x+1)2﹣6(x+1)+9=0(2)x2﹣4x﹣96=0(3)x(2x﹣4)=5﹣8x(4)(x+4)2=16﹣x2.18.(6分)(2016秋•玄武区校级月考)已知当x=2时,二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4,这个二次三项式的值可能是﹣6吗?请说明理由.19.(8分)(2018•石狮市模拟)已知关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)当m取满足条件的最大整数时,求方程的根.20.(8分)(2014•南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为   万元;(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.21.(8分)(2016秋•鞍山期末)已知:平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根.(1)m为何值时,四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长;(2)若AB的长为2,那么▱ABCD的周长是多少?22.(6分)(2016秋•玄武区校级月考)如图是一块残缺的圆轮片,点A、C在圆弧上.(1)用尺规作出的中点B,再作出△ABC的外接圆(不写作法,保留作图痕迹);(2)若AB=BC=60cm,∠ABC=120°,求外接圆的半径.23.(6分)(2017秋•嘉兴期中)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.24.(8分)(2016秋•玄武区校级月考)如图,AB是⊙O的切线,切点为B,AO交⊙O于点C,过点C的切线交AB于点D,若AD=2BD,CD=1.求⊙O的半径.25.(8分)(2011•芜湖)如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.26.(10分)(2016秋•玄武区校级月考)直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=13 cm,BC=16 cm,CD=5 cm,AB为⊙O的直径,动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动,动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s的速度运动,点P、Q分别从A、C两点同时出发,当其中一点停止时,另一点也随之停止运动.(1)求⊙O的直径;(2)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?(3)是否存在某一时刻,使直线PQ与⊙O相切?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 2016-2017学年江苏省南京外国语学校九年级(上)月考数学试卷(10月份)参考答案与试题解析 一、选择题(每题2分,共12分)1.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)已知⊙O半径为3,A为线段PO的中点,则当OP=6时,点A与⊙O的位置关系为(  )A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.不能确定【分析】OP=6,A为线段PO的中点,则OA=3,因而点A与⊙O的位置关系为:点在圆上.【解答】解:∵OA==3,∴OA=⊙O半径,∴点A与⊙O的位置关系为:点在圆上.故选:B.【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.设点到圆心的距离为d,则当d=R时,点在圆上;当d>R时,点在圆外;当d<R时,点在圆内. 2.(2分)(2016•兰州)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为(  )A.(x+1)(x+2)=18B.x2﹣3x+16=0C.(x﹣1)(x﹣2)=18D.x2+3x+16=0【分析】可设原正方形的边长为xm,则剩余的空地长为(x﹣1)m,宽为(x﹣2)m.根据长方形的面积公式方程可列出.【解答】解:设原正方形的边长为xm,依题意有(x﹣1)(x﹣2)=18,故选:C.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识,应熟记长方形的面积公式.另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键. 3.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)如图,平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,连接AE,∠E=36°,则∠ADC的度数是(  )A.54°B.64°C.72°D.82°【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角,可得∠BAE=90°,然后用90°减去∠E,求出∠B等于多少度;最后根据平行四边形的对角相等,可得∠ADC=∠B,据此解答即可.【解答】解:∵BE是直径,∴∠BAE=90°,∵∠E=36°,∴∠B=90°﹣∠E=90°﹣36°=54°,又∵∠ADC=∠B,∴∠ADC=54°.故选:A.【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 4.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1,x2,且=3,则k的值是(  )A.1B.2C.3D.4【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=6、x1•x2=k,将其代入=中可得出关于k的分式方程,解之并检验后即可得出结论.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1,x2,∴x1+x2=6,x1•x2=k,∴===3,解得:k=2,经检验,k=2是原方程的解,且符合题意.故选:B.【点评】本题考查了根与系数的关系,牢记“两根之和等于﹣,两根之积等于”是解题的关键. 5.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)从{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3}这七个数中随机抽取一个数记为a,则a的值是不等式组的解,但不是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率是(  )A.B.C.D.【分析】首先解不等式组,即可求得a的取值范围,解一元二次方程x2﹣3x+2=0,可求得a的值,然后直接利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解:,由①得:x>﹣2,由②得:x>﹣,∵a的值是不等式组组的解,∴a=0,1,2,3,∵x2﹣3x+2=0,∴(x﹣1)(x﹣2)=0,解得:x1=1,x2=2,∵a不是方程x2﹣3x+2=0的实数解,∴a=0或3;∴a的值是不等式组的解,但不是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率为:.故选:B.【点评】此题考查了概率公式的应用、不等式组的解集以及一元二次方程的解法.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 6.(2分)(2014•泰安)如图,P为⊙O的直径BA延长线上的一点,PC与⊙O相切,切点为C,点D是⊙O上一点,连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论:(1)PD与⊙O相切;(2)四边形PCBD是菱形;(3)PO=AB;(4)∠PDB=120°.其中正确的个数为(  )A.4个B.3个C.2个D.1个【分析】(1)利用切线的性质得出∠PCO=90°,进而得出△PCO≌△PDO(SSS),即可得出∠PCO=∠PDO=90°,得出答案即可;(2)利用(1)所求得出:∠CPB=∠BPD,进而求出△CPB≌△DPB(SAS),即可得出答案;(3)利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA(ASA),进而得出CO=PO=AB;(4)利用四边形PCBD是菱形,∠CPO=30°,则DP=DB,则∠DPB=∠DBP=30°,求出即可.【解答】解:(1)连接CO,DO,∵PC与⊙O相切,切点为C,∴∠PCO=90°,在△PCO和△PDO中,,∴△PCO≌△PDO(SSS),∴∠PCO=∠PDO=90°,∴PD与⊙O相切,故(1)正确;(2)由(1)得:∠CPB=∠BPD,在△CPB和△DPB中,,∴△CPB≌△DPB(SAS),∴BC=BD,∴PC=PD=BC=BD,∴四边形PCBD是菱形,故(2)正确;(3)连接AC,∵PC=CB,∴∠CPB=∠CBP,∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°,在△PCO和△BCA中,,∴△PCO≌△BCA(ASA),∴AC=CO,∴AC=CO=AO,∴∠COA=60°,∴∠CPO=30°,∴CO=PO=AB,∴PO=AB,故(3)正确;(4)∵四边形PCBD是菱形,∠CPO=30°,∴DP=DB,则∠DPB=∠DBP=30°,∴∠PDB=120°,故(4)正确;正确个数有4个,故选:A.【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识,熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键. 二、填空题(每题2分,共20分)7.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)一元二次方程(1+3x)(x﹣3)=2x2+1化为一般形式为 x2﹣8x﹣4=0 ,常数项为 ﹣4 .【分析】去括号,移项,合并同类项,即可得出答案.【解答】解:(1+3x)(x﹣3)=2x2+1,x﹣3+3x2﹣9x﹣2x2﹣1=0,x2﹣8x﹣4=0,即一般形式为x2﹣8x﹣4=0,常数项为﹣4,故答案为:x2﹣8x﹣4=0,﹣4.【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式,能正确根据等式的基本性质进行变形是解此题的关键. 8.(2分)(2015•南京)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是 3 ,m的值是 ﹣4 .【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系,两根的和是﹣m,两个根的积是3,即可求解.【解答】解:设方程的另一个解是a,则1+a=﹣m,1×a=3,解得:m=﹣4,a=3.故答案是:3,﹣4.【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,正确理解根与系数的关系是关键. 9.(2分)(2015•南通)如图,在⊙O中,半径OD垂直于弦AB,垂足为C,OD=13cm,AB=24cm,则CD= 8 cm.【分析】根据垂径定理,可得AC的长,根据勾股定理,可得OC的长,根据线段的和差,可得答案.【解答】解:由垂径定理,AC=AB=12cm.由半径相等,得OA=OD=13cm.由勾股定理,得OC===5.由线段的和差,得CD=OD﹣OC=13﹣5=8cm,故答案为:8.【点评】本题考查了垂径定理,利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键,又利用了勾股定理. 10.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)某商场以30元/件的进价购进一批商品,按50元/件出售,平均每天可以售出100件,经市场调查,单价每降低5元,则平均每天的销售量可增加20件,若该商品要想平均每天获利1400元,则每件应降价多少元?设每件应降价x元,可列方程为 (50﹣x﹣30)(100+x×)=1400 .【分析】首先设每件应降价x元,利用销售量×每件利润=1400元列出方程.【解答】解:设设每件应降价x元,则每件定价为(50﹣x)元,根据题意,得:(50﹣x﹣30)(100+x×)=1400,故答案是:(50﹣x﹣30)(100+x×)=1400.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程.关键是弄懂题意,找出题目中的等量关系,表示出销售量和每件利润,再列出方程. 11.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的值是 3<r≤4或r= .【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点,再结合图形得出另一种有一个交点的情况,即可得出答案.【解答】解解:过点C作CD⊥AB于点D,∵AC=3,BC=4.如果以点C为圆心,r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点,∴AB=5,当直线与圆相切时,d=r,圆与斜边AB只有一个公共点,圆与斜边AB只有一个公共点,如图1,∴CD×AB=AC×BC,∴CD=r=,当直线与圆如图所示也可以有一个交点,如图2,∴3<r≤4,故答案为:3<r≤4或r=.【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系,结合题意画出符合题意的图形,从而得出答案,此题比较容易漏解. 12.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)已知⊙P的直径为8,点P的坐标是(﹣4,﹣3),那么⊙P与x轴的位置关系是 相交 ,与y轴的位置关系是 相切 .【分析】根据直线与圆的位置关系,即可判断.【解答】解:∵P(﹣4,﹣3),∴点P到x轴的距离为3,到y轴的距离为4,∵⊙P的直径为8,∴⊙P与x轴的位置关系是相交,与y轴的位置关系是相切.故答案为相交,相切.【点评】本题考查直线与圆的位置关系、坐标与图形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本概念,属于中考常考题型. 13.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)如图,⊙I与△ABC的三边分别切于点D、E、F,∠B=70°,∠C=60°,M是上的动点(与D、E不重合),∠DMF的度数为 65° .【分析】连接ID、IF,如图,先利用三角形内角和得到∠A=50°,再根据切线的性质得∠ADI=∠AFI=90°,则根据四边形的内角和得到∠DIF=180°﹣∠A=130°,然后根据圆周角定理计算∠DMF的度数.【解答】解:连接ID、IF,如图,∵∠B=70°,∠C=60°,∴∠A=50°,∵⊙I与△ABC的三边分别切于点D、E、F,∴ID⊥AB,IF⊥AC,∴∠ADI=∠AFI=90°,∴∠DIF=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°,∴∠DMF=∠DIF=65°.故答案为65°.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了圆周角定理. 14.(2分)(2016秋•玄武区校级月考)如图,在半径为6 cm的⊙O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=3;③∠AOB=60°;④四边形ABOC是菱形,其中正确结论的序号是 ①③④ .【分析】利用垂径定理可对①进行判断;根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D=60°,则△OAC为等边三角形,根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC=6,则可对②进行判断;通过判断△AOB为等边三角形可对③进行判断;利用AB=AC=OA=OC=OB可对④进行判断.【解答】解:∵点A是劣弧的中点,∴OA⊥BC,所以①正确;∵∠AOC=2∠D=60°,而OA=OC,∴△OAC为等边三角形,∴BC=2×6×=6,所以②错误;同理可得△AOB为等边三角形,∴∠AOB=60°,所以③正确;∵AB=AC=OA=OC=OB,∴四边形ABOC是菱形,所以④正确.故答案为①③④.【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.同一条弦对应两条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧. 15.(2分)(2014•贵阳)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<t<8),则t= 6 秒时,S1=2S2.【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式,表示出S1和S2,然后根据S1=2S2,即可列方程求解.【解答】解:∵Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高,∴AD=BD=CD=8cm,又∵AP=t,则S1=AP•BD=×8×t=8t,PD=8﹣t,∵PE∥BC,∴△APE∽△ADC,∴,∴PE=AP=t,∴S2=PD•PE=(8﹣t)•t,∵S1=2S2,∴8t=2(8﹣t)•t,解得:t=6.故答案是:6.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,以及等腰直角三角形的性质,正确表示出S1和S2是关键. 16.(2分)(2014•肥城市校级模拟)如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB切⊙O于点B,则PB的最小值是  .【分析】因为PB为切线,所以△OPB是Rt△.又OB为定值,所以当OP最小时,PB最小.根据垂线段最短,知OP=3时PB最小.根据勾股定理得出结论即可.【解答】解:∵PB切⊙O于点B,∴∠OBP=90°,∴PB2=OP2﹣OB2,而OB=2,∴PB2=OP2﹣4,即PB=,当OP最小时,PB最小,∵点O到直线l的距离为3,∴OP的最小值为3,∴PB的最小值为=.故答案为:.【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点,如何确定PB最小时点P的位置是解题的关键,难度中等偏上. 三、解答题(共88分)17.(20分)(2016秋•玄武区校级月考)用适当的方法解下列方程(1)(x+1)2﹣6(x+1)+9=0(2)x2﹣4x﹣96=0(3)x(2x﹣4)=5﹣8x(4)(x+4)2=16﹣x2.【分析】(1)利用因式分解法解方程得出答案;(2)直接利用因式分解法解方程得出答案;(3)直接利用公式法解方程得出答案;(4)直接提取公因式法以及公式法因式分解解方程得出答案.【解答】解:(1)(x+1)2﹣6(x+1)+9=0,(x+1﹣3)2=0,(x﹣2)2=0,故x1=x2=2;(2)x2﹣4x﹣96=0,(x﹣12)(x+8)=0,解得:x1=12,x2=﹣8;(3)x(2x﹣4)=5﹣8x,2x2﹣4x+8x﹣5=0,2x2+4x﹣5=0,△=b2﹣4ac=16+40=56,x=,解得:x1=,x2=;(4)(x+4)2=16﹣x2,(x+4)2﹣(4﹣x)(4+x)=0,则(x+4)(x+4﹣4+x)=0,故2x(x+4)=0,解得:x1=0,x2=﹣4.【点评】此题主要考查了公式法、因式分解法解方程,正确掌握解方程的方法是解题关键. 18.(6分)(2016秋•玄武区校级月考)已知当x=2时,二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4,这个二次三项式的值可能是﹣6吗?请说明理由.【分析】把x=2代入方程x2﹣2mx+4=﹣4求出m,把m的值代入x2﹣2mx+4,利用配方法求得该代数式的最值,观察﹣6是否符合题意即可.【解答】解:不可能.理由:当x=2时,x2﹣2mx+4=﹣422﹣2m×2+4=﹣4解得m=3.此时这个二次三项式是x2﹣6x+4x2﹣6x+4=(x﹣3)2﹣5≥﹣5∴值不可能为﹣6.【点评】本题考查了解一元二次方程,一元二次方程的解的应用以及配方法的应用,解此题的关键是求出m的值,题目比较好,难度适中. 19.(8分)(2018•石狮市模拟)已知关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)当m取满足条件的最大整数时,求方程的根.【分析】(1)由△>0得到关于m的不等式,解之得到哦m的范围,根据一元二次方程的定义求得答案;(2)由(1)知m=5,还原方程,利用因式分解法求解可得.【解答】解:(1)由题意知,△=(2m)2﹣4(m﹣2)(m+3)>0,解得:m<6,又m﹣2≠0,即m≠2,则m<6且m≠2;(2)由(1)知m=5,则方程为3x2+10x+8=0,即(x+2)(3x+4)=0,解得x=﹣2或x=﹣.【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式,解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系. 20.(8分)(2014•南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6(1+x)2 万元;(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.【分析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1+x),则第三年的可变成本为2.6(1+x)2,故得出答案;(2)根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可【解答】解:(1)由题意,得第3年的可变成本为:2.6(1+x)2,故答案为:2.6(1+x)2;(2)由题意,得4+2.6(1+x)2=7.146,解得:x1=0.1,x2=﹣2.1(不合题意,舍去).答:可变成本平均每年增长的百分率为10%.【点评】本题考查了增长率的问题关系的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键. 21.(8分)(2016秋•鞍山期末)已知:平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根.(1)m为何值时,四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长;(2)若AB的长为2,那么▱ABCD的周长是多少?【分析】(1)根据菱形的性质可得出AB=AD,结合根的判别式,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,将其代入原方程,解之即可得出菱形的边长;(2)将x=2代入原方程可求出m的值,将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长,再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根,∴△=(﹣m)2﹣4×(﹣)=(m﹣1)2=0,∴m=1,∴当m为1时,四边形ABCD是菱形.当m=1时,原方程为x2﹣x+=0,即(x﹣)2=0,解得:x1=x2=,∴菱形ABCD的边长是.(2)把x=2代入原方程,得:4﹣2m+﹣=0,解得:m=.将m=代入原方程,得:x2﹣x+1=0,∴方程的另一根AD=1÷2=,∴▱ABCD的周长是2×(2+)=5.【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质,解题的关键是:(1)根据菱形的性质结合根的判别式,找出关于m的一元二次方程;(2)根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根. 22.(6分)(2016秋•玄武区校级月考)如图是一块残缺的圆轮片,点A、C在圆弧上.(1)用尺规作出的中点B,再作出△ABC的外接圆(不写作法,保留作图痕迹);(2)若AB=BC=60cm,∠ABC=120°,求外接圆的半径.【分析】(1)利用垂径定理得出AB,BC的垂直平分线,交点即是圆心,到任意一点距离即是半径;(2)利用垂径定理以及等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形,即可得出答案.【解答】解:(1)如图1所示:(2)如图2,∵AB=BC=60cm,∠ABC=120°,∴∠AOB=∠BOC=60°,又∵AO=BO,CO=BO,∴△AOB≌△COB,∴△BOC和△AOB是等边三角形,∴∠BCO=∠ABO=60°,∵BO=CO,∴∠OCB=∠CBO=60°,∴△OBC是等边三角形,∴半径为60cm.【点评】本题主要考查了垂径定理的应用,利用垂径定理得出∠OCB=∠CBO=60°,进而得出△OBC是等边三角形是解题关键. 23.(6分)(2017秋•嘉兴期中)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.【分析】(1)过O作OE⊥AB,根据垂径定理得到AE=BE,CE=DE,从而得到AC=BD;(2)由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连接OC,OA,再根据勾股定理求出CE及AE的长,根据AC=AE﹣CE即可得出结论.【解答】(1)证明:过O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,AE=BE,∴BE﹣DE=AE﹣CE,即AC=BD;(2)解:由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连接OC,OA,∴OE=6,∴CE===2,AE===8,∴AC=AE﹣CE=8﹣2.【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 24.(8分)(2016秋•玄武区校级月考)如图,AB是⊙O的切线,切点为B,AO交⊙O于点C,过点C的切线交AB于点D,若AD=2BD,CD=1.求⊙O的半径.【分析】连接OB,则可知DC=BD=1,则AD=2,在△ACD中可求得AC=,设半径为r,则AO=r+,在Rt△AOB中由勾股定理可得OA2=OB2+AB2,代入求r即可.【解答】解:连接OB,∵AB、CD都是⊙O的切线,∴∠OBA=90°,且DC=BD=1,∴AD=2BD=2,∴AB=2+1=3,在Rt△ACD中,可求得AC=,设半径为r,则OA=r+,在Rt△ABO中,由勾股定理可得:OA2=OB2+AB2,即(r+)2=r2+32,解得r=,∴⊙O的半径是.【点评】本题主要考查切线的性质,掌握连接圆心和切点是常用的辅助线是解题的关键,注意方程思想的应用. 25.(8分)(2011•芜湖)如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.【分析】(1)连接OC,根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°,再根据角平分线的性质,得∠DCO=90°,则CD为⊙O的切线;(2)过O作OF⊥AB,则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,得四边形OCDF为矩形,设AD=x,在Rt△AOF中,由勾股定理得(5﹣x)2+(6﹣x)2=25,从而求得x的值,由勾股定理得出AB的长.【解答】(1)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO,∴∠DAC=∠OCA,∴PB∥OC,∵CD⊥PA,∴CD⊥OC,CO为⊙O半径,∴CD为⊙O的切线;(2)解:过O作OF⊥AB,垂足为F,∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,∴四边形DCOF为矩形,∴OC=FD,OF=CD.∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6﹣x,∵⊙O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5﹣x,在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5﹣x)2+(6﹣x)2=25,化简得x2﹣11x+18=0,解得x1=2,x2=9.∵CD=6﹣x大于0,故x=9舍去,∴x=2,从而AD=2,AF=5﹣2=3,∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,∴AB=2AF=6.【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握. 26.(10分)(2016秋•玄武区校级月考)直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=13 cm,BC=16 cm,CD=5 cm,AB为⊙O的直径,动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动,动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s的速度运动,点P、Q分别从A、C两点同时出发,当其中一点停止时,另一点也随之停止运动.(1)求⊙O的直径;(2)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?(3)是否存在某一时刻,使直线PQ与⊙O相切?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.【分析】(1)过点D作DE⊥BC于E,则四边形ABED是矩形,AB=ED,所以求出DE,就求出了圆的直径;(2)当四边形PQCD为等腰梯形时,CQ﹣PD=2CE,即2t﹣(13﹣t)=6,即可求出t的值即可;(3)先假设存在,构造直角三角形,利用勾股定理得出方程,解方程,若方程有解,则存在,若方程无解,则不存在.【解答】解:(1)过点D作DE⊥BC于E,BE=AD=13,∵BC=16,∴EC=3,在Rt△DCE中,由于DC=5,则DE==4,所以圆的直径为4厘米;(2)当P,Q运动t秒时,由点P,Q的运动速度为1厘米/秒和2厘米/秒,所以PD=(13﹣t)厘米,CQ=2t厘米,当四边形PQCD为等腰梯形时,CQ﹣PD=2CE,所以2t﹣(13﹣t)=6,解得t=,(3)存在.若PQ与圆相切,切点G,作PH⊥BC于H,所以PA=PG=t,QG=QB=16﹣2t,又得到QH=QB﹣HB=(16﹣2t)﹣t=16﹣3t,PQ=BQ+AP=16﹣t,根据勾股定理得PQ2=PH2+QH2,所以(16﹣t)2=16+(16﹣3t)2,解得t1=4+,t2=4﹣,因为4+和4﹣都在0<t≤8内,所以在t=(4+)秒或t=(4﹣)秒时,直线PQ与圆相切.【点评】本题考查圆综合题、切线的性质、等腰梯形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题. 第33页(共33页)
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