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2016-2017武汉元调数学试卷含答案解析.doc

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2016 2017 武汉 数学试卷 答案 解析
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2016-2017武汉元调数学试卷含答案解析考试时间120分钟,总分120分一、选择题1.从下列四张卡片中任取一张,卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是(  )A.B.C.D.12.方程(x﹣1)(x+2)=x﹣1的解是(  )A.﹣2B.1,﹣2C.﹣1,1D.﹣1,33.由二次函数y=3(x﹣4)2﹣2,可知(  )A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x=﹣4C.其最小值为2D.当x<3时,y随x的增大而减小4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则反比例函数与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是(  )A.B.C.D.5.如图,C,D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠ACD=30°,则∠CAB=(  )A.15°B.20°C.25°D.30°6.如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线于点F,若S△DEC=9,则S△BCF=(  )A.6B.8C.10D.127.如图,MN是⊙O的直径,MN=4,∠AMN=30°,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为(  )A.2B.2C.4D.48.某市2015年国内生产总值(GDP)比2014年增长了10%,由于受到国际金融危机的影响,预计2016年比2015年增长6%,若这两年GDP年平均增长率为x%,则x%满足的关系是(  )A.10%+6%=x%B.(1+10%)(1+6%)=2(1+x%)C.(1+10%)(1+6%)=(1+x%)2D.10%+6%=2•x%9.二次函数y=x2+(2m﹣1)x+m2﹣1的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x12+x22=33,则m的值为(  )A.5B.﹣3C.5或﹣3D.以上都不对10.在四边形ABCD中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH垂直平分AC,点H为垂足,设AB=x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为(  )A.B.C.D.11.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC,给出下列结论:①∠DAC=∠ABC;②AD=CB;③点P是△ACQ的外心;④AC2=AE•AB;⑤CB∥GD,其中正确的结论是(  )A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,系列结论:(1)4a+b=0;(2)4a+c>2b;(3)5a+3c>0;(4)若点A(﹣2,y1),点B(,y2),点C(,y2)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若m≠2,则m(am+b)>2(2a+b),其中正确的结论有(  )A.2个B.3个C.4个D.5个 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)13.如图,△ABC中,D为BC上一点,∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,则CD的长为  .14.PA,PB分别切⊙O于A,B两点,点C为⊙O上不同于AB的任意一点,已知∠P=40°,则∠ACB的度数是  .15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=,以点C为圆心,CB的长为半径画弧,与AB边交于点D,将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合,则图中阴影部分的面积为  .16.如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为  . 三、解答题(本大题共6小题,共64分)17.已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是  ;(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是  ;(3)△A2B2C2的面积是  平方单位.18.某中学举行演讲比赛,经预赛,七、八年级各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛.(1)请直接写出九年级同学获得第一名的概率是  ;(2)用列表法或是树状图计算九年级同学获得前两名的概率.19.某商场试销一种成本为每件50元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于40%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=60时,y=50;x=70时,y=40.(1)求一次函数y=kx+b的表达式;(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?20.如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(4,6).双曲线y=(x>0)的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.(1)求k的值及点E的坐标;(2)若点F是边上一点,且△BCF∽△EBD,求直线FB的解析式.21.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∠ABC的平分线BM交AE于点M,点O在AB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交AB于点F.(1)求证:AE为⊙O的切线;(2)当BC=4,AC=6时,求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下,求线段BG的长.22.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A和点B,其中点A的坐标为(﹣2,0),抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D,与直线BC交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F使四边形ABFC的面积为17,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标. 2016-2017学年山东省日照市五莲县九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,其中1-8小题每小题3分,9-12小题每小题3分,共40分)1.从下列四张卡片中任取一张,卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是(  )A.B.C.D.1【考点】概率公式;轴对称图形;中心对称图形.【分析】根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小.【解答】解:∵四张卡片中任取一张既是轴对称又是中心对称图形的有2张,∴卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是=,故选:B. 2.方程(x﹣1)(x+2)=x﹣1的解是(  )A.﹣2B.1,﹣2C.﹣1,1D.﹣1,3【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.【解答】解:移项得:(x﹣1)(x+2)﹣(x﹣1)=0,(x﹣1)[(x+2)﹣1]=0,x﹣1=0,x+2﹣1=0,x=1或﹣1,故选C. 3.由二次函数y=3(x﹣4)2﹣2,可知(  )A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x=﹣4C.其最小值为2D.当x<3时,y随x的增大而减小【考点】二次函数的性质;二次函数的最值.【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性,可求得答案.【解答】解:∵y=3(x﹣4)2﹣2,∴抛物线开口向上,故A不正确;对称轴为x=4,故B不正确;当x=4时,y有最小值﹣2,故C不正确;当x<3时,y随x的增大而减小,故D正确;故选D. 4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则反比例函数与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是(  )A.B.C.D.【考点】二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知a<0,再由函数图象经过原点可知c=0,利用排除法即可得出正确答案.【解答】解:∵二次函数的图象开口向下,∴反比例函数y=的图象必在二、四象限,故A、C错误;∵二次函数的图象经过原点,∴c=0,∴一次函数y=bx+c的图象必经过原点,故B错误.故选D. 5.如图,C,D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠ACD=30°,则∠CAB=(  )A.15°B.20°C.25°D.30°【考点】圆周角定理;等腰三角形的性质.【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA,根据∠CDA=∠CBA,再根据直径的性质得∠ACB=90°,由此即可解决问题.【解答】解:∵∠ACD=30°,CA=CD,∴∠CAD=∠CDA==75°,∴∠ABC=∠ADC=75°,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°﹣∠B=15°,故选A. 6.如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线于点F,若S△DEC=9,则S△BCF=(  )A.6B.8C.10D.12【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF,由已知条件求出△DEF的面积,根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△BCF,∴=, =()2,∵E是边AD的中点,∴DE=AD=BC,∴=,∴△DEF的面积=S△DEC=3,∴S△BCF=12;故选D. 7.如图,MN是⊙O的直径,MN=4,∠AMN=30°,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为(  )A.2B.2C.4D.4【考点】圆周角定理;轴对称-最短路线问题.【分析】过A作关于直线MN的对称点A′,连接A′B,由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值,由对称的性质可知=,再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数,再由勾股定理即可求解.【解答】解:过A作关于直线MN的对称点A′,连接A′B,由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值,连接OB,OA′,AA′,∵AA′关于直线MN对称,∴=,∵∠AMN=30°,∴∠A′ON=60°,∠BON=30°,∴∠A′OB=90°,过O作OQ⊥A′B于Q,在Rt△A′OQ中,OA′=2,∴A′B=2A′Q=2,即PA+PB的最小值2.故选B. 8.某市2015年国内生产总值(GDP)比2014年增长了10%,由于受到国际金融危机的影响,预计2016年比2015年增长6%,若这两年GDP年平均增长率为x%,则x%满足的关系是(  )A.10%+6%=x%B.(1+10%)(1+6%)=2(1+x%)C.(1+10%)(1+6%)=(1+x%)2D.10%+6%=2•x%【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】根据平均增长率:a(1+x)n,可得答案.【解答】解:由题意,得(1+10%)(1+6%)=(1+x%)2,故选:C. 9.二次函数y=x2+(2m﹣1)x+m2﹣1的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x12+x22=33,则m的值为(  )A.5B.﹣3C.5或﹣3D.以上都不对【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】二次函数解析式令y=0得到关于x的一元二次方程,利用根与系数关系表示出两根之和与两根之积,已知等式变形后代入求出m的值即可.【解答】解:令y=0,得到x2+(2m﹣1)x+m2﹣1=0,∵二次函数图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x12+x22=33,∴x1+x2=﹣(2m﹣1),x1x2=m2﹣1,△=(2m﹣1)2﹣4(m2﹣1)≥0,∴(x1+x2)2﹣2x1x2=(2m﹣1)2﹣2(m2﹣1)=33,整理得:m2﹣2m﹣15=0,即(m﹣5)(m+3)=0,解得:m=5或m=﹣3,当m=5时,二次函数为y=x2+9x+24,此时△=81﹣96=﹣15<0,与x轴没有交点,舍去,则m的值为﹣3,故选B 10.在四边形ABCD中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH垂直平分AC,点H为垂足,设AB=x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为(  )A.B.C.D.【考点】动点问题的函数图象.【分析】先利用线段垂直平分线的性质得到AD=CD=y,AH=CH=AC=2,∠CHD=90°,再证明△CDH∽△ACB,则利用相似比可得到y=(0<x<4),然后利用反比例函数的图象和自变量的取值范围对各选项进行判断.【解答】解:∵DH垂直平分AC,∴AD=CD=y,AH=CH=AC=2,∠CHD=90°,∵CD∥AB,∴∠DCH=∠BAC,∴△CDH∽△ACB,∴=, =,∴y=(0<x<4).故选B. 11.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC,给出下列结论:①∠DAC=∠ABC;②AD=CB;③点P是△ACQ的外心;④AC2=AE•AB;⑤CB∥GD,其中正确的结论是(  )A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④【考点】相似三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理;射影定理.【分析】在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,据此推理可得①正确,②错误;通过推理可得∠ACE=∠CAP,得出AP=CP,再根据∠PCQ=∠PQC,可得出PC=PQ,进而得到AP=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点,故P为Rt△ACQ的外心,即可得出③正确;连接BD,则∠ADG=∠ABD,根据∠ADG≠∠BAC,∠BAC=∠BCE=∠PQC,可得出∠ADG≠∠PQC,进而得到CB与GD不平行,可得⑤错误.【解答】解:∵在⊙O中,点C是的中点,∴=,∴∠CAD=∠ABC,故①正确;∵≠,∴≠,∴AD≠BC,故②错误;∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵CE⊥AB,∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°,∴∠ACE=∠ABC,又∵C为的中点,∴=,∴∠CAP=∠ABC,∴∠ACE=∠CAP,∴AP=CP,∵∠ACQ=90°,∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°,∴∠PCQ=∠PQC,∴PC=PQ,∴AP=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点,∴P为Rt△ACQ的外心,故③正确;∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵CE⊥AB∴根据射影定理,可得AC2=AE•AB,故④正确;如图,连接BD,则∠ADG=∠ABD,∵≠,∴≠,∴∠ABD≠∠BAC,∴∠ADG≠∠BAC,又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC,∴∠ADG≠∠PQC,∴CB与GD不平行,故⑤错误.故答案为:D. 12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,系列结论:(1)4a+b=0;(2)4a+c>2b;(3)5a+3c>0;(4)若点A(﹣2,y1),点B(,y2),点C(,y2)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若m≠2,则m(am+b)>2(2a+b),其中正确的结论有(  )A.2个B.3个C.4个D.5个【考点】二次函数图象与系数的关系.【分析】根据对称轴可判断(1);根据当x=﹣2时y<0可判断(2);由图象过点(﹣1,0)知a﹣b+c=0,即c=﹣a+b=﹣a﹣4a=﹣5a,从而得5a+3c=5a﹣15a=﹣10a,再结合开口方向可判断(3);根据二次函数的增减性可判断(4);根据函数的最值可判断(5).【解答】解:∵抛物线的对称轴为x=﹣=2,∴b=﹣4a,即4a+b=0,故(1)正确;由图象知,当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c<0,∴4a+c<2b,故(2)错误;∵图象过点(﹣1,0),∴a﹣b+c=0,即c=﹣a+b=﹣a﹣4a=﹣5a,∴5a+3c=5a﹣15a=﹣10a,∵抛物线的开口向下,∴a<0,则5a+3c=﹣10a>0,故(3)正确;由图象知抛物线的开口向下,对称轴为x=2,∴离对称轴水平距离越远,函数值越小,∴y1<y2<y3,故(4)错误;∵当x=2时函数取得最大值,且m≠2,∴am2+bm+c<4a+2b+c,即m(am+b)<2(2a+b),故(5)错误;故选:A. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)13.如图,△ABC中,D为BC上一点,∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,则CD的长为 5 .【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】易证△BAD∽△BCA,然后运用相似三角形的性质可求出BC,从而可得到CD的值.【解答】解:∵∠BAD=∠C,∠B=∠B,∴△BAD∽△BCA,∴=.∵AB=6,BD=4,∴=,∴BC=9,∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5.故答案为5. 14.PA,PB分别切⊙O于A,B两点,点C为⊙O上不同于AB的任意一点,已知∠P=40°,则∠ACB的度数是 70°或110° .【考点】切线的性质.【分析】连接OA、OB,可求得∠AOB,再分点C在上和上,可求得答案.【解答】解:如图,连接OA、OB,∵PA,PB分别切⊙O于A,B两点,∴∠PAO=∠PBO=90°,∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°,当点C1在上时,则∠AC1B=∠AOB=70°,当点C2在上时,则∠AC2B+∠AC1B=180°,∴∠AC2B=110°,故答案为:70°或110°. 15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=,以点C为圆心,CB的长为半径画弧,与AB边交于点D,将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合,则图中阴影部分的面积为 ﹣ .【考点】扇形面积的计算;中心对称图形.【分析】阴影部分的面积=三角形的面积﹣扇形的面积,根据面积公式计算即可.【解答】解:由旋转可知AD=BD,∵∠ACB=90°,AC=,∴CD=BD,∵CB=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD=∠CBD=60°,∴BC=1,∴阴影部分的面积=﹣,故答案为:﹣. 16.如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为 2 .【考点】反比例函数综合题.【分析】设M点坐标为(a,b),而M点在反比例函数图象上,则k=ab,即y=,由点M为矩形OABC对角线的交点,根据矩形的性质易得A(2a,0),C(0,2b),B(2a,2b),利用坐标的表示方法得到D点的横坐标为2a,E点的纵坐标为2b,而点D、点E在反比例函数y=的图象上(即它们的横纵坐标之积为ab),可得D点的纵坐标为b,E点的横坐标为a,利用S矩形OABC=S△OAD+S△OCE+S四边形ODBE,得到2a•2b=•2a•b+•2b•a+6,求出ab,即可得到k的值.【解答】解:设M点坐标为(a,b),则k=ab,即y=,∵点M为矩形OABC对角线的交点,∴A(2a,0),C(0,2b),B(2a,2b),∴D点的横坐标为2a,E点的纵坐标为2b,又∵点D、点E在反比例函数y=的图象上,∴D点的纵坐标为b,E点的横坐标为a,∵S矩形OABC=S△OAD+S△OCE+S四边形ODBE,∴2a•2b=•2a•b+•2b•a+6,∴ab=2,∴k=2.故答案为2. 三、解答题(本大题共6小题,共64分)17.已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 (2,﹣2) ;(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 (1,0) ;(3)△A2B2C2的面积是 10 平方单位.【考点】作图-位似变换;作图-平移变换.【分析】(1)利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案;(2)利用位似图形的性质得出对应点位置即可;(3)利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积.【解答】解:(1)如图所示:C1(2,﹣2);故答案为:(2,﹣2);(2)如图所示:C2(1,0);故答案为:(1,0);(3)∵A2C22=20,B2C=20,A2B2=40,∴△A2B2C2是等腰直角三角形,∴△A2B2C2的面积是:×20=10平方单位.故答案为:10. 18.某中学举行演讲比赛,经预赛,七、八年级各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛.(1)请直接写出九年级同学获得第一名的概率是  ;(2)用列表法或是树状图计算九年级同学获得前两名的概率.【考点】列表法与树状图法.【分析】(1)根据概率公式可得;(2)根据题意先画出树状图,得出所有情况数,再根据概率公式即可得出答案.【解答】解:(1)九年级同学获得第一名的概率是=,故答案为:;(2)画树状图如下:∴九年级同学获得前两名的概率为=. 19.某商场试销一种成本为每件50元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于40%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=60时,y=50;x=70时,y=40.(1)求一次函数y=kx+b的表达式;(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?【考点】二次函数的应用.【分析】(1)待定系数法求解可得;(2)根据总利润=单件利润×销售量列出函数解析式,再结合自变量的取值范围,依据二次函数的性质可得函数的最值情况.【解答】解:(1)根据题意得,解得:,∴一次函数的表达式为y=﹣x+110;(2)W=(x﹣50)(﹣x+100)=﹣x2+160x﹣5500,∵销售单价不低于成本单价,且获利不得高于40%,即50≤x≤50×(1+40%),∴50≤x≤70,∵当x=﹣=80时不在范围内,∴当x=70时,W最大=800元,答:销售单价定为70元时,商场可获得最大利润,最大利润是800元. 20.如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(4,6).双曲线y=(x>0)的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.(1)求k的值及点E的坐标;(2)若点F是边上一点,且△BCF∽△EBD,求直线FB的解析式.【考点】反比例函数综合题.【分析】(1)由条件可先求得点D的坐标,代入反比例函数可求得k的值,又由点E的位置可求得E点的横坐标,代入可求得E点坐标;(2)由相似三角形的性质可求得CF的长,可求得OF,则可求得F点的坐标,利用待定系数法可求得直线FB的解析式.【解答】解:(1)在矩形OABC中,∵B(4,6),∴BC边中点D的坐标为(2,6),∵又曲线y=的图象经过点(2,6),∴k=12,∵E点在AB上,∴E点的横坐标为4,∵y=经过点E,∴E点纵坐标为3,∴E点坐标为(4,3);(2)由(1)得,BD=2,BE=3,BC=4,∵△FBC∽△DEB,∴=,即=,∴CF=,∴OF=,即点F的坐标为(0,),设直线FB的解析式为y=kx+b,而直线FB经过B(4,6),F(0,),∴,解得,∴直线BF的解析式为y=x+. 21.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∠ABC的平分线BM交AE于点M,点O在AB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交AB于点F.(1)求证:AE为⊙O的切线;(2)当BC=4,AC=6时,求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下,求线段BG的长.【考点】圆的综合题.【分析】(1)连接OM,如图1,先证明OM∥BC,再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC,则OM⊥AE,然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线;(2)设⊙O的半径为r,利用等腰三角形的性质得到BE=CE=BC=2,再证明△AOM∽△ABE,则利用相似比得到=,然后解关于r的方程即可;(3)作OH⊥BE于H,如图,易得四边形OHEM为矩形,则HE=OM=,所以BH=BE﹣HE=,再根据垂径定理得到BH=HG=,所以BG=1.【解答】(1)证明:连接OM,如图1,∵BM是∠ABC的平分线,∴∠OBM=∠CBM,∵OB=OM,∴∠OBM=∠OMB,∴∠CBM=∠OMB,∴OM∥BC,∵AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∴AE⊥BC,∴OM⊥AE,∴AE为⊙O的切线;(2)解:设⊙O的半径为r,∵AB=AC=6,AE是∠BAC的平分线,∴BE=CE=BC=2,∵OM∥BE,∴△AOM∽△ABE,∴=,即=,解得r=,即设⊙O的半径为;(3)解:作OH⊥BE于H,如图,∵OM⊥EM,ME⊥BE,∴四边形OHEM为矩形,∴HE=OM=,∴BH=BE﹣HE=2﹣=,∵OH⊥BG,∴BH=HG=,∴BG=2BH=1. 22.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A和点B,其中点A的坐标为(﹣2,0),抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D,与直线BC交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F使四边形ABFC的面积为17,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.【考点】二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;平行四边形的判定.【分析】方法一:(1)先把C(0,4)代入y=ax2+bx+c,得出c=4①,再由抛物线的对称轴x=﹣=1,得到b=﹣2a②,抛物线过点A(﹣2,0),得到0=4a﹣2b+c③,然后由①②③可解得,a=﹣,b=1,c=4,即可求出抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4;(2)假设存在满足条件的点F,连结BF、CF、OF,过点F作FH⊥x轴于点H,FG⊥y轴于点G.设点F的坐标为(t,﹣t2+t+4),则FH=﹣t2+t+4,FG=t,先根据三角形的面积公式求出S△OBF=OB•FH=﹣t2+2t+8,S△OFC=OC•FG=2t,再由S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC,得到S四边形ABFC=﹣t2+4t+12.令﹣t2+4t+12=17,即t2﹣4t+5=0,由△=(﹣4)2﹣4×5=﹣4<0,得出方程t2﹣4t+5=0无解,即不存在满足条件的点F;(3)先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+4,再求出抛物线y=﹣x2+x+4的顶点D(1,),由点E在直线BC上,得到点E(1,3),于是DE=﹣3=.若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,因为DE∥PQ,只须DE=PQ,设点P的坐标是(m,﹣m+4),则点Q的坐标是(m,﹣m2+m+4).分两种情况进行讨论:①当0<m<4时,PQ=(﹣m2+m+4)﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,解方程﹣m2+2m=,求出m的值,得到P1(3,1);②当m<0或m>4时,PQ=(﹣m+4)﹣(﹣m2+m+4)=m2﹣2m,解方程m2﹣2m=,求出m的值,得到P2(2+,2﹣),P3(2﹣,2+).方法二:(1)略.(2)利用水平底与铅垂高乘积的一半,可求出△BCF的面积函数,进而求出点F坐标,因为,所以无解.(3)因为PQ∥DE,所以只需PQ=AC即可,求出PQ的参数长度便可列式求解.【解答】方法一:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点C(0,4),∴c=4 ①.∵对称轴x=﹣=1,∴b=﹣2a ②.∵抛物线过点A(﹣2,0),∴0=4a﹣2b+c ③,由①②③解得,a=﹣,b=1,c=4,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4;(2)假设存在满足条件的点F,如图所示,连结BF、CF、OF,过点F作FH⊥x轴于点H,FG⊥y轴于点G.设点F的坐标为(t,﹣t2+t+4),其中0<t<4,则FH=﹣t2+t+4,FG=t,∴S△OBF=OB•FH=×4×(﹣t2+t+4)=﹣t2+2t+8,S△OFC=OC•FG=×4×t=2t,∴S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12.令﹣t2+4t+12=17,即t2﹣4t+5=0,则△=(﹣4)2﹣4×5=﹣4<0,∴方程t2﹣4t+5=0无解,故不存在满足条件的点F;(3)设直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0),∵B(4,0),C(0,4),∴,解得,∴直线BC的解析式为y=﹣x+4.由y=﹣x2+x+4=﹣(x﹣1)2+,∴顶点D(1,),又点E在直线BC上,则点E(1,3),于是DE=﹣3=.若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,因为DE∥PQ,只须DE=PQ,设点P的坐标是(m,﹣m+4),则点Q的坐标是(m,﹣m2+m+4).①当0<m<4时,PQ=(﹣m2+m+4)﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,由﹣m2+2m=,解得:m=1或3.当m=1时,线段PQ与DE重合,m=1舍去,∴m=3,P1(3,1).②当m<0或m>4时,PQ=(﹣m+4)﹣(﹣m2+m+4)=m2﹣2m,由m2﹣2m=,解得m=2±,经检验适合题意,此时P2(2+,2﹣),P3(2﹣,2+).综上所述,满足题意的点P有三个,分别是P1(3,1),P2(2+,2﹣),P3(2﹣,2+).方法二:(1)略.(2)∵B(4,0),C(0,4),∴lBC:y=﹣x+4,过F点作x轴垂线,交BC于H,设F(t,﹣t2+t+4),∴H(t,﹣t+4),∵S四边形ABFC=S△ABC+S△BCF=17,∴(4+2)×4+(﹣t2+t+4+t﹣4)×4=17,∴t2﹣4t+5=0,∴△=(﹣4)2﹣4×5<0,∴方程t2﹣4t+5=0无解,故不存在满足条件的点F.(3)∵DE∥PQ,∴当DE=PQ时,以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,∵y=﹣x2+x+4,∴D(1,),∵lBC:y=﹣x+4,∴E(1,3),∴DE=﹣3=,设点F的坐标是(m,﹣m+4),则点Q的坐标是(m,﹣m2+m+4),∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|=,∴m2﹣2m=或m2﹣2m=﹣,∴m=1,m=3,m=2+,m=2﹣,经检验,当m=1时,线段PQ与DE重合,故舍去.∴P1(3,1),P2(2+,2﹣),P3(2﹣,2+). 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