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2016-2017学年上海市闵行区六校九年级(上)期中数学试卷(解析版).doc

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2016 2017 学年 上海市 闵行区 九年级 期中 数学试卷 解析
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2016-2017学年上海市闵行区六校九年级(上)期中数学试卷 一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.(4分)下列图形一定相似的是(  )A.两个矩形B.两个等腰梯形C.对应边成比例的两个四边形D.有一个内角相等的菱形2.(4分)如图,AB∥CD,AD与BC交于点O,下列各式正确的是(  )A. =B. =C. =D. =3.(4分)若两个相似三角形对应高之比是9:16,则它们的对应角平分线之比为(  )A.9:16B.16:9C.3:4D.4:34.(4分)如图,在梯形ABCD中,E、F分别为腰AD、BC的中点,若,则向量可表示为(  )A.B.C.D.5.(4分)已知线段a,b,c,求作线段x,使ax=bc,下列作图中正确的是(  )A.B.C.D.6.(4分)如图,四边形ABCD中,点F在边AD上,BF的延长线交CD的延长线于E点,下列式子中能推出AD∥BC的式子是(  )A.FD•EC=ED•BCB.AF•EF=BF•DFC.EF•EC=ED•BED.AB•FD=DE•AF 二.填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.(4分)若4x=3y,则x:y=   .8.(4分)已知线段a=4厘米,b=3厘米,那么线段a与b的比例中项c=   厘米.9.(4分)在一比例尺为1:15000000的卫星地图上,测得上海和南京两地的距离大约是2cm,那么这两地的实际距离大约是   千米.10.(4分)如果把长度为4cm的线段进行黄金分割,那么较短的线段长是   cm.11.(4分)已知α为一锐角,化简: +sinα=   .12.(4分)如图,AB∥CD∥EF,如果AC:CE=2:3,BF=10,那么线段DF的长为   .13.(4分)已知:在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,且DE∥BC,AD:BD=1:2,那么S△ADE:S△ABC=   .14.(4分)在△ABC中,AB=6,BC=8,CA=7,延长CA至点P,联结BP使∠PBA=∠C,那么AP的长为   .15.(4分)如图:直线MN∥BC,直线MN经过△ABC的重心,且直线MN交AB、AC于点D、E,那么△ADE与△ABC的相似比的值是   .16.(4分)如果与单位向量的方向相反,且长度为5,用单位向量表示,则=   .17.(4分)在△ABC中,∠C=90°,若AC=m,∠A=θ,那么AB的长是   (用含m和θ的式子表示).18.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,点D、E分别是边BC、AC上的点,且∠EDC=∠A,将△ABC沿DE翻折,若点C恰好落在边AB上,则 DE的长为   . 二、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.(10分)计算:﹣tan60°﹣cot45°.20.(10分)如图,已知两个不平行的向量与,先化简,再求作:(3+)﹣(2﹣).21.(10分)已知: ==,且a+b+c=20,求2a+b﹣c的值.22.(10分)已知:如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是边BC的中点,DE⊥AM,垂足为E.求:(1)线段DE的长;(2)∠ADE的余弦值.23.(12分)△ABC中,已知AD为∠BAC的平分线,EF为AD的垂直平分线,交BC的延长线于点E,联结AE.(1)求证:△AEC∽△BEA;(2)求证:ED2=EB•EC.24.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.(1)求证:AC2=AD•AB;(2)求证:AC2+BC2=AB2(即证明勾股定理);(3)如果AC=4,BC=9,那么AD:DB的值是   ;(4)如果AD=4,DB=9,那么AC:BC的值是   .25.(14分)如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=5,∠ABC=60°,E是AB边上一点,AE:BE=2:3,点F是射线BC上一点,联结EF交射线DC于点G,(1)求BC的长;(2)若点F在BC的延长线上,设CF=x, =y,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;(3)当CF=2时,求DG的长. 2016-2017学年上海市闵行区六校九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.(4分)下列图形一定相似的是(  )A.两个矩形B.两个等腰梯形C.对应边成比例的两个四边形D.有一个内角相等的菱形【解答】解:A、两个矩形的对应角相等,但对应边的比不一定相等,故错误;B、两个等腰梯形不一定相似,故错误;C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形,故错误;D、有一个内角相等的菱形是相似图形,故正确,故选:D. 2.(4分)如图,AB∥CD,AD与BC交于点O,下列各式正确的是(  )A. =B. =C. =D. =【解答】解:∵AB∥CD,∴△ABO∽△DCO.∴.故选:A. 3.(4分)若两个相似三角形对应高之比是9:16,则它们的对应角平分线之比为(  )A.9:16B.16:9C.3:4D.4:3【解答】解:∵两个相似三角形对应高之比是9:16,∴两个相似三角形的相似比是9:16,∴它们的对应角平分线之比为9:16,故选:A. 4.(4分)如图,在梯形ABCD中,E、F分别为腰AD、BC的中点,若,则向量可表示为(  )A.B.C.D.【解答】解:∵=++=5,==3,又=, =,∴=.故选:B. 5.(4分)已知线段a,b,c,求作线段x,使ax=bc,下列作图中正确的是(  )A.B.C.D.【解答】解:A、由ax=bc得,但x是所求线段,所以图形不能画出,故选项A不正确;B、由ax=bc得,故选项B不正确;C、由ax=bc得,故选项C正确;D、由得ac=bx,与已知不符合,故选项D不正确;故选:C. 6.(4分)如图,四边形ABCD中,点F在边AD上,BF的延长线交CD的延长线于E点,下列式子中能推出AD∥BC的式子是(  )[来源:学科网]A.FD•EC=ED•BCB.AF•EF=BF•DFC.EF•EC=ED•BED.AB•FD=DE•AF【解答】解:A、FD•EC=ED•BC,可得,能推出AD∥BC,正确;B、AF•EF=BF•DF,可得,能推出AB∥CD,错误;C、EF•EC=ED•BE,可得,不是得出,不能推出AD∥BC,错误;D、AB•FD=DE•AF,可得,能推出AB∥CD,不能推出AD∥BC,错误;故选:A. 二.填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.(4分)若4x=3y,则x:y= 3:4 .【解答】解:x:y=3:4,故答案为:3:4. 8.(4分)已知线段a=4厘米,b=3厘米,那么线段a与b的比例中项c= 2 厘米.【解答】解:∵线段a和b的比例中项为c,∴a:c=c:b,即4:c=c:3,∴c=2(cm).故答案为2. 9.(4分)在一比例尺为1:15000000的卫星地图上,测得上海和南京两地的距离大约是2cm,那么这两地的实际距离大约是 300 千米.【解答】解:设这两地的实际距离是xcm,根据题意得: =,解得:x=30000000,∵30000000cm=300km,∴这两地的实际距离是300km.故答案为:300. 10.(4分)如果把长度为4cm的线段进行黄金分割,那么较短的线段长是 6﹣2 cm.【解答】解:把长度为4cm的线段进行黄金分割,那么较长的线段长为:×4=2﹣2,则较短的线段长为4﹣(2﹣2)=(6﹣2)cm,故答案为:6﹣2. 11.(4分)已知α为一锐角,化简: +sinα= 1 .【解答】解:∵α是锐角,∴sinα<1,∴原式=1﹣sinα+sinα=1.故答案为:1. 12.(4分)如图,AB∥CD∥EF,如果AC:CE=2:3,BF=10,那么线段DF的长为 6 .【解答】解:∵AB∥CD∥EF,∴==,∵BF=10,∴DF=10×=6;故答案为;6. 13.(4分)已知:在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,且DE∥BC,AD:BD=1:2,那么S△ADE:S△ABC= 1:9 .【解答】解:如图,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵AD:BD=1:2,∴=,∴S△ADE:S△ABC=()2=1: 9.故答案为:1:9. 14.(4分)在△ABC中,AB=6,BC=8,CA=7,延长CA至点P,联结BP使∠PBA=∠C,那么AP的长为 9 .【解答】解:如图,由已知∠PBA=∠C,∠P=∠P,∴△PAB∽△PBC,即==,设PA=x,PB=y,则有,解方程组可得x=9,∴PA=9,故答案为:9. 15.(4分)如图:直线MN∥BC,直线MN经过△ABC的重心,且直线MN交AB、AC于点D、E,那么△ADE与△ABC的相似比的值是  .【解答】解:设△ABC的重心为点O,AO的延长线交BC于H,如图,∵点O为△ABC的重心,∴AO:OH=2:1,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴===.即△ADE与△ABC的相似比的值为.故答案为. 16.(4分)如果与单位向量的方向相反,且长度为5,用单位向量表示,则= ﹣5 .【解答】解:∵与单位向量的方向相反,且长度为5,∴=﹣5.故答案是:﹣5. 17.(4分)在△ABC中,∠C=90°,若AC=m,∠A=θ,那么AB的长是  (用含m和θ的式子表示).【解答】解:在直角三角形ABC中,cosθ=,∴AB=;又∵AC=m,∴AB=.故答案为:. 18.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,点D、E分别是边BC、AC上的点,且∠EDC=∠A,将△ABC沿DE翻折,若点C恰好落在边AB上,则 DE的长为  .【解答】解:作CH⊥AB于H,∵∠ACB=90°,AB=5,AC=3,∴BC=4,CH=,∵∠ACB=90°,AF=FB,∴CF=AB=,∴CG=,∵∠ECG+∠CEG=90°,∠ECG+∠GCD=90°,∵∠GCD=∠CEG,∵CF=BF,∴∠CBF=∠CEG,∴△ECD∽△BCA,∴,即,解得DE=,故答案为: 二、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.(10分)计算:﹣tan60°﹣cot45°.【解答】解:原式=﹣﹣1=﹣﹣1=+﹣﹣1=﹣1. 20.(10分)如图,已知两个不平行的向量与,先化简,再求作:(3+)﹣(2﹣).【解答】解:(3+)﹣(2﹣)=3+)﹣2+=+2.[来源:学#科#网Z#X#X#K] 21.(10分)已知: ==,且a+b+c=20,求2a+b﹣c的值.【解答】解:设===k,则a=5k,b=7k,c=8k,∵a+b+c=20,∴5k+7k+8k=20,解得k=1,∴a=5,b=7,c=8,∴2a+b﹣c=2×5+7﹣8=9. [来源:学科网]22.(10分)已知:如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是边BC的中点,DE⊥AM,垂足为E.求:(1)线段DE的长;(2)∠ADE的余弦值.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∠DAE=∠AMB,∵DE⊥AM,∴∠ADE=∠B=90°,∴△ADE∽△MAB,∵M 是BC中点,BC=6,∴BM=3,根据勾股定理得AM===5,∵△ADE∽△MAB,∴DE:AB=AD:AM,即DE:4=6:5,∴DE=;(2)在Rt△ADE中,DE=,AD=6∴cos∠ADE===.或者:cos∠ADE=cos∠BAM==. 23.(12分)△ABC中,已知AD为∠BAC的平分线, EF为AD的垂直平分线,交BC的延长线于点E,联结AE.(1)求证:△AEC∽△BEA;(2)求证:ED2=EB•EC.【解答】证明:(1)连接AE,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2,∵FE是AD的垂直平分线,∴EA=ED(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),∴∠EAD=∠EDA(等边对等角),[来源:学§科§网Z§X§X§K]∵∠BAE=∠EAD+∠1,∠ACE=∠EDA+∠2,∴∠BAE=∠ACE,又∵∠BFA=∠AFB,∴△BAE∽△ACE,(2)∵△BAE∽△ACE,∴,∴AE2=BE•CE,∴DE2=BE•CE. 24.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.(1)求证:AC2=AD•AB;(2)求证:AC2+BC2=AB2(即证明勾股定理);(3)如果AC=4,BC=9,那么AD:DB的值是 16:81 ;(4)如果AD=4,DB=9,那么AC:BC的值是 2:3 .【解答】证明:(1)∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB=90°,∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴=,∴AC2=AD•AB.(2)同理可证BC2=BD•AB,∵AC2=AD•AB.∴AC2+BC2=AD•AB+BD•AB=AB2,∴AC2+BC2=AB2.(3)∵BC2=BD•AB,AC2=AD•AB,∴=,∴==.故答案为16:81(4)∵BC2=BD•AB,AC2=AD•AB,∴=,∴==,∴=.故答案为2:3. 25.(14分)如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=5,∠ABC=60°,E是AB边上一点,AE:BE=2:3,点F是射线BC上一点,联结EF交射线DC于点G,(1)求BC的长;(2)若点F在BC的延长线上,设CF=x, =y,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;(3)当CF=2时,求DG的长.【解答】(1)证明:如图1,分别过点A、D作AH⊥BC,DQ⊥BC,垂足分别为H、Q,由题意可得:AH=QD,在Rt△ABH和Rt△DCQ中,,∴Rt△ABH≌Rt△DCQ(HL),∴BH=CQ,∵∠ABC=60°,AB=CD=AD=5,∴BH=CQ=,∴BC=10;(2)解:如图2,延长DA和FE 相交于点P,∵AD∥BC,∴==,∵BC=10,CF=x,∴BF=10+x,∴=,[来源:学科网ZXXK]∴AP=(10+x),又∵AD∥BC, =y,∴==y,y==(x>0);(3)解:如图2,当F在BC的延长线上时,∵CF=2,∴y==,∴=,∴DG=,如图3,当F在线段BC上时,∵AD∥BC,∴=,∵CF=2,AE:BE=2:3,∴=,∴AP=,∵=,∴=,∴DG=,综上所述DG的值为:和. 
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