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2016年北京市高考文科数学试题及答案.doc

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2016 北京市 高考 文科 数学试题 答案
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绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合,则 (A) (B)(C)(D)(2)复数 (A)i(B)1+i(C) (D)(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(A)8(B)9(C)27(D)36 (4)下列函数中,在区间 上为减函数的是(A) (B) (C) (D) (5)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为(A)1 (B)2 (C) (D)2(6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(A) (B) (C) (D) (7)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x−y的最大值为(A)−1 (B)3 (C)7 (D)8 (8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位:次)63a7560637270a−1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则(A)2号学生进入30秒跳绳决赛 (B)5号学生进入30秒跳绳决赛 (C)8号学生进入30秒跳绳决赛 (D)9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分(非选择题共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(9)已知向量 ,则a与b夹角的大小为_________.(10)函数的最大值为_________.(11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.(12) 已知双曲线 (a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为( ,0),则a=_______;b=_____________.(13)在△ABC中, ,a=c,则=_________.(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种;②这三天售出的商品最少有_______种.三、解答题(共6题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)(15)(本小题13分)已知{an}是等差数列,{bn}是等差数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设cn= an+ bn,求数列{cn}的前n项和.(16)(本小题13分)已知函数f(x)=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.(17)(本小题13分)某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(I)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?(II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.(18)(本小题14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,(I)求证:;(II)求证:;(III)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得?说明理由.(19)(本小题14分)已知椭圆C:过点A(2,0),B(0,1)两点.(I)求椭圆C的方程及离心率;(II)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.(20)(本小题13分)设函数(I)求曲线在点处的切线方程;(II)设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围;(III)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)(1)C (2)A (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(9) (10)2 (11) (12)1 2 (13)1 (14)16 29三、解答题(共6小题,共80分)(15)(共13分)解:(I)等比数列的公比,所以,.设等差数列的公差为.因为,,所以,即.所以(,,,).(II)由(I)知,,.因此.从而数列的前项和.(16)(共13分)解:(I)因为,所以的最小正周期.依题意,,解得.(II)由(I)知.函数的单调递增区间为().由,得.所以的单调递增区间为().(17)(共14分)解:(I)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间,,,,内的频率依次为,,,,.所以该月用水量不超过立方米的居民占%,用水量不超过立方米的居民占%.依题意,至少定为.(II)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:组号12345678分组频率根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:(元).(18)(共13分)解:(I)因为平面,所以.又因为,所以平面.(II)因为,,所以.因为平面,所以.所以平面.所以平面平面.(III)棱上存在点,使得平面.证明如下:取中点,连结,,.又因为为的中点,所以.又因为平面,所以平面. (19)(共14分)解:(I)由题意得,,.所以椭圆的方程为.又,所以离心率.(II)设(,),则.又,,所以,直线的方程为.令,得,从而.直线的方程为.令,得,从而.所以四边形的面积.从而四边形的面积为定值.(20)(共13分)解:(I)由,得.因为,,所以曲线在点处的切线方程为.(II)当时,,所以.令,得,解得或.与在区间上的情况如下:所以,当且时,存在,,,使得.由的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同零点.(III)当时,,,此时函数在区间上单调递增,所以不可能有三个不同零点.当时,只有一个零点,记作.当时,,在区间上单调递增;当时,,在区间上单调递增.所以不可能有三个不同零点.综上所述,若函数有三个不同零点,则必有.故是有三个不同零点的必要条件.当,时,,只有两个不同点, 所以不是有三个不同零点的充分条件.因此是有三个不同零点的必要而不充分条件.
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