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2016年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)(解析版).doc

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2016 安徽省 合肥市 高考 数学 试卷 理科 解析
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2016年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科) 一、选择题(每题5分)1.若集合M={x∈R|x2﹣4x<0},集合N={0,4},则M∪N=(  )A.[0,4]B.[0,4)C.(0,4]D.(0,4)2.设i为虚数单位,复数z=,则z的共轭复数=(  )A.﹣1﹣3iB.1﹣3iC.﹣1+3iD.1+3i3.在正项等比数列{an}中,a1008•a1009=,则lga1+lga2+…+lga2016=(  )A.2015B.2016C.﹣2015D.﹣20164.已知双曲线﹣=1的焦距为10,一条渐近线的斜率为2,则双曲线的标准方程是(  )A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=15.直线m:x+(a2﹣1)y+1=0,直线n:x+(2﹣2a)y﹣1=0,则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图,若输入的m,n分别为204,85,则输出的m=(  )A.2B.7C.34D.857.若等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,若∀n∈N*,都有Sn≤S10,则(  )A.∀n∈N*,都有an<an﹣1B.a9•a10>0C.S2>S17D.S19≥08.设不等式组表示的平面区域为Ω,则当直线y=k(x﹣1)与区域Ω有公共点时,k的取值范围是(  )A.[﹣2,+∞)B.(﹣∞,0]C.[﹣2,0]D.(﹣∞,﹣2]∪[0,+∞)9.(1﹣)(2+)6的展开式中,x项的系数是(  )A.58B.62C.238D.24210.某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成,其三视图如图所示,该饮料瓶的表面积为(  )A.81πB.125πC.(41+7)πD.(73+7)π11.甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛,比赛项目由现场抽签决定,甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球,记下技能名称后放回盒中,再由乙选手摸球,若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签,则甲未抽到技能1号,乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于(  )A.B.C.D.12.关于x的不等式(x2+2x+2)sin≤ax+a的解集为[﹣1,+∞),实数a的取值范围是(  )A.[1,+∞)B.[2,+∞)C.[3,+∞)D.[4,+∞) 二、填空题(每题5分)13.已知=(1,t),=(t,4),若∥,则t=______.14.已知函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为______.15.已知函数f(x)=,则不等式f(x)>2的解集是______.16.已知数列{an}满足:a1=2,(4an+1﹣5)(4an﹣1)=﹣3,则+++…+=______. 三、解答题17.如图,在△ABC中,∠B=,AC=2.(1)若∠BAC=θ,求AB和BC的长.(结果用θ表示);(2)当AB+BC=6时,试判断△ABC的形状.18.从某校的一次学料知识竞赛成绩中,随机抽取了50名同学的成绩,统计如下: 组别[30,40][40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100] 频数 3 10 12 15 6 2 2(Ⅰ)求这50名同学成绩的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由频数分布表可以认为,本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N(μ,196),其中μ近似为样本平均数.①利用该正态分布.求P(Z>74);②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛,记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数,利用①的结果,求EX.附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<Z<+σ)=0.6826,P(μ﹣2<Z<μ+2σ)=0.9544.19.如图,直角三角形ABC中,∠A=60°,∠ABC=90°,AB=2,E为线段BC上一点,且BE=BC,沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置.(1)求证:PE⊥BD;(2)当平面PBD⊥平面BCD时,求二面角C﹣PB﹣D的余弦值.20.已知椭圆E: +=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2,过圆C:x2+y2=r2(0<r<b)上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A,B两点,O为坐标原点.(1)当r为何值时,OA⊥OB;(2)过椭圆E上任意一点P作(1)中所求圆的两条切线分别交椭圆于M,N,求△PMN面积的取值范围.21.已知函数f(x)=+alnx有极值点,其中e为自然对数的底数.(1)求a的取值范围;(2)若a∈(0,],求证:∀x∈(0,2],都有f(x)<. [选修4-1几何证明选讲]22.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上的一点, =,DE交AB于点F.(1)求证:PF•PO=PA•PB;(2)若PD=4,PB=2,DF=,求弦CD的弦心距. [选修4-4:坐标系与参数方程]23.已知曲线C:(α为参数),直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线C的极坐标方程,直线l的普通方程;(2)点A在曲线C上,B点在直线l上,求A,B两点间距离|AB|的最小值. [选修4-5不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+m|+|2x+1|.(1)当m=﹣1时,解不等式f(x)≤3;(2)若m∈(﹣1,0],求函数f(x)=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值. 2016年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)答案与解析 一、选择题1.若集合M={x∈R|x2﹣4x<0},集合N={0,4},则M∪N=(  )A.[0,4]B.[0,4)C.(0,4]D.(0,4)解:集合M={x∈R|x2﹣4x<0}=(0,4),集合N={0,4},则M∪N=[0,4],选A 2.设i为虚数单位,复数z=,则z的共轭复数=(  )A.﹣1﹣3i B.1﹣3i C.﹣1+3i D.1+3i解:z==,则=﹣1+3i.选C 3.在正项等比数列{an}中,a1008•a1009=,则lga1+lga2+…+lga2016=(  )A.2015 B.2016 C.﹣2015 D.﹣2016解:由正项等比数列{an}的性质可得:a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009=,则lga1+lga2+…+lga2016=lg(a1a2•…•a2015•a2016)==﹣2016.选D 4.已知双曲线﹣=1的焦距为10,一条渐近线的斜率为2,则双曲线的标准方程是(  )A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1解:由题意可得2c=10,即c=5,由一条渐近线的斜率为2,可得=2,又a2+b2=25,解得a=,b=2,即有双曲线的方程为﹣=1.选A 5.直线m:x+(a2﹣1)y+1=0,直线n:x+(2﹣2a)y﹣1=0,则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的(  )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解:在直线m:x+(a2﹣1)y+1=0上任取点P(x,y),则点P关于原点对称的点Q(﹣x,﹣y)在直线n上,∴﹣x+(2﹣2a)(﹣y)﹣1=0,化为x+(2﹣2a)y+1=0,与x+(a2﹣1)y+1=0比较,可得:a2﹣1=2﹣2a,解得a=﹣3或a=1.则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件.选A 6.执行如图的程序框图,若输入的m,n分别为204,85,则输出的m=(  )A.2B.7C.34D.85解:执行如图的程序框图,是利用辗转相除法求m,n的最大公约数,当输入m=204,n=85时,输出的m=17.选B 7.若等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,若∀n∈N*,都有Sn≤S10,则(  )A.∀n∈N*,都有an<an﹣1 B.a9•a10>0C.S2>S17 D.S19≥0解:∵∀n∈N*,都有Sn≤S10,∴a10≥0,a11≤0,∴a9+a11≥0,∴S2≥S17,S19≥0,选D 8.设不等式组表示的平面区域为Ω,则当直线y=k(x﹣1)与区域Ω有公共点时,k的取值范围是(  )A.[﹣2,+∞) B.(﹣∞,0] C.[﹣2,0] D.(﹣∞,﹣2]∪[0,+∞)解:画出满足条件的平面区域,如图示:,由,解得B(2,0),显然y=k(x﹣1)恒过(1,0),k=0时,直线是AB,k>0时,k→+∞,k<0时,k的最大值是直线AC的斜率﹣2,故k∈(﹣∞,﹣2]∪[0,+∞),选D 9.(1﹣)(2+)6的展开式中,x项的系数是(  )A.58 B.62 C.238 D.242解:(2+)6的展开式中,Tr+1==26﹣r.分别令=1, =3,解得r=2或r=6.∴(1﹣)(2+)6的展开式中,x项的系数是×1﹣2×=238.选C 10.某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成,其三视图如图所示,该饮料瓶的表面积为(  )A.81π B.125π C.(41+7)π D.(73+7)π解:由三视图可知:该几何体是由上下两部分组成,上面是一个半球,下面是一个圆台.该饮料瓶的表面积=++π×32=π.选C. 11.甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛,比赛项目由现场抽签决定,甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球,记下技能名称后放回盒中,再由乙选手摸球,若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签,则甲未抽到技能1号,乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于(  )A. B. C. D.解:甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛,比赛项目由现场抽签决定,甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球,记下技能名称后放回盒中,再由乙选手摸球,若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签,则基本事件总数n=4×4=16,甲未抽到技能1号,乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数:m=1×3+2×2=7,∴甲未抽到技能1号,乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率p=.选D 12.关于x的不等式(x2+2x+2)sin≤ax+a的解集为[﹣1,+∞),实数a的取值范围是(  )A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.[4,+∞)解:由于=1,∵x2+2x+2≤ax+a的解集为[﹣1,+∞),∴a≥2×≥2,∴实数a的取值范围为[2,+∞),选B 二、填空题13.已知=(1,t),=(t,4),若∥,则t=   .解:∵ =(1,t),=(t,4),且∥,∴1×4﹣t2=0,解得t=±2. 14.已知函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为   .解:由图可得:函数函数y=Asin(ωx+ϕ)的最小值﹣|A|=﹣,令A>0,则A=又∵,ω>0∴T=π,ω=2∴y=sin(2x+ϕ)将(,)代入y=sin(2x+ϕ)得sin(+ϕ)=﹣1即+ϕ=+2kπ,k∈Z即ϕ=+2kπ,k∈Z∵∴∴ 15.已知函数f(x)=,则不等式f(x)>2的解集是   .解:若x≥1,由f(x)>2得log2(x+1)>2,得x+1>4,即x>3.若x<1,则﹣x>﹣1,2﹣x>1,则由f(x)>2得f(2﹣x)>2,即log2(2﹣x+1)>2,得log2(3﹣x)>2,得3﹣x>4,即x<﹣1.综上不等式的解为x>3或x<﹣1,即不等式的解集为(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞), 16.已知数列{an}满足:a1=2,(4an+1﹣5)(4an﹣1)=﹣3,则+++…+=   .解:∵(4an+1﹣5)(4an﹣1)=﹣3,∴[4(an+1﹣1)﹣1][4(an﹣1)+3]=﹣3,∴16(an+1﹣1)(an﹣1)+12(an+1﹣1)﹣4(an﹣1)=0,∴16+﹣=0,∴+2=3(+2),又∵+2=3,∴数列{+2}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴+2=3n,故=3n﹣2;故+++…+=3﹣2+9﹣2+…+3n﹣2=﹣2n=(3n﹣1)﹣2n;答案:(3n﹣1)﹣2n. 三、解答题17.如图,在△ABC中,∠B=,AC=2.(1)若∠BAC=θ,求AB和BC的长.(结果用θ表示);(2)当AB+BC=6时,试判断△ABC的形状.解:(1)由正弦定理得: =,即=,所以BC=4sinθ.又∵∠C=π﹣﹣θ,∴sinC=sin(π﹣﹣θ)=sin(+θ).∴=即=,∴AB=4sin(+θ).(2)由AB+BC=6得到:4sin(+θ)+4sinθ=6,所以,8sin(+θ)×=6,整理,得sin(+θ)=.∵0<+θ<π,∴+θ=或+θ=,∴θ=,或θ=.∴△ABC是直角三角形. 18.从某校的一次学料知识竞赛成绩中,随机抽取了50名同学的成绩,统计如下: 组别[30,40][40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100] 频数3101215622(Ⅰ)求这50名同学成绩的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由频数分布表可以认为,本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N(μ,196),其中μ近似为样本平均数.①利用该正态分布.求P(Z>74);②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛,记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数,利用①的结果,求EX.附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<Z<+σ)=0.6826,P(μ﹣2<Z<μ+2σ)=0.9544.解:(Ⅰ)由所得数据列成的频数分布表,得:样本平均数=×(35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2)=60;(Ⅱ)①由(I)知,Z~N(60,196),从而P(60﹣14<Z<60+14)=0.6826,∴P(Z>74)=(1﹣0.6826)=0.1587,②由①知,成绩超过74分的概率为0.1587,依题意知X~B(20,0.1587),∴EX=20×0.1587=3.174. 19.如图,直角三角形ABC中,∠A=60°,∠ABC=90°,AB=2,E为线段BC上一点,且BE=BC,沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置.(1)求证:PE⊥BD;(2)当平面PBD⊥平面BCD时,求二面角C﹣PB﹣D的余弦值.证明:(1)∵直角三角形ABC中,∠A=60°,∠ABC=90°,AB=2,E为线段BC上一点,且BE=BC,∴DC=PD=PB=BD=2,BC=2,取BD中点O,连结OE,PO,∵OB=1,BE=,∴OE=,∴OE⊥BD,∵PB=PD,O为BD中点,∴PO⊥BD,又PO∩OE=O,∴BD⊥平面POE,∴PE⊥BD.解:(2)∵平面PBD⊥平面BCD,∴PO⊥平面BCD,如图,以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,1,0),P(0,0,),C(),=(0,﹣1,),=(),设平面PBC的法向量=(x,y,z),则,取y=,得=(3,),平面图PBD的法向量=(1,0,0),cos<>==,由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角,∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为. 20.已知椭圆E: +=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2,过圆C:x2+y2=r2(0<r<b)上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A,B两点,O为坐标原点.(1)当r为何值时,OA⊥OB;(2)过椭圆E上任意一点P作(1)中所求圆的两条切线分别交椭圆于M,N,求△PMN面积的取值范围.解:(1)∵椭圆E: +=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2,∴,解得a=2,b=1,∴椭圆E的方程为.设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线AB的斜率不存在时,直线AB:x=±r,即x1=x2=±r,代入椭圆方程,得,=x1x2+y1y2==r2﹣(1﹣)=,∵0<r<1.∴当r=时,,即OA⊥OB,当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+n,由,得(1+4k2)x2+8knx+4n2﹣4=0,则,,∴=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+n)(kx2+n)=(1+k2)x1x2+kn(x1+x2)+n2==,∵直线l与圆C相切,∴ =r,即n2=r2(1+k2),∴=,∵0<r<1,∴当r=时, =0,即OA⊥OB,综上,r=.(2)由(1)知OP⊥OM,OP⊥ON,∴OP⊥MN,且MN过原点O,当MN的斜率存在且不为0时,设MN:y=k1x,(k1≠0),由,得,,∴|MN|=2OM=2=4,同理,|OP|=2=2,∴S△PMN=|OP|•|MN|=4=4∈[,2),当MN与坐标轴垂直时,S△PMN=2,∴△PMN面积的取值范围是[,2]. 21.已知函数f(x)=+alnx有极值点,其中e为自然对数的底数.(1)求a的取值范围;(2)若a∈(0,],求证:∀x∈(0,2],都有f(x)<.解:(1)f(x)=+alnx,f′(x)=,若函数f(x)=+alnx有极值点,则aex﹣x2=0有解,显然a>0,令m(x)=aex﹣x2,(a>0),则m′(x)=aex﹣2x,m″(x)=aex﹣2,令m″(x)>0,解得:x>ln,令m″(x)<0,解得:x<ln,∴m′(x)在(﹣∞,ln)递减,在(ln,+∞)递增,∴m′(x)min=m′(ln)=2﹣2ln<0,解得:a<,故0<a<;(2)f(x)=+alnx,f′(x)=,令h(x)=aex﹣x2,则h′(x)=aex﹣2x,0<x≤1时,h′(x)≤ae﹣2<0,由于h(a)=a(ea﹣a)>0,h(1)=ae﹣1≤0,∴f(x)在(a,1)内有唯一极大值点x0,当a=时,f(x)有极大值点x=1,∴x∈(0,2]时,f(x)max≤max{f(1),f(x0)},f(x0)=(a<x0<1),令ω(x)=,(a<x<1),则ω′(x)=﹣e﹣x(x﹣2)xlnx<0,∴ω(x)<ω(a)=<,又f(1)=,∴max{f(1),f(x0)}< [选修4-1几何证明选讲]22.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上的一点, =,DE交AB于点F.(1)求证:PF•PO=PA•PB;(2)若PD=4,PB=2,DF=,求弦CD的弦心距.解:(1)证明:连接OC、OE,则∠COE=2∠CDE,∵=,∴∠AOC=∠AOE,∴∠AOC=∠CDE,∴∠COP=∠PDF,∵∠P=∠P,∴△PDF∽△POC∴=,∴PF•PO=PD•PC,由割线定理可得PC•PD=PA•PB,∴PF•PO=PA•PB.(2)设圆的半径为r,PD=4,PB=2,DF=,由△PDF∽△POC,可得=,即有PD•OC=PO•DF,即4r=(2+r),解得r=5.由切割线定理可得,PD•PC=PB•PA•即为4(4+CD)=2(2+2r),即有CD=r﹣3=5﹣3=2,则弦CD的弦心距为OH===2. [选修4-4:坐标系与参数方程]23.已知曲线C:(α为参数),直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线C的极坐标方程,直线l的普通方程;(2)点A在曲线C上,B点在直线l上,求A,B两点间距离|AB|的最小值.解:(1)曲线C:(α为参数),可得直角坐标方程:x2+(y﹣2)2=4,展开可得:x2+y2﹣4y=0,可得极坐标方程:ρ2﹣4ρsinθ=0,即ρ=4sinθ.直线l:(t为参数),消去参数t可得普通方程:x﹣y﹣3=0.(2)圆心C(0,2)到直线l的距离d==.∴A,B两点间距离|AB|的最小值为﹣2. [选修4-5不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+m|+|2x+1|.(1)当m=﹣1时,解不等式f(x)≤3;(2)若m∈(﹣1,0],求函数f(x)=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值.解:(1)当m=﹣1时,不等式f(x)≤3,可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3,x时,﹣x+1﹣2x﹣1≤3,∴x≥﹣1,∴﹣1≤x;﹣时,﹣x+1+2x+1≤3,∴x≤1,∴﹣;x≥1时,x﹣1+2x+1≤3,∴x≤1,∴x=1;综上所述,﹣1≤x≤1;(2)由题意,m=0时,函数f(x)=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值.图象最低点的坐标是(﹣,),f(x)=1时,x=0或﹣,f(x)=3时,x=﹣或,∴函数f(x)=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=
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