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2016年广州市二模试题及答案(理科数学word版).doc

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2016 广州市 试题 答案 理科 数学 word
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2016年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)已知集合,Z,则(A) (B) (C) (D) (2)已知复数,其中为虚数单位, 则(A) (B) (C) (D) (3)已知, 则的值是(A) (B) (C) (D) (4)已知随机变量服从正态分布, 且, 则 (A) (B) (C) (D) (5)不等式组的解集记为, 若, 则的最小值是(A) (B) (C) (D) (6)使N展开式中含有常数项的的最小值是(A) (B) (C) (D) (7)已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数的单调递减区间是(A) Z (B) Z (C) Z (D) Z (8)已知球的半径为,三点在球的球面上,球心到平面的距离为,,, 则球的表面积为(A) (B) (C) (D) (9)已知命题:N, ,命题:N, ,则下列命题中为真命题的是(A) (B) (C) (D) (10)如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是(A) (B) (C) (D) (11)已知点为坐标原点,点在双曲线(为正常数)上,过点作双曲线的某一条渐近线的垂线,垂足为,则的值为(A) (B) (C) (D) 无法确定(12)设函数的定义域为R , , 当时,, 则函数在区间上的所有零点的和为(A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。二. 填空题:本大题共4小题,每小题5分。(13)曲线在点处的切线方程为 . (14)已知平面向量与的夹角为,,,则 .(15)已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为,点关于直线的对称点在椭圆上,则椭圆的方程为 .(16)在△中,分别为内角的对边,,,则△的面积的最大值为 . 三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分分)设是数列的前项和, 已知, N.(Ⅰ) 求数列的通项公式;(Ⅱ) 令,求数列的前项和.(18)(本小题满分分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班名女同学,名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析.(Ⅰ)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果) (Ⅱ)如果随机抽取的名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693 (ⅰ)若规定分以上(包括分)为优秀,从这名同学中抽取名同学,记名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和数学期望;(ⅱ)根据上表数据,求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程 (系数精确到);若班上某位同学的数学成绩为分,预测该同学的物理成绩为多少分?附:线性回归方程,其中,.(19)(本小题满分分) 如图,在多面体中,△是等边三角形,△是等腰直角三角形, ,平面平面,平面.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若,求直线与平面所成角的正弦值.(20)(本小题满分分)已知点,点是直线上的动点,过作直线,,线段的垂直平分线与交于点.(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)若点是直线上两个不同的点, 且△的内切圆方程为,直线的斜率为,求的取值范围.(21)(本小题满分分)已知函数R.(Ⅰ) 当时,求函数的最小值;(Ⅱ) 若时,,求实数的取值范围;(Ⅲ)求证:.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。(22)(本小题满分10分)选修4-1: 几何证明选讲如图,四边形是圆的内接四边形,是圆的直径,,的延长线与的延长线交于点,过作,垂足为点. (Ⅰ)证明: 是圆的切线;(Ⅱ)若,,求的长. (23)(本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数.以点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)将曲线和直线化为直角坐标方程;(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.(24)(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的定义域;(Ⅱ)若关于的不等式≥的解集是R,求实数的最大值.2016年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题答案及评分参考评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不给分。3. 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4. 只给整数分数。选择题不给中间分。一. 选择题 (1)C (2)B (3)A (4)B (5)A (6)C (7)D (8)D (9)C (10)B (11)B (12)A二. 填空题(13) (14) (15) (16) 三. 解答题(17)(Ⅰ) 解: 当时, 由, 得,…………………………1分 两式相减, 得, …………………………2分 ∴ . ∴ . ……………………………………………………3分 当时,,, 则.…………………4分 ∴数列是以为首项, 公比为的等比数列. ………………………5分 ∴. ……………………………………………………6分 (Ⅱ) 解法1: 由(Ⅰ)得. ∴ , ① …………………7分 , ② …………………8分 ①-②得…………9分 …………………………10分 . …………………………………11分 ∴ .……………………………………………………12分解法2: 由(Ⅰ)得. ∵ , …………………………………8分 ∴ ……10分 . ……………………………………………12分(18)(Ⅰ)解:依据分层抽样的方法,名女同学中应抽取的人数为名, …………………………………………1分 名男同学中应抽取的人数为名, ……………………2分 故不同的样本的个数为. …………………………………………3分(Ⅱ) (ⅰ)解: ∵名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为名, ∴的取值为. ∴, , , . …………………7分 ∴的分布列为 …………………………………………8分 ∴ . …………………………9分(ⅱ)解: ∵ ,. …………10分∴线性回归方程为.……………………………………11分当时, .可预测该同学的物理成绩为分. ………………………………………12分 (19)(Ⅰ)证明:取的中点,连接,. ∵ △是等边三角形, ∴ . …………………………………………1分∵ △是等腰直角三角形,, ∴ . …………………………………………2分 ∵ 平面平面,平面平面,平面, ∴ 平面. …………………………………3分 ∵ 平面, ∴ ∥. ∴ ,,,四点共面. …………………………4分 ∵ ,平面,平面, ∴ 平面. ………………………………5分 ∵ 平面, ∴ . ………………………………………………………6分(Ⅱ)解法1: 作,垂足为,则.∵ △是等边三角形,, ∴ ,. 在Rt△中, .………………7分∵ △是等腰直角三角形,, ∴ .∴. …………………………………8分如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴, 所在直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,.∴ ,,.设平面的法向量为,由,,得 …………………………9分令,得,.∴ 是平面的一个法向量. …………………………10分设直线与平面所成角为,则. …………………………11分∴直线与平面所成角的正弦值为. …………………………12分解法2: 作,垂足为,则.∵ △是等边三角形,, ∴ ,. 在Rt△中, . ………………7分∵ △是等腰直角三角形,, ∴ .∴.………………………………………………8分 由(Ⅰ)知∥, ∵ 平面,平面, ∴ ∥平面. ∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离.作,垂足为,∵平面,平面,∴.∵平面,平面,,∴平面,且. …………………………9分在Rt△中,, 在Rt△中,,∴ △的面积为.设点到平面的距离为,由, 得,得. ……………………………10分设直线与平面所成的角为,则. ………………………………………………11分∴直线与平面所成角的正弦值为. ………………………12分注:求的另法.由,得,得.(20) (Ⅰ)解:依题意,点到点的距离等于它到直线的距离, ………………1分 ∴点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线. …………2分 ∴曲线的方程为. ………………………………………………3分(Ⅱ)解法1:设点,点,点, 直线方程为:, ………………………4分 化简得,. ∵△的内切圆方程为, ∴圆心到直线的距离为,即. ………5分 故. 易知,上式化简得,.………………6分 同理,有. ………………………………7分 ∴是关于的方程的两根. ∴, . ………………………………8分 ∴.……………9分 ∵,, ∴. 直线的斜率,则. ∴. ………………………………10分 ∵函数在上单调递增, ∴. ∴. ∴. ………………………………………………11分 ∴. ∴的取值范围为. ………………………………………………12分解法2:设点,点,点, 直线的方程为,即,………………4分 ∵ 直线与圆相切, ∴ . ∴ . ………………………………………………5分 ∴ 直线的方程为. ∵ 点在直线上, ∴ . 易知,上式化简得,. …………………6分 同理,有. ………………………………………7分 ∴是关于的方程的两根. ∴, . …………………………………………8分 ∴. ……………9分 ∵,, ∴. 直线的斜率,则. ∴. ……………………………………10分 ∵函数在上单调递增, ∴. ∴. ∴. ………………………………………………11分 ∴. ∴的取值范围为. ………………………………………………12分解法3:设点,直线的方程为,即, 令,得, ∴ . ………………………………………………4分 ∵ 直线与圆相切, ∴ . 化简得,. ……………………………………5分 同理,设直线的方程为, 则点,且. …………6分 ∴ ,是关于的方程的两根. ∴ , . …………………………………………7分 依题意,,. ∴ …………………………………………8分 . ………………………………………………9分 直线的斜率,则. ∴. ……………………………………10分 ∵函数在上单调递增, ∴. ∴. ∴. ………………………………………………11分 ∴. ∴的取值范围为. ………………………………………………12分解法4:设点,如图,设直线,与圆相切的切点分别为,, 依据平面几何性质,得, …………………………4分 由, …………………5分 得, 得. …………6分得.……7分故. ………………………………………………8分 依题意,,. ∴ . ………………………………………………9分 直线的斜率,则. ∴. ……………………………………10分 ∵函数在上单调递增, ∴. ∴. ∴. ………………………………………………11分 ∴. ∴的取值范围为. ………………………………………………12分(21) (Ⅰ)解:当时,,则. …………………1分 令,得. 当时, ; 当时, . …………………………2分 ∴函数在区间上单调递减,在区间上单调递增. ∴当时,函数取得最小值,其值为. ……………………3分 (Ⅱ)解:若时,,即.(*) 令,则.① 若,由(Ⅰ)知,即,故. ∴. …………………………………………4分 ∴函数在区间上单调递增. ∴. ∴(*)式成立. …………………………………………5分 ②若,令, 则. ∴函数在区间上单调递增. 由于,. …………………………………………6分 故,使得. …………………………………………7分 则当时,,即. ∴函数在区间上单调递减. ∴ ,即(*)式不恒成立. ………………………………………8分 综上所述,实数的取值范围是. ………………………………………9分(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当时, 在上单调递增. 则,即.…………………………………10分 ∴. …………………………………………11分 ∴,即. …………………………………………12分(22)(Ⅰ)证明: 连接,, ∵ , ∴ . …………………………1分∵ 是圆的直径, ∴ . ∴ . …………………………2分∴ .∴ ∥. ………………………………3分∵ , ∴ . …………………………………4分∴ 是圆的切线. …………………………5分(Ⅱ)解:∵ 是圆的直径, ∴ ,即. ∵ , ∴ 点为的中点. ∴ . …………………………………6分 由割线定理:,且. …………………………………7分得. ……………………………………………………8分在△中,,,则为的中点.∴ . ……………………………………………………9分在Rt△中,. ……………10分∴ 的长为.(23)(Ⅰ)解:由得, ∴曲线的直角坐标方程为. …………………………………2分 由,得,……………3分 化简得,, …………………………………4分 ∴. ∴直线的直角坐标方程为. …………………………………5分(Ⅱ)解法1:由于点是曲线上的点,则可设点的坐标为,…6分 点到直线的距离为 …………………………7分 .…………………………………8分 当时,. …………………………………9分 ∴ 点到直线的距离的最大值为. …………………………………10分 解法2:设与直线平行的直线的方程为, 由消去得, ………………………6分 令, …………………………………7分 解得. …………………………………8分 ∴直线的方程为,即. ∴两条平行直线与之间的距离为.………………………9分∴点到直线的距离的最大值为. …………………………………10分(24)(Ⅰ)解:由题设知:, …………………………………1分 ① 当时,得,解得. ………………………………2分 ② 当时,得,无解. …………………………………3分③ 当时,得, 解得. ……………………………4分∴函数的定义域为. …………………………………5分(Ⅱ)解:不等式,即, …………………………………6分∵R时,恒有,…………………………8分又不等式解集是R, ∴,即. …………………………………9分∴的最大值为. ……………………………… 10分15
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