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2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷(理科)(解析版) (1).doc

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2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷理科解析版 1 2016 黑龙江省 哈尔滨 师大附中 高考 数学四 试卷 理科 解析
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2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷(理科) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,M={x|y=ln(1﹣x)},N={x|2x(x﹣2)<1},则(∁UM)∩N=(  )A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0≤x<1}D.{x|0<x≤1}2.若,α是第三象限的角,则=(  )A.B.C.D.3.复数﹣=(  )A.0B.2C.﹣2iD.2i4.已知x∈R,命题“若x2>0,则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是(  )A.0B.1C.2D.35.由直线x=0,y=0与y=cos2x(x∈[0,])所围成的封闭图形的面积是(  )A.B.1C.D.6.某几何体的三视图如图所示,俯视图为等腰梯形,则该几何体的表面积是(  )A.B.9+3C.18D.12+37.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为(  )A.1B.2C.D.8.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,,2a2成等差数列,则=(  )A.1+B.1﹣C.3+2D.3﹣29.已知函数y=f(x)在R上为偶函数,当x≥0时,f(x)=log3(x+1),若f(t)>f(2﹣t),则实数t的取值范围是(  )A.(﹣∞,1)B.(1,+∞)C.(,2)D.(2,+∞)10.已知双曲线mx2﹣ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为(  )A.B.C.D.11.函数y=,x∈(﹣π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的(  )A.B.C.D.12.在平行四边形ABCD中, •=0,沿BD将四边形折起成直二面角A﹣BD﹣C,且2||2+||2=4,则三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为(  )A.1B.C.D. 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.根据如图所示的程序语句,若输入的值为3,则输出的y值为______.14.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a11+b11=______.15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的,书中有如下问题:“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积V=×(底面的圆周长的平方×高),则该问题中圆周率π的取值为______.16.△ABC中,点D是边BC上的一点,∠B=∠DAC=,BD=2,AD=2,则CD的长为______. 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(n∈N+).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=an•3an(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.18.调查某公司的五名推销员,某工作年限与年推销金额如表:推销员ABCDE工作年限x(万元)23578年推销金额y(万元)33.546.58(Ⅰ)画出年推销金额y关于工作年限x的散点图,并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律;(Ⅱ)利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程;(Ⅲ)利用(Ⅱ)中的回归方程,预测工作年限是10年的推销员的年推销金额.附: =, =﹣.19.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4,AA1=3,BC=2,P为A1B1中点,M,N,Q分别为棱AB,AA1,CC1上的点,且AB=4MB,AA1=3AN,CC1=3CQ.(Ⅰ)求证:PQ⊥平面PD1N;(Ⅱ)求二面角P﹣D1M﹣N的余弦值.20.平面直角坐标系xOy中,椭圆C1: +y2=1(a>1)的长轴长为2,抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点F是椭圆C1的右焦点.(Ⅰ)求椭圆C1与抛物线C2的方程;(Ⅱ)过点F作直线l交抛物线C2于A,B两点,射线OA,OB与椭圆C1的交点分别为C,D,若•=2•,求直线l的方程.21.已知函数f(x)=(x+1)lnx,g(x)=a(x﹣1)(a∈R).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)求证:ln2•ln3…lnn>(n≥2,n∈N+). 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,其中AB=AC,∠ABD=∠CBD,AC与BD交于点F,直线BC与AD交于点E.(Ⅰ)证明:AC=CE;(Ⅱ)若DF=2,BF=4,求AD的长. [选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,将曲线C1:(α为参数)上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2,将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程;(Ⅱ)若点P是曲线C2上任意一点,点Q是曲线C3上任意一点,求|PQ|的最大值. [选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b为实数.(Ⅰ)若a>0,b>0,求证:(a+b+)(a2++)≥9;(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,求证:|1﹣ab|>|a﹣b|. 2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,M={x|y=ln(1﹣x)},N={x|2x(x﹣2)<1},则(∁UM)∩N=(  )A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0≤x<1}D.{x|0<x≤1}【考点】指数函数单调性的应用;交、并、补集的混合运算;函数的定义域及其求法.【分析】先化简集合A、B,再求出CUM,从而可求交集.【解答】解:M={x|y=ln(1﹣x)}=(﹣∞,1),N={x|2x(x﹣2)<1}=(0,2),∵全集U=R,∴CUM=[1,+∞)(CUM)∩N=[1,+∞)∩(0,2)=[1,2)故选B. 2.若,α是第三象限的角,则=(  )A.B.C.D.【考点】两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系.【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值,进而利用两角和与差的正弦函数求得答案.【解答】解:∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣,所以sin(α+)=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣.故选A 3.复数﹣=(  )A.0B.2C.﹣2iD.2i【考点】复数代数形式的混合运算.【分析】直接通分,然后化简为a+bi(a、b∈R)的形式即可.【解答】解:﹣=﹣=﹣=i+i=2i.故选D. 4.已知x∈R,命题“若x2>0,则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是(  )A.0B.1C.2D.3【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】根据四种命题之间的关系,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假.【解答】解:命题“若x2>0,则x>0”的逆命题是“若x>0,则x2>0”,是真命题;否命题是“若x2≤0,则x≤0”,是真命题;逆否命题是“若x≤0,则x2≤0”,是假命题;综上,以上3个命题中真命题的个数是2.故选:C 5.由直线x=0,y=0与y=cos2x(x∈[0,])所围成的封闭图形的面积是(  )A.B.1C.D.【考点】定积分.【分析】先确定积分区间,再利用定积分表示面积,即可求出结论.【解答】解:由直线x=0,y=0与y=cos2x(x∈[0,])所围成的封闭图形的面积S=cos2xdx=sin2x|=,故选:D. 6.某几何体的三视图如图所示,俯视图为等腰梯形,则该几何体的表面积是(  )A.B.9+3C.18D.12+3【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知该几何体是直四棱柱,由梯形、矩形的面积公式求出各个面的面积求出几何体的表面积.【解答】解:根据三视图可知几何体是直四棱柱,其中底面是等腰梯形,上底、下底分别是1、2,高是1,则梯形的腰是=,侧棱与底面垂直,侧棱长是3,∴该几何体的表面积S=+=12+3,故选:D. 7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为(  )A.1B.2C.D.【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】作出图形,根据向量的线性运算规则,得,再由分解的唯一性得出λ1与λ2的值即可.【解答】解:由题意,如图,因为AD=AB,BE=BC,∴,又(λ1,λ2为实数),∴,∴λ1+λ2=.故选C. 8.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,,2a2成等差数列,则=(  )A.1+B.1﹣C.3+2D.3﹣2【考点】等差数列的性质;等比数列的性质.【分析】先根据等差中项的性质可知得2×()=a1+2a2,进而利用通项公式表示出q2=1+2q,求得q,代入中即可求得答案.【解答】解:依题意可得2×()=a1+2a2,即,a3=a1+2a2,整理得q2=1+2q,求得q=1±,∵各项都是正数∴q>0,q=1+∴==3+2故选C 9.已知函数y=f(x)在R上为偶函数,当x≥0时,f(x)=log3(x+1),若f(t)>f(2﹣t),则实数t的取值范围是(  )A.(﹣∞,1)B.(1,+∞)C.(,2)D.(2,+∞)【考点】函数奇偶性的性质.【分析】利用f(x)的奇偶性及在x≥0上的单调性,由f(x)的性质可把f(t)>f(2﹣t),转化为具体不等式,解出即可.【解答】解:∵当x≥0时,f(x)=log3(x+1),∴函数在x≥0上为增函数,∵函数y=f(x)在R上为偶函数,f(t)>f(2﹣t),∴|t|>|2﹣t|,∴t>1,∴实数t的取值范围是(1,+∞).故选:B. 10.已知双曲线mx2﹣ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为(  )A.B.C.D.【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程,利用双曲线mx2﹣ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,可得m=3n,从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率.【解答】解:双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为:∵双曲线mx2﹣ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,∴∴m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为:∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C. 11.函数y=,x∈(﹣π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的(  )A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】根据三角函数图象及其性质,利用排除法即可.【解答】解:∵是偶函数,排除A,当x=2时,,排除C,当时,,排除B、C,故选D. 12.在平行四边形ABCD中, •=0,沿BD将四边形折起成直二面角A﹣BD﹣C,且2||2+||2=4,则三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为(  )A.1B.C.D.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由已知中•=0,可得AB⊥BD,沿BD折起后,由平面ABD⊥平面BDC,可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC,进而根据2||2+||2=4,求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径.【解答】解:平行四边形ABCD中,∵•=0,∴AB⊥BD,沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C,∵平面ABD⊥平面BDC三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC,∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4∴外接球的半径为1,故选:A. 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.根据如图所示的程序语句,若输入的值为3,则输出的y值为 2 .【考点】伪代码.【分析】根据已知中的程序框图可得:该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值,由x=3,满足条件1≤x<4,从而计算可得y的值.【解答】解:根据已知中的程序框图可得:该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值,由于:x=3,满足条件1≤x<4,可得:y=3﹣1=2.故答案为:2. 14.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a11+b11= 199 .【考点】归纳推理.【分析】观察1,3,4,7,11,…的规律,利用归纳推理即可得到第11个数的数值.【解答】解:等式的右边对应的数为1,3,4,7,11,…其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第11项.∴对应的数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,第11项为199,故答案为:199. 15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的,书中有如下问题:“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积V=×(底面的圆周长的平方×高),则该问题中圆周率π的取值为 3 .【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】由题意,圆柱体底面的圆周长20尺,高4尺,利用圆堡瑽(圆柱体)的体积V=×(底面的圆周长的平方×高),求出V,再建立方程组,即可求出圆周率π的取值.【解答】解:由题意,圆柱体底面的圆周长20尺,高4尺,∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V=×(底面的圆周长的平方×高),∴V=×=,∴∴π=3,R=,故答案为:3. 16.△ABC中,点D是边BC上的一点,∠B=∠DAC=,BD=2,AD=2,则CD的长为 7 .【考点】三角形中的几何计算.【分析】设AB=x,在△ABD中由条件和余弦定理求出AB和cos∠BDA,由∠ADB+∠ADC=π和诱导公式求出cos∠CDA,由平方关系求出sin∠ADC,根据内角和定理、∠DAC=和两角和的正弦公式求出sin∠C,在△ADC中由正弦定理求出CD的长.【解答】解:如图所示:设AB=x, 在△ABD中,∠B=,BD=2,AD=2,则由余弦定理得,AD2=AB2+BD2﹣2•AB•BD•cosB∴28=,则x2﹣2x﹣24=0,解得x=6或x=﹣4(舍去),cos∠BDA===﹣∵∠ADB+∠ADC=π,∴cos∠CDA=﹣cos∠BDA=,则sin∠ADC==,∵∠DAC=,∴sin∠C=sin(∠DAC+∠ADC)=sin∠DACcos∠ADC+cos∠DACsin∠ADC==在△ADC中,由正弦定理得,∴CD===7,故答案为:7. 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(n∈N+).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=an•3an(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.【考点】数列的求和.【分析】(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,即可得出数列{an}的通项公式;(Ⅱ)把(Ⅰ)中求出的数列{an}的通项公式代入bn=an•3an,求出数列{bn}的通项公式,再利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn.【解答】解:(Ⅰ)当n≥2时,Sn﹣1=,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n;当n=1时,a1=S1=1,符合上式.综上,an=n.(Ⅱ)bn=an•3a=n•3n(n∈N+),则数列{bn}的前n项和Tn,Tn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n,3Tn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1,﹣2Tn=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1,﹣2Tn=﹣n•3n+1,∴Tn=+(﹣)•3n+1,数列{bn}的前n项和Tn,Tn=+(﹣)•3n+1. 18.调查某公司的五名推销员,某工作年限与年推销金额如表:推销员ABCDE工作年限x(万元)23578年推销金额y(万元)33.546.58(Ⅰ)画出年推销金额y关于工作年限x的散点图,并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律;(Ⅱ)利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程;(Ⅲ)利用(Ⅱ)中的回归方程,预测工作年限是10年的推销员的年推销金额.附: =, =﹣.【考点】线性回归方程.【分析】(Ⅰ)根据表中数据,画出散点图,利用散点图估计月推销金额y与工作时间x有线性相关关系;(Ⅱ)利用公式求出线性回归方程即可;(Ⅲ)根据线性回归方程计算x=10时y的值,即可得到预报值.【解答】解:(Ⅰ)年推销金额y关于工作年限x的散点图:从散点图可以看出,各点散布在从左下角到右上角的区域里,因此,工作年限与年推销金额之间成正相关,即工作年限越多,年推销金额越大.(Ⅱ)=5, =5,b==,a=5﹣=,∴年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程为y=x+.(Ⅲ)当x=10时,y=×10+=,∴预测工作年限是10年的推销员的年推销金额为万元. 19.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4,AA1=3,BC=2,P为A1B1中点,M,N,Q分别为棱AB,AA1,CC1上的点,且AB=4MB,AA1=3AN,CC1=3CQ.(Ⅰ)求证:PQ⊥平面PD1N;(Ⅱ)求二面角P﹣D1M﹣N的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明PQ⊥平面PD1N.(Ⅱ)求出平面PD1M的法向量和平面D1MN的法向量,利用向量法能求出二面角P﹣D1M﹣N的余弦值.【解答】证明:(Ⅰ)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,如图建立空间直角坐标系,则P(2,2,3),Q(0,4,1),D1(0,0,3),M(2,3,0),N(2,0,1),=(﹣2,2,﹣2),=(2,2,0),=(2,0,﹣2),∵=0, =0,∴PQ⊥D1P,PQ⊥D1N,∵D1P∩D1N=D1,∴PQ⊥平面PD1N.解:(Ⅱ) =(2,3,﹣3),=(2,2,0),=(2,0,﹣2),设平面PD1M的法向量为=(x,y,z),则,取x=3,得平面PD1M的一个法向量为=(3,﹣3,﹣1),设平面D1MN的法向量为=(a,b,c),则,取a=3,得=(3,1,3),∴cos<>==,由图知二面角P﹣D1M﹣N的平面角为钝角,∴二面角P﹣D1M﹣N的余弦值为﹣. 20.平面直角坐标系xOy中,椭圆C1: +y2=1(a>1)的长轴长为2,抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点F是椭圆C1的右焦点.(Ⅰ)求椭圆C1与抛物线C2的方程;(Ⅱ)过点F作直线l交抛物线C2于A,B两点,射线OA,OB与椭圆C1的交点分别为C,D,若•=2•,求直线l的方程.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.【分析】(Ⅰ)由已知可得:2a=2,b=1,c=,解出即可得出椭圆C1的方程.利用=c,解得p,即可得出抛物线C2的方程.(Ⅱ)设直线l的方程为:x=my+1,A,B,C(x3,y3),D(x4,y4).直线方程与抛物线方程联立可得:y2﹣my﹣4=0,利用斜率计算公式可得kOA,进而定点直线OA的方程,与椭圆方程联立可得=2,进而得到,,利用向量数量积运算性质可得:,,利用•=2•,及其根与系数的关系解出m,即可得出.【解答】解:(Ⅰ)由已知可得:2a=2,b=1,c=,解得a=,b=c=1.∴椭圆C1的方程为: =1.又F(1,0),∴=1,解得p=2.∴抛物线C2的方程为y2=4x.(Ⅱ)设直线l的方程为:x=my+1,A,B,C(x3,y3),D(x4,y4).联立,化为:y2﹣my﹣4=0,∴y1+y2=4m,y1•y2=﹣4.△=16m2+16>0,∴kOA==,∴直线OA的方程为:x=y,∴,得=2, =,同理=,∴=×+y1y2=﹣3,=x3x4+y3y4=+y3y4=y3y4,∵•=2•,∴y3y4=﹣,∴=•===,∴m2=,∴m=,∴直线l的方程为:x=±y+1. 21.已知函数f(x)=(x+1)lnx,g(x)=a(x﹣1)(a∈R).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)求证:ln2•ln3…lnn>(n≥2,n∈N+).【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)求出h(x)的导数,通过讨论a的范围,结合函数的单调性确定a的具体范围即可;(Ⅲ)得到lnx≥,令x=n(n≥2,n∈N*),得lnn>,x取不同的值,相乘即可.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx++1,设g(x)=f′(x),g′(x)=,令g′(x)>0,得x>1,g′(x)<0,得0<x<1,∴g(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,g(x)min=g(1)=2,∴f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)的递增区间为(0,+∞),无递减区间.(Ⅱ)设h(x)=(x﹣1)lnx﹣ax+a,由(Ⅰ)知:h′(x)=lnx+=1﹣a=g(x)﹣a,g(x)在(1,+∞)递增,∴g(x)≥g(1)=2,(1)当a≤2时,h′(x)≥0,h(x)在[1,+∞)递增,∴h(x)≥h(1)=0,满足题意.(2)当a>2时,设ω(x)=h′(x),ω′(x)=,当x≥1时,ω′(x)≥0,∴ω(x)在[1,+∞)递增,ω(1)=2﹣a<0,ω(ea)=1+e﹣a>0,∴∃x0∈(1,ea),使ω(x0)=0,∵ω(x)在[1,+∞)递增,∴x∈(1,x0),ω(x)<0,即h′(x)<0,∴当x∈(1,x0时,h(x)<h(1)=0,不满足题意.综上,a的取值范围为(﹣∞,2].(Ⅲ)由(Ⅱ)知,令a=2,(x+1)lnx≥2(x﹣1),∴x≥1,lnx≥(当且仅当x=1取“=”),令x=n(n≥2,n∈N*)得lnn>,即ln2>,ln3>,ln4>,…,ln(n﹣2)>,ln(n﹣1)>,lnn>,将上述n﹣1个式子相乘得:ln2•ln3…lnn>=,∴原命题得证. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,其中AB=AC,∠ABD=∠CBD,AC与BD交于点F,直线BC与AD交于点E.(Ⅰ)证明:AC=CE;(Ⅱ)若DF=2,BF=4,求AD的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(Ⅰ)利用等腰三角形的性质,证明∠CAE=∠E,即可证明:AC=CE;(Ⅱ)证明△ADF∽△BDA,即可求AD的长.【解答】证明:(Ⅰ)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ABC=2∠DBC,∴∠ACB=∠DBC,∵∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=2∠DBC,∵∠ADB=∠DBC+∠E,∴∠DBC=∠E,∵∠DBC=∠CAE,∴∠CAE=∠E,∴AC=CE.解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠ABD=∠DBC=∠CAD,∠ADF=∠ADB,∴△ADF∽△BDA,∴=,∴AD2=DF•BD=12,∴AD=2. [选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,将曲线C1:(α为参数)上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2,将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程;(Ⅱ)若点P是曲线C2上任意一点,点Q是曲线C3上任意一点,求|PQ|的最大值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(Ⅰ)设曲线C2上的任意一点(x,y),则在曲线C1:(α为参数)上,代入即可得出曲线C2的参数方程,消去参数可得普通方程.同理可得:将曲线C3的参数方向与普通方程.利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出曲线C3的极坐标方程.(Ⅱ)设P(2cosθ,sinθ),C(0,1),利用两点之间的距离公式可得:|PC|2=+,再利用二次函数与三角函数的单调性即可得出.【解答】解:(Ⅰ)设曲线C2上的任意一点(x,y),则在曲线C1:(α为参数)上,∴,即为曲线C2的参数方程,可得普通方程: =1.同理可得:将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3:,化为普通方程:x2+(y﹣1)2=1.可得曲线C3的极坐标方程为:ρ2﹣2ρsinθ=0,化为ρ=2sinθ.(Ⅱ)设P(2cosθ,sinθ),C(0,1),则|PC|2=(2cosθ)2+(sinθ﹣1)2=4cos2θ+sin2θ﹣2sinθ+1=+,∴当sin时, =.∴PQ的最大值为+1. [选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b为实数.(Ⅰ)若a>0,b>0,求证:(a+b+)(a2++)≥9;(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,求证:|1﹣ab|>|a﹣b|.【考点】不等式的证明.【分析】(I)使用基本不等式证明;(II)使用分析法证明.【解答】证明:(Ⅰ)∵a>0,b>0,∴a+b+≥3,≥3.∴(a+b+)(a2++)≥3•3=9.(Ⅱ)欲证|1﹣ab|>|a﹣b|,只需证:(1﹣ab)2>(a﹣b)2,即1+a2b2﹣a2﹣b2>0.只需证:(a2﹣1)(b2﹣1)>0.∵|a|<1,|b|<1,显然上式成立.∴|1﹣ab|>|a﹣b|. 2016年10月5日第24页(共24页)
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