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2016年江苏省苏州市中考数学试卷(含解析).doc

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2016 江苏省 苏州市 中考 数学试卷 解析
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2016年江苏省苏州市中考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)1.(3分)(2016•苏州)的倒数是(  )A.B.C.D.2.(3分)(2016•苏州)肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm,0.0007用科学记数法表示为(  )A.0.7×10﹣3B.7×10﹣3C.7×10﹣4D.7×10﹣53.(3分)(2016•苏州)下列运算结果正确的是(  )A.a+2b=3ab B.3a2﹣2a2=1C.a2•a4=a8D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b4.(3分)(2016•苏州)一次数学测试后,某班40名学生的成绩被分为5组,第1~4组的频数分别为12、10、6、8,则第5组的频率是(  )A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.45.(3分)(2016•苏州)如图,直线a∥b,直线l与a、b分别相交于A、B两点,过点A作直线l的垂线交直线b于点C,若∠1=58°,则∠2的度数为(  )A.58° B.42° C.32° D.28°6.(3分)(2016•苏州)已知点A(2,y1)、B(4,y2)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1、y2的大小关系为(  )A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.无法确定7.(3分)(2016•苏州)根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求,某市结合地方实际,决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费,某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量,如表所示:用水量(吨)1520253035户数36795则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是(  )A.25,27 B.25,25 C.30,27 D.30,258.(3分)(2016•苏州)如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为(  )A.2m B.2m C.(2﹣2)m D.(2﹣2)m9.(3分)(2016•苏州)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为(  )A.(3,1) B.(3,) C.(3,) D.(3,2)10.(3分)(2016•苏州)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为(  )A.2 B.C.D.3 二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)11.(3分)(2016•苏州)分解因式:x2﹣1=      .12.(3分)(2016•苏州)当x=      时,分式的值为0.13.(3分)(2016•苏州)要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛,对这两名运动员进行了10次测试,经过数据分析,甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05(s),甲的方差为0.024(s2),乙的方差为0.008(s2),则这10次测试成绩比较稳定的是      运动员.(填“甲”或“乙”)14.(3分)(2016•苏州)某学校计划购买一批课外读物,为了了解学生对课外读物的需求情况,学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查,设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别,规定每人必须并且只能选择其中一类,现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计,并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图,则在扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是      度.15.(3分)(2016•苏州)不等式组的最大整数解是      .16.(3分)(2016•苏州)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D,若∠A=∠D,CD=3,则图中阴影部分的面积为      .17.(3分)(2016•苏州)如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为      .18.(3分)(2016•苏州)如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,2),C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为      . 三、解答题(共10小题,满分76分)19.(5分)(2016•苏州)计算:()2+|﹣3|﹣(π+)0.20.(5分)(2016•苏州)解不等式2x﹣1>,并把它的解集在数轴上表示出来.21.(6分)(2016•苏州)先化简,再求值:÷(1﹣),其中x=.22.(6分)(2016•苏州)某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆,小型汽车的停车费为8元/辆,现在停车场共有50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费480元,中、小型汽车各有多少辆?23.(8分)(2016•苏州)在一个不透明的布袋中装有三个小球,小球上分别标有数字﹣1、0、2,它们除了数字不同外,其他都完全相同.(1)随机地从布袋中摸出一个小球,则摸出的球为标有数字2的小球的概率为      ;(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀,然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标,请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标,并求出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率.24.(8分)(2016•苏州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.25.(8分)(2016•苏州)如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B(2,n),过点B作BC⊥x轴于点C,点P(3n﹣4,1)是该反比例函数图象上的一点,且∠PBC=∠ABC,求反比例函数和一次函数的表达式.26.(10分)(2016•苏州)如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF.(1)证明:∠E=∠C;(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB=,E是的中点,求EG•ED的值.27.(10分)(2016•苏州)如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上,点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3m/s,以O为圆心,0.8cm为半径作⊙O,点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位:s)(0<t<).(1)如图1,连接DQ平分∠BDC时,t的值为      ;(2)如图2,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;(3)请你继续进行探究,并解答下列问题:①证明:在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;②如图3,在运动过程中,当QM与⊙O相切时,求t的值;并判断此时PM与⊙O是否也相切?说明理由.28.(10分)(2016•苏州)如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点B.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.①写出点M′的坐标;②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′,当直线l′与直线AM′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l′与线段BM′交于点C,设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数). 2016年江苏省苏州市中考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)1.(3分)(2016•苏州)的倒数是(  )A.B.C.D.【解答】解:∵×=1,∴的倒数是.故选A. 2.(3分)(2016•苏州)肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm,0.0007用科学记数法表示为(  )A.0.7×10﹣3B.7×10﹣3C.7×10﹣4D.7×10﹣5【解答】解:0.0007=7×10﹣4,故选:C. 3.(3分)(2016•苏州)下列运算结果正确的是(  )A.a+2b=3ab B.3a2﹣2a2=1C.a2•a4=a8D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b【解答】解:A、a+2b,无法计算,故此选项错误;B、3a2﹣2a2=a2,故此选项错误;C、a2•a4=a6,故此选项错误;D、(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b,故此选项正确;故选:D. 4.(3分)(2016•苏州)一次数学测试后,某班40名学生的成绩被分为5组,第1~4组的频数分别为12、10、6、8,则第5组的频率是(  )A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【解答】解:根据题意得:40﹣(12+10+6+8)=40﹣36=4,则第5组的频率为4÷40=0.1,故选A. 5.(3分)(2016•苏州)如图,直线a∥b,直线l与a、b分别相交于A、B两点,过点A作直线l的垂线交直线b于点C,若∠1=58°,则∠2的度数为(  )A.58° B.42° C.32° D.28°【解答】解:∵直线a∥b,∴∠ACB=∠2,∵AC⊥BA,∴∠BAC=90°,∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°,故选C. 6.(3分)(2016•苏州)已知点A(2,y1)、B(4,y2)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1、y2的大小关系为(  )A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.无法确定【解答】解:∵点A(2,y1)、B(4,y2)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,∴每个象限内,y随x的增大而增大,∴y1<y2,故选:B. 7.(3分)(2016•苏州)根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求,某市结合地方实际,决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费,某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量,如表所示:用水量(吨)1520253035户数36795则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是(  )A.25,27 B.25,25 C.30,27 D.30,25【解答】解:因为30出现了9次,所以30是这组数据的众数,将这30个数据从小到大排列,第15、16个数据的平均数就是中位数,所以中位数是25,故选D. 8.(3分)(2016•苏州)如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为(  )A.2m B.2m C.(2﹣2)m D.(2﹣2)m【解答】解:在Rt△ABD中,∵sin∠ABD=,∴AD=4sin60°=2(m),在Rt△ACD中,∵sin∠ACD=,∴AC==2(m).故选B. 9.(3分)(2016•苏州)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为(  )A.(3,1) B.(3,) C.(3,) D.(3,2)【解答】解:如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D(,0),A(3,0),∴H(,0),∴直线CH解析式为y=﹣x+4,∴x=3时,y=,∴点E坐标(3,)故选:B. 10.(3分)(2016•苏州)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为(  )A.2 B.C.D.3【解答】解:连接AC,过B作EF的垂线交AC于点G,交EF于点H,∵∠ABC=90°,AB=BC=2,∴AC===4,∵△ABC为等腰三角形,BH⊥AC,∴△ABG,△BCG为等腰直角三角形,∴AG=BG=2∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4,∴S△ADC=2,∵=2,∴GH=BG=,∴BH=,又∵EF=AC=2,∴S△BEF=•EF•BH=×2×=,故选C. 二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)11.(3分)(2016•苏州)分解因式:x2﹣1= (x+1)(x﹣1) .【解答】解:x2﹣1=(x+1)(x﹣1).故答案为:(x+1)(x﹣1). 12.(3分)(2016•苏州)当x= 2 时,分式的值为0.【解答】解:∵分式的值为0,∴x﹣2=0,解得:x=2.故答案为:2. 13.(3分)(2016•苏州)要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛,对这两名运动员进行了10次测试,经过数据分析,甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05(s),甲的方差为0.024(s2),乙的方差为0.008(s2),则这10次测试成绩比较稳定的是 乙 运动员.(填“甲”或“乙”)【解答】解:因为S甲2=0.024>S乙2=0.008,方差小的为乙,所以本题中成绩比较稳定的是乙.故答案为乙. 14.(3分)(2016•苏州)某学校计划购买一批课外读物,为了了解学生对课外读物的需求情况,学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查,设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别,规定每人必须并且只能选择其中一类,现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计,并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图,则在扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是 72 度.【解答】解:根据条形图得出文学类人数为90,利用扇形图得出文学类所占百分比为:30%,则本次调查中,一共调查了:90÷30%=300(人),则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是360°×=72°;故答案为:72. 15.(3分)(2016•苏州)不等式组的最大整数解是 3 .【解答】解:解不等式x+2>1,得:x>﹣1,解不等式2x﹣1≤8﹣x,得:x≤3,则不等式组的解集为:﹣1<x≤3,则不等式组的最大整数解为3,故答案为:3. 16.(3分)(2016•苏州)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D,若∠A=∠D,CD=3,则图中阴影部分的面积为  .【解答】解:连接OC,∵过点C的切线交AB的延长线于点D,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,即∠D+∠COD=90°,∵AO=CO,∴∠A=∠ACO,∴∠COD=2∠A,∵∠A=∠D,∴∠COD=2∠D,∴3∠D=90°,∴∠D=30°,∴∠COD=60°∵CD=3,∴OC=3×=,∴阴影部分的面积=×3×﹣=,故答案为:. 17.(3分)(2016•苏州)如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为 2 .【解答】解:如图,作DF⊥B′E于点F,作B′G⊥AD于点G,∵∠B=60°,BE=BD=4,∴△BDE是边长为4的等边三角形,∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE,∴△B′DE也是边长为4的等边三角形,∴GD=B′F=2,∵B′D=4,∴B′G===2,∵AB=10,∴AG=10﹣6=4,∴AB′===2.故答案为:2. 18.(3分)(2016•苏州)如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,2),C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为 (1,) .【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(8,0),(0,2)∴BO=,AO=8由CD⊥BO,C是AB的中点,可得BD=DO=BO==PE,CD=AO=4设DP=a,则CP=4﹣a当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,∠FCP=∠DBP又∵EP⊥CP,PD⊥BD∴∠EPC=∠PDB=90°∴△EPC∽△PDB∴,即解得a1=1,a2=3(舍去)∴DP=1又∵PE=∴P(1,)故答案为:(1,) 三、解答题(共10小题,满分76分)19.(5分)(2016•苏州)计算:()2+|﹣3|﹣(π+)0.【解答】解:原式=5+3﹣1=7. 20.(5分)(2016•苏州)解不等式2x﹣1>,并把它的解集在数轴上表示出来.【解答】解:去分母,得:4x﹣2>3x﹣1,移项,得:4x﹣3x>2﹣1,合并同类项,得:x>1,将不等式解集表示在数轴上如图: 21.(6分)(2016•苏州)先化简,再求值:÷(1﹣),其中x=.【解答】解:原式=÷=•=,当x=时,原式==. 22.(6分)(2016•苏州)某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆,小型汽车的停车费为8元/辆,现在停车场共有50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费480元,中、小型汽车各有多少辆?【解答】解:设中型车有x辆,小型车有y辆,根据题意,得解得答:中型车有20辆,小型车有30辆. 23.(8分)(2016•苏州)在一个不透明的布袋中装有三个小球,小球上分别标有数字﹣1、0、2,它们除了数字不同外,其他都完全相同.(1)随机地从布袋中摸出一个小球,则摸出的球为标有数字2的小球的概率为  ;(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀,然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标,请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标,并求出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率.【解答】解:(1)随机地从布袋中摸出一个小球,则摸出的球为标有数字2的小球的概率=;故答案为;(2)画树状图为:共有9种等可能的结果数,其中点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的结果数为6,所以点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率==. 24.(8分)(2016•苏州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°,∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB,∴DE∥AC,∴四边形ACDE是平行四边形;(2)解:∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,AD=CD=5,∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=5,DE=AC=8,∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18. 25.(8分)(2016•苏州)如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B(2,n),过点B作BC⊥x轴于点C,点P(3n﹣4,1)是该反比例函数图象上的一点,且∠PBC=∠ABC,求反比例函数和一次函数的表达式.【解答】解:∵点B(2,n)、P(3n﹣4,1)在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴.解得:m=8,n=4.∴反比例函数的表达式为y=.∵m=8,n=4,∴点B(2,4),(8,1).过点P作PD⊥BC,垂足为D,并延长交AB与点P′.在△BDP和△BDP′中,∴△BDP≌△BDP′.∴DP′=DP=6.∴点P′(﹣4,1).将点P′(﹣4,1),B(2,4)代入直线的解析式得:,解得:.∴一次函数的表达式为y=x+3. 26.(10分)(2016•苏州)如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF.(1)证明:∠E=∠C;(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB=,E是的中点,求EG•ED的值.【解答】(1)证明:连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵CD=BD,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠B=∠E,∴∠E=∠C;(2)解:∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形,∴∠AFD=180°﹣∠E,又∵∠CFD=180°﹣∠AFD,∴∠CFD=∠E=55°,又∵∠E=∠C=55°,∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°;(3)解:连接OE,∵∠CFD=∠E=∠C,∴FD=CD=BD=4,在Rt△ABD中,cosB=,BD=4,∴AB=6,∵E是的中点,AB是⊙O的直径,∴∠AOE=90°,∵AO=OE=3,∴AE=3,∵E是的中点,∴∠ADE=∠EAB,∴△AEG∽△DEA,∴=,即EG•ED=AE2=18. 27.(10分)(2016•苏州)如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上,点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3m/s,以O为圆心,0.8cm为半径作⊙O,点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位:s)(0<t<).(1)如图1,连接DQ平分∠BDC时,t的值为  ;(2)如图2,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;(3)请你继续进行探究,并解答下列问题:①证明:在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;②如图3,在运动过程中,当QM与⊙O相切时,求t的值;并判断此时PM与⊙O是否也相切?说明理由.【解答】(1)解:如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°,AB=CD=6.AD=BC=8,∴BD===10,∵PQ⊥BD,∴∠BPQ=90°=∠C,∵∠PBQ=∠DBC,∴△PBQ∽△CBD,∴==,∴==,∴PQ=3t,BQ=5t,∵DQ平分∠BDC,QP⊥DB,QC⊥DC,∴QP=QC,∴3t=6﹣5t,∴t=,故答案为.(2)解:如图2中,作MT⊥BC于T.∵MC=MQ,MT⊥CQ,∴TC=TQ,由(1)可知TQ=(8﹣5t),QM=3t,∵MQ∥BD,∴∠MQT=∠DBC,∵∠MTQ=∠BCD=90°,∴△QTM∽△BCD,∴=,∴=,∴t=(s),∴t=s时,△CMQ是以CQ为底的等腰三角形.(3)①证明:如图2中,由此QM交CD于E,∵EQ∥BD,∴=,∴EC=(8﹣5t),ED=DC﹣EC=6﹣(8﹣5t)=t,∵DO=3t,∴DE﹣DO=t﹣3t=t>0,∴点O在直线QM左侧.②解:如图3中,由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H,QM与CD交于点E.∵EC=(8﹣5t),DO=3t,∴OE=6﹣3t﹣(8﹣5t)=t,∵OH⊥MQ,∴∠OHE=90°,∵∠HEO=∠CEQ,∴∠HOE=∠CQE=∠CBD,∵∠OHE=∠C=90°,∴△OHE∽△BCD,∴=,∴=,∴t=.∴t=s时,⊙O与直线QM相切.连接PM,假设PM与⊙O相切,则∠OMH=PMQ=22.5°,在MH上取一点F,使得MF=FO,则∠FMO=∠FOM=22.5°,∴∠OFH=∠FOH=45°,∴OH=FH=0.8,FO=FM=0.8,∴MH=0.8(+1),由=得到HE=,由=得到EQ=,∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=,∴0.8(+1)≠,矛盾,∴假设不成立.∴直线PM与⊙O不相切. 28.(10分)(2016•苏州)如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点B.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.①写出点M′的坐标;②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′,当直线l′与直线AM′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l′与线段BM′交于点C,设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).【解答】解:(1)令x=0代入y=﹣3x+3,∴y=3,∴B(0,3),把B(0,3)代入y=ax2﹣2ax+a+4,∴3=a+4,∴a=﹣1,∴二次函数解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)令y=0代入y=﹣x2+2x+3,∴0=﹣x2+2x+3,∴x=﹣1或3,∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3,∵M在抛物线上,且在第一象限内,∴0<m<3,过点M作ME⊥y轴于点E,交AB于点D,由题意知:M的坐标为(m,﹣m2+2m+3),∴D的纵坐标为:﹣m2+2m+3,∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3,∴x=,∴D的坐标为(,﹣m2+2m+3),∴DM=m﹣=,∴S=DM•BE+DM•OE=DM(BE+OE)=DM•OB=××3==(m﹣)2+∵0<m<3,∴当m=时,S有最大值,最大值为;(3)①由(2)可知:M′的坐标为(,);②过点M′作直线l1∥l′,过点B作BF⊥l1于点F,根据题意知:d1+d2=BF,此时只要求出BF的最大值即可,∵∠BFM′=90°,∴点F在以BM′为直径的圆上,设直线AM′与该圆相交于点H,∵点C在线段BM′上,∴F在优弧上,∴当F与M′重合时,BF可取得最大值,此时BM′⊥l1,∵A(1,0),B(0,3),M′(,),∴由勾股定理可求得:AB=,M′B=,M′A=,过点M′作M′G⊥AB于点G,设BG=x,∴由勾股定理可得:M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2,∴﹣(﹣x)2=﹣x2,∴x=,cos∠M′BG==,∵l1∥l′,∴∠BCA=90°,∠BAC=45° 参与本试卷答题和审题的老师有:ZJX;sd2011;sks;王学峰;弯弯的小河;gsls;fangcao;zcx;张其铎;lantin;三界无我;wd1899;sjzx;szl;gbl210;1987483819;梁宝华;神龙杉(排名不分先后)菁优网2016年7月3日第28页(共28页)
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