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2016年高考真题——理科数学(北京卷)解析.doc

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2016 年高 考真题 理科 数学 北京 解析
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本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,,则( ) A. B. C. D.【答案】C考点:集合交集.2.若,满足,则的最大值为( )A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】试题分析:作出如图可行域,则当经过点时,取最大值,而,∴所求最大值为4,故选C. 考点:线性规划.3.执行如图所示的程序框图,若输入的值为1,则输出的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B考点:算法与程序框图4.设,是向量,则“”是“”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析:由,故是既不充分也不必要条件,故选D.考点:1.充分必要条件;2.平面向量数量积.5.已知,,且,则( )A. B. C. D.【答案】C考点: 函数性质6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:分析三视图可知,该几何体为一三棱锥,其体积,故选A.考点:1.三视图;2.空间几何体体积计算.7.将函数图象上的点向左平移() 个单位长度得到点,若位于函数的图象上,则( )A.,的最小值为 B. ,的最小值为 C.,的最小值为 D.,的最小值为 【答案】A考点:三角函数图象平移8.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C【解析】试题分析:若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑:且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;A:由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定,故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系,而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的,故选C.考点:概率统计分析.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.设,若复数在复平面内对应的点位于实轴上,则_______________.【答案】.【解析】试题分析:,故填:.考点:复数运算10.在的展开式中,的系数为__________________.(用数字作答)【答案】60.考点:二项式定理.11.在极坐标系中,直线与圆交于A,B两点,则______.【答案】2【解析】试题分析:分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程:直线为过圆圆心,因此,故填:.考点:极坐标方程与直角方程的互相转化.12.已知为等差数列,为其前项和,若,,则_______..【答案】6【解析】试题分析:∵是等差数列,∴,,,,∴,故填:6.考点:等差数列基本性质.13.双曲线(,)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则_______________.【答案】2考点:双曲线的性质14.设函数. ①若,则的最大值为______________; ②若无最大值,则实数的取值范围是________.【答案】,.【解析】试题分析:如图作出函数与直线的图象,它们的交点是,,,由,知是函数的极大值点,①当时,,因此的最大值是;②由图象知当时,有最大值是;只有当时,由,因此无最大值,∴所求的范围是,故填:,.考点:1.分段函数求最值;2.数形结合的数学思想.三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题13分)在ABC中,.(1)求 的大小;(2)求 的最大值.【答案】(1);(2).,因为,所以当时,取得最大值.考点:1.三角恒等变形;2.余弦定理.16. (本小题13分)A、B、C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时);A班6 6. 5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ,表格中数据的平均数记为 ,试判断和的大小,(结论不要求证明)【答案】(1)40;(2);(3).因此(3)根据平均数计算公式即可知,.考点:1.分层抽样;2.独立事件的概率;3.平均数17.(本小题14分)如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,.(1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析;(2);(3)存在,【解析】试题分析:(1)由面面垂直性质定理知AB⊥平面;根据线面垂直性质定理可知,再由线面垂直判定定理可知平面;(2)取的中点,连结,,以为坐标原点建立空间直角坐标系,利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值;(3)假设存在,根据A,P,M三点共线,设,根据平面,即,求的值,即可求出的值.试题解析:(1)因为平面平面,,所以平面,所以,又因为,所以平面;考点:1.空间垂直判定与性质;2.异面直线所成角的计算;3.空间向量的运用.18.(本小题13分)设函数,曲线在点处的切线方程为,(1)求,的值;(2)求的单调区间.【答案】(Ⅰ),;(2)的单调递增区间为.【解析】试题分析:(1)根据题意求出,根据,,求,的值;(2)由题意知判断,即判断的单调性,知,即,由此求得的单调区间.考点:导数的应用.19.(本小题14分)已知椭圆C: ()的离心率为 ,,,,的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设的椭圆上一点,直线与轴交于点M,直线PB与轴交于点N.求证:为定值.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】试题分析:(1)根据离心率为,即,的面积为1,即,椭圆中列方程求解;(2)根据已知条件分别求出,的值,求其乘积为定值..当时,,所以.综上,为定值.考点:1.椭圆方程及其性质;2.直线与椭圆的位置关系.20.(本小题13分) 设数列A: , ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 < ,则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;(2)证明:若数列A中存在使得>,则 ;(3)证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则的元素个数不小于 -.【答案】(1)的元素为和;(2)详见解析;(3)详见解析.如果,取,则对任何.从而且.又因为是中的最大元素,所以.考点:数列、对新定义的理解. 17
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