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【可编辑】2017届河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版).doc

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2016-2017学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(文科) 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.设集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2},B={n∈N|﹣1≤n<3},则(∁ZA)∩B=(  )A.{0,1,2}B.{﹣1,0,1}C.{0,1}D.{﹣1,0,1,2}2.在复平面内O为极坐标原点,复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和,则||=(  )A.3B.C.D.53.把函数y=sin(2x﹣)的图象向右平移个单位后,所得函数图象的一条对称轴为(  )A.x=0B.x=C.x=﹣D.x=4.已知等比数列{an}的前10项的积为32,则以下命题为真命题的是(  )A.数列{an}的各项均为正数B.数列{an}中必有小于的项C.数列{an}的公比必是正数D.数列{an}中的首项和公比中必有一个大于15.若=,则tan2α的值为(  )A.B.C.﹣D.36.函数y=ln的图象大致是(  )A.B.C.D.7.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则•(+)的最小值是(  )A.﹣2B.﹣1C.1D.28.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x)且在[5,6]上是增函数,α,β是锐角三角形的两个内角,则(  )A.f(sinα)>f(cosβ)B.f(sinα)>f(sinβ)C.f(sinα)<f(cosβ)D.f(cosα)>f(cosβ)9.在四面体S﹣ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为(  )A.11πB.C.D.10.已知函数,若方程f(x)﹣a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是(  )A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)11.已知数列Sn为等比数列{an}的前n项和,S8=2,S24=14,则S2016=(  )A.2252﹣2B.2253﹣2C.21008﹣2D.22016﹣212.设点P,Q分别是曲线y=xe﹣x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为(  )A.B.C.D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.在矩形ABCD中, =(1,﹣3),,则实数k=  .14.已知函数f(x)的对应关系如表所示,数列{an}满足a1=3,an+1=f(an),则a2016=  . x123f(x)32115.一个几何体的三视图如图所示,该几何体体积为  .16.设α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,给出下列四个命题:①若n⊂α,n∥β,α∩β=m,则n∥m;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;④m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β.其中正确的命题序号为  . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosA=(2c+a)cos(π﹣B)(1)求角B的大小;(2)若b=4,△ABC的面积为,求a+c的值.18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=4a3+6,且a2,a3,a9成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)如果a1≠a5,求数列{}的前n项和.19.已知函数f(x)=x3﹣(a+1)x2+x﹣(a∈R).(1)若a<0,求函数f(x)的极值;(2)当a≤时,判断函数f(x)在区间[0,2]上零点的个数.20.已知向量=(sin2x,cos2x),=(cos2x,﹣cos2x).(1)若x∈(,),•+=﹣,求cos4x;(2)设△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b2=ac,且边b所对应的角为x,若关于x的方程•+=m有且仅有一个实数根,求m的值.21.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.(Ⅰ)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(Ⅱ)求四棱锥P﹣ABCD的体积.22.已知函数f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中a∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为1,求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间. 2016-2017学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.设集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2},B={n∈N|﹣1≤n<3},则(∁ZA)∩B=(  )A.{0,1,2}B.{﹣1,0,1}C.{0,1}D.{﹣1,0,1,2}【考点】补集及其运算.【分析】根据补集与交集的定义,进行计算即可.【解答】解:∵集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2},全集为Z,∴∁ZA={m∈Z|﹣3<m<2}={﹣2,﹣1,0,1},又∵B={n∈N|﹣1≤n<3}={0,1,2},则(∁ZA)∩B={0,1}.故选:C. 2.在复平面内O为极坐标原点,复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和,则||=(  )A.3B.C.D.5【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【分析】直接利用复数对应点的坐标,求解距离即可.【解答】解:在复平面内O为极坐标原点,复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和,可得A(﹣1,2),B(1,3),则||==.故选:C. 3.把函数y=sin(2x﹣)的图象向右平移个单位后,所得函数图象的一条对称轴为(  )A.x=0B.x=C.x=﹣D.x=【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】由题意根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对称性,得出结论.【解答】解:把函数y=sin(2x﹣)的图象向右平移个单位后,可得y=sin(2x﹣)=﹣cos2x 的图象,再令2x=kπ,求得x=,k∈Z,函数所得函数图象的一条对称轴为x=0,故选:A. 4.已知等比数列{an}的前10项的积为32,则以下命题为真命题的是(  )A.数列{an}的各项均为正数B.数列{an}中必有小于的项C.数列{an}的公比必是正数D.数列{an}中的首项和公比中必有一个大于1【考点】命题的真假判断与应用;等比数列的性质.【分析】由等比数列的性质可知,故q必是正数,故选项C为真命题;由可知a5可以为负数,故A为假命题;对于选项B,由于a5a6=2可以前10项全为,故B为假命题;对于选项D,由可得,可取q=1、均不大于1,故D为假命题.【解答】解:由等比数列的性质,a1a2a3…a10==32.∴a5a6=2,设公比为q,则,故q必是正数,故选项C为真命题.对于选项A,由可知a5可以为负数,故A为假命题;对于选项B,由a5a6=2可以前10项全为,故B为假命题;对于选项D,由可得,可取q=1、均不大于1,故D为假命题.故选C. 5.若=,则tan2α的值为(  )A.B.C.﹣D.3【考点】同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正切.【分析】由条件 求得tanα=3,再根据tan2α=,计算求得结果.【解答】解:∵==,∴tanα=3,则tan2α===﹣,故选:D. 6.函数y=ln的图象大致是(  )A.B.C.D.【考点】正弦函数的图象.【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称,根据f(﹣x)=f(x),可得函数的图象关于y轴对称,故排除B、D,再根据当x∈(0,1)时,ln<0,从而排除C,从而得到答案.【解答】解:∵函数y=ln,∴x+sinx≠0,x≠0,故函数的定义域为{x|x≠0}.再根据y=f(x)的解析式可得f(﹣x)=ln()=ln()=f(x),故函数f(x)为偶函数,故函数的图象关于y轴对称,故排除B、D.当x∈(0,1)时,∵0<sinx<x<1,∴0<<1,∴函数y=ln<0,故排除C,只有A满足条件,故选:A. 7.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则•(+)的最小值是(  )A.﹣2B.﹣1C.1D.2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意画出草图分析,由于在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,可得 ,则•(+)=•2,而||=||+||=2≥2,利用均值不等式即可求得•(+)的最小值.【解答】解:由题意画出草图:由于点M为△ABC中边BC的中点,∴,∴•(+)==﹣2||•||.∵O为中线AM上的一个动点,即A、O、M三点共线,∴||=||+||=2≥2(当且仅当“”时取等号),得||•||≤1,又•2=﹣2||•||≥﹣2,则•(+)的最小值为﹣2.故选:A. 8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x)且在[5,6]上是增函数,α,β是锐角三角形的两个内角,则(  )A.f(sinα)>f(cosβ)B.f(sinα)>f(sinβ)C.f(sinα)<f(cosβ)D.f(cosα)>f(cosβ)【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】根据已知条件能够得到f(x)是周期为2的周期函数,且在[0,1]上单调递减,再根据α,β为锐角三角形的两个锐角即可得到1>sin>cosβ>0,从而根据f(x)在[0,1]上的单调性即可得出f(sinα)<f(cosβ).【解答】解:由f(x+1)=﹣f(x)得,f(x+2)=f(x);∴f(x)是以2为周期的周期函数;∵f(x)是R上的偶函数,且在[5,6]上是增函数;∴f(x)在[﹣6,﹣5]上为减函数;∴f(x)在[0,1]上为减函数;∵α,β是锐角三角形的两个锐角;∴α+β>;∴α>﹣β,α,﹣β∈(0,)∴sinα>sin(﹣β)=cosβ且sinα,cosβ∈(0,1);∴f(sinα)<f(cosβ).故选:C. 9.在四面体S﹣ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为(  )A.11πB.C.D.【考点】球内接多面体;球的体积和表面积.【分析】求出BC,利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径,从而可求该三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥的外接球表面积.【解答】解:∵AC=2,AB=1,∠BAC=120°,∴BC==,∴三角形ABC的外接圆半径为r,2r=,r=,∵SA⊥平面ABC,SA=2,由于三角形OSA为等腰三角形,O是外接球的球心.则有该三棱锥的外接球的半径R==,∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×()2=.故选:D. 10.已知函数,若方程f(x)﹣a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是(  )A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.【分析】结合方程f(x)=a有三个不同的实数解,将问题转化为函数图象交点的个数判断问题,进而结合函数f(x)的图象即可获得解答.【解答】解:由题意可知:函数f(x)的图象如下:由关于x的方程f(x)﹣a=0有三个不同的实数解,可知函数y=a与函数y=f(x)有三个不同的交点,由图象易知:实数a的取值范围为(0,1).故选D 11.已知数列Sn为等比数列{an}的前n项和,S8=2,S24=14,则S2016=(  )A.2252﹣2B.2253﹣2C.21008﹣2D.22016﹣2【考点】等比数列的前n项和.【分析】由Sn为等比数列{an}的前n项和,由前n项和公式求得a1和q的数量关系,然后再来解答问题.【解答】解:∵数列Sn为等比数列{an}的前n项和,S8=2,S24=14,∴=2,①=14,②由②÷①得到:q8=2或q8=﹣3(舍去),∴=2,则a1=2(q﹣1),∴S2016===2253﹣2.故选:B. 12.设点P,Q分别是曲线y=xe﹣x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为(  )A.B.C.D.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】对曲线y=xe﹣x进行求导,求出点P的坐标,分析知道,过点P直线与直线y=x+2平行且与曲线相切于点P,从而求出P点坐标,根据点到直线的距离进行求解即可.【解答】解:∵点P是曲线y=xe﹣x上的任意一点,和直线y=x+3上的动点Q,求P,Q两点间的距离的最小值,就是求出曲线y=xe﹣x上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离.由y′=(1﹣x)e﹣x ,令y′=(1﹣x)e﹣x =1,解得x=0,当x=0,y=0时,点P(0,0),P,Q两点间的距离的最小值,即为点P(0,0)到直线y=x+3的距离,∴dmin==.故选C. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.在矩形ABCD中, =(1,﹣3),,则实数k= 4 .【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.【分析】根据题意,画出图形,利用•=0,列出方程,求出k的值.【解答】解:如图所示,在矩形ABCD中, =(1,﹣3),,∴=﹣=(k﹣1,﹣2+3)=(k﹣1,1),∴•=1×(k﹣1)+(﹣3)×1=0,解得k=4.故答案为:4. 14.已知函数f(x)的对应关系如表所示,数列{an}满足a1=3,an+1=f(an),则a2016= 1 . x123f(x)321【考点】数列与函数的综合.【分析】由题意可知,a1=3,分别求得a2,a3,a4,求得an=,即可a2016.【解答】解:an+1=f(an),a1=3.∴a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,…∴an=,∴a2016=1.故答案为:1. 15.一个几何体的三视图如图所示,该几何体体积为  .【考点】由三视图求面积、体积.【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形,进一步利用几何体的体积公式求出结果.【解答】解:根据三视图得知:该几何体是以底面边长为2的正方形,高为的四棱锥,所以:V==故答案为: 16.设α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,给出下列四个命题:①若n⊂α,n∥β,α∩β=m,则n∥m;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;④m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β.其中正确的命题序号为 ①③ .【考点】命题的真假判断与应用.【分析】①由线面平行的性质定理可知该命题正确;②由面面平行的判断定理可知该命题错误,缺少一个重要条件,m和n是两条相交直线;③由面面垂直的性质定理可知该命题正确;④n可能在平面β内.【解答】解:对于①,由线面平行的性质定理可知该命题正确,故①正确;对于②,如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面互相平行,在这个定理中“两条相交直线”这个条件必不可少.没有这个条件,两平面就不一定平行,也可以相交,故②不正确;对于③,由面面垂直的性质定理可知该命题正确,故③正确;对于④,n可能在平面β内,故④不正确.故答案为:①③. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosA=(2c+a)cos(π﹣B)(1)求角B的大小;(2)若b=4,△ABC的面积为,求a+c的值.【考点】余弦定理的应用;正弦定理.【分析】(1)利用正弦定理化简bcosA=(2c+a)cos(π﹣B),通过两角和与差的三角函数求出cosB,即可得到结果.(2)利用三角形的面积求出ac=4,通过由余弦定理求解即可.【解答】解:(1)因为bcosA=(2c+a)cos(π﹣B),…所以sinBcosA=(﹣2sinC﹣sinA)cosB…所以sin(A+B)=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣…∴B=…(2)由=得ac=4….由余弦定理得b2=a2+c2+ac=(a+c)2﹣ac=16…∴a+c=2 … 18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=4a3+6,且a2,a3,a9成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)如果a1≠a5,求数列{}的前n项和.【考点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和.【分析】(1)根据等差数列的定义,设出公差d,利用S5=4a3+6,且a2,a3,a9成等比数列.建立关系式,求解公差d和a1,即可得数列{an}的通项公式;(2)求出等差数列Sn;数列{}的通项公式;裂项相消法求解前n项和.【解答】解:(1)由题意:数列{an}是等差数列,设公差d,首项为a1,S5=4a3+6,则:S5=4a3+6=5a1+,∴a1+2d=6…①又∵a2,a3,a9成等比数列∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+8d)∴da1=d2…②由①,②可得:a1=2,d=2或a1=6,d=0.故得数列{an}的通项公式为an=2n或an=6.(2)∵a1≠a5∴an=2nSn=na1+=n2+n;则:数列{}的通项公式: =;数列{}的前n项和为: ===;故得数列{}的前n项和为. 19.已知函数f(x)=x3﹣(a+1)x2+x﹣(a∈R).(1)若a<0,求函数f(x)的极值;(2)当a≤时,判断函数f(x)在区间[0,2]上零点的个数.【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(2)根据a的范围,求出函数的单调区间,从而求出在[0,2]上的零点个数即可.【解答】解:(1)f′(x)=a(x﹣1)(x﹣),∵a<0,∴<1,令f′(x)>0,解得:<x<1,令f′(x)<0,解得:x>1或x<,∴f(x)在(﹣∞,)递减,在(,1)递增,在(1,+∞)递减,∴f(x)极小值=f()=,f(x)极大值=f(1)=﹣(a﹣1);(2)f(1)=﹣(a﹣1),f(2)=(2a﹣1),f(0)=﹣<0,a≤时,f(x)在[0,1]递增,在[1,2]递减,故f(0)=﹣<0,f(1)=﹣(a﹣1)>0,f(2)=(2a﹣1)≤0,∴f(x)在[0,1],(1,2]上各有1个零点,即在[0,2]上2个零点. 20.已知向量=(sin2x,cos2x),=(cos2x,﹣cos2x).(1)若x∈(,),•+=﹣,求cos4x;(2)设△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b2=ac,且边b所对应的角为x,若关于x的方程•+=m有且仅有一个实数根,求m的值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.【分析】(I)根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式化简,得到,结合同角三角函数的关系算出,再进行配角,利用两角和的余弦公式即可算出cos4x的大小.(II)根据余弦定理与基本不等式算出,从而可得,即函数y==的定义域为.再利用正弦函数的图象研究y=的单调性,可得当或时,有唯一的x与y=对应,由此即可得到满足条件的实数m的值.【解答】解:(Ⅰ)∵,∴==又∵,∴;由于,可得,∴,由此可得:==;(Ⅱ)∵b2=ac,∴由余弦定理可得:,∵B是三角形的内角,∴,即由(I)可得=,∵由,可得,∴,当x∈(0,]时,y=为单调增函数;当x∈(,]时,y=为单调减函数.当时,y==1;当时,y==﹣,此时只有一个x与y=对应,即直线y=m和有一个公共点.∴若关于x的方程有且仅有一个实数根,实数m的值为1或﹣. 21.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.(Ⅰ)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(Ⅱ)求四棱锥P﹣ABCD的体积.【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(I)欲证平面MBD⊥平面PAD,根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直,而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD;(II)过P作PO⊥AD交AD于O,根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO⊥平面ABCD,从而PO为四棱锥P﹣ABCD的高,四边形ABCD是梯形,根据梯形的面积公式求出底面积,最后用锥体的体积公式进行求解即可.【解答】解:(Ⅰ)证明:在△ABD中,由于AD=4,BD=8,,所以AD2+BD2=AB2.故AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAD,又BD⊂平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.(Ⅱ)解:过P作PO⊥AD交AD于O,由于平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因此PO为四棱锥P﹣ABCD的高,又△PAD是边长为4的等边三角形.因此.在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形,在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为.故. 22.已知函数f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中a∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为1,求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)对函数f(x)求导,根据导数的几何意义可求f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率k,结合已知可求a(II)先求函数f(x)的定义域为(0,+∞),要判断函数的单调区间,需要判断导数f′(x)的正负,分类讨论:分(1)当a≥0时,(2)当0<a<2时,(3)当a=2时,(4)当a>2时四种情况分别求解.【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,可知,函数定义域为{x|x>0},且f′(x)=2x﹣(a+2)+.由题意,f′(2)=4﹣(a+2)+=1,解得a=2.(Ⅱ)f′(x)=2x﹣(a+2)+=(x>0).令f′(x)=0,得x1=1,x2=.(1)当a≤0时,≤0,令f′(x)>0,得x>1;令f′(x)<0,得0<x<1.则函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)当0<<1,即0<a<2时,令f′(x)>0,得0<x<或x>1.则函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞).令f′(x)<0,得<x<1.则函数f(x)的单调递减区间为(,1).(3)当=1,即a=2时,f′(x)≥0恒成立,则函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).(4)当>1,即a>2时,令f′(x)>0,得0<x<1或x>,则函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(,+∞).令f′(x)<0,得1<x<.则函数f(x)的单调递减区间为(1,). 第19页(共19页)
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