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【可编辑】2017年成都市一诊考试数学试题及答案word(理科).doc

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可编辑 编辑 2017 年成 都市 考试 数学试题 答案 word 理科
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理科第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合R,,则(A)(B)(C)(D)(2)命题“若,则”的否命题是(A)若,则≤(B)若≤,则≤(C)若,则(D)若≤,则≤(3)执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为0,那么输入的为(A)(B) -1或1(C) 1 (D) -1(4)已知双曲线的左,右焦点分别为,曲线上一点P满足轴,若,则该双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)3(5)已知为第二象限角,且,则的值为(A)(B)(C)(D)(6)的展开式中的系数为(A) (B)5(C)(D)(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的外接球的表面积为(A)(B)(C)(D)(8)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有点向右平移个单位长度,得到函数的图象,则该图象的一条对称轴方程是(A)(B)(C)(D)(9)在直三棱柱中,平面与棱分别交于点,且直线平面,有下列三个命题:①四边形是平行四边形;②平面∥平面;③平面平面.其中正确的命题有(A) ①②(B) ②③(C)①③(D)①②③(10)已知是圆上的两个动点,,.若是线段的中点,则的值为(A)3 (B)(C)2 (D)(11)已知函数是定义在R上的偶函数,且,当时,,则关于的方程在上的所有实数解之和为(A)-7(B)-6(C)-3(D)-1(12)已知曲线在点处的切线与曲线也相切,则的值为(A)(B)(C)2(D)8第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.(13)若复数(其中R,为虚数单位)的虚部为,则 .(14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是,如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上底为1的梯形,且当实数取上的任意值时,直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等,则图1的面积为 .(15)若实数满足约束条件,则的最小值为 .(16)已知中,,的面积为,若线段BA的延长线上存在点D,使,则 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列满足.(I)证明数列是等比数列;(II)求数列的前项和.(18)(本小题满分12分) 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制.各等级划分标准为:85分及以上,记为A等;分数在内,记为B等;分数在内,记为C等;60分以下,记为D等.同时认定A,B,C为合格,D为不合格.已知甲,乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内,为了比较两校学生的情况,分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示,作出乙校的样本中等级为C,D的所有数据的茎叶图如图2所示. (I)求图中x的值,并根据样本数据比较甲乙两校的合格率; (II)在选取的样本中,从甲,乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研,用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数,求随机变量X的分布列和数学期望.(19)(本小题满分12分)如图1,正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,BD与EF交于点H,G为BD中点,点R在线段BH上,且,现将分别沿折起,使点A,C重合于点B(该点记为P),如图2所示.(I)若,求证:平面;(II)是否存在正实数,使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(20)(本小题满分12分)已知椭圆的右焦点为,记直线与轴的交点为,过点且斜率为k的直线与椭圆交于两点,点为线段的中点.(I)若直线的倾斜角为,求的面积的值;(II)过点B作直线于点,证明:A,M,N三点共线.(21)(本小题满分12分)已知函数.(I)当时,求函数的单调区间;(II)当时,若存在≥,使成立,求的最小值.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(22)(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是. (Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ)已知点P(1,0),点的极坐标为,直线经过点M且与曲线相交于两点,设线段的中点为Q,求的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知函数≥.(Ⅰ)求不等式≤的解集;(Ⅱ)若的最小值为,正数满足,求的最小值.文科第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合R,,则(A)(B)(C) (D)(2) 命题“若,则”的逆命题是(A)若,则≤(B)若≤,则≤(C)若,则(D)若≤,则≤(3)双曲线的离心率为(A)4(B)(C)(D)(4)已知为锐角,且,则(A)(B)(C)(D)(5)执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为0,那么输入的为(A)(B) -1或1(C)-1(D)1(6)已知x与y之间的一组数据:x1234ym3.24.87.5若y关于x的线性回归方程为,则m的值为(A)1 (B)0.85 (C) 0.7 (D) 0.5(7)定义在R上的奇函数满足,当时,,则(A)(B)(C)(D)(8)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的所有棱中,最长的棱的长度为(A)(B)(C)(D)(9)将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数的图象,则该图象的一个对称中心是(A)(B)(C)(D)(10)在直三棱柱中,平面与棱分别交于点,且平面,有下列三个命题:①四边形是平行四边形;②平面∥平面;③平面平面.其中正确的命题有(A) ①②(B) ②③(C)①③(D)①②③(11)已知是圆上的两个动点,,,若点是的中点,则的值为(A)3(B)(C)2(D)(12)已知曲线在点处的切线与曲线也相切,则的值为(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.(13)复数(为虚数单位)的虚部为 .(14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是,如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个矩形,且当实数取上的任意值时,直线被图1和图2所截得的线段长始终相等,则图1的面积为 .(15)若实数满足约束条件,则的最大值为 .(16)已知中,,的面积为,若线段BA的延长线上存在点D,使,则 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制.各等级划分标准为:85分及以上,记为A等;分数在内,记为B等;分数在内,记为C等;60分以下,记为D等.同时认定A,B,C为合格,D为不合格.已知甲,乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内,为了比较两校学生的情况,分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示,作出乙校的样本中等级为C,D的所有数据的茎叶图如图2所示. (I)求图中x的值,并根据样本数据比较甲乙两校的合格率; (II)在乙校的样本中,从成绩等级为C,D的学生中随机抽取2名学生进行调研,求抽出的2名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率.(18)(本小题满分12分)在等比数列中,,且成等差数列.(I)求数列的通项公式;(II)求数列的前项和.(19)(本小题满分12分)如图1,正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,BD与EF交于点H,点G,R分别在线段DH,HB上,且,将分别沿折起,使点A,B,C重合于点P,如图2所示.(I)求证:平面;(II)若正方形ABCD的边长为4,求三棱锥的内切球的半径.(20)(本小题满分12分)已知椭圆的右焦点为,记直线与轴的交点为,过点且斜率为k的直线与椭圆交于两点,点为线段的中点.(I)若直线的倾斜角为,求的值;(II)设直线交直线于点,证明:直线.(21)(本小题满分12分)已知函数,.(I)若,求的单调区间;(II)当时,求使不等式恒成立的最大整数的值.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(22)(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是. (Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ)已知点P(1,0),点的极坐标为,直线经过点M且与曲线相交于两点,设线段的中点为Q,求的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知函数≥.(Ⅰ)求不等式≤的解集;(Ⅱ)若的最小值为,正数满足,求的最小值.参考答案 理科一、选择题1.B; 2.D;3.D;4.B;5.B;6.C;7.B;8.D;9.C;10.A;11.A;12.D.二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17. (I), ·························1分,············3分···············································4分是以为首项,为公比的等比数列.··················5分(II)由(I)可知 ,···················7分当时,,;·······················8分当时,,····································9分·····················11分又时,上式也满足,,···………………………………………··12分18.(I)由题意可知,,··············································2分甲学校的合格率为··························3分而乙学校的合格率为···························4分甲、乙两校的合格率均为·····························5分(II)样本中甲校等级的学生人数为人·········6分而乙校等级的学生人数为人,随机抽取人中,甲校学生人数的可能取值为······7分,,,的分布列为··············11分数学期望········………………···········12分19.(I)由题意可知,三条直线两两垂直······················1分平面,·····················································2分在图1中, ,为的中点,又为的中点,··4分所以在图2中,,且,在中,·······················5分平面·······························6分(II)由题意,分别以为轴建立空间直角坐标系,设,则,·····7分,,·······8分又因为,设平面的一个法向量为,············9分则,取,直线FR与平面DEF所成角的正弦值为, ·······11分,或(舍)故存在正实数,使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为.······12分20.(I)由题意,设,…………………1分直线的倾斜角为,,方程为,即,………2分代入椭圆方程可得,,…………………………………………3分,………………………4分所以.6分(II)设直线的方程为,代入椭圆方程得:,………………………………8分则,……………………9分直线于点,,而, ………………11分,故三点共线. ……………………………12分21. (I)由, 得.…………………………………………………1分当,即时,对恒成立, 此时,的单调递增区间为,无单调递减区间.………2分 当即时, 由,得,由,得, 此时,的单调递减区间为,单调递增区间为.…3分 综上所述, 当时, 的单调递增区间为,无减区间; 当时, 的单调递减区间为,单调递增区间为.…………4分(II)由,得, 当时,上式等价于,…………………………………5分令,据题意,存在,使成立,只需…6分∵,…7分 又令,显然在上单调递增, 而,存在,使,即,…………………………9分 而当时,,单调递减; 当时,,单调递增.当时,有极小值(也是最小值) ,………………10分,即,即,.………11分又,且,的最小值为.………………12分22.(Ⅰ)∵直线的参数方程为:(为参数),∴直线的普通方程为………………………2分由得,即.∴曲线的直角坐标方程为.··············4分(Ⅱ)∵点的极坐标为,∴点的直角坐标为.·········5分,直线倾斜角为,直线参数方程为.······7分代入,得.·····8分设两点对应参数为,则.············10分23.(Ⅰ)当时,; 当时,;·······························1分∴不等式等价于或,·······2分或,······3分∴原不等式的解集为.···········4分(Ⅱ)(法一)由(Ⅰ)得,可知的最小值为,.··················6分∴据题意知,,变形得.·················7分,.·····9分当且仅当,即时,取等号,的最小值为.·······················10分(法二)由, 当且仅当即时取最值, .···················6分 (以下与法一同)
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