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【可编辑】2017年湖南省常德市中考数学试卷(解析版).doc

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可编辑 编辑 2017 湖南省 常德市 中考 数学试卷 解析
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2017年湖南省常德市中考数学试卷 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.下列各数中无理数为(  )A.B.0C.D.﹣12.若一个角为75°,则它的余角的度数为(  )A.285°B.105°C.75°D.15°3.一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为(  )A.没有实数根B.只有一个实数根C.两个相等的实数根D.两个不相等的实数根4.如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图,则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是(  )A.30,28B.26,26C.31,30D.26,225.下列各式由左到右的变形中,属于分解因式的是(  )A.a(m+n)=am+anB.a2﹣b2﹣c2=(a﹣b)(a+b)﹣c2C.10x2﹣5x=5x(2x﹣1)D.x2﹣16+6x=(x+4)(x﹣4)+6x6.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体是(  )A.B.C.D.7.将抛物线y=2x2向右平移3个单位,再向下平移5个单位,得到的抛物线的表达式为(  )A.y=2(x﹣3)2﹣5B.y=2(x+3)2+5C.y=2(x﹣3)2+5D.y=2(x+3)2﹣58.如表是一个4×4(4行4列共16个“数”组成)的奇妙方阵,从这个方阵中选四个“数”,而且这四个“数”中的任何两个不在同一行,也不在同一列,有很多选法,把每次选出的四个“数”相加,其和是定值,则方阵中第三行三列的“数”是(  ) 30 2sin60° 22﹣3﹣2﹣sin45° 0|﹣5| 6 23 ()﹣1 4 ()﹣1A.5B.6C.7D.8 二、填空题(本小题共8小题,每小题3分,共24分)9.计算:|﹣2|﹣=   .10.分式方程+1=的解为   .11.据统计:我国微信用户数量已突破887000000人,将887000000用科学记数法表示为   .12.命题:“如果m是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为:   .13.彭山的枇杷大又甜,在今年5月18日“彭山枇杷节”期间,从山上5棵枇杷树上采摘到了200千克枇杷,请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷   千克.14.如图,已知Rt△ABE中∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是线段AE上的一动点,过D作CD交BE于C,并使得∠CDE=30°,则CD长度的取值范围是   .15.如图,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上.若设AE=x,正方形EFGH的面积为y,则y与x的函数关系为   .16.如图,有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…,它是由过A1(0,0),B1(2,2),A2(4,0)组成的折线依次平移4,8,12,…个单位得到的,直线y=kx+2与此折线恰有2n(n≥1,且为整数)个交点,则k的值为   . 三、解答题(本题共2小题,每小题5分,共10分.)17.甲、乙、丙三个同学站成一排进行毕业合影留念,请用列表法或树状图列出所有可能的情形,并求出甲、乙两人相邻的概率是多少?18.求不等式组的整数解. 四、解答题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.19.先化简,再求值:(﹣)(﹣),其中x=4.20.在“一带一路”倡议下,我国已成为设施联通,贸易畅通的促进者,同时也带动了我国与沿线国家的货物交换的增速发展,如图是湘成物流园2016年通过“海、陆(汽车)、空、铁”四种模式运输货物的统计图.请根据统计图解决下面的问题:(1)该物流园2016年货运总量是多少万吨?(2)该物流园2016年空运货物的总量是多少万吨?并补全条形统计图;(3)求条形统计图中陆运货物量对应的扇形圆心角的度数? 五、解答题:本大题共2小题,每小题7分,共14分.21.如图,已知反比例函数y=的图象经过点A(4,m),AB⊥x轴,且△AOB的面积为2.(1)求k和m的值;(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=的图象上,当﹣3≤x≤﹣1时,求函数值y的取值范围.22.如图,已知AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于C,BE∥CO.(1)求证:BC是∠ABE的平分线;(2)若DC=8,⊙O的半径OA=6,求CE的长. 六、解答题:本大题共2小题,每小题8分,共16分.23.收发微信红包已成为各类人群进行交流联系,增强感情的一部分,下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话.请问:(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少?(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包?24.如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,≈1.732,≈1.414) 七、解答题:每小题10分,共20分。25.如图,已知抛物线的对称轴是y轴,且点(2,2),(1,)在抛物线上,点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点,过P作PA⊥x轴于A,PC⊥y轴于C,延长PC交抛物线于E,设M是O关于抛物线顶点N的对称点,D是C点关于N的对称点.(1)求抛物线的解析式及顶点N的坐标;(2)求证:四边形PMDA是平行四边形;(3)求证:△DPE∽△PAM,并求出当它们的相似比为时的点P的坐标.26.如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.(1)如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE;(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC;②AG2=AF•AC. 2017年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.下列各数中无理数为(  )A.B.0C.D.﹣1【考点】26:无理数.【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【解答】解:A、是无理数,选项正确;B、0是整数是有理数,选项错误;C、是分数,是有理数,选项错误;D、﹣1是整数,是有理数,选项错误.故选A. 2.若一个角为75°,则它的余角的度数为(  )A.285°B.105°C.75°D.15°【考点】IL:余角和补角.【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可.【解答】解:它的余角=90°﹣75°=15°,故选D. 3.一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为(  )A.没有实数根B.只有一个实数根C.两个相等的实数根D.两个不相等的实数根【考点】AA:根的判别式.【分析】先计算判别式的意义,然后根据判别式的意义判断根的情况.【解答】解:∵△=(﹣4)2﹣4×3×1=4>0∴方程有两个不相等的实数根.故选D. 4.如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图,则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是(  )A.30,28B.26,26C.31,30D.26,22【考点】W4:中位数;W2:加权平均数.【分析】此题根据中位数,平均数的定义解答.【解答】解:由图可知,把7个数据从小到大排列为22,22,23,26,28,30,31,中位数是第4位数,第4位是26,所以中位数是26.平均数是(22×2+23+26+28+30+31)÷7=26,所以平均数是26.故选:B. 5.下列各式由左到右的变形中,属于分解因式的是(  )A.a(m+n)=am+anB.a2﹣b2﹣c2=(a﹣b)(a+b)﹣c2C.10x2﹣5x=5x(2x﹣1)D.x2﹣16+6x=(x+4)(x﹣4)+6x【考点】51:因式分解的意义.【分析】根据因式分解的意义即可判断.【解答】解:(A)该变形为去括号,故A不是因式分解;(B)该等式右边没有化为几个整式的乘积形式,故B不是因式分解;(D)该等式右边没有化为几个整式的乘积形式,故D不是因式分解;故选(C) 6.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体是(  )A.B.C.D.【考点】U3:由三视图判断几何体.【分析】结合三视图确定小正方体的位置后即可确定正确的选项.【解答】解:结合三个视图发现,应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体,且小正方体的位置应该在右上角,故选B. 7.将抛物线y=2x2向右平移3个单位,再向下平移5个单位,得到的抛物线的表达式为(  )A.y=2(x﹣3)2﹣5B.y=2(x+3)2+5C.y=2(x﹣3)2+5D.y=2(x+3)2﹣5【考点】H6:二次函数图象与几何变换.【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0),再利用点平移的坐标规律得到点(0,0)平移后所得对应点的坐标为(3,﹣5),然后根据顶点式写出平移得到的抛物线的解析式.【解答】解:抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0),点(0,0)向右平移3个单位,再向下平移5个单位所得对应点的坐标为(3,﹣5),所以平移得到的抛物线的表达式为y=2(x﹣3)2﹣5.故选A. 8.如表是一个4×4(4行4列共16个“数”组成)的奇妙方阵,从这个方阵中选四个“数”,而且这四个“数”中的任何两个不在同一行,也不在同一列,有很多选法,把每次选出的四个“数”相加,其和是定值,则方阵中第三行三列的“数”是(  ) 30 2sin60° 22﹣3﹣2﹣sin45° 0|﹣5| 6 23 ()﹣1 4 ()﹣1A.5B.6C.7D.8【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.【分析】分析可知第一行为1,2,3,4;第二行为﹣3,﹣2,﹣1,0;第三行为5,6,7,8,由此可得结果.【解答】解:∵第一行为1,2,3,4;第二行为﹣3,﹣2,﹣1,0;第四行为3,4,5,6∴第三行为5,6,7,8,∴方阵中第三行三列的“数”是7,故选C. 二、填空题(本小题共8小题,每小题3分,共24分)9.计算:|﹣2|﹣= 0 .【考点】2C:实数的运算.【分析】首先计算开方,然后计算减法,求出算式的值是多少即可.【解答】解:|﹣2|﹣=2﹣2=0故答案为:0. 10.分式方程+1=的解为 x=2 .【考点】B3:解分式方程.【分析】先把分式方程转化成整式方程,求出方程的解,再进行检验即可.【解答】解: +1=,方程两边都乘以x得:2+x=4,解得:x=2,检验:当x=2时,x≠0,即x=2是原方程的解,故答案为:x=2. 11.据统计:我国微信用户数量已突破887000000人,将887000000用科学记数法表示为 8.87×108 .【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.【解答】解:887000000=8.87×108.故答案为:8.87×108. 12.命题:“如果m是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为: “如果m是有理数,那么它是整数” .【考点】O1:命题与定理.【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.【解答】解:命题:“如果m是整数,那么它是有理数”的逆命题为“如果m是有理数,那么它是整数”.故答案为“如果m是有理数,那么它是整数”. 13.彭山的枇杷大又甜,在今年5月18日“彭山枇杷节”期间,从山上5棵枇杷树上采摘到了200千克枇杷,请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷 24000 千克.【考点】V5:用样本估计总体.【分析】先求出一棵枇杷树上采摘多少千克枇杷,再乘以彭山总的枇杷树的棵数,即可得出答案.【解答】解:根据题意得:200÷5×600=24000(千克),答:今年一共收获了枇杷24000千克;故答案为:24000. 14.如图,已知Rt△ABE中∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是线段AE上的一动点,过D作CD交BE于C,并使得∠CDE=30°,则CD长度的取值范围是 0≤CD≤5 .【考点】KO:含30度角的直角三角形;KP:直角三角形斜边上的中线.【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况,根据等腰三角形的性质计算即可.【解答】解:当点D与点E重合时,CD=0,当点D与点A重合时,∵∠A=90°,∠B=60°,∴∠E=30°,∴∠CDE=∠E,∠CDB=∠B,∴CE=CD,CD=CB,∴CD=BE=5,∴0≤CD≤5,故答案为:0≤CD≤5. 15.如图,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上.若设AE=x,正方形EFGH的面积为y,则y与x的函数关系为 y=2x2﹣4x+4 .【考点】HD:根据实际问题列二次函数关系式;LE:正方形的性质.【分析】由AAS证明△AHE≌△BEF,得出AE=BF=x,AH=BE=2﹣x,再根据勾股定理,求出EH2,即可得到y与x之间的函数关系式.【解答】解:如图所示:∵四边形ABCD是边长为1的正方形,∴∠A=∠B=90°,AB=2.∴∠1+∠2=90°,∵四边形EFGH为正方形,∴∠HEF=90°,EH=EF.∴∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3,在△AHE与△BEF中,∵,∴△AHE≌△BEF(AAS),∴AE=BF=x,AH=BE=2﹣x,在Rt△AHE中,由勾股定理得:EH2=AE2+AH2=x2+(2﹣x)2=2x2﹣4x+4;即y=2x2﹣4x+4(0<x<2),故答案为:y=2x2﹣4x+4. 16.如图,有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…,它是由过A1(0,0),B1(2,2),A2(4,0)组成的折线依次平移4,8,12,…个单位得到的,直线y=kx+2与此折线恰有2n(n≥1,且为整数)个交点,则k的值为 ﹣ .【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征;Q3:坐标与图形变化﹣平移.【分析】由点A1、A2的坐标,结合平移的距离即可得出点An的坐标,再由直线y=kx+2与此折线恰有2n(n≥1,且为整数)个交点,即可得出点An+1(4n,0)在直线y=kx+2上,依据依此函数图象上点的坐标特征,即可求出k值.【解答】解:∵A1(0,0),A2(4,0),A3(8,0),A4(12,0),…,∴An(4n﹣4,0).∵直线y=kx+2与此折线恰有2n(n≥1,且为整数)个交点,∴点An+1(4n,0)在直线y=kx+2上,∴0=4nk+2,解得:k=﹣.故答案为:﹣. 三、解答题(本题共2小题,每小题5分,共10分.)17.甲、乙、丙三个同学站成一排进行毕业合影留念,请用列表法或树状图列出所有可能的情形,并求出甲、乙两人相邻的概率是多少?【考点】X6:列表法与树状图法.【分析】用树状图表示出所有情况,再根据概率公式求解可得.【解答】解:用树状图分析如下:∴一共有6种情况,甲、乙两人恰好相邻有4种情况,∴甲、乙两人相邻的概率是=. 18.求不等式组的整数解.【考点】CC:一元一次不等式组的整数解.【分析】先求出不等式的解,然后根据大大取大,小小取小,大小小大中间找,大大小小解不了,的口诀求出不等式组的解,进而求出整数解.【解答】解:解不等式①得x≤,解不等式②得x≥﹣,∴不等式组的解集为:﹣≤x≤∴不等式组的整数解是0,1,2. 四、解答题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.19.先化简,再求值:(﹣)(﹣),其中x=4.【考点】6D:分式的化简求值.【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式,再将x的值代入求解可得.【解答】解:原式=[+]•[﹣]=•(﹣)=•=x﹣2,当x=4时,原式=4﹣2=2. 20.在“一带一路”倡议下,我国已成为设施联通,贸易畅通的促进者,同时也带动了我国与沿线国家的货物交换的增速发展,如图是湘成物流园2016年通过“海、陆(汽车)、空、铁”四种模式运输货物的统计图.请根据统计图解决下面的问题:(1)该物流园2016年货运总量是多少万吨?(2)该物流园2016年空运货物的总量是多少万吨?并补全条形统计图;(3)求条形统计图中陆运货物量对应的扇形圆心角的度数?【考点】VC:条形统计图;VB:扇形统计图.【分析】(1)根据铁运的货运量以及百分比,即可得到物流园2016年货运总量;(2)根据空运的百分比,即可得到物流园2016年空运货物的总量,并据此补全条形统计图;(3)根据陆运的百分比乘上360°,即可得到陆运货物量对应的扇形圆心角的度数.【解答】解:(1)2016年货运总量是120÷50%=240吨;(2)2016年空运货物的总量是240×15%=36吨,条形统计图如下:(3)陆运货物量对应的扇形圆心角的度数为×360°=18°. 五、解答题:本大题共2小题,每小题7分,共14分.21.如图,已知反比例函数y=的图象经过点A(4,m),AB⊥x轴,且△AOB的面积为2.(1)求k和m的值;(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=的图象上,当﹣3≤x≤﹣1时,求函数值y的取值范围.【考点】G5:反比例函数系数k的几何意义;G6:反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】(1)根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值,然后把点A的坐标代入反比例函数解析式,可求出k的值;(2)先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值,再根据反比例函数的性质求解.【解答】解:(1)∵△AOB的面积为2,∴k=4,∴反比例函数解析式为y=,∵A(4,m),∴m==1;(2)∵当x=﹣3时,y=﹣;当x=﹣1时,y=﹣4,又∵反比例函数y=在x<0时,y随x的增大而减小,∴当﹣3≤x≤﹣1时,y的取值范围为﹣4≤y≤﹣. 22.如图,已知AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于C,BE∥CO.(1)求证:BC是∠ABE的平分线;(2)若DC=8,⊙O的半径OA=6,求CE的长.【考点】MC:切线的性质.【分析】(1)由BE∥CO,推出∠OCB=∠CBE,由OC=OB,推出∠OCB=∠OBC,可得∠CBE=∠CBO;(2)在Rt△CDO中,求出OD,由OC∥BE,可得=,由此即可解决问题;【解答】(1)证明:∵DE是切线,∴OC⊥DE,∵BE∥CO,∴∠OCB=∠CBE,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠CBE=∠CBO,∴BC平分∠ABE.(2)在Rt△CDO中,∵DC=8,OC=0A=6,∴OD==10,∵OC∥BE,∴=,∴=,∴EC=4.8. 六、解答题:本大题共2小题,每小题8分,共16分.23.收发微信红包已成为各类人群进行交流联系,增强感情的一部分,下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话.请问:(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少?(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包?【考点】8A:一元一次方程的应用;AD:一元二次方程的应用.【分析】(1)一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),2016年收到微信红包金额400(1+x)万元,在2016年的基础上再增长x,就是2017年收到微信红包金额400(1+x)(1+x),由此可列出方程400(1+x)2=484,求解即可.(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元,则她妹妹收到微信红包为(2y+34)元,根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答.【解答】解:(1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x,依题意得:400(1+x)2=484,解得x1=0.1=10%,x2=﹣2.2(舍去).答:2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%;(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元,依题意得:2y+34+y=484,解得y=150所以484﹣150=334(元).答:甜甜在2017年六一收到微信红包为150元,则她妹妹收到微信红包为334元. 24.如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,≈1.732,≈1.414)【考点】T8:解直角三角形的应用.【分析】延长FE交CB的延长线于M,过A作AG⊥FM于G,解直角三角形即可得到结论.【解答】解:延长FE交CB的延长线于M,过A作AG⊥FM于G,在Rt△ABC中,tan∠ACB=,∴AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.0292,∴GM=AB=2.0292,在Rt△AGF中,∵∠FAG=∠FHD=60°,sin∠FAG=,∴sin60°==,∴FG=4.33,∴DM=FG+GM﹣DF≈5.01米,答:篮框D到地面的距离是5.01米. 七、解答题:每小题10分,共20分。25.如图,已知抛物线的对称轴是y轴,且点(2,2),(1,)在抛物线上,点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点,过P作PA⊥x轴于A,PC⊥y轴于C,延长PC交抛物线于E,设M是O关于抛物线顶点N的对称点,D是C点关于N的对称点.(1)求抛物线的解析式及顶点N的坐标;(2)求证:四边形PMDA是平行四边形;(3)求证:△DPE∽△PAM,并求出当它们的相似比为时的点P的坐标.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)由已知点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式,可求得其顶点N的坐标;(2)设P点横坐标为t,则可表示出C、D、M、A的坐标,从而可表示出PA和DM的长,由PA=DM可证得结论;(3)设P点横坐标为t,在Rt△PCM中,可表示出PM,可求得PM=PA,可知四边形PMDA为菱形,由菱形的性质和抛物线的对称性可得∠PDE=∠APM,可证得结论,在Rt△AOM中,用t表示出AM的长,再表示出PE的长,由相似比为可得到关于t的方程,可求得t的值,可求得P点坐标.【解答】(1)解:∵抛物线的对称轴是y轴,∴可设抛物线解析式为y=ax2+c,∵点(2,2),(1,)在抛物线上,∴,解得,∴抛物线解析式为y=x2+1,∴N点坐标为(0,1);(2)证明:设P(t, t2+1),则C(0, t2+1),PA=t2+1,∵M是O关于抛物线顶点N的对称点,D是C点关于N的对称点,且N(0,1),∴M(0,2),∵OC=t2+1,ON=1,∴DM=CN=t2+1﹣1=t2,∴OD=t2﹣1,∴D(0,﹣t2+1),∴DM=2﹣(﹣t2+1)=t2+1=PA,且PM∥DM,∴四边形PMDA为平行四边形;(3)解:同(2)设P(t, t2+1),则C(0, t2+1),PA=t2+1,PC=|t|,∵M(0,2),∴CM=t2+1﹣2=t2﹣1,在Rt△PMC中,由勾股定理可得PM====t2+1=PA,且四边形PMDA为平行四边形,∴四边形PMDA为菱形,∴∠APM=∠ADM=2∠PDM,∵PE⊥y轴,且抛物线对称轴为y轴,∴DP=DE,且∠PDE=2∠PDM,∴∠PDE=∠APM,且=,∴△DPE∽△PAM;∵OA=|t|,OM=2,∴AM=,且PE=2PC=2|t|,当相似比为时,则=,即=,解得t=2或t=﹣2,∴P点坐标为(2,4)或(﹣2,4). 26.如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.(1)如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE;(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC;②AG2=AF•AC.【考点】S9:相似三角形的判定与性质;KD:全等三角形的判定与性质.【分析】(1)根据全等三角形的判定定理即可得到结论;(2)①过G作GH∥AD交BC于H,由AG=BG,得到BH=DH,根据已知条件设DC=1,BD=4,得到BH=DH=2,根据平行线分线段成比例定理得到==,求得GM=2MC;②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N,则CN∥AG,根据相似三角形的性质得到=,由①知GM=2MC,得到2NC=AG,根据相似三角形的性质得到=,等量代换得到=,于是得到结论.【解答】证明:(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中,,∴△ABE≌△DBE;(2)①过G作GH∥AD交BC于H,∵AG=BG,∴BH=DH,∵BD=4DC,设DC=1,BD=4,∴BH=DH=2,∵GH∥AD,∴==,∴GM=2MC;②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N,则CN∥AG,∴△AGM∽△NCM,∴=,由①知GM=2MC,∴2NC=AG,∵∠BAC=∠AEB=90°,∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE,∴△ACN∽△BAF,∴=,∵AB=AG,∴=,∴2CN•AG=AF•AC,∴AG2=AF•AC. 2017年7月13日第29页(共29页)
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