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【可编辑】2017年天津市高考数学试卷(理科).doc

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可编辑 编辑 2017 天津市 高考 数学试卷 理科
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2017年天津市高考数学试卷(理科) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=(  )A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,5}D.{x∈R|﹣1≤x≤5}2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为(  )A.B.1C.D.33.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为(  )A.0B.1C.2D.34.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(  )A.=1B.=1C.=1D.=16.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(  )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<x.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(  )A.ω=,φ=B.ω=,φ=﹣C.ω=,φ=﹣D.ω=,φ=8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是(  )A.[﹣,2]B.[﹣,]C.[﹣2,2]D.[﹣2,] 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为   .10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为   .11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为   .12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为   .13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为   .14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有   个.(用数字作答) 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.(Ⅰ)求b和sinA的值;(Ⅱ)求sin(2A+)的值.16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.18.(13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).19.(14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)求g(x)的单调区间;(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥. 2017年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=(  )A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,5}D.{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B,再由交集概念得答案.【解答】解:∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|﹣1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选:B.【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题. 2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为(  )A.B.1C.D.3【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.【解答】解:变量x,y满足约束条件的可行域如图:目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,由可得A(0,3),目标函数z=x+y的最大值为:3.故选:D.【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查计算能力以及数形结合思想的应用. 3.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为(  )A.0B.1C.2D.3【分析】根据程序框图,进行模拟计算即可.【解答】解:第一次N=24,能被3整除,N=≤3不成立,第二次N=8,8不能被3整除,N=8﹣1=7,N=7≤3不成立,第三次N=7,不能被3整除,N=7﹣1=6,N==2≤3成立,输出N=2,故选:C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件进行模拟计算是解决本题的关键. 4.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质,化简两已知不等式,结合充分必要条件的定义,即可得到结论.【解答】解:|θ﹣|<⇔﹣<θ﹣<⇔0<θ<,sinθ<⇔﹣+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,则(0,)⊂[﹣+2kπ,+2kπ],k∈Z,可得“|θ﹣|<”是“sinθ<”的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查正弦函数的图象和性质,运用定义法和正确解不等式是解题的关键,属于基础题. 5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(  )A.=1B.=1C.=1D.=1【分析】由双曲线的离心率为,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为y=±x,根据直线的斜率公式,即可求得c的值,求得a和b的值,即可求得双曲线方程.【解答】解:设双曲线的左焦点F(﹣c,0),离心率e==,c=a,则双曲线为等轴双曲线,即a=b,双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k==,则=1,c=4,则a=b=2,∴双曲线的标准方程:;故选B.【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,等轴双曲线的应用,属于中档题. 6.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(  )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【分析】由奇函数f(x)在R上是增函数,则g(x)=xf(x)偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<﹣log25.1<3,1<20.8<2,即可求得b<a<c【解答】解:奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0,f(x)>f(0)=0,且f′(x)>0,∴g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,∴a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<﹣log25.1<3,1<20.8<2,由g(x)在(0,+∞)单调递增,则g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c,故选C.【点评】本题考查函数奇偶性,考查函数单调性的应用,考查转化思想,属于基础题. 7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<x.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(  )A.ω=,φ=B.ω=,φ=﹣C.ω=,φ=﹣D.ω=,φ=【分析】由题意求得,再由周期公式求得ω,最后由若f()=2求得φ值.【解答】解:由f(x)的最小正周期大于2π,得,又f()=2,f()=0,得,∴T=3π,则,即.∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin(x+φ),由f()=,得sin(φ+)=1.∴φ+=,k∈Z.取k=0,得φ=<π.∴,φ=.故选:A.【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式,考查y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,是中档题. 8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是(  )A.[﹣,2]B.[﹣,]C.[﹣2,2]D.[﹣2,]【分析】讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的范围;讨论当x>1时,同样可得﹣(x+)≤a≤+,再由基本不等式可得最值,可得a的范围,求交集即可得到所求范围.【解答】解:当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3,即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最大值﹣;由y=x2﹣x+3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最小值,则﹣≤a≤①当x>1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,即为﹣(x+)≤+a≤x+,即有﹣(x+)≤a≤+,由y=﹣(x+)≤﹣2=﹣2(当且仅当x=>1)取得最大值﹣2;由y=x+≥2=2(当且仅当x=2>1)取得最小值2.则﹣2≤a≤2②由①②可得,﹣≤a≤2.故选:A.【点评】本题考查分段函数的运用,不等式恒成立问题的解法,注意运用分类讨论和分离参数法,以及转化思想的运用,分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键,属于中档题. 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 ﹣2 .【分析】运用复数的除法法则,结合共轭复数,化简,再由复数为实数的条件:虚部为0,解方程即可得到所求值.【解答】解:a∈R,i为虚数单位,===﹣i由为实数,可得﹣=0,解得a=﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查复数的乘除运算,注意运用共轭复数,同时考查复数为实数的条件:虚部为0,考查运算能力,属于基础题. 10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为  .【分析】根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式进行计算即可.【解答】解:设正方体的棱长为a,∵这个正方体的表面积为18,∴6a2=18,则a2=3,即a=,∵一个正方体的所有顶点在一个球面上,∴正方体的体对角线等于球的直径,即a=2R,即R=,则球的体积V=π•()3=;故答案为:.【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系,利用正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式是解决本题的关键. 11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 2 .【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离d,与半径比较即可得出位置关系.【解答】解:直线4ρcos(θ﹣)+1=0展开为:4ρ+1=0,化为:2x+2y+1=0.圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程:x2+y2=2y,配方为:x2+(y﹣1)2=1.∴圆心C(0,1)到直线的距离d==<1=R.∴直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2.故答案为:2.【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 4 .【分析】两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.【解答】解:a,b∈R,ab>0,∴≥==4ab+≥2=4,当且仅当,即,即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;∴上式的最小值为4.故答案为:4.【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题. 13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为  .【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用、表示出,再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值.【解答】解:如图所示,△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,=2,∴=+=+=+(﹣)=+,又=λ﹣(λ∈R),∴=(+)•(λ﹣)=(λ﹣)•﹣+λ=(λ﹣)×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4,∴λ=1,解得λ=.故答案为:.【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,是中档题. 14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 1080 个.(用数字作答)【分析】根据题意,要求四位数中至多有一个数字是偶数,分2种情况讨论:①、四位数中没有一个偶数数字,②、四位数中只有一个偶数数字,分别求出每种情况下四位数的数目,由分类计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:①、四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个,组成一共四位数即可,有A54=120种情况,即有120个没有一个偶数数字四位数;②、四位数中只有一个偶数数字,在1、3、5、7、9种选出3个,在2、4、6、8中选出1个,有C53•C41=40种取法,将取出的4个数字全排列,有A44=24种顺序,则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数;则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个;故答案为:1080.【点评】本题考查排列、组合的综合应用,注意要分类讨论. 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.(Ⅰ)求b和sinA的值;(Ⅱ)求sin(2A+)的值.【分析】(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinA;(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2A,cos2A,展开两角和的正弦得答案.【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,∵a>b,故由sinB=,可得cosB=.由已知及余弦定理,有=13,∴b=.由正弦定理,得sinA=.∴b=,sinA=;(Ⅱ)由(Ⅰ)及a<c,得cosA=,∴sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1﹣2sin2A=﹣.故sin(2A+)==.【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查倍角公式的应用,是中档题. 16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【分析】(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,求出对应的概率值,写出它的分布列,计算数学期望值;(Ⅱ)利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值.【解答】解:(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3;则P(X=0)=(1﹣)×(1﹣)(1﹣)=,P(X=1)=×(1﹣)×(1﹣)+(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×(1﹣)×=,P(X=2)=(1﹣)××+×(1﹣)×+××(1﹣)=,P(X=3)=××=;所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=;(Ⅱ)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)•P(Z=1)+P(Y=1)•P(Z=0)=×+×=;所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,是中档题. 17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.【分析】(Ⅰ)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;(Ⅱ)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值,进一步求得正弦值;(Ⅲ)设AH=t,则H(0,0,t),求出的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长.【解答】(Ⅰ)证明:取AB中点F,连接MF、NF,∵M为AD中点,∴MF∥BD,∵BD⊂平面BDE,MF⊄平面BDE,∴MF∥平面BDE.∵N为BC中点,∴NF∥AC,又D、E分别为AP、PC的中点,∴DE∥AC,则NF∥DE.∵DE⊂平面BDE,NF⊄平面BDE,∴NF∥平面BDE.又MF∩NF=F.∴平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;(Ⅱ)解:∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.∴以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵PA=AC=4,AB=2,∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),则,,设平面MEN的一个法向量为,由,得,取z=2,得.由图可得平面CME的一个法向量为.∴cos<>=.∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为,则正弦值为;(Ⅲ)解:设AH=t,则H(0,0,t),,.∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为,∴|cos<>|=||=||=.解得:t=4.∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为,此时线段AH的长为4.【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题. 18.(13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).【分析】(Ⅰ)设出公差与公比,利用已知条件求出公差与公比,然后求解{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)化简数列的通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2﹣6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4﹣2a1,可得3d﹣a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n﹣2.所以,数列{an}的通项公式为an=3n﹣2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.(II)设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn,由a2n=6n﹣2,b2n﹣1=4n,有a2nb2n﹣1=(3n﹣1)4n,故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1)4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1)4n+1,上述两式相减,得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣(3n﹣1)4n+1==﹣(3n﹣2)4n+1﹣8得Tn=.所以,数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为.【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查计算能力. 19.(14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.【分析】(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;(II)设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P,Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程,解出D点坐标,根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案.【解答】(Ⅰ)解:设F的坐标为(﹣c,0).依题意可得,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2﹣c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(Ⅱ)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),联立方程组,解得点P(﹣1,﹣),故Q(﹣1,).联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣.∴B(,).∴直线BQ的方程为(﹣)(x+1)﹣()(y﹣)=0,令y=0,解得x=,故D(,0).∴|AD|=1﹣=.又∵△APD的面积为,∴×=,整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=,∴m=±.∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0,或3x﹣y﹣3=0.【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质,直线与椭圆的位置关系,属于中档题. 20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)求g(x)的单调区间;(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.【分析】(Ⅰ)求出函数的导函数g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,求出极值点,通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可.(Ⅱ)由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),推出h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),求出导函数H′1(x)利用(Ⅰ)知,推出h(m)h(x0)<0.(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,令m=,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,当m∈(x0,2]时,通过h(x)的零点.转化推出|﹣x0|=≥=.推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.然后推出结果.【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a,可得g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,进而可得g′(x)=24x2+18x﹣6.令g′(x)=0,解得x=﹣1,或x=.当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:x(﹣∞,﹣1)(﹣1,)(,+∞)g′(x)+﹣+g(x)↗↘↗所以,g(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣1),(,+∞),单调递减区间是(﹣1,).(Ⅱ)证明:由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),得h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),h(x0)=g(x0)(m﹣x0)﹣f(m).令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),则H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).由(Ⅰ)知,当x∈[1,2]时,g′(x)>0,故当x∈[1,x0)时,H′1(x)<0,H1(x)单调递减;当x∈(x0,2]时,H′1(x)>0,H1(x)单调递增.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,可得H1(m)>0即h(m)>0,令函数H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),则H′2(x)=g′(x0)﹣g(x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H′2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H′2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.所以,h(m)h(x0)<0.(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,令m=,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)(﹣x0)﹣f()=0.由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),于是|﹣x0|=≥=.因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f()≠0.又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数,从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.所以|﹣x0|≥.所以,只要取A=g(2),就有|﹣x0|≥.【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,是难度比较大的题目. 参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;qiss;maths;双曲线;铭灏2016;沂蒙松;742048;danbo7801(排名不分先后)菁优网2017年6月9日第25页(共25页)
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