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【可编辑】2017年浙江省杭州市中考数学试卷(含解析).doc

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可编辑 编辑 2017 浙江省 杭州市 中考 数学试卷 解析
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2017年浙江省杭州市中考数学试卷 一.选择题1.(3分)﹣22=(  )A.﹣2B.﹣4C.2D.42.(3分)太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米,数据150 000 000用科学记数法表示为(  )A.1.5×108B.1.5×109C.0.15×109D.15×1073.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,则(  )A.B.C.D.4.(3分)|1+|+|1﹣|=(  )A.1B.C.2D.25.(3分)设x,y,c是实数,(  )A.若x=y,则x+c=y﹣cB.若x=y,则xc=ycC.若x=y,则D.若,则2x=3y6.(3分)若x+5>0,则(  )A.x+1<0B.x﹣1<0C.<﹣1D.﹣2x<127.(3分)某景点的参观人数逐年增加,据统计,2014年为10.8万人次,2016年为16.8万人次.设参观人次的平均年增长率为x,则(  )A.10.8(1+x)=16.8B.16.8(1﹣x)=10.8C.10.8(1+x)2=16.8D.10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.88.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周,所得几何体的底面圆的周长分别记作l1,l2,侧面积分别记作S1,S2,则(  )A.l1:l2=1:2,S1:S2=1:2B.l1:l2=1:4,S1:S2=1:2C.l1:l2=1:2,S1:S2=1:4D.l1:l2=1:4,S1:S2=1:49.(3分)设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,(  )A.若m>1,则(m﹣1)a+b>0B.若m>1,则(m﹣1)a+b<0C.若m<1,则(m+1)a+b>0D.若m<1,则(m+1)a+b<010.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则(  )A.x﹣y2=3B.2x﹣y2=9C.3x﹣y2=15D.4x﹣y2=21 二.填空题11.(4分)数据2,2,3,4,5的中位数是   .12.(4分)如图,AT切⊙O于点A,AB是⊙O的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB=   .13.(4分)一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球(只有颜色不同),其中2个是红球,1个是白球,从中任意摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀,再任意摸出一个球,则两次摸出都是红球的概率是   .14.(4分)若•|m|=,则m=   .15.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连结AE,则△ABE的面积等于   .16.(4分)某水果点销售50千克香蕉,第一天售价为9元/千克,第二天降价为6元/千克,第三天再降为3元/千克.三天全部售完,共计所得270元.若该店第二天销售香蕉t千克,则第三天销售香蕉   千克.(用含t的代数式表示.) 三.解答题17.(6分)为了了解某校九年级学生的跳高水平,随机抽取该年级50名学生进行跳高测试,并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值). 某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别(m)频数1.09~1.1981.19~1.29121.29~1.39a1.39~1.4910(1)求a的值,并把频数直方图补充完整;(2)该年级共有500名学生,估计该年级学生跳高成绩在1.29m(含1.29m)以上的人数.18.(8分)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)的图象经过点(1,0)和(0,2).(1)当﹣2<x≤3时,求y的取值范围;(2)已知点P(m,n)在该函数的图象上,且m﹣n=4,求点P的坐标.19.(8分)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.(1)求证:△ADE∽△ABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.20.(10分)在面积都相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为1时,它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x,y.①求y关于x的函数表达式;②当y≥3时,求x的取值范围;(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10,你认为圆圆和方方的说法对吗?为什么?21.(10分)如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.22.(12分)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x﹣a﹣1),其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1,﹣2),求函数y1的表达式;(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上,若m<n,求x0的取值范围.23.(12分)如图,已知△ABC内接于⊙O,点C在劣弧AB上(不与点A,B重合),点D为弦BC的中点,DE⊥BC,DE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线EB交于点F,与⊙O交于点G,设∠GAB=ɑ,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ,(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想:β关于ɑ的函数表达式,γ关于ɑ的函数表达式,并给出证明:(2)若γ=135°,CD=3,△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,求⊙O半径的长. 2017年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析 一.选择题1.(3分)﹣22=(  )A.﹣2B.﹣4C.2D.4【分析】根据幂的乘方的运算法则求解.【解答】解:﹣22=﹣4,故选B.【点评】本题考查了幂的乘方,解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则. 2.(3分)太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米,数据150 000 000用科学记数法表示为(  )A.1.5×108B.1.5×109C.0.15×109D.15×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥1时,n是非负数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:将150 000 000用科学记数法表示为:1.5×108.故选A.【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 3.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,则(  )A.B.C.D.【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC,进而利用已知得出对应边的比值.【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵BD=2AD,∴===,则=,∴A,C,D选项错误,B选项正确,故选:B.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质,正确得出对应边的比是解题关键. 4.(3分)|1+|+|1﹣|=(  )A.1B.C.2D.2【分析】根据绝对值的性质,可得答案.【解答】解:原式1++﹣1=2,故选:D.【点评】本题考查了实数的性质,利用差的绝对值是大数减小数是解题关键. 5.(3分)设x,y,c是实数,(  )A.若x=y,则x+c=y﹣cB.若x=y,则xc=ycC.若x=y,则D.若,则2x=3y【分析】根据等式的性质,可得答案.【解答】解:A、两边加不同的数,故A不符合题意;B、两边都乘以c,故B符合题意;C、c=0时,两边都除以c无意义,故C不符合题意;D、两边乘以不同的数,故D不符合题意;故选:B.【点评】本题考查了等式的性质,熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键. 6.(3分)若x+5>0,则(  )A.x+1<0B.x﹣1<0C.<﹣1D.﹣2x<12【分析】求出已知不等式的解集,再求出每个选项中不等式的解集,即得出选项.【解答】解:∵x+5>0,∴x>﹣5,A、根据x+1<0得出x<﹣1,故本选项不符合题意;B、根据x﹣1<0得出x<1,故本选项不符合题意;C、根据<﹣1得出x<﹣5,故本选项不符合题意;D、根据﹣2x<12得出x>﹣6,故本选项符合题意;故选D.【点评】本题考查了不等式的性质,能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键. 7.(3分)某景点的参观人数逐年增加,据统计,2014年为10.8万人次,2016年为16.8万人次.设参观人次的平均年增长率为x,则(  )A.10.8(1+x)=16.8B.16.8(1﹣x)=10.8C.10.8(1+x)2=16.8D.10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.8【分析】设参观人次的平均年增长率为x,根据题意可得等量关系:10.8万人次×(1+增长率)2=16.8万人次,根据等量关系列出方程即可.【解答】解:设参观人次的平均年增长率为x,由题意得:10.8(1+x)2=16.8,故选:C.【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b. 8.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周,所得几何体的底面圆的周长分别记作l1,l2,侧面积分别记作S1,S2,则(  )A.l1:l2=1:2,S1:S2=1:2B.l1:l2=1:4,S1:S2=1:2C.l1:l2=1:2,S1:S2=1:4D.l1:l2=1:4,S1:S2=1:4【分析】根据圆的周长分别计算l1,l2,再由扇形的面积公式计算S1,S2,求比值即可.【解答】解:∵l1=2π×BC=2π,l2=2π×AB=4π,∴l1:l2=1:2,∵S1=×2π×=π,S2=×4π×=2π,∴S1:S2=1:2,故选A.【点评】本题考查了圆锥的计算,主要利用了圆的周长为2πr,侧面积=lr求解是解题的关键. 9.(3分)设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,(  )A.若m>1,则(m﹣1)a+b>0B.若m>1,则(m﹣1)a+b<0C.若m<1,则(m+1)a+b>0D.若m<1,则(m+1)a+b<0【分析】根据对称轴,可得b=﹣2a,根据有理数的乘法,可得答案.【解答】解:由对称轴,得b=﹣2a.(m+1)a+b=ma+a﹣2a=(m﹣1)a,当m>1时,(m﹣1)a<0,(m﹣1)a+b与0无法判断.当m<1时,(m﹣1)a>0,(m﹣1)a+b(m﹣1)a﹣2a=(m﹣1)a>0.故选:C.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,利用对称轴得出b=﹣2a是解题关键. 10.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则(  )A.x﹣y2=3B.2x﹣y2=9C.3x﹣y2=15D.4x﹣y2=21【分析】过A作AQ⊥BC于Q,过E作EM⊥BC于M,连接DE,根据线段垂直平分线求出DE=BD=x,根据等腰三角形求出BD=DC=6,求出CM=DM=3,解直角三角形求出EM=3y,AQ=6y,在Rt△DEM中,根据勾股定理求出即可.【解答】解:过A作AQ⊥BC于Q,过E作EM⊥BC于M,连接DE,∵BE的垂直平分线交BC于D,BD=x,∴BD=DE=x,∵AB=AC,BC=12,tan∠ACB=y,∴==y,BQ=CQ=6,∴AQ=6y,∵AQ⊥BC,EM⊥BC,∴AQ∥EM,∵E为AC中点,∴CM=QM=CQ=3,∴EM=3y,∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x,在Rt△EDM中,由勾股定理得:x2=(3y)2+(9﹣x)2,即2x﹣y2=9,故选B.【点评】本题考查了线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质,勾股定理,解直角三角形等知识点,能正确作出辅助线是解此题的关键. 二.填空题11.(4分)数据2,2,3,4,5的中位数是 3 .【分析】根据中位数的定义即中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数,即可求出答案.【解答】解:从小到大排列为:2,2,3,4,5,位于最中间的数是3,则这组数的中位数是3.故答案为:3.【点评】本题考查了中位数,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数. 12.(4分)如图,AT切⊙O于点A,AB是⊙O的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB= 50° .【分析】根据切线的性质即可求出答案.【解答】解:∵AT切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,∴∠BAT=90°,∵∠ABT=40°,∴∠ATB=50°,故答案为:50°【点评】本题考查切线的性质,解题的关键是根据切线的性质求出∠ATB=90°,本题属于基础题型. 13.(4分)一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球(只有颜色不同),其中2个是红球,1个是白球,从中任意摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀,再任意摸出一个球,则两次摸出都是红球的概率是  .【分析】根据题意画出相应的树状图,找出所有可能的情况个数,进而找出两次都是红球的情况个数,即可求出所求的概率大小.【解答】解:根据题意画出相应的树状图,所以一共有9种情况,两次摸到红球的有4种情况,∴两次摸出都是红球的概率是,故答案为:.【点评】此题考查了列表法与树状图,根据题意画出相应的树状图是解本题的关键. 14.(4分)若•|m|=,则m= 3或﹣1 .【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0,m﹣3=0或|m|=1,可得m.【解答】解:由题意得,m﹣1≠0,则m≠1,(m﹣3)•|m|=m﹣3,∴(m﹣3)•(|m|﹣1)=0,∴m=3或m=±1,∵m≠1,∴m=3或m=﹣1,故答案为:3或﹣1.【点评】本题主要考查了绝对值和分式的性质,熟记分式分母不为0是解答此题的关键. 15.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连结AE,则△ABE的面积等于 78 .【分析】由勾股定理求出BC==25,求出△ABC的面积=150,证明△CDE∽△CBA,得出,求出CE=12,得出BE=BC﹣CE=13,再由三角形的面积关系即可得出答案.【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,∴BC==25,△ABC的面积=AB•AC=×15×20=150,∵AD=5,∴CD=AC﹣AD=15,∵DE⊥BC,∴∠DEC=∠BAC=90°,又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA,∴,即,解得:CE=12,∴BE=BC﹣CE=13,∵△ABE的面积:△ABC的面积=BE:BC=13:25,∴△ABE的面积=×150=78;故答案为:78.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积;熟练掌握勾股定理,证明三角形相似是解决问题的关键 16.(4分)某水果点销售50千克香蕉,第一天售价为9元/千克,第二天降价为6元/千克,第三天再降为3元/千克.三天全部售完,共计所得270元.若该店第二天销售香蕉t千克,则第三天销售香蕉 30﹣ 千克.(用含t的代数式表示.)【分析】设第三天销售香蕉x千克,则第一天销售香蕉(50﹣t﹣x)千克,根据三天的销售额为270元列出方程,求出x即可.【解答】解:设第三天销售香蕉x千克,则第一天销售香蕉(50﹣t﹣x)千克,根据题意,得:9(50﹣t﹣x)+6t+3x=270,则x==30﹣,故答案为:30﹣.【点评】本题主要考查列代数式的能力,解题的关键是理解题意,抓住相等关系列出方程,从而表示出第三天销售香蕉的千克数. 三.解答题17.(6分)为了了解某校九年级学生的跳高水平,随机抽取该年级50名学生进行跳高测试,并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值). 某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别(m)频数1.09~1.1981.19~1.29121.29~1.39a1.39~1.4910(1)求a的值,并把频数直方图补充完整;(2)该年级共有500名学生,估计该年级学生跳高成绩在1.29m(含1.29m)以上的人数.【分析】(1)利用总人数50减去其它组的人数即可求得a的值;(2)利用总人数乘以对应的比例即可求解.【解答】解:(1)a=50﹣8﹣12﹣10=20,;(2)该年级学生跳高成绩在1.29m(含1.29m)以上的人数是:500×=300(人).【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.也考查了样本估计总体. 18.(8分)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)的图象经过点(1,0)和(0,2).(1)当﹣2<x≤3时,求y的取值范围;(2)已知点P(m,n)在该函数的图象上,且m﹣n=4,求点P的坐标.【分析】利用待定系数法求一次函数解析式得出即可;(1)利用一次函数增减性得出即可.(2)根据题意得出n=﹣2m+2,联立方程,解方程即可求得.【解答】解:设解析式为:y=kx+b,将(1,0),(0,2)代入得:,解得:,∴这个函数的解析式为:y=﹣2x+2;(1)把x=﹣2代入y=﹣2x+2得,y=6,把x=3代入y=﹣2x+2得,y=﹣4,∴y的取值范围是﹣4≤y<6.(2)∵点P(m,n)在该函数的图象上,∴n=﹣2m+2,∵m﹣n=4,∴m﹣(﹣2m+2)=4,解得m=2,n=﹣2,∴点P的坐标为(2,﹣2).【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质,求得解析式上解题的关键. 19.(8分)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.(1)求证:△ADE∽△ABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.【分析】(1)由于AG⊥BC,AF⊥DE,所以∠AFE=∠AGC=90°,从而可证明∠AED=∠ACB,进而可证明△ADE∽△ABC;(2)△ADE∽△ABC,,又易证△EAF∽△CAG,所以,从而可知.【解答】解:(1)∵AG⊥BC,AF⊥DE,∴∠AFE=∠AGC=90°,∵∠EAF=∠GAC,∴∠AED=∠ACB,∵∠EAD=∠BAC,∴△ADE∽△ABC,(2)由(1)可知:△ADE∽△ABC,∴=由(1)可知:∠AFE=∠AGC=90°,∴∠EAF=∠GAC,∴△EAF∽△CAG,∴,∴=【点评】本题考查相似三角形的判定,解题的关键是熟练运用相似三角形的判定,本题属于中等题型. 20.(10分)在面积都相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为1时,它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x,y.①求y关于x的函数表达式;②当y≥3时,求x的取值范围;(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10,你认为圆圆和方方的说法对吗?为什么?【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系;②直接利用y≥3得出x的取值范围;(2)直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案.【解答】解:(1)①由题意可得:xy=3,则y=;②当y≥3时,≥3解得:x≤1,故x的取值范围是:0<x≤1;(2)∵一个矩形的周长为6,∴x+y=3,∴x+=3,整理得:x2﹣3x+3=0,∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3<0,∴矩形的周长不可能是6;所以圆圆的说法不对.∵一个矩形的周长为10,∴x+y=5,∴x+=5,整理得:x2﹣5x+3=0,∵b2﹣4ac=25﹣12=13>0,∴矩形的周长可能是10,所以方方的说法对.【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法,正确得出y与x之间的关系是解题关键. 21.(10分)如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.【分析】(1)结论:AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;(2)过点A作AH⊥BG,在Rt△ABH、Rt△AHG中,求出AH、HG即可解决问题.【解答】解:(1)结论:AG2=GE2+GF2.理由:连接CG.∵四边形ABCD是正方形,∴A、C关于对角线BD对称,∵点G在BD上,∴GA=GC,∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,∴四边形EGFC是矩形,∴CF=GE,在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,∴AG2=GF2+GE2.(2)过点A作AH⊥BG,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠GBF=45°,∵GF⊥BC,∴∠BGF=45°,∵∠AGF=105°,∴∠AGB=∠AGF﹣∠BGF=105°﹣45°=60°,在Rt△ABH中,∵AB=1,∴AH=BH=,在Rt△AGH中,∵AH=,∠GAH=30°,∴HG=AH•tan30°=,∴BG=BH+HG=+.【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 22.(12分)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x﹣a﹣1),其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1,﹣2),求函数y1的表达式;(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上,若m<n,求x0的取值范围.【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据函数图象上的点满足函数解析式,可得答案;(3)根据二次函数的性质,可得答案.【解答】解:(1)函数y1的图象经过点(1,﹣2),得(a+1)(﹣a)=﹣2,解得a1=﹣2,a2=1,函数y1的表达式y=(x﹣2)(x+2﹣1),化简,得y=x2﹣x﹣2;函数y1的表达式y=(x+1)(x﹣2)化简,得y=x2﹣x﹣2,综上所述:函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2;(2)当y=0时(x+a)(x﹣a﹣1)=0,解得x1=﹣a,x2=a+1,y1的图象与x轴的交点是(﹣a,0),(a+1,0),当y2=ax+b经过(﹣a,0)时,﹣a2+b=0,即b=a2;当y2=ax+b经过(a+1,0)时,a2+a+b=0,即b=﹣a2﹣a;(3)当P在对称轴的左侧(含顶点)时,y随x的增大而减小,(1,n)与(0,n)关于对称轴对称,由m<n,得0<x0≤;当时P在对称轴的右侧时,y随x的增大而增大,由m<n,得<x0<1,综上所述:m<n,求x0的取值范围0<x0<1.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,解(1)的关键是利用待定系数法;解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式;解(3)的关键是利用二次函数的性质,要分类讨论,以防遗漏. 23.(12分)如图,已知△ABC内接于⊙O,点C在劣弧AB上(不与点A,B重合),点D为弦BC的中点,DE⊥BC,DE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线EB交于点F,与⊙O交于点G,设∠GAB=ɑ,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ,(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想:β关于ɑ的函数表达式,γ关于ɑ的函数表达式,并给出证明:(2)若γ=135°,CD=3,△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,求⊙O半径的长.【分析】(1)由圆周角定理即可得出β=α+90°,然后根据D是BC的中点,DE⊥BC,可知∠EDC=90°,由三角形外角的性质即可得出∠CED=α,从而可知O、A、E、B四点共圆,由圆内接四边形的性质可知:∠EBO+∠EAG=180°,即γ=﹣α+180°;(2)由(1)及γ=135°可知∠BOA=90°,∠BCE=45°,∠BEC=90°,由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,所以,根据勾股定理即可求出AE、AC的长度,从而可求出AB的长度,再由勾股定理即可求出⊙O的半径r;【解答】解:(1)猜想:β=α+90°,γ=﹣α+180°连接OB,∴由圆周角定理可知:2∠BCA=360°﹣∠BOA,∵OB=OA,∴∠OBA=∠OAB=α,∴∠BOA=180°﹣2α,∴2β=360°﹣(180°﹣2α),∴β=α+90°,∵D是BC的中点,DE⊥BC,∴OE是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,∠BED=∠CED,∠EDC=90°∵∠BCA=∠EDC+∠CED,∴β=90°+∠CED,∴∠CED=α,∴∠CED=∠OBA=α,∴O、A、E、B四点共圆,∴∠EBO+∠EAG=180°,∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°,∴γ+α=180°;(2)当γ=135°时,此时图形如图所示,∴α=45°,β=135°,∴∠BOA=90°,∠BCE=45°,由(1)可知:O、A、E、B四点共圆,∴∠BEC=90°,∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,∴,∴,设CE=3x,AC=x,由(1)可知:BC=2CD=6,∵∠BCE=45°,∴CE=BE=3x,∴由勾股定理可知:(3x)2+(3x)2=62,x=,∴BE=CE=3,AC=,∴AE=AC+CE=4,在Rt△ABE中,由勾股定理可知:AB2=(3)2+(4)2,∴AB=5,∵∠BAO=45°,∴∠AOB=90°,在Rt△AOB中,设半径为r,由勾股定理可知:AB2=2r2,∴r=5,∴⊙O半径的长为5.【点评】本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,勾股定理,解方程,垂直平分线的性质等知识,综合程度较高,需要学生灵活运用所学知识. 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