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【可编辑】2017年重庆市巴蜀中学高三理科数学二模试卷.doc

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可编辑 编辑 2017 重庆市 中学 理科 数学 试卷
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2017年重庆市巴蜀中学高三理科数学二模试卷 一、选择题(共12小题;共60分)1. 已知集合 ,,则集合 的子集个数为 A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 (其中 为虚数单位),则 A. B. C. D. 3. 若 ,则函数 在区间 内单调递增的概率是 A. B. C. D. 4. 中国古代数学名著《九章算术》中记载:今天有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何?其意是:今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人,他们共猎获五只鹿,欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配,问各得多少.若五只鹿的鹿肉共 斤,则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为 A. B. C. D. 5. 已知双曲线 的实轴长为 ,且它的一条渐近线方程为 ,则双曲线 的标准方程可能是 A. B. C. D. 6. 已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 7. 点 的坐标满足约束条件 由点 向圆 作切线 ,切点为 ,则线段 的最小值为 A. B. C. D. 8. 设 ,,,则 ,, 的大小关系是 A. B. C. D. 9. 执行如图所示的程序框图,输出的 值为 A. B. C. D. 10. 如图所示为函数 的部分图象,其中 , 两点之间的距离为 ,则函数 图象的对称轴为 A. B. C. D. 11. 已知 外接圆的半径为 ,圆心为 ,且 ,,则 的值是 A. B. C. D. 1 12. 下列函数 中,满足“对任意 ,当 时,都有 ”的是 A. B. C. D. 二、填空题(共4小题;共20分)13. 已知向量 ,,,且 ,则 等于  . 14. 若 (其中 ),则多项式 展开式中的常数项为  . 15. 已知正项等比数列 的公比 ,且满足 ,,设数列 的前 项和为 ,若不等式 对一切 恒成立,则实数 的最大值为  . 16. 如图是两个腰长均为 的等腰直角三角形拼成的一个四边形 ,现将四边形 沿 折成直二面角 ,则三棱锥 的外接球的体积为   . 三、解答题(共7小题;共91分)17. 已知 的三个内角 ,, 所对的边分别为 ,,,且满足 .(1)求角 的大小;(2)若动点 在 的外接圆上,且点 , 不在 的同一侧,,试求 面积的最大值. 18. 如图(),在五边形 中,,,,, 是以 为斜边的等腰直角三角形.现将 沿 折起,使 ,如图(),记线段 的中点为 .(1)求证:;(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的大小. 19. 团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高效的消费方式,不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在A市开展了团购业务,A市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况,从本市已加入了团购网站的商家中随机抽取了 家进行调查,他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.(1)从所调查的 家商家中任选两家,求他们加入团购网站的数量不相等的概率;(2)从所调查的 家商家中任取两家,用 表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量 的分布列和数学期望;(3)将频率视为概率,现从A市随机抽取 家已加入团购网站的商家,记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为 ,试求事件“”的概率. 20. 已知点 是圆心为 的圆 上的动点,点 , 为坐标原点,线段 的垂直平分线交 于点 .(1)求动点 的轨迹 的方程;(2)过原点 作直线 交(Ⅰ)中的轨迹 于点 ,,点 在轨迹 上,且 ,点 满足 ,试求四边形 的面积的取值范围. 21. 已知函数 ( 为实数, 为自然对数的底数),曲线 在 处的切线与直线 平行.(1)求实数 的值,并判断函数 在区间 内的零点个数;(2)证明:当 时,. 22. 已知直线 的参数方程为 ( 为参数),圆 的参数方程为 ( 为参数).(1)若直线 与圆 的相交弦长不小于 ,求实数 的取值范围;(2)若点 的坐标为 ,动点 在圆 上,试求线段 的中点 的轨迹方程. 23. 已知函数 .(1)画出函数 的图象;(2)若不等式 对任意实数 恒成立,求实数 的取值范围.答案第一部分1. C【解析】,.所以 ,所以 的子集个数为 .2. B【解析】 满足 .3. C4. B【解析】设这 个人分得鹿肉的斤数分别为 ,,,,.则这 项依次成等差数列.所以 ,所以 ,所以 .5. D【解析】双曲线 的实轴长为 ,可知 ,它的一条渐近线方程为 ,双曲线的焦点在 轴时可得 ,双曲线的焦点在 轴时 .所求双曲线方程为: 或 .6. A【解析】根据几何体的三视图知,该几何体是半圆柱体与三棱柱的组合体,如图所示,则该几何体的表面积为 7. B【解析】由题意得,圆心 .由题意及勾股定理知,.故 取最小值时 取最小值.而 的最小值即为 到直线 的距离, .故 ,如图.8. D9. C【解析】因为 ,运行程序,得 时,,. 不成立,继续循环; ,. 成立,跳出循环.故输出 的值为 .10. B【解析】如图,由 , 两点之间距离为 ,根据勾股定理可得 .所以 ,.因为 ,所以 ,又 ,所以 .所以 .令 ,解得 .所以函数 的图象对称轴为直线 .11. D【解析】由 得点 为 的中点,,,,,则 .12. A第二部分13. 【解析】,因为 ,所以 ,所以 .14. 【解析】.所以 ,解得 或 .又 ,所以 .所以 ,展开式的通项为 ,令 ,得 .所以 ,即常数项为 .15. 【解析】正项等比数列 ,公比 ,且满足 . ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,,.所以 ,, ,由 ,则 ,即 恒成立.令 ,则 在 内单调递增,所以 .所以 .即 的最大值为 .16. 【解析】四边形 中, 所以 ,;因为沿 折成直二面角 ,如图所示:所以 ,,所以 ,;所以三棱锥 的外接球的直径为 ,且 所以外接球的半径为 ,它的体积为 .第三部分17. (1) 在 中,因为 ,所以 .由正弦定理得 .又 ,所以 ,所以 ,即 ,又 ,所以 .      (2) 由点 在 的外接圆上,, 不在 的同侧,得 ,在 中,由余弦定理,得 .即 ,当且仅当 时,取等号.所以 的面积 .18. (1) 因为 , 是线段 的中点,所以 .又因为 ,所以四边 为平行四边形,又 ,所以 ,又因为 是等腰直角 斜边的中点,所以 .因为 ,所以 ,因为 ,所以 .      (2) 因为 ,且 ,所以 ,所以 .所以 ,, 两两垂直,以 为坐标原点,以 ,, 所在直线分别为 ,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .因为 为等腰直角三角形,且 ,所以 ,所以 ,,,,, .所以 ,,设平面 的一个法向量为 ,则有 所以 取 ,得 .因为 ,所以平面 的一个法向量为 ,设平面 与平面 所成的锐二面角为 ,则 ,所以平面 与平面 所成的锐二面角大小为 .19. (1) 记所选取的两家商家加入团购网站的数量相等为事件 ,则 ,所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为:.      (2) 由题知 的可能取值分别为 ,,. , , .从而 的分布列为.      (3) 所调查的 家商家中加入了两个团购网站的商家有 家,将频率视为概率,则从A市中任取一家加入团购网站的商家,他同时加入了两个团购网站的概率为 .所以 .所以事件“”的概率为 .20. (1) 由于点 在线段 的垂直平分线上,故 ,因为 ,故点 轨迹为椭圆,其中 ,,因此 点的轨迹 的方程为 .      (2) 由 ,知四边形 为平行四边形,故 ,①当 为长轴(或短轴)时,依题意,知点 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点),此时 ,即 .②当直线 的斜率存在且不为 时,设其斜率为 ,则直线 的方程为 ,联立方程 消去 ,得 ,故 ,,所以 ,由 ,知 为等腰三角形, 为 的中点,所以 ,所以直线 的方程为 .同理,得 , 设 ,则 ,而 .所以当 时,.又 ,所以 ,所以 .综上所述 .所以四边形 的面积的取值范围为 .21. (1) .由题设,可知曲线 在 处的切线的斜率 ,解得 .所以 ,因为当 时,,所以 在区间 内为增函数,又 ,所以 在区间 内没有零点.      (2) 当 时, 等价于 .设 .则 ,当 时,,所以 在区间 内单调递增.所以 .即 .两边取自然对数,得 .所以要证明 ,只需证明 .即证当 时, 设 .则 .设 ,.当 时,;当 时,.所以 在区间 内单调递减,在区间 内单调递增,又 ,,,所以 .所以存在 ,使得 .所以当 时,;当 时,.所以 在区间 内单调递增,在区间 内单调递减,在区间 内单调递增.又 ,所以 ,当且仅当 时,取等号,即①式成立.所以 .22. (1) 直线 的普通方程为 ,圆 的普通方程为 .圆心 到直线 的距离 ,相交弦长为 .令 ,解得 或 .即实数 的取值范围为 .      (2) 设 ,,则由线段的中点坐标公式,得 ( 为参数),消去参数 并整理,得 .即线段 的中点 的轨迹方程为 .23. (1) 由零点分段法,得 , 函数 的图象如图所示.      (2) ,当且仅当 ,且 ,,即 或 时,取等号.由不等式 对任意实数 恒成立,得 .由()中图象,可知 .所以实数 的取值范围是 .第15页(共15 页)
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