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【可编辑】2017重庆中考复习二次函数.doc

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可编辑 编辑 2017 重庆 中考 复习 二次 函数
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2016寒假二次函数已知如图:抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)与轴交于点,点为抛物线的顶点,过点的对称轴交轴于点.(1)如图1,连接,试求出直线的解析式;(2)如图2,点为抛物线第一象限上一动点,连接,,,当四边形的面积最大时,线段交于点,求此时的值;(3)如图3,已知点,连接,将沿着轴上下平移(包括)在平移的过程中直线交轴于点,交轴于点,则在抛物线的对称轴上是否存在点,使得是以为直角边的等腰直角三角形,若存在,请直接写出点的坐标,若不存在,请说明理由. 解:(1)∴令得∴,∴设的解析式为,∴ 的解析式为: ………………………………..4分(2)连接,过作轴交于点,则,∴的面积最大时四边形的面积最大设,,, 当时,的面积最大,四边形的面积最大,此时设,代入,,又的解析式为:,,过点作于点,………….8分(3) …………..12分如图,抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧),与交于点,的平分线与轴交于点,与抛物线相交于点,是线段上一点,过点作轴的垂线,分别交,于点,,连接,.(1)如图1,求线段所在直线的解析式;(2)如图1,求△面积的最大值和此时点的坐标;26题图126题图226题备用图(3)如图2,以为边,在它的右侧作正方形,点在线段上运动时正方形也随之运动和变化,当正方形的顶点或顶点在线段上时,求正方形的边长.解:(1)抛物线的解析式为: 令,则,.……………………………………………………………(1分)令,则,解得,.,.……………………………………………………(2分)设直线所在直线解析式为:,将,代入可得,  解得,直线所在直线解析式为:.…………………(4分)(2)过点作于点,如图1.,..在中,.在与中,,,≌,,.设,则. , .在中,,,解得,...设直线所在直线解析式为:,将,代入可得,  解得直线所在直线解析式为:.…………………………(5分)26题答图2又直线的解析式为:.设,则,,, ,.…………………(6分)    该函数的对称轴是直线.当时, 的最大值=.………………………(7分)26题答图3此时,.………………………………………………………………(8分)(3)由,可得直线的解析式为:.①当顶点在线段上时,如图3.设,则, ,.,.,,解得,..顶点在线段上时,,正方形的边长为.…………(10分)②当顶点在线段上时,如图4.26题答图4设,则, ,.,.,,解得,..顶点在线段上时,,正方形的边长为.…… (12分)综上所述,顶点在线段上时,,正方形的边长为;顶点在线段上时,,正方形的边长为.在直角坐标系中,抛物线与轴交于两点,与轴交于点 连接.(1)求的正弦值.(2)如图1,为第一象限内抛物线上一点,记点横坐标为,作//交于点, //轴交于点,请用含的代数式表示线段的长,并求出当时线段的长.(3)如图2,为轴上一动点(不与点、重合),作//交直线于点,连接,是否存在点 使,若存在,请直接写出点的坐标, 若不存在,请说明理由. 解:(1)∵∴C(0,4)令y=0,4x2-8x-12=0x2-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0x1=-1 x2=3 ∴A(-1,0) B(3,0)∴OA=1,OC=4∴Rt△ACO中,∴ ……4分(2)∵DE//AC,∴∠1+∠2=∠3=∠4+∠5又∵∠2=∠4 ∴∠1=∠5 ∴0A∶OC=EM∶DM过点E作EM⊥DH于M设D()直线BC∶∴H() ∴DH= ……5分设EM=x,则DM=4x∠MEH=∠B ∴∴ 图2 ∴= ……7分当CH∶BH=2∶1,延长DH至K,则OK∶KB=2∶1,OK=2∴m=2∴ ……9分(3) ……12分.如图1,抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交轴于点C.将直线AC以点A为旋转中心,顺时针旋转90°,交轴于点D,交抛物线于另一点E.(1)求直线AE的解析式;(2)点F是第一象限内抛物线上一点,当△FAD的面积最大时,在线段AE上找一点G(不与点A、E重合),使FG+GE的值最小,求出点G的坐标,并直接写出FG+GE的最小值;(3)如图2,将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移,记平移后的△ACD为△A′C′D′,平移时间为t秒,当△AC′E为等腰三角形时,求t的值.EBACxyOD26题图2xOByADFEC26题图1解:(1)在中,令y=0,得.解得,, ∴ 点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0) ,即OA=1.………(1分) 在中,令x=0,得 y=, ∴ 点C的坐标为(0,), 即OC=. 在Rt△AOC中,tan∠CAO,∴ ∠CAO=60°, 又∵∠CAD=90°,∴∠OAD=30°. 在Rt△AOD中,tan∠OAD=,即tan30°=,∴OD=, ∴ 点D的坐标为(0,).………………………………….....………(2分)设直线AE的解析式为y=kx+b(k≠0),∵点A、点D在直线AE上,∴ 解得 ∴ 直线AE的解析式为.……………………………....……(4分) (2)过点F作FK⊥x轴于点H,交直线AE于点K(如答图1), 过点D作DM⊥FK于点M.xyFCADOBEGHKMPQ26题答图1 设点F的坐标为(x,),则点K的坐标为(x,), ∴FK=-()=∴S△FAD=S△FAK-S△FDK===……………………………………...…...(5分)∴当x==时,S△FAD有最大值,∴此时点F的坐标为(,).………………...…..……………...….. …(6分) 点G是线段AE上一点,作EQ⊥y轴于点Q,GP⊥EQ于点P, 则∠PEG=30°,GP=GE,FG+GE=FG+GP.过点F作EQ的垂线,交AE于点G,此时FG+GE的值最小,∴此时点G的坐标为(,).……...... ....... ……...........................…(7分) FG+GE的最小值为.……....... …... .………...............................…(8分) (3)连结C,过点作F⊥y轴于点F(如答图2).xBACyOD26题答图2EF 则C=,CF=C=,F=C=t. ∴点的坐标为(t,). 由(2)知:点E的坐标为(4,). ∴ , ,.① 当A=E时,,解得............... ..... ..... ..... ..... ..... ......…(9分)②当A=AE时,,解得 ,(舍去).….........................…(10分) ③当AE=E时 , 解得 . 综上所述,当△AE为等腰三角形时,或或或.…..........................................................................................................(12分)如图1,抛物线交轴于、两点(点在点的左侧),交于点,连接、,其中.(1) 求抛物线的解析式;(2) 点为直线上方的抛物线上一点,过点作交于,作轴于,交于,当的周长最大时,求点的坐标及的最大值;(3) 如图2,在(2)的结论下,连接分别交于,交于,四边形从开始沿射线平移,同时点从开始沿折线运动,且点的运动速度为四边形平移速度的倍,当点到达点时四边形停止运动,设四边形平移过程中对应的图形为,当为等腰三角形时,求长度.如图1 如图2 备用图.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D,C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E.(1)求直线AD的解析式;(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH周长的最大值;(3)如图2,点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一动点,点Q是坐标平面内一点,四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形,点Q′与点Q关于直线AM对称,连接M Q′,P Q′.当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的时,求□APQM面积.图1 图2 备用图解:(1)令-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),C(0,3),∵点D,C关于抛物线的对称轴对称,∴D(2,3),∴直线AD的解析式为:y=x+1;(2)设点F(x,-x2+2x+3),∵FH∥x轴,∴H(-x2+2x+2,-x2+2x+3),∴FH=-x2+2x+2-x=-(x-)2+,∴FH的最大值为,易得△FHG为等腰直角△,故△FGH周长的最大值为;(3)①当P点在AM下方时,如图,设P(0,p),易知M(1,4),从而Q(2,4+p),∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的,∴PQ′必过AM中点N(0,2),∴可知Q′在y轴上,易知QQ′的中点T的横坐标为1,而点T必在直线AM上,故T(1,4),从而T、M重合,故□APQM是矩形,∵易得直线AM解析式为:y=2x+2,而MQ⊥AM,过M,∴直线QQ′:y=-x+,∴4+p=-×2+,∴p=-,(注:此处也可用AM2+AP2=MP2得出p=-),∴PN=,∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5;②当P点在AM上方时,如图,设P(0,p),易知M(1,4),从而Q(2,4+p),∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的,∴PQ′必过QM中点R(,4+),易得直线QQ′:y=-x+p+5,联立解得:x=,y=,∴H(,),∵H为QQ′中点,故易得Q′(,),由P(0,p)、R(,4+)易得直线PR解析式为:y=(-)x+p,将Q′(,)代入到y=(-)x+p得:=(-)×+p,整理得:p2-9p+14=0,解得p1=7,p2=2(与AM中点N重合,舍去),∴P(0,7),∴PN=5,∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×∣xM -xA∣=2××5×2=10.综上所述,□APQM面积为5或10.如图1,抛物线y=-x2-x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),交y轴于点C,点D的坐标为(0,-1),直线AD交抛物线于另一点E;点P是第二象限抛物线上的一点,作PQ∥y轴交直线AE于Q,作PG⊥AD于G,交x轴于点H.(1)求线段DE的长;(2)设d=PQ-PH,当d的值最大时,在直线AD上找一点K,使PK+EK的值最小,求出点K的坐标和PK+EK的最小值;(3)如图2,当d的值最大时,在x轴上取一点N,连接PN、QN,将△PNQ沿着PN翻折,点Q的对应点为Q′,在x轴上是否存在点N,使△AQQ′是等腰三角形?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.解:(1)令-x2-x+3=0,得x1=-3,x2=,∴A(,0),B(-3,0),设lAD:y=kx-1,∴k=,∴直线AD解析式:y=x-1,∴由解得,,∴DF==8;(2)∵PQ⊥x轴,PG⊥AE,∴显然△AOD∽△PGQ∽△PFH,∵OA=,OD=1,∴∠OAD=30o,∴∠P=30o,∴=,∴PF=PH,∴d=PQ-PH= PQ-PF,设P(x,-x2-x+3),则Q(x,x-1),F(x,0),∴d=(-x2-x+3)-(x-1)-(-x2-x+3)=-(x+2)2+,∴当x=-2时,d取得最大值,此时P(-2,3),如图所示,作KM∥y轴,EM∥x轴,则KM⊥EM,∴∠KEM=∠OAD=30o,∴KM=EK,故当PK+EK=PK+KM最小时,P、K、M应共线,即K点与Q点重合,此时K(-2,-3),∴PK+EK最小为3+5=8;(3)存在,理由如下:①如图1,当AQ′=QQ′时,易知PA=PQ=QA,∴PQ′垂直平分AQ,△APQ是等边△,∴∠APQ′=∠PAF=30o,∴PM=AM=2,FM=,∵PN平分∠FPM,∴FN∶MN=PF∶PM,即FN∶(-FN)=3∶2,∴FN=6-3,∴N(6-5,0);如图2,当AQ′=QQ′时,∵PN垂直平分QQ′,x轴垂直平分PQ,易得△PQQ′≌△PAQ′,故∠QPQ′=150o,∴易得∠PNF=15o,在FN上取点M,使FM=FA,连接PM,易得∠PMF=30o,PM=6,PM=NM=6,MF=FA=3,∴N(-6-5,0);②当AQ=QQ′时,如图3,显然此时N与B重合,即N(-3,0);③当AQ=AQ′时,如图4,显然此时N与A重合,即N(,0);综上所述,符合条件的N点坐标为(6-5,0),(-6-5,0),(-3,0),(,0). 图1 图2
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