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【可编辑】2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案.doc

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可编辑 编辑 2018 江苏 苏锡常镇四市高三 调研 数学试题 答案
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2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合,,则集合 .2.已知复数满足(为虚数单位),则 .3.双曲线的渐近线方程为 .4.某中学共有人,其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人,其中高二年级被抽取的人数为,则 .5.将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字,,,)先后抛掷次,观察其朝下一面的数字,则两次数字之和等于的概率为 .6.如图是一个算法的流程图,则输出的值是 .7.若正四棱锥的底面边长为,侧面积为,则它的体积为 .8.设是等差数列的前项和,若,,则 .9.已知,,且,则的最小值是 .10.设三角形的内角,,的对边分别为,,,已知,则 .11.已知函数(是自然对数的底).若函数的最小值是,则实数的取值范围为 .12.在中,点是边的中点,已知,,,则 .13.已知直线:与轴交于点,点在直线上,圆:上有且仅有一个点满足,则点的横坐标的取值集合为 .14.若二次函数在区间上有两个不同的零点,则的取值范围为 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量,.(1)若角的终边过点,求的值;(2)若,求锐角的大小.16.如图,正三棱柱的高为,其底面边长为.已知点,分别是棱,的中点,点是棱上靠近的三等分点.求证:(1)平面;(2)平面.17.已知椭圆:经过点,,点是椭圆的下顶点.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点且互相垂直的两直线,与直线分别相交于,两点,已知,求直线的斜率.18.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径为,是圆心,且.在上有一座观赏亭,其中.计划在上再建一座观赏亭,记.(1)当时,求的大小;(2)当越大,游客在观赏亭处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时,角的正弦值.19.已知函数,.(1)若,,且恒成立,求实数的取值范围;(2)若,且函数在区间上是单调递减函数.①求实数的值;②当时,求函数的值域.20.已知是数列的前项和,,且.(1)求数列的通项公式;(2)对于正整数,,,已知,,成等差数列,求正整数,的值;(3)设数列前项和是,且满足:对任意的正整数,都有等式成立.求满足等式的所有正整数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1:几何证明选讲如图,是圆的直径,为圆上一点,过点作圆的切线交的延长线于点,且满足.(1)求证:;(2)若,求线段的长.B. 选修4-2:矩阵与变换已知矩阵,,列向量.(1)求矩阵;(2)若,求,的值.C. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.D. 选修4-5:不等式选讲已知,都是正数,且,求证:.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图,在四棱锥中,底面是矩形,垂直于底面,,点为线段(不含端点)上一点.(1)当是线段的中点时,求与平面所成角的正弦值;(2)已知二面角的正弦值为,求的值.23.在含有个元素的集合中,若这个元素的一个排列(,,…,)满足,则称这个排列为集合的一个错位排列(例如:对于集合,排列是的一个错位排列;排列不是的一个错位排列).记集合的所有错位排列的个数为.(1)直接写出,,,的值;(2)当时,试用,表示,并说明理由;(3)试用数学归纳法证明:为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题15.解:(1)由题意,,所以.(2)因为,所以,即,所以,则,对锐角有,所以,所以锐角.16.证明:(1)连结,正三棱柱中,且,则四边形是平行四边形,因为点、分别是棱,的中点,所以且,又正三棱柱中且,所以且,所以四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面;(2)正三棱柱中,平面,平面,所以,正中,是的中点,所以,又、平面,,所以平面,又平面,所以,由题意,,,,,所以,又,所以与相似,则,所以,则,又,,平面,所以平面.17.解:(1)由题意得,解得,所以椭圆的标准方程为;(2)由题意知,直线,的斜率存在且不为零,设直线:,与直线联立方程有,得,设直线:,同理,因为,所以,①,无实数解;②,,,解得,综上可得,直线的斜率为.18.解:(1)设,由题,中,,,所以,在中,,,由正弦定理得,即,所以,则,所以,因为为锐角,所以,所以,得;(2)设,在中,,,由正弦定理得,即,所以,从而,其中,,所以,记,,;令,,存在唯一使得,当时,单调增,当时,单调减,所以当时,最大,即最大,又为锐角,从而最大,此时.答:观赏效果达到最佳时,的正弦值为.19.解:(1)函数的定义域为.当,,,∵恒成立,∴恒成立,即.令,则,令,得,∴在上单调递增,令,得,∴在上单调递减,∴当时,.∴.(2)①当时,,.由题意,对恒成立,∴,∴,即实数的值为.②函数的定义域为.当,,时,.,令,得.-+极小值∴当时,,当时,,当时,.对于,当时,,当时,,当时,.∴当时,,当时,,当时,.故函数的值域为.20.解:(1)由得,两式作差得,即.,,所以,,则,所以数列是首项为公比为的等比数列,所以;(2)由题意,即,所以,其中,,所以,,,所以,,;(3)由得,,,,所以,即,所以,又因为,得,所以,从而,,当时;当时;当时;下面证明:对任意正整数都有,,当时,,即,所以当时,递减,所以对任意正整数都有;综上可得,满足等式的正整数的值为和.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A. 选修4-1:几何证明选讲证明:(1)连接,.因为是圆的直径,所以,.因为是圆的切线,所以,又因为,所以,于是,得到,所以,从而.(2)解:由及得到,.由切割线定理,,所以.B. 选修4-2:矩阵与变换解:(1);(2)由,解得,又因为,所以,.C. 选修4-4:坐标系与参数方程解:在中,令,得,所以圆的圆心的极坐标为.因为圆的半径,于是圆过极点,所以圆的极坐标方程为.D. 选修4-5:不等式选讲证明:因为,都是正数,所以,,,又因为,所以.【必做题】22.解:(1)以为原点,,,为坐标轴,建立如图所示空间直角坐标系;设,则,,,,,;所以,,,设平面的法向量,则,即,解得,所以平面的一个法向量,,则与平面所成角的正弦值为.(2)由(1)知平面的一个法向量为,设,则,,,设平面的法向量,则,即,解得,所以平面的一个法向量,由题意得,所以,即,因为,所以,则.23. 解:(1),,,,(2),理由如下:对的元素的一个错位排列(,,…,),若,分以下两类:若,这种排列是个元素的错位排列,共有个;若,这种错位排列就是将,,…,,,…,排列到第到第个位置上,不在第个位置,其他元素也不在原先的位置,这种排列相当于个元素的错位排列,共有个;根据的不同的取值,由加法原理得到;(3)根据(2)的递推关系及(1)的结论,均为自然数;当,且为奇数时,为偶数,从而为偶数,又也是偶数,故对任意正奇数,有均为偶数.下面用数学归纳法证明(其中)为奇数.当时,为奇数;假设当时,结论成立,即是奇数,则当时,,注意到为偶数,又是奇数,所以为奇数,又为奇数,所以,即结论对也成立;根据前面所述,对任意,都有为奇数.
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