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【可编辑】北京高考近5年三角、数列考题.doc

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2017数列(2017年文科数列1道大题)(2017年理科数列1小题、1大题)2017年北京高考文科第15题15. 已知等差数列 和等比数列 满足 ,,.(1)求 的通项公式;(2)求和:.15. (1) 等差数列 ,,,可得:,解得 ,所以 的通项公式:.      (2) 由(Ⅰ) 可得 ,等比数列 满足 ,,可得 (等比数列奇数项符号相同),所以 , 是等比数列,公比为 ,首项为 , .2017年北京高考理科第10题(10)若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1,a4=b4=8,则=_______.【答案】1【解析】2017年北京高考理科第20题20. 设 和 是两个等差数列,记 ,其中 表示 ,,, 这 个数中最大的数.(1)若 ,,求 ,, 的值,并证明 是等差数列;(2)证明:或者对任意正数 ,存在正整数 ,当 时,;或者存在正整数 ,使得 ,,, 是等差数列.20. (1) ,,,,,,当 时,,当 时,,当 时,,下面证明:对 ,且 ,都有 ,当 ,且 时,则 由 ,且 ,则 ,则 ,因此,对 ,且 ,,,又 ,所以 对 均成立,所以数列 是等差数列.      (2) 设数列 和 的公差分别为 ,,下面考虑 的取值,由 ,,,,考虑其中任意 (,且 ),则 下面分 ,, 三种情况进行讨论,①若 ,则 ,当 ,,则对于给定的正整数 而言,,此时 ,所以数列 是等差数列;当 ,,则对于给定的正整数 而言,,此时 ,所以数列 是等差数列;此时取 ,则 ,,,是等差数列,命题成立;②若 ,则此时 为一个关于 的一次项系数为负数的一次函数,故必存在 ,使得 时,,则当 时, 因此当 时,,此时 ,故数列 从第 项开始为等差数列,命题成立;③若 ,此时 为一个关于 的一次项系数为正数的一次函数,故必存在 ,使得 时,,则当 时, 因此,当 时,,此时 令 ,,,下面证明: 对任意正整数 ,存在正整数 ,使得 ,,若 ,取 , 表示不大于 的最大整数,当 时, 此时命题成立;若 ,取 ,当 时, 此时命题成立,因此对任意正数 ,存在正整数 ,使得当 时,;综合以上三种情况,命题得证.2017三角(2017文科一小题一大题)(2017理科一小题一大题)2017年北京高考文科第9题9. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,它们的终边关于 轴对称,若 ,则  . 9. 2017年北京高考文科第16题16. 已知函数 .(1)求 的最小正周期;(2)求证:当 时,16. (1) 所以 ,所以 的最小正周期为 .      (2) 因为 , 所以 ,所以 ,所以 .2017年北京高考理科第12题(12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.【答案】【解析】2017年北京高考理科第15题(15)(本小题13分)在△ABC中, =60°,c=a.(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)若a=7,求△ABC的面积.【答案】(1)根据正弦定理(2)当时,,△ABC中 2016数列(2016文科一大题)(2016理科一小题一大题)2016年北京高考文科第15题15. 已知 是等差数列, 是等比数列,且 ,,,.(1)求 的通项公式;(2)设 ,求数列 的前 项和.15. (1) 等比数列 的公比 ,所以 ,.设等差数列 的公差为 .因为 ,,所以 ,即 .所以 .      (2) 由(1)知,,.因此 .从而数列 的前 项和 2016年北京高考理科第12题12. 已知 为等差数列, 为其前 项和,若 ,,则  .12. 【解析】 为等差数列,,所以 ,,解得 .所以 .2016年北京高考理科第20题20. 设数列 :,,,.如果对小于 的每个正整数 都有 ,则称 是数列 的一个“ 时刻”.记 是数列 的所有“ 时刻”组成的集合.(1)对数列 :,,,,,写出 的所有元素;(2)证明:若数列 中存在 使得 ,则 ;(3)证明:若数列 满足 ,则 的元素个数不小于 .20. (1) 的元素为 和 .      (2) 因为存在 使得 ,所以 .记 ,则 ,且对任意正整数 ,.因此 .从而 .      (3) 当 时,结论成立.以下设 .由(2)知 .设 ,.记 ,则 .对 ,记 .如果 ,取 ,则对任何 ,.从而 且 .又因为 是 中的最大元素,所以 .从而对任意 ,,特别地,.对 ,.因此 .所以 .因此 的元素个数 不小于 .2016三角(2016文科一小题一大题)(2016理科一小题一大题)2016年北京高考文科第13题13. 在 中,,,则  .13. 【解析】在 中,由正弦定理知 ,又 ,,所以 ,解得 ,又 为锐角,所以 ,,所以 .2016年北京高考文科第16题16. 已知函数 的最小正周期为 .(1)求 的值;(2)求 的单调递增区间.16. (1) 因为 , .所以 .      (2) 由 可知 , ,, , .所以单调递增区间是 .2016年北京高考理科第7题7. 将函数 图象上的点 向左平移 个单位长度得到点 .若 位于函数 的图象上,则 A. , 的最小值为 B. , 的最小值为 C. , 的最小值为 D. , 的最小值为 7. A【解析】因为点 在 的图象上,所以 .点 向左平移 个单位长度得到 .因为 在 的图象上,所以 .所以 ,所以 .又 ,所以 .2016年北京高考理科第15题15. 在 中,.(1)求 的大小;(2)求 的最大值.15. (1) 因为 ,所以 ,所以 .      (2) 在 中,, 所以当 时, 的最大值为 .2015数列(2015文科一大题)(2015理科一小题一大题)2015年北京高考文科第16题16. 已知等差数列 满足 ,.(1)求 的通项公式;(2)设等比数列 满足 ,,问: 与数列 的第几项相等?16. (1) 设等差数列 的公差为 .因为 ,所以 .又因为 ,所以 ,故 .所以 ().      (2) 设等比数列 的公比为 ,因为 ,,所以 ,,所以 .由 得 ,所以 与数列 的第 项相等.2015年北京高考理科第6题6. 设 是等差数列,下列结论中正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 6. C【解析】数列 是等差数列,如数列 ,满足 ,则 ;如数列 ,满足 ,则 ;所以A,B不正确;对于等差数列 ,所以D不正确;等差数列若 ,则数列 是单调递增数列,有 ,所以C正确.2015年北京高考理科第20题20. 已知数列 满足:,,且 记集合 .(1)若 ,写出集合 的所有元素;(2)若集合 存在一个元素是 的倍数,证明: 的所有元素都是 的倍数;(3)求集合 的元素个数的最大值.20. (1) ,,.      (2) 因为集合 存在一个元素是 的倍数,所以不妨设 是 的倍数.由 可归纳证明对任意 , 是 的倍数.如果 ,则 的所有元素都是 的倍数.如果 ,因为 或 ,所以 是 的倍数,于是 是 的倍数.类似可得 ,, 都是 的倍数.从而对任意 , 是 的倍数,因此 的所有元素都是 的倍数.综上,若集合 存在一个元素是 的倍数,则 的所有元素都是 的倍数.      (3) 由 , 可归纳证明 ().因为 是正整数, 所以 是 的倍数.从而当 时, 是 的倍数.如果 是 的倍数,由(2)知对所有正整数 , 是 的倍数.因此当 时,,这时 的元素个数不超过 .如果 不是 的倍数,由(2)知对所有正整数 , 不是 的倍数.因此当 时,,这时 的元素个数不超过 .当 时, 有 个元素.综上可知,集合 的元素个数的最大值为 .2015三角(2015文科一小题一大题)(2015理科一小题一大题)2015年北京高考文科第11题11. 在 中,,,,则  .11. 2015年北京高考文科第15题15. 已知函数 .(1)求 的最小正周期;(2)求 在区间 上的最小值.15. (1) 因为 ,所以 的最小正周期为 .      (2) 因为 ,所以 .当 ,即 时, 取得最小值.所以 在区间 上的最小值为 .2015年北京高考理科第12题12. 在 中,,,,则  .12. 【解析】因为 中,,,,所以 ,,所以 ,,所以 .2015年北京高考理科第15题15. 已知函数 .(1)求 的最小正周期;(2)求 在区间 上的最小值.15. (1) 由题意得 ,所以 的最小正周期为 .      (2) 因为 ,所以 .当 ,即 时, 取得最小值.所以 在区间 上的最小值为 .2014数列(2014文科一大题)(2015理科两小题一大题)2014年北京高考文科第15题15. 已知 是等差数列,满足 , ,数列 满足 , ,且 是等比数列.(1)求数列 和 的通项公式;(2)求数列 的前 项和.15. (1) 设等差数列 的公差为 ,由题意得: 所以 设等比数列 的公比为 ,由题意得: 解得 .所以 从而       (2) 由(1)知, 数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 所以数列 的前 项和为 2014年北京高考理科第5题5. 设 是公比为 的等比数列,则 “ ” 是" 为递增数列"的 A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. D2014年北京高考理科第12题12. 若等差数列 满足 ,,则当   时, 的前 项和最大.12. 【解析】根据等差数列的性质,得 ,,于是 ,,即 ,,故 为 的前 项和中的最大值.2014年北京高考理科第20题20. 对于数对序列 ,记 ,,其中 表示 和 两个数中最大的数.(1)对于数对序列 ,,求 , 的值;(2)记 为 四个数中最小值,对于由两个数对 , 组成的数对序列 , 和 ,,试分别对 和 时两种情况比较 和 的大小;(3)在由 个数对 ,,,, 组成的所有数对序列中,写出一个数对序列 使 最小,并写出 的值.(只需写出结论)20. (1)       (2) 当 时,因为 是 中最小的数,所以 ,从而当 时,因为 是 中最小的数,所以 ,从而综上,这两种情况下都有 .      (3) 数对序列 (不唯一)对应的 最小,此时 .2014三角(2014文科一小题一大题)(2014理科一小题一大题)2014年北京高考文科第12题12. 在 中,,,,则  ;  .12. ,2014年北京高考文科第16题16. 函数 的部分图象如图所示.(1)写出 的最小正周期及图中 , 的值;(2)求 在区间 上的最大值和最小值.16. (1) 的最小正周期为 ,,.      (2) 因为 ,所以于是,当 ,即 时, 取得最大值 ;当 ,即 时, 取得最小值 .2014年北京高考理科第14题14. 设函数 ( ,, 是常数,, ).若 在区间 上具有单调性,且 ,则 的最小正周期为  .14. 【解析】记 的最小正周期为 .由题意知 ,又 ,且 ,可作出示意图如图所示(一种情况): 所以 , ,所以 ,所以 .2014年北京高考理科第15题15. 如图,在 中, , ,点 在 上,且 , .(1)求 ;(2)求 的长.15. (1) 因为 所以      (2) 在 中 , 即 解得 在 中, 所以 .2013数列(2013文科一小题一大题)(2013理科一小题一大题)2013年北京高考文科第11题11. 若等比数列 满足 ,,则公比  ;前 项和  .11. ,2013年北京高考文科第20题20. 给定数列 ,,,,对 ,,,,该数列前 项的最大值记为 ,后 项 ,,, 的最小值记为 ,.(1)设数列 为 ,,,,写出 ,, 的值;(2)设 ,,, 是公比大于 的等比数列,且 ,证明:,,, 是等比数列;(3)设 ,,, 是公差大于 的等差数列,且 ,证明:,,, 是等差数列.20. (1) ,,.      (2) 因为 ,公比 ,所以 ,,, 是递增数列.因此,对 ,,,,,.故 ,,,,因此, 且 ,即 ,,, 是等比数列.      (3) 设 为 ,,, 的公差.对 ,因为 ,,所以又因为 ,所以从而 ,,, 是递增数列.因此又因为所以因此 ,所以所以因此对 ,,, 都有即 ,,, 是等差数列.2013年北京高考理科第10题10. 若等比数列 满足 ,,则公比  ;前 项和  .10. ,2013年北京高考理科第20题20. 已知 是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 项的最大值记为 ,第 项之后各项 的最小值记为 ,.(1)若 为 ,是一个周期为 的数列(即对任意 ),写出 的值;(2)设 是非负整数,证明: 的充分必要条件为 是公差为 的等差数列;(3)证明:若 ,则 的项只能是 或者 ,且有无穷多项为 .20. (1) .      (2) (充分性)因为 是公差为 的等差数列,且 ,所以因此(必要性)因为 ,所以又因为 ,所以于是,.因此即 是公差为 的等差数列.      (3) 因为 ,所以故对任意 .假设 中存在大于 的项.设 ,并且对任意 .又因为 ,所以于是,故与 矛盾.所以对于任意 ,有 ,即非负整数列 的各项只能为 或 因为对任意 ,所以 .故因此对于任意正整数 ,存在 满足 ,且 ,即数列 有无穷多项为 2013三角(2013文科一小题一大题)(2013理科一小题一大题)2013年北京高考文科第5题5. 在 中,,,,则 A. B. C. D. 5. B【解析】由正弦定理: 及已知得 . 所以 .2013年北京高考文科第15题15. 已知函数 .(1)求 的最小正周期及最大值;(2)若 ,且 ,求 的值.15. (1) 因为 所以 的最小正周期为 ,最大值为 .      (2) 因为 ,所以因为 ,所以所以故 .2013年北京高考理科第3题3. " "是"曲线 过坐标原点"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. A2013年北京高考理科第15题15. 在 中,,,.(1)求 的值;(2)求 的值.15. (1) 因为 ,,,所以在 中,由正弦定理得 .所以 .故 .      (2) 由(1)知 ,所以 .又因为 ,所以 .所以 .在 中,.所以 .21
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